精品解析：2026年广东广州市从化区初中毕业班综合测试（二）数学试卷

2026年初中毕业班综合测试（二） 数学 本试卷共三大题，25小题，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答（作图题可用铅笔），答案必须写在答题卡指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动后的答案也不能超出指定的区域．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生不可以使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列数，，，，，中，负数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的定义判断即可． 【详解】负数为，，共个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查有理数的分类，牢记负数的定义是解题的关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方以及合并同类项，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：解不等式组  ， 解不等式①，得  ， 解不等式②，移项得 ，系数化为1得  ，  不等式组的解集为 ，  在数轴上表示为： 处为实心点且向右， 处为空心圈且向左，公共部分为中间线段. 观察选项，C选项符合． 5. 如图，已知等边的周长为，点D．分别是边、的中点，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： 是等边三角形，且周长为 ，  ， 分别是边的中点 ， 是的中位线 ， ． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，对称轴为，此题还考查了配方法求顶点式．已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 7. 若是二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将已知解代入方程，整理后即可得到的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴， ∴， ∴． 8. 若正比例函数与反比例函数的一个交点为，则反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求解，先根据交点在正比例函数上求出交点的完整坐标，再代入反比例函数求出参数，即可得到解析式． 【详解】解：∵ 点在正比例函数上 ∴ 将代入，得， 解得， 即交点坐标为 又∵ 点在反比例函数上， ∴ ， ∴ 反比例函数的解析式为． 9. 如图，的直径为，是弧上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得，从而判定点在以为直径的圆上运动；通过分析点在起点和终点时点的位置，确定点的运动轨迹为以为直径的半圆，最后利用勾股定理求出，结合圆周长公式求解即可． 【详解】解：连接 ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 当点在点时，与重合，此时点与点重合， 当点在点时，与重合， ∵为的直径， ∴， 即， 又∵， ∴点与点重合， ∴点运动的路径是以为直径的半圆， ∵的直径为，半径， ∴，， 在中，， ∴点运动的路径长为． 10. 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，连接CP．若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】延长AP交BC于D，由已知条件得到∠ABP=∠DBP，∠APB=∠DPB=90°，根据全等三角形的性质得到AP=PD，于是得到结论． 【详解】解：延长AP交BC于D， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠DBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB=∠DPB=90°， 在△ABP和△DBP中， ， ∴△ABP≌△DBP（ASA）， ∴AP=PD， ∴S△ABP=S△DBP，S△ACP=S△DCP， ∴S△ABC=2S△PBC=2×2=4， 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 如图，在四边形ABCD中，，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于________． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】由AC⊥BC可得∠ACB=90°，又∠B=50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB=40°，再根据平行线的性质可得∠DCA=∠CAB=40°． 【详解】解：∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， ∵∠B＝50°， ∴∠CAB=40°， ∵， ∴∠DCA=∠CAB=40°． 故答案为：40° 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数是解答本题的关键． 12. 如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出甲乙的平均数和方差，进行比较即可得到结论． 【详解】解：甲的平均数为， 甲的方差； 乙的平均数为， 乙的方差； 则． 13. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后进行检验，得到原方程的解. 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 移项，得 合并同类项，得 检验：当时， 因此是原分式方程的解． 14. 一次函数的图象经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：一次函数的图象经过第一、第二、第三象限， 对于一次函数，当图象经过第一、二、三象限时，满足且， ， 不等式恒成立， 解不等式， 得． 15. 图为一款常见的桌面手机支架，其侧面支撑结构可简化为图．使用时，支撑脚放置于水平桌面，用于支撑手机．若，，，，则点到的距离约为________）．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作 ，垂足为，过点作，垂足为，过点作 ，垂足为，构造矩形和两个直角三角形，利用锐角三角函数分别求出和的长，进而求得的长 【详解】解：过点作 ，垂足为，过点作，垂足为，过点作 ，垂足为，  ，  四边形是矩形，  ， 在中，，，  ， ，  ，  ， 在中，，   ，  ，  ，  点到的距离约为 ． 16. 如图，在中，，，，为边上的动点，平分，交于，过作于，连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理以及两点之间线段最短等知识.解题的关键是作辅助线构造直角三角形，将转化为，从而将的最小值转化为线段的长． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，，过点作于点， 在中，，， ， ， ； 四边形是平行四边形， ，， ， ， ； 平分， ， ， ， ， ； ， 为的中点， ，，， ， 为的中点， ， 垂直平分， ， ， ， 当，，三点共线时， 取得最小值，最小值为的长， 在中，，， ， 的最小值为． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【详解】解：  ， ①②得：，  解得： ， 把代入①得：  ， 解得：，  则方程组的解为 18. 如图，已知，，．求证：． 【答案】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】先根据平行线的性质证明，再根据全等三角形的判定证明，即可证明结论． 【详解】略 19. 按要求完成下列各题： （1）化简：； （2）若是使得代数式有意义的一个非负整数值，求出一个的值． 【答案】（1） （2）当时，（或时，时，任选一个符合条件的结果即可） 【解析】 【分析】（1）先利用单项式乘多项式法则和完全平方公式展开原式，再合并同类项即可完成化简； （2）先根据分式和二次根式有意义的条件，确定x的取值范围，选出符合要求的非负整数值x，代入化简后的T计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：展开并化简:     【小问2详解】 解：要使代数式 有意义，需满足 ， 解得，  因为是非负整数，所以可以取，  当时，  ， 当时， ， 当时，  任选一个符合条件的值即可． 20. 如图，在平行四边形中，点在上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规在的上方作，使得，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作图的基础上，求证：． 【答案】（1）如图，即为所求. （2）证明：四边形是平行四边形， ， . 在与中， ， ， . 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质，求三角形的判定和性质，熟练掌握相关指数点是解题的关键。 （1）根据作一个角等于已知角的方法作即可； （2）根据平行四边形的性质得到，得出，得到，继而得到，即可得到。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队每个队员的身高（单位：）如下： 甲队 177 179 178 179 177 178 178 179 178 177 两组样本数据的平均数，中位数，众数，方差如表中数据所示： 平均数 中位数 众数 方差 甲队 178 a 178 乙队 177 b （1）表中________，________； （2）从甲、乙两队中挑选两位身高达到的队员担任队长，请求出这两位队员一个来自甲队一个来自乙队的概率． 【答案】（1）178；177 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：将甲队队员的身高数据按从低到高的顺序排列为： 177，177，177，178，178，178，178，179，179，179． 其中身高处于中间的两个数据是178和178，所以中位数（）； 因为乙队数据中177出现次数最多，所以众数（）； 【小问2详解】 解：甲队中有三名队员身高在，记为A，B，C，乙队中有一名队员身高在，记为D， 画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能结果，其中这两位队员一个来自甲队一个来自乙队的等可能结果6种，分别是，，，，，， 所以这两位队员一个来自甲队一个来自乙队的概率是． 22. 如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接． （1）若，求线段的长度； （2）求证：是的切线； （3）当时，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2） 证明：连接，如图所示： ∵为的直径， ， 点是的中点， 在中，是斜边上的中线，则， ， ， ， 是的切线， ， ， 为半径， ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理求出，再由等面积法列式求出，最后再由勾股定理求出即可； （2）先证明，结合切线性质，等量代换得到即可得证； （3）先得到、，在中，求出，数形结合，得到，代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： 是的切线， ， ， ， ∵为的直径， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ∵为的直径， ， 在中，，，，则， ∴， 则， ． 【点睛】熟记常用等面积法求边长的直角三角形、切线的判定方法—连半径证垂直、含的直角三角形性质是解决问题的关键． 23. 项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 【答案】（1） （2）不能；理由 根据题意，设收纳盒的高为， 则收纳盒底面的长为，宽为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为； 收纳盒的长为，收纳盒的宽为， ∵（玩具车长小于收纳盒长），（玩具车高小于收纳盒高），但（玩具车宽大于收纳盒宽）， ∴玩具车不能完全放入该收纳盒． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设剪去的小正方形的边长为，由题意得，然后解方程并检验即可； （）根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，则，求出收纳盒的高长宽高，从而即可判断玩具车能否完全放入． 【小问1详解】 解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为； 【小问2详解】 略 24. 已知抛物线（，为常数，＞）． （1）当，则该抛物线的对称轴为直线________； （2）点和点为抛物线与轴两个交点（点在点的左侧），点为抛物线与轴的交点． ①当时，求的值； ②若点为轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，为轴正半轴上的一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，当的最小值为时，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）直接利用二次函数的对称轴公式计算即可； （2）①利用待定系数法求出，则抛物线解析式为，利用抛物线对称轴得到点坐标，令得到点坐标，利用两点间距离公式求出、，列出等式求解即可； ②将点代入抛物线解析式求出点坐标，根据垂直于对称轴得到，作点关于轴的对称点，则，进而得到，将点向左平移个单位长度得到，求出点坐标，证明四边形是平行四边形，进而得到，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，据此列方程求解即可． 【小问1详解】 解：对于抛物线，，对称轴公式为直线， 当时，代入得， 故该抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：①将点代入抛物线得：， ， 抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为， 点和点B为抛物线与x轴两个交点， ， ， ， 令得：， ， 、， ， ， 解得；或， ， 的值为； ②将点代入抛物线得： ， ， 由①知，抛物线的对称轴为， 垂直于对称轴， ， 作点关于轴的对称点，连接，则， 、， 轴与轴互相垂直， 轴垂直平分， ， 将点向左平移个单位长度得到，连接、，即， 垂直于对称轴、， 垂直于对称轴、， 、， 四边形是平行四边形， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，即， ， 整理得：， 解得：或（舍去）， 的值为． 25. 定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． （1）已知，折中线的长为，求的长； （2）如图，若，求折中线的长（用含a的式子表示）； （3）若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据菱形的折中线的定义，即可求解； （2）连接，先证明是等边三角形，可得，可根据勾股定理及解直角三角形的知识求出和的长，即得答案； （3）由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等，再将4种情况整合成两种求解： 当时，过点B作于点G，过点E作，交的延长线于点F，根据等腰三角形及直角三角形的性质，即可逐步求出和的长，即得答案； 当时，过点D作，交的延长线于点F，先证明四边形是平行四边形，然后证明，可求得，再通过相似三角形的判定与性质，求得的长，即得答案． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：连接， 四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 折中线的长为； 【小问3详解】 解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 所以①当为较短对角线时，只有，成立； ②当为较短对角线时，只有，成立； 两种情况类似，只需讨论一种即可， 下面以①为例，当为较短对角线时： 如图，当时，过点B作于点G，过点E作，交的延长线于点F， 四边形是菱形， ，， 是的中点， ， ，， ，， 四边形是矩形 ， 折中线的长为； 如图，当时，过点D作，交的延长线于点F， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 折中线的长为； 综上所述，折中线的长为或． 【点睛】合理进行分类讨论，可以理清解题的脉络，同时要重视全等三角形和相似三角形的判定与性质在解题中的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业班综合测试（二） 数学 本试卷共三大题，25小题，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答（作图题可用铅笔），答案必须写在答题卡指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动后的答案也不能超出指定的区域．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生不可以使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列数，，，，，中，负数的个数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知等边的周长为，点D．分别是边、的中点，连接，则（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 若是二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若正比例函数与反比例函数的一个交点为，则反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的直径为，是弧上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为（） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，连接CP．若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 如图，在四边形ABCD中，，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于________． 12. 如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则______（填“”，“”或“”）． 13. 若，则________． 14. 一次函数的图象经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是________． 15. 图为一款常见的桌面手机支架，其侧面支撑结构可简化为图．使用时，支撑脚放置于水平桌面，用于支撑手机．若，，，，则点到的距离约为________）．（结果精确到，参考数据：，） 16. 如图，在中，，，，为边上的动点，平分，交于，过作于，连接，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程组： 18. 如图，已知，，．求证：． 19. 按要求完成下列各题： （1）化简：； （2）若是使得代数式有意义的一个非负整数值，求出一个的值． 20. 如图，在平行四边形中，点在上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规在的上方作，使得，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作图的基础上，求证：． 21. 某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队每个队员的身高（单位：）如下： 甲队 177 179 178 179 177 178 178 179 178 177 两组样本数据的平均数，中位数，众数，方差如表中数据所示： 平均数 中位数 众数 方差 甲队 178 a 178 乙队 177 b （1）表中________，________； （2）从甲、乙两队中挑选两位身高达到的队员担任队长，请求出这两位队员一个来自甲队一个来自乙队的概率． 22. 如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接． （1）若，求线段的长度； （2）求证：是的切线； （3）当时，求图中阴影部分面积． 23. 项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 24. 已知抛物线（，为常数，＞）． （1）当，则该抛物线的对称轴为直线________； （2）点和点为抛物线与轴两个交点（点在点的左侧），点为抛物线与轴的交点． ①当时，求的值； ②若点为轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，为轴正半轴上的一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，当的最小值为时，求的值． 25. 定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． （1）已知，折中线的长为，求的长； （2）如图，若，求折中线的长（用含a的式子表示）； （3）若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $