精品解析：吉林省松原市滨江中学2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

滨江中学期末测试卷九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中心对称图形的定义为：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．需依据此定义对选项中的每个图案逐一分析判断． 【详解】解：观察图案，将其绕某一特定点旋转后，旋转后的图形能与原图形完全重合的是中心对称图形，A,B,C都不符合题意． 故选D 2. 若抛物线（m是常数）的开口向下，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟记二次函数图象开口向下对应二次项系数小于0是解决问题的关键． 根据二次函数的图象与性质，列不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数， 解得． 故选：C． 3. 某河堤横断面如图所示，河堤，水平距离，则斜坡的坡度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡比的问题，解题的关键是理解坡度的概念． 根据坡度的定义直接求解即可． 【详解】解：在中，，， 斜坡的坡度． 故选：B． 4. 某品牌学习机的原价为6000元，经过两次降价后售价为4860元，设每次降价的百分率均为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及连续降价问题，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 根据第一次降价后价格变为原价的倍，两次降价后价格变为原价的倍，据此列出方程即可． 【详解】解：∵每次降价的百分率为x， ∴第一次降价后价格为：， 第二次降价后价格为：， ∴． 故选：A． 5. 如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题核心是运用相似三角形的判定定理，通过分析各选项提供的条件与已知平行关系结合后能否满足判定规则，关键在于准确识别角的对应关系和边的比例关系．利用相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析是否能推出，从而确定无法判定的条件． 【详解】已知，可得． 若添加条件，可得． 因此． 又因为，为截线，可得． ． 因此选项A不符合题意． 若添加条件， 由，为截线，可得． 此时与中，且夹角， 故． 因此选项B不符合题意． 若添加条件， ∵， ． ， ． 因此选项C不符合题意． 若添加条件，． 该比例中，与的夹角为，与的夹角为． 虽然可得，但与无直接等量关系，且比例对应的角并非“夹角”；同时也无法通过其他判定定理证明相似．因此添加该条件后，仍无法判定，选项D符合题意 故选D 6. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在反比例函数的图象上，D为y轴上一点，连接，若的面积为3，则k的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征． 设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴，则点到的距离为， ∵为的直径， 解得：， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知反比例函数的图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则实数的值可以是_____（只需写出一个符合条件的实数）． 【答案】（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟知时，反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小是解题关键． 根据反比例函数的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴k的值可以是（答案不唯一，只要即可）； 故答案为：（答案不唯一，只要即可）． 8. 如图，A、B、C三点在上，若，且的半径为1，则的长是_________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式及圆周角定理是解题的关键． 连接，根据圆周角定理，先求出的度数，再结合弧长公式求解，即可解题． 【详解】解：连接， ， ， 的半径为1， ， 故答案为：． 9. 小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是_____； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形实际应用，解题关键是正确列出比例式． 根据题意，列出比例式求解． 【详解】解：∵小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是6：13，∴， ∵烛焰的高是3cm， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，将绕点逆时针旋转相同的角度两次得到．若，，则每次旋转的角度是____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟悉掌握旋转的性质是解题的关键． 利用旋转的性质和旋转角的关系运算求解即可． 【详解】解：根据旋转定义可得，选作为参照边，旋转两次后到处，即是两倍的旋转角， ∵ ∴ ∴旋转角 故答案为： 11. 如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是______米． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线的解析式为y＝ax2＋4．把（5，0）代入函数解析式求得a的值，即可求得该函数解析式，然后把x＝1代入函数解析式，来求相应的y值即可． 【详解】依题意得，该函数的顶点坐标是（0，4）．故设该函数解析式为：y＝ax2＋4（a≠0）． 把点（5，0）代入，得a×52＋4＝0， 解得： a＝−， 所以该函数解析式为：y＝−x2＋4． 把x＝1代入得到：y＝−×12＋4＝． 即桥洞离水面的高是 米， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次函数性质及其应用，学会用待定系数法求解抛物线解析式，设出点的坐标，根据点与抛物线的位置关系，解决实际问题． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，重点在于掌握配方法的步骤：移项、配方、开方、求解． 通过将一般式转化为完全平方形式，能够有效简化运算．同时，注意根式化简和符号处理，确保最终解的准确性．此题也可使用求根公式直接求解，但配方法更体现代数变形能力． 【详解】解：移项得： 配方： 整理得： 开平方得： 解得： 故方程的两个解为：， 13. 如图，在中，点分别是边、上的点，且． （1）求证：； （2）若，，的面积为，则的面积为_________． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明； （）由（）可知：，则与的相似比为，所以，然后代入即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：由（）可知：， ∴与的相似比为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 学校组织春游，安排给九年级甲、乙、丙三辆车，小明和小兰都可以从这三辆车中随机选一辆搭乘． （1）小明选择甲车的概率为_________； （2）请用画树状图或列表的方法求小明和小兰选择同一辆车的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率、画树状图求概率，熟练掌握概率公式、正确画出树状图是解题的关键． （1）根据概率公式得出概率即可； （2）画出树状图或者列表得出所有等可能的结果，从中找出小明和小兰选择同一辆车的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明从甲、乙、丙三辆车中选择甲车的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下． 由树状图知共有9种等可能的结果，其中小明和小兰选择同一辆车的结果有3种， ∴小明和小兰选择同一辆车的概率为． 15. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象． （1）求的值及反比例函数的表达式； （2）点为反比例函数图象上的一点，若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法，一次函数、反比例函数与几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）把代入可得，把代入，即可求解； （2）根据一次函数与坐标的交点可得，由面积的计算可得，解得，代入反比例函数即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得，， 把代入，得， 解得，， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， ， ， ， 如图所示，点为反比例函数图象上的一点，则点在第一象限， 又， 解得：， 点坐标为． 16. 如图1是一盏悬挂灯的图片，如图2是悬挂灯的示意图，连接管所在的直线和固定管所在的直线都经过圆心O，．测得，，，求的半径．（精确到．参考数据：，，） 【答案】的半径约为cm 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用， 首先求出，然后利用求出，进而求解即可． 【详解】解：在中，， ∴ ∴ ∴ 答：的半径约为7.4． 17. 如图，是的弦，C是外一点，，交于点P，交于点D，且，连接． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】（1）直线与相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质，垂直定义，对顶角性质，证明，再结合切线的判定定理即可证明直线与的位置关系； （2）利用直角三角形性质，得到，结合勾股定理建立等式求出，再根据图中阴影部分面积，结合扇形面积公式列式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：直线与相切，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 直线与相切； 【小问2详解】 解：，的半径为，， ，， ， 解得或（不合题意，舍去）， 图中阴影部分的面积为：． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，垂直定义，对顶角性质，勾股定理，直角三角形性质，扇形面积的计算，灵活运用相关知识点是解题的关键． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上（要求仅用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． （1）在图①中，以C为位似中心，相似比为，请画出放大后的； （2）在图②中的线段上找到一点M，使； （3）在图③中的边上找到一点F，连接，使． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 （3）作图见详解 【解析】 【分析】本题考查了作图-无刻度直尺在网格中的作图，解题关键利用相似三角形和锐角三角函数的定义求解． （1）延长至点，使，延长至点，使，连接，即为所求； （2）从点A向右数三格处取点D，从点B向左数两格处取点C，使得，连接，与交点M即为所求； （3）从点C处向上数两格取点D，使得，连接，与交点F即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 由格点图可知，，， ，， ∵，， ∴． 【小问2详解】 解：如图所示，点M即为所求， 由格点图可知，，，， 又∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图所示，点F即为所求， 由格点图可知，，，， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边在x轴的正半轴上，边在y轴的正半轴上，抛物线经过点C和点D． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）将正方形沿x轴向右平移，使点B落在抛物线上，求平移距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数解析式的求解（待定系数法）及图形平移的应用．第(1)问需先确定点和点的坐标，再代入抛物线方程求出和的值；第(2)问需先确定点的初始坐标，再求出抛物线上值为1的点，取右侧的点为平移后的位置，减去初始位置即为平移距离． 【小问1详解】 解：由图可知点, 给定抛物线方程为， 代入得到，解得：． 代入得到．解得： 综上所述，抛物线的解析式为． 【小问2详解】 将正方形沿轴向右平移，点纵坐标不变，仍为1 将 代入抛物线方程: 解得：， 因为点B向右移动，所以落在 点B的初始横坐标为1． 平移距离为． 【点睛】本题通过图形分析确定关键点坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式，再结合图形平移的性质（纵坐标不变），通过代入函数解析式求解平移距离．关键在于准确读取图形中各点的坐标信息，并熟练运用函数与方程的关系解决问题． 20. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作于点D，以、为邻边作矩形． （1）线段的长为_________； （2）用含t的代数式表示线段的长； （3）设与矩形重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式． 【答案】（1）5 （2）当时，；当时， （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】(1) 利用勾股定理计算斜边的长度； (2) 分点在上和上两种情况，通过相似三角形对应边成比例推导的表达式； (3) 分点在上和上两种情况，结合矩形与三角形的位置关系确定重叠部分形状，再计算面积得到函数关系式． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴． 故答案为：5． 【小问2详解】 ①当点在上时（）， ，， ． 又为公共角， ． 由相似三角形对应边成比例：， 即， 解得： ②当点在上时（）， ，， ． 又为公共角， ． 由相似三角形对应边成比例：， 即， 解得：， 综上所述，当时，；当时，． 【小问3详解】 ①当点在上时（）， 设与交于点， 重叠部分面积等于矩形的面积减去面积 矩形顶点为、、、， 由，得， 即， 解得． 矩形面积，代入和： ， , ， 面积 重叠部分面积 ②当点在上时（）， 由，得， 即， 解得:， 重叠部分面积，代入和，得 ， 化简得：． 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题考查直角三角形中的动点问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质，求函数解析数，掌握分类讨论思想是解题的关键． 21. 【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作，交于点．易证：（不需要证明）； 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作，交于点． （1）求证：； （2）若，，为的中点，求的长； 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作，交于点．当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】[探究]（1）证明见解析；（2）；[应用] 或 【解析】 【分析】[探究]（1）由题意可求，，进而可证； （2）由题意知，，由（1）知，则，代入计算求解即可； [应用]由勾股定理得，则，证明；由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解；当时，则，，进而可求结果；当时，，则，，进而可求结果；当时，此时不成立． 【详解】解：[探究]（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ， ， ， 又， ； （2）为的中点， ， 由（1）知， ，即， ． [应用]解：∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴； 由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解； 当时，则， ∴； 当时，，则， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴，此时不成立； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数且）经过点，点、是抛物线上纵坐标不相等的两个点，其横坐标分别为、，连接，以为对角线作矩形． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求矩形的面积； （3）当矩形内部的函数图象的最大值与最小值的差为2时，求值； （4）当抛物线与矩形的边（包括矩形顶点）有3个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3）m的值为 或 （4） 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，最值问题，交点问题，理解题意，结合函数图象求解是解题关键． （1）利用待定系数法代入求解即可； （2）根据题意得出当时，点A的纵坐标为 ，点B的纵坐标为 ，确定，作出矩形求解即可； （3）根据题意得：点，点 ，然后分情况分析：①当 (即 时，在对称轴左侧，单调递减；②当 时，在对称轴右侧，单调递增；③当时，包含对称轴；据此求解即可； （4）根据题意得：，需要水平边与抛物线有1个额外交点且在矩形边上， 由（2）及图象得，矩形与抛物线恰好交于两个点，然后结合函数图象求解即可． 【小问1详解】 解: 将点代入抛物线 ， 得 ，即， 解得， ∴抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 当时，点A的纵坐标为 ， 点B的纵坐标为 ， ∴， ∵以为对角线作矩形， ∴如图所示： 矩形的面积为： 答：矩形的面积为1； 【小问3详解】 根据题意得：点， ， 点 ， ∴令， ∴， ∵抛物线 的对称轴为，开口向上， ①当 (即 时，在对称轴左侧，单调递减， 最大值为：，最小值为， ∴差值为， 解得 ，符合条件； ②当 时，在对称轴右侧，单调递增， 最小值为：，最大值为， ∴差值为， 解得 ，符合条件； ③当时，包含对称轴， 最小值为：， 最大值为或， 当最大值为时， ∴， 解得：（不符合题意）或（不符合题意）； 当最大值为时， ∴， 解得：（不符合题意）或（不符合题意）； 综上，m的值为 或 ； 【小问4详解】 根据题意得：， ∵抛物线与交于点A、B， ∴需要水平边与抛物线有1个额外交点且在矩形边上， 由（2）及图象得，矩形与抛物线恰好交于两个点， 此时，如图所示矩形， 将矩形向左平移时，即时，只能出现两个交点，不符合题意； 将矩形向右平移到时，也是恰好只有两个交点，此时， ∴， 当时，抛物线与矩形的边BC另外交于一点，出现三个点，符合题意； 当时，抛物线与矩形只有两个交点，不符合题意； ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨江中学期末测试卷九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 若抛物线（m是常数）的开口向下，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 某河堤横断面如图所示，河堤，水平距离，则斜坡的坡度是（ ） A. B. C. D. 4. 某品牌学习机的原价为6000元，经过两次降价后售价为4860元，设每次降价的百分率均为x，则可列方程为（ ） A. B. C D. 5. 如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在反比例函数的图象上，D为y轴上一点，连接，若的面积为3，则k的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知反比例函数的图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则实数的值可以是_____（只需写出一个符合条件的实数）． 8. 如图，A、B、C三点在上，若，且的半径为1，则的长是_________（结果保留）． 9. 小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是_____； 10. 如图，将绕点逆时针旋转相同角度两次得到．若，，则每次旋转的角度是____°． 11. 如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是______米． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程． 13. 如图，在中，点分别是边、上的点，且． （1）求证：； （2）若，，的面积为，则的面积为_________． 14. 学校组织春游，安排给九年级甲、乙、丙三辆车，小明和小兰都可以从这三辆车中随机选一辆搭乘． （1）小明选择甲车的概率为_________； （2）请用画树状图或列表的方法求小明和小兰选择同一辆车的概率． 15. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象． （1）求的值及反比例函数的表达式； （2）点为反比例函数图象上的一点，若，求点的坐标． 16. 如图1是一盏悬挂灯的图片，如图2是悬挂灯的示意图，连接管所在的直线和固定管所在的直线都经过圆心O，．测得，，，求的半径．（精确到．参考数据：，，） 17. 如图，是弦，C是外一点，，交于点P，交于点D，且，连接． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上（要求仅用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． （1）在图①中，以C为位似中心，相似比为，请画出放大后的； （2）在图②中的线段上找到一点M，使； （3）在图③中的边上找到一点F，连接，使． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边在x轴的正半轴上，边在y轴的正半轴上，抛物线经过点C和点D． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）将正方形沿x轴向右平移，使点B落在抛物线上，求平移的距离． 20. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作于点D，以、为邻边作矩形． （1）线段长为_________； （2）用含t的代数式表示线段的长； （3）设与矩形重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式． 21. 【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作，交于点．易证：（不需要证明）； 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作，交于点． （1）求证：； （2）若，，为的中点，求的长； 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作，交于点．当为等腰三角形时，的长为_____． 22. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数且）经过点，点、是抛物线上纵坐标不相等的两个点，其横坐标分别为、，连接，以为对角线作矩形． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求矩形的面积； （3）当矩形内部的函数图象的最大值与最小值的差为2时，求值； （4）当抛物线与矩形的边（包括矩形顶点）有3个交点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $