精品解析：吉林省松原市滨江中学2025-2026学年九年级考前模拟测试数学试题

九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将冷藏室温度减去冷冻室温度即可解答． 【详解】解：， 答：这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为． 2. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：它的左视图是． 3. 如图是为防范台风破坏树木而设置的三角架加固装置，这种设计依据的数学原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 三角形内角和为 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性原理在实际生活中的应用．理解题目描述的三角架加固装置的结构特点，并结合三角形的稳定性来分析其设计依据． 【详解】解：A项：三角形具有稳定性是三角形的重要特性之一，即三角形的三条边确定后，其形状和大小就固定不变，不易发生变形．三角架加固装置正是利用稳固的结构来保证树木的安全，三角形结构能够满足这一需求，故A正确； B项：三角形内角和为，这一原理主要是在求解三角形内角相关问题时使用，与加固装置的稳定性无关，故B错误； C项：两点确定一条直线是直线的基本性质，它描述的是经过两个点有且只有一条直线，这一性质主要应用于确定直线的位置，与加固装置的稳定性无关，故C错误； D项：两点之间线段最短是关于两点间距离的性质，它指的是连接两点的所有线中，线段的长度是最短的，这一性质主要应用于求最短路径等问题，与加固装置的稳定性无关，故D错误， 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确． 5. 直尺和三角板是常用的绘图工具，将一个三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，，即可求得，再根据平行线的性质得． 【详解】解：如图， 根据题意，， ∵， ∴， 根据题意，， ∴． 6. 如图，在平行四边形中，对角线，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，恰好垂直于边，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作图过程可知，是的垂直平分线，可得，即可求出，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由作图过程可知，是的垂直平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵恰好垂直于边， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 南京金箔锻造技术已经被列入世界非物质文化遗产名录．一张薄的金箔的厚度为0.000000091，用科学记数法可表示_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可知：． 8. 甲种食品每袋a元，9折出售；乙种食品每袋b元，8折出售．小明两种食品各买了1袋，那么他一共需要支付______元． 【答案】 【解析】 【分析】根据打折的定义分别求出两种食品打折后的售价，再求和列出代数式即可． 【详解】解：甲种食品9折出售，售价为元，乙种食品8折出售，售价为元． 两种食品各买1袋，总支付费用为元． 9. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，取两个解集的公共部分即可得到原不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 原不等式组的解集是． 10. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．熟练掌握平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 过点作轴，交于点，求出点坐标，根据三线合一，得到为的中点，进而求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，即：； 故答案为：． 11. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，则经过点B的的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定圆心的位置，然后根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：由题意可确定圆心位置，如图所示， 由图可知：， ∴的长度为． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号内进行通分，然后将分子能因式分解的进行因式分解，再约分化简；最后将，的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 13. 济南宽厚里某文创店为迎接端午假期，新上架了以趵突泉、大明湖为主题的两种手绘明信片．已知趵突泉主题明信片每套进价15元，大明湖主题明信片每套进价25元．该店花费3900元购进这两种明信片共200套．该文创店分别购进趵突泉主题、大明湖主题明信片各多少套？ 【答案】趵突泉主题明信片110套，大明湖主题明信片90套 【解析】 【分析】设该文创店购进趵突泉主题明信片x套，则购进大明湖主题明信片套，该店花费3900元购进这两种明信片共200套．据此列出方程并解方程即可． 【详解】解：设该文创店购进趵突泉主题明信片x套，则购进大明湖主题明信片套，根据题意，得， 解得， 则（套）， 答：该文创店购进趵突泉主题明信片110套，大明湖主题明信片90套． 14. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母，，，表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________； （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片上的文字恰好可以组成“文明”或“自由”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“文明”或“自由”一词一共有4种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，小明从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”或“自由”的结果有种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“文明”或“自由”） ． 15. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 【答案】处距离处有140海里． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过作于， 在中，，海里， （海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， 答：处距离处有140海里． 16. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在格点上（用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹）． （1）在图①中，作的中线； （2）在图②中，作的高线； （3）在图③中，作以为直径的圆O的切线． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取格点E，F，使四边形是矩形，根据矩形的对角线互相平分即可解答； （2）取格点T，连接交于点N，线段即为所求； （3）将绕点B逆时针旋转，得到，即为所求． 【小问1详解】 解：如图， 取格点E，F，则四边形是矩形， ∴， ∴点M是的中点， ∴是的中线； 【小问2详解】 解：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的高． 【小问3详解】 解：将绕点B逆时针旋转，得到， ∴， ∵是直径， ∴是的切线． 17. 如图，反比例函数的图象经过点，直线与y轴交于点M，与反比例函数的图象交于点N，点Q在反比例函数第三象限的图象上． （1）记图中两处矩形阴影的面积分别为、，则______（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）求反比例函数的解析式，并求的长． 【答案】（1）＝ （2）， 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义即可解答； （2）根据待定系数法求出反比例函数的解析式为，再解方程组得到点N的坐标，根据两点间的距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为（）， 根据反比例函数比例系数的几何意义可得，图中两处矩形阴影的面积． 【小问2详解】 解：设反比例函数的解析式为（）， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为， 解方程组，得， ∴， ∴． 18. 4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． a.初一、初二年级学生得分的折线图 b.初三年级学生得分： 10，9，6，10，8，7，10，7，3，10 c.初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下 年级 初一 初二 初三 平均数 8 8 m 中位数 8 8.5 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是__________（填“初一”或“初二”）； （2）统计表中__________，__________； （3）由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，将数据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：__________（写出符合题意的序号）. ①平均数；②中位数；③众数；④方差. 【答案】（1）初一 （2）， （3）①②④ 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，平均数、中位数、众数和方差，理解相关统计量的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据方差的意义解答即可； （2）根据算术平均数的意义可得m的值；根据中位数的定义可得n的值； （3）分别根据平均数、中位数、众数和方差的定义和计算方法判断即可． 【小问1详解】 解：由折线图可知，初一学生得分的波动比初二的小，所以成绩更稳定的是初一． 故答案为：初一； 【小问2详解】 解：由题意得，， 把初三年级学生得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8、9， 故中位数， 故答案为：8，8.5； 【小问3详解】 解：将其中的数据6改为9，则数据变为：10，9，9，10，8，7，10，7，3，10 数据变化， 平均数、方差改变， 中位数为：， 中位数改变， 众数依然是10， 众数不变． 故答案为：①②④． 19. 某工厂使用甲、乙两不同型号的自动机床加工零件，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机床工作一段时间后停工保养，保养结束后又和乙机床继续工作．甲、乙两机床加工零件总数量y（个）与乙机床工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲机床停工保养的时间为______分钟；乙机床每分钟加工______个零件； （2）甲乙两机床同时工作时，每分钟共加工______个零件；并求甲机床停工保养结束后，甲乙两机床继续工作期间，y关于x的函数解析式； （3）若两台机床加工零件的总数量为2700个，求乙机床工作时间为多少分钟？并求出甲、乙两机床各加工多少个零件？ 【答案】（1）30；15 （2）25； （3）120分钟；乙机床加工零件1800个；甲机床加工零件900个 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是结合图像信息，理清不同阶段甲、乙机床的工作状态与速度，利用一次函数的性质求解． （1） 利用图像中机床停工保养前后的时间差求保养时间，通过保养阶段乙机床的工作量求其速度； （2） 利用初始阶段的总加工量求甲乙同时工作的速度和，再用待定系数法求保养结束后函数解析式； （3） 代入总加工量到函数解析式求时间，再分别计算甲、乙的加工量． 【小问1详解】 解：甲机床停工保养时间：（分钟）． 乙机床速度：（个/分钟）． 故答案为：30；15 【小问2详解】 解：甲乙同时工作时每分钟共加工：（个）． 设保养结束后函数解析式为， 将代入，且，得， 解得． 故解析式为． 故答案为：25；． 【小问3详解】 解：当时， ， 解得． 乙机床加工零件：（个）． 甲机床加工零件：（个）． 答：乙机床工作时间为120分钟，甲机床加工900个零件，乙机床加工1800个零件． 20. 如图，将一个等腰直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，．点P从点O出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并垂直于x轴的正半轴，垂足为Q，点O的对应点为．设折叠后与重叠部分图形的面积为S，点P的运动的时间为t（）． （1）用含t的代数式表示的长； （2）当点与点A重合时，求t的值； （3）用含t的代数式表示S，并写出自变量t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点P的运动情况得到，根据是等腰直角三角形，得到，从而，由折叠可得； （2）当点与点A重合时，，据此列出方程，求解即可； （3）当点在线段上，即时，与重叠部分图形为，根据三角形的面积公式即可求解；当点在线段的延长线上，且点Q到达点A或之前，即时，与重叠部分图形为梯形，根据梯形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵点P在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，运动的时间为t（）， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴在中，， 由折叠可得． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 当点与点A重合时，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，，轴， ∴在中，． 当点在线段上，即时，与重叠部分图形为， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴点P运动到点B的时间为， 当点在线段的延长线上，且点Q到达点A或之前，即时， 与重叠部分图形为四边形， ∵， ∴， ∴四边形是梯形． ∵， ∴ ， 由折叠可得， ∴． ∴， ∴． 综上所述，． 21. 在中，，点是边上的一个动点，连接． 【问题发现】 （1）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则与的数量关系是_______， _______度； 【类比迁移】 （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上，且，若，，则与的数量关系是_______， _______度．请证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图，在（2）的条件下，当点在直线上移动时，其他条件不变，取线段的中点，连接，，当是直角三角形时，求线段的长． 【答案】（1）， （2），，见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质和等腰直角三角形的性质，通过证明三角形全等，从而得到线段的数量关系和角度； （2）通过证明两边对应成比例且夹角相等，判定三角形相似，结合相似三角形的性质推导线段关系和角度； （3）结合直角三角形斜边中线的性质，得出，再根据等腰直角三角形的特征求出的长度，分点在线段上和在的延长线上两种情况，利用勾股定理列方程求解线段的长． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知：，， 又， ， 即， 在和中： ， ，， 在中， ，， ， ， ； 综上，与的数量关系是，； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，即：， ，； 【小问3详解】 解：由（2）知，点是的中点， ， ， ， ， 是直角三角形， ，， ， ， 设，则， ，，， ， ①如图，当点在线段上时， ， ， ， ， ，（舍去）， ②如图，当点在的延长线上时， ， ， ， ， ， ，（舍去）， 综上所述，的长为或． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点，点、均在抛物线上，、横坐标依次为，，当点不与点重合时，过点作直线轴，过点作直线轴，两直线交于点，连结、、． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当时，求的值； （3）设点的纵坐标为，点的纵坐标为，当时，求的取值范围； （4）若点的坐标为，当以点A、B、C、D为顶点的四边形与抛物线有且只有一个交点时（四边形的顶点除外），直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）把代入求出，即可得到抛物线的函数表达式； （2）先求出，则由即可求解； （3）可求，，则，分情况列出关于m的不等式组求解集即可； （4）分类讨论，找出几种临界状态，画图分析即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（b是常数）经过点， ∴把代入，得， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图： ∵点A、B均在抛物线上，横坐标分别为，， ∴当时，， 把分别代入，得，， ∴， ∵过点A作直线轴，过点 B 作直线轴，两条直线相交于点C， ∴，， ∴， 则； 【小问3详解】 解：∵点A、B均在抛物线上，横坐标分别为，抛物线解析式为：， ∴，， ∵， ∴， ∴①当， 化简不等式得， ∴，无解， 或，解得：， ∴得解集为， 由得， ∴，解得：， 或，解得：， ∴的解集为； ②当时， 同理可求的解集为， ∴的解集为：或， 综上所述：当时，求m的取值范围为：或； 【小问4详解】 解：∵、横坐标依次为，， ∴，， ∵， ∴、横坐标关于对称， ∵点的坐标为，即， ∴， ∵， 令， 解得：， ∴或时，；时，； 当时，如图：此时以点A、B、C、D为顶点的四边形与抛物线有两个交点（顶点除外）； 当时，如图：此时，以点A、B、C、D为顶点的四边形与抛物线有且只有一个交点（顶点除外）； 当时，如图，以点A、B、C、D为顶点的四边形与抛物线没有交点（顶点除外）； 当时，如图，以点A、B、C、D为顶点的四边形与抛物线有且只有一个交点（顶点除外）； 综上，当以点A、B、C、D为顶点的四边形与抛物线有且只有一个交点时（四边形的顶点除外），的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与三角形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，解不等式组，难度较大，正确理解运动状态，找出临界点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为( ) A. B. C. D. 2. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是为防范台风破坏树木而设置的三角架加固装置，这种设计依据的数学原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 三角形内角和为 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 直尺和三角板是常用的绘图工具，将一个三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，对角线，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，恰好垂直于边，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 南京金箔锻造技术已经被列入世界非物质文化遗产名录．一张薄的金箔的厚度为0.000000091，用科学记数法可表示_____． 8. 甲种食品每袋a元，9折出售；乙种食品每袋b元，8折出售．小明两种食品各买了1袋，那么他一共需要支付______元． 9. 不等式组的解集是______． 10. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为_____． 11. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，则经过点B的的长度是______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中，． 13. 济南宽厚里某文创店为迎接端午假期，新上架了以趵突泉、大明湖为主题的两种手绘明信片．已知趵突泉主题明信片每套进价15元，大明湖主题明信片每套进价25元．该店花费3900元购进这两种明信片共200套．该文创店分别购进趵突泉主题、大明湖主题明信片各多少套？ 14. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母，，，表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________； （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片上的文字恰好可以组成“文明”或“自由”的概率． 15. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 16. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在格点上（用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹）． （1）在图①中，作的中线； （2）在图②中，作的高线； （3）在图③中，作以为直径的圆O的切线． 17. 如图，反比例函数的图象经过点，直线与y轴交于点M，与反比例函数的图象交于点N，点Q在反比例函数第三象限的图象上． （1）记图中两处矩形阴影的面积分别为、，则______（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）求反比例函数的解析式，并求的长． 18. 4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． a.初一、初二年级学生得分的折线图 b.初三年级学生得分： 10，9，6，10，8，7，10，7，3，10 c.初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下 年级 初一 初二 初三 平均数 8 8 m 中位数 8 8.5 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是__________（填“初一”或“初二”）； （2）统计表中__________，__________； （3）由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，将数据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：__________（写出符合题意的序号）. ①平均数；②中位数；③众数；④方差. 19. 某工厂使用甲、乙两不同型号的自动机床加工零件，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机床工作一段时间后停工保养，保养结束后又和乙机床继续工作．甲、乙两机床加工零件总数量y（个）与乙机床工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲机床停工保养的时间为______分钟；乙机床每分钟加工______个零件； （2）甲乙两机床同时工作时，每分钟共加工______个零件；并求甲机床停工保养结束后，甲乙两机床继续工作期间，y关于x的函数解析式； （3）若两台机床加工零件的总数量为2700个，求乙机床工作时间为多少分钟？并求出甲、乙两机床各加工多少个零件？ 20. 如图，将一个等腰直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，．点P从点O出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并垂直于x轴的正半轴，垂足为Q，点O的对应点为．设折叠后与重叠部分图形的面积为S，点P的运动的时间为t（）． （1）用含t的代数式表示的长； （2）当点与点A重合时，求t的值； （3）用含t的代数式表示S，并写出自变量t的取值范围． 21. 在中，，点是边上的一个动点，连接． 【问题发现】 （1）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则与的数量关系是_______， _______度； 【类比迁移】 （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上，且，若，，则与的数量关系是_______， _______度．请证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图，在（2）的条件下，当点在直线上移动时，其他条件不变，取线段的中点，连接，，当是直角三角形时，求线段的长． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点，点、均在抛物线上，、横坐标依次为，，当点不与点重合时，过点作直线轴，过点作直线轴，两直线交于点，连结、、． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当时，求的值； （3）设点的纵坐标为，点的纵坐标为，当时，求的取值范围； （4）若点的坐标为，当以点A、B、C、D为顶点的四边形与抛物线有且只有一个交点时（四边形的顶点除外），直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $