精品解析：浙江省9+1联考2025-2026学年高二第二学期学考模拟数学试题

2025学年第二学期学考模拟考 数学 考生须知： 1．本卷满分100分，考试时间80分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷. 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， 所以． 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 已知，移项得：  ， 因此虚部为. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【详解】要使函数有意义， 需使，解得且， 所以函数的定义域为且. 4. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由于零向量与任意非零向量共线，故A不合题意； 由于，而， 即向量不共线，可以作为基底，故B符合题意； 由于，则， 所以向量共线，不能作为基底，故C不合题意； 由于，则， 所以向量共线，不能作为基底，故D不合题意. 5. 函数的零点所在的大致区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用零点存在定理逐个选项代入计算验证即可. 【详解】因为零点存在定理：若函数在区间上连续，且，则在内存在零点. 因为函数的定义域是.函数在上单调递增. 对于选项A，，所以函数在上恒成立，故选项A不正确. 对于选项B，，所以. 故在区间存在零点. 对于选项C，，所以. 故选项C不正确. 对于选项D，，所以 故选项D不正确. 6. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分，，三种情况讨论即可. 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 7. 从3名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛，则选中的2人中有男生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件：“选中的2人中有男生”，求得，结合对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】从3名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛，共有种不同的选法， 设事件：“选中的2人中有男生”，则：“选中的2人中全是女生”， 可得，所以. 8. 已知圆锥的轴截面是正三角形，侧面积为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆锥的轴截面求出圆锥的高，进而可以求出圆锥的体积. 【详解】因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以，. 又因为侧面积为，所以. 则. 所以圆锥的体积为. 9. 已知函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性和单调性逐一判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 令得，A错误； 令得，C错误； 又函数在上单调递增，， 所以，，B错误，D正确. 10. 在中，，BC边上的高等于,则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设 ,故选C. 考点：解三角形. 11. 若存在实数，使得成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程 得，构造函数，分别考虑两个函数在区间上的单调性，求出各自的值域，最后取并集即为的取值范围． 【详解】由已知存在，使得成立， 去掉绝对值，方程等价于，即， 记 因为函数与在上单调递增，故在上单调递增， 因为，所以值域为； 因为是对勾函数，如图，根据对勾函数单调性知在上单调递增， 因为，所以函数值域为， 存在使得等式成立，等价于属于或的值域， 即， 故实数的取值范围是. 12. 斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】先选择恰当的空间基底，用基底向量表示相关向量，再利用向量数量积公式计算异面直线所成角的余弦值，将几何问题转化为代数问题，再结合函数单调性求角度的最小值. 【详解】设，，，则， ，， ，. 因为点为棱上动点，设，， 则，， ， ，则， ， ，， 设异面直线与所成角为，则， 因为函数在上单调递增， 所以，当时，取得最大值，此时，所以取得最小值为， 即异面直线与所成角的最小值为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分） 13. 一组样本数据为9，11，10，13，12，8，14，11，则这组数据的（ ） A. 中位数为11 B. 方差为28 C. 平均数为11 D. 60%分位数为11 【答案】ACD 【解析】 【分析】我们先对数据进行排序，再依次计算中位数、平均数、方差和分位数，判断各选项的正误. 【详解】首先将数据从小到大排序： ，共个数据. 对于A，中位数是第、个数的平均数：，A正确. 对于C， 平均数，C正确. 对于B， 方差 ，B错误. 对于D，60%分位数，向上取整为第个数，即，D正确. 14. 已知，，是不同的平面，，是不同的直线，则的一个充分条件有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间中线面垂直、面面垂直的判定与性质，结合充分条件的定义逐一分析每个选项. 【详解】在A选项中，已知，，根据线面垂直的性质可得： ，又已知，因此可得，可以推出结论，是充分条件, 在B选项中，，时，和可以平行，也可以相交， 若与相交，无法推出，不是充分条件， 在C选项中，已知，，， 根据面面垂直的性质定理：这里和相交于，且都垂直于， 因此可直接推出，是充分条件, 在D选项中，，，， 当在平面内时，可以推出， 但题目条件并未限定在平面内（例如也可能在平面内），故无法保证结论成立，不是充分条件. 15. 已知实数，满足，则，可能的情况是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由对数函数性质可知， 所以当时，，所以，选项A正确； 当时，，所以，选项B正确； 当时，，所以，选项C错误； 当时，，所以，选项D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 16. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，然后求得. 【详解】依题意， 所以. 故答案为： 17. 已知，，，则与的夹角大小为_____． 【答案】## 【解析】 【详解】由可知，即， 设与的夹角为， 得，即，解得，即. 18. 已知，且，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过对已知条件变形，凑出乘积为定值的形式，再用基本不等式求解. 【详解】由，得：，即 ，则 ， 由且，可知、，因此、. 所以 当且仅当，即，结合， 解得，时取等号. 因此，的最小值为. 四、解答题（本大题共3小题，共37分．第19题12分、第20题12分、第21题13分） 19. 如图，在三棱锥中，，是等边三角形． （1）求证：； （2）若为直角三角形，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明：如图所示，取中点，连和， 因为是等边三角形，则，且，为公共边，所以， 所以，且中点，所以， 又因为是等边三角形，所以， 因为且平面，所以面， 又因为面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得面，进而证得； （2）设，利用勾股定理，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得面，得到即为直线与平面所成角，在直角中，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，设，因为为直角三角形，可得， 又因为是等边三角形，所以，且， 在中，由余弦定理得， 即，可得， 即，解得，所以，所以， 同理可得：，所以， 因为，且平面，所以面， 所以即为直线与平面所成角， 即直线与平面所成角的大小为． 20. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）先将函数图象的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移单位，得到的图象，求函数在上的值域. 【答案】（1）（）． （2） 【解析】 【分析】（1）先通过三角恒等变换化简得，再利用正弦型函数的单调性求解单调区间； （2）结合三角函数图象的伸缩、平移变换得到，再通过换元法转化为二次函数，求指定区间上的值域. 【小问1详解】 ， 由得，，， 所以函数的单调递减区间为，. 【小问2详解】 依题意，可得， 所以， 因为， 所以，， 令，，则，令，则， 则可转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， ，而， ，因为，所以， 所以的值域为，即的值域为. 21. 已知函数， （1）当时，求在上的值域； （2）若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先化简，利用对勾函数的性质求其值域. （2）将化为分段函数后分类讨论，分别分离参数求解. （3）先根据函数的性质缩小的取值范围，然后根据复合函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 当时，. 当时，， 则，当，即时等号成立， 即在上的值域为． 【小问2详解】 . 当时，由，得， 因为，所以，所以，所以． 当时，由， 法一：当时，由， 得， 令，， 则， 由对勾函数的性质，可知， ，即． 综上所述，实数的取值范围． 法二：令，，则不等式化为， 由上述分析可知，只需考虑时的情况： 当时，有在上恒成立； 当时，则，故在时恒成立． 综上所述，实数的取值范围． 【小问3详解】 当时，，因为当时，， 所以在区间内必须恒大于等于0，且单调递减， 所以，解得． 当时，． 令，，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 故只需，即. 故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期学考模拟考 数学 考生须知： 1．本卷满分100分，考试时间80分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷. 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 函数的零点所在的大致区间为（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 7. 从3名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛，则选中的2人中有男生的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的轴截面是正三角形，侧面积为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，BC边上的高等于,则（　　） A. B. C. D. 11. 若存在实数，使得成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 12. 斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分） 13. 一组样本数据为9，11，10，13，12，8，14，11，则这组数据的（ ） A. 中位数为11 B. 方差为28 C. 平均数为11 D. 60%分位数为11 14. 已知，，是不同的平面，，是不同的直线，则的一个充分条件有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 15. 已知实数，满足，则，可能的情况是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 16. 已知，则________． 17. 已知，，，则与的夹角大小为_____． 18. 已知，且，则的最小值为_____． 四、解答题（本大题共3小题，共37分．第19题12分、第20题12分、第21题13分） 19. 如图，在三棱锥中，，是等边三角形． （1）求证：； （2）若为直角三角形，求直线与平面所成角的大小. 20. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）先将函数图象的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移单位，得到的图象，求函数在上的值域. 21. 已知函数， （1）当时，求在上的值域； （2）若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $