4.2.2 去括号法则（第32课时）学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“去括号法则”，通过图书馆借书情境引导学生用两种方法表示剩余图书数量，结合乘法分配律计算观察符号变化，搭建从已有知识到新知的学习支架，衔接整式加减前后内容。 资料特色在于“错误诊所”精准剖析符号变号、系数漏乘等易错点，“合作探究”“达标检测”分层设计，融入“数学文化”渗透学科史。通过情境抽象培养符号意识，探究过程发展运算能力和推理意识，助力学生掌握法则并提升数学素养。

4.2.2 去括号法则 一、学习目标 【知识技能】掌握去括号法则，能正确运用去括号法则将整式化简； 能利用去括号法则解决简单的实际问题。 【数学思考】经历去括号法则的探究过程，体会乘法分配律在去括号中的作用， 发展符号意识和运算能力。 【问题解决】能运用去括号法则进行整式的化简，并解决实际问题中的数量关系。 【核心素养】通过去括号法则的学习和应用，培养观察、分析、归纳的能力， 体会转化的数学思想，发展数学运算素养。 二、学习重难点 【重点】去括号法则及其应用。 【难点】括号前面是负号时，去括号后各项符号的变化； 括号前有数字因数时，数字因数要乘遍括号内的每一项。 三、情境导入 【生活情境】图书馆借书问题 学校图书馆原有图书 a 册，第一天上午借出 b 册，下午借出 c 册。 请用两种方法表示图书馆还剩多少册图书？ 方法一：先算上午借出后剩下的，再算下午借出后剩下的： (a - b) - c 方法二：先算一天一共借出的，再算剩下的： a - (b + c) 这两个式子表示的是同一个数量，所以它们相等： (a - b) - c = a - (b + c) 观察等式两边，你发现了什么？括号是怎么去掉的？符号有什么变化？ 【思考】用乘法分配律计算： (1) +(2x - 3) = 1×(2x - 3) = ________ (2) -(2x - 3) = -1×(2x - 3) = ________ (3) 2(x - 1) = ________ (4) -3(x - 2) = ________ 图1：去括号法则对比图 【概念生成】去括号法则 法则1：括号前是"+"号，把括号和它前面的"+"号去掉， 原括号里各项的符号都不改变。 即：+(a + b) = a + b +(a - b) = a - b 法则2：括号前是"-"号，把括号和它前面的"-"号去掉， 原括号里各项的符号都要改变。 即：-(a + b) = -a - b -(a - b) = -a + b 记忆口诀：遇"加"不变，遇"减"都变。 依据：乘法分配律 a(b+c) = ab + ac 的应用。 四、合作探究 探究点1：去括号法则的理解 【活动1】判断下列去括号是否正确，对的打"√"，错的打"×"，并说明理由。 (1) a + (b - c) = ab - c （ ） (2) a - (b + c) = a - b + c （ ） (3) -(a - b) = -a - b （ ） (4) 2(x - y) = 2x - y （ ） (5) -3(a - 2b) = -3a + 6b （ ） (6) m + 2(n - 3) = m + 2n - 6 （ ） 【方法归纳】去括号注意事项 ① 去括号时，要连同括号前的符号一起去掉； ② 括号前是"-"号时，括号里的每一项都要变号，不能只变第一项； ③ 括号前有数字因数时，要把数字因数乘遍括号内的每一项，不要漏乘； ④ 当括号前是"+1"或"-1"时，1通常省略不写，但去括号时要注意符号； ⑤ 去括号前后，代数式的值不变，这是恒等变形。 探究点2：去括号并合并同类项 【活动2】化简下列各式： (1) 8a + 2b + (5a - b) (2) (5a - 3b) - 3(a² - 2b) (3) 2x² - 3(2x - x²) 图2：去括号常见错误对比 【解题示范】 (1) 8a + 2b + (5a - b) = 8a + 2b + 5a - b （去括号，遇"加"不变） = (8a + 5a) + (2b - b) （找同类项） = 13a + b （合并同类项） (2) (5a - 3b) - 3(a² - 2b) = 5a - 3b - 3a² + 6b （去括号，-3乘遍每一项） = -3a² + 5a + 3b （合并同类项，按降幂排列） 注意：-3 乘以括号内的每一项，-3×(-2b) = +6b，不要搞错符号！ 探究点3：多层括号的去括号 图3：多层括号去括号步骤 【活动3】化简：3x² - [7x - (4x - 3) - 2x²] 【多层括号去法】 方法一：从内向外（先小括号，再中括号，最后大括号） 3x² - [7x - (4x - 3) - 2x²] = 3x² - [7x - 4x + 3 - 2x²] （去小括号） = 3x² - [3x + 3 - 2x²] （合并中括号内的同类项） = 3x² - 3x - 3 + 2x² （去中括号，注意符号） = 5x² - 3x - 3 （合并同类项） 方法二：从外向内（先去外层，注意系数） （略，一般从内向外更不容易错） 技巧：每去一层括号，就合并一次同类项，可以减少错误。 五、典型例题 题型一：去括号法则的直接应用 【例1】下列去括号正确的是（ ） A. a - (b + c) = a - b + c B. a - (b - c) = a - b - c C. -(a + b) + c = -a - b + c D. -(a - b) - c = -a + b + c 【解析】根据去括号法则逐一判断： A. a - (b + c) = a - b - c ≠ a - b + c，错误（第二项没有变号）； B. a - (b - c) = a - b + c ≠ a - b - c，错误（第二项符号错了）； C. -(a + b) + c = -a - b + c，正确； D. -(a - b) - c = -a + b - c ≠ -a + b + c，错误（-c没有变号的问题，而是-c保留）。 答案：C 题型二：去括号并化简 【例2】化简下列各式： (1) 3(xy - 2z) + (-xy + 3z) (2) -4(pq + pr) + (4pq + pr) (3) (2x - 3y) - 3(4x - 2y) 【解析】 (1) 3(xy - 2z) + (-xy + 3z) = 3xy - 6z - xy + 3z （去括号，注意+(-xy+3z) = -xy+3z） = 2xy - 3z （合并同类项） (2) -4(pq + pr) + (4pq + pr) = -4pq - 4pr + 4pq + pr （去括号） = -3pr （合并同类项） (3) (2x - 3y) - 3(4x - 2y) = 2x - 3y - 12x + 6y （去括号，-3×4x=-12x，-3×(-2y)=+6y） = -10x + 3y （合并同类项） 题型三：化简求值 【例3】先化简，再求值： 5(3a²b - ab²) - (ab² + 3a²b)，其中 a = ，b = 。 【解析】先去括号、合并同类项化简，再代入求值。 解：5(3a²b - ab²) - (ab² + 3a²b) = 15a²b - 5ab² - ab² - 3a²b （去括号） = 12a²b - 6ab² （合并同类项） 当 a = ，b = 时， 原式 = 12 × ()² × - 6 × × ()² = 12 × × - 6 × × = 1 - = 题型四：实际应用 【例4】一个长方形的宽为 a，长比宽的 2 倍少 1。 (1) 写出这个长方形的周长； (2) 当 a = 5 时，长方形的周长是多少？ 【解析】 (1) 长方形的长为 (2a - 1)， 周长 = 2 × (长 + 宽) = 2[(2a - 1) + a] = 2(3a - 1) = 6a - 2 (2) 当 a = 5 时，周长 = 6×5 - 2 = 28 六、错误诊所 【易错点1】括号前是负号时，只改变第一项的符号 例1：化简：(2x - 3y) - (5x + 4y) 【错解】原式 = 2x - 3y - 5x + 4y = -3x + y 【错因分析】括号前是负号时，括号里的各项都要改变符号，不能只改变第一项的符号。 -(5x + 4y) = -5x - 4y，而不是 -5x + 4y。 【正解】原式 = 2x - 3y - 5x - 4y = -3x - 7y 【易错点2】括号前有系数时，漏乘括号内的项 例2：化简：3(2x - y) - 2(x - 3y) 【错解】原式 = 6x - y - 2x - 3y = 4x - 4y 【错因分析】使用分配律时，系数要乘以括号内的每一项，不能漏乘。 3(2x - y) = 6x - 3y，不是 6x - y； -2(x - 3y) = -2x + 6y，不是 -2x - 3y。 【正解】原式 = 6x - 3y - 2x + 6y = 4x + 3y 【易错点3】去多层括号时符号混乱 例3：化简：5a - [3a - 2(a - 1)] 【错解】原式 = 5a - 3a - 2a + 2 = -2 【错因分析】去多层括号要由内向外逐层去，注意每一层的符号变化。 错在去中括号时，-2(a-1)前面是负号，应该是 +2(a-1)。 【正解】原式 = 5a - [3a - 2a + 2] = 5a - [a + 2] = 5a - a - 2 = 4a - 2 【易错点1】去负括号时只变第一项符号 病例：化简 a - (2b - 3c) 错解：a - (2b - 3c) = a - 2b - 3c 诊断：括号前是"-"号，去括号后括号内的每一项都要变号。 这里 -3c 前面是"-"号，去括号后应变号为 +3c。 正解：a - (2b - 3c) = a - 2b + 3c 警示：遇"减"都变——括号前是负号，里面每一项都要变号！ 【易错点2】括号前有数字因数时漏乘 病例：化简 3(x - 2y) 错解：3(x - 2y) = 3x - 2y 诊断：括号外的因数 3 要乘遍括号内的每一项，漏乘了 -2y。 正解：3(x - 2y) = 3x - 6y 警示：数字因数要分配给括号内的每一项，一项都不能少！ 【易错点3】符号与乘法同时出错 病例：化简 -2(3x - y) 错解1：-2(3x - y) = -6x - 2y （第二项符号错） 错解2：-2(3x - y) = -6x + y （第二项漏乘2） 诊断：-2 乘以每一项，-2×3x = -6x，-2×(-y) = +2y 正解：-2(3x - y) = -6x + 2y 警示：既要注意系数乘法，又要注意符号变化，两者缺一不可！ 【易错点4】多层括号时符号混乱 病例：化简 2x - [3y - (x - y)] 错解：2x - [3y - (x - y)] = 2x - [3y - x - y] = 2x - 2y + x = 3x - 2y 诊断：去小括号时符号错了，-(x-y) = -x+y，不是 -x-y。 正解：2x - [3y - (x - y)] = 2x - [3y - x + y] （去小括号） = 2x - [4y - x] （合并） = 2x - 4y + x （去中括号） = 3x - 4y （合并） 警示：多层括号，从内向外，逐层去，每去一层检查一次符号！ 七、达标检测 A组 基础巩固 1. 下列去括号正确的是（ ） A. -(a + b) = -a + b B. a - (b - c) = a - b - c C. -(a - b) = -a + b D. 2(a + b) = 2a + b 2. 化简 -2(x - y) 的结果是（ ） A. -2x - y B. -2x + y C. -2x - 2y D. -2x + 2y 3. 下列各式化简正确的是（ ） A. 3a + 2b = 5ab B. 2x - x = 1 C. -m - m = 0 D. -a²b + 2a²b = a²b 4. 化简 a + (2a - 3b) - (a - 2b) 的结果是（ ） A. 2a - b B. 2a + b C. 2a - 5b D. 2a + 5b 5. 去括号： (1) a + (-b + c) = __________ (2) a - (-b + c) = __________ (3) 2(x - 3y) = __________ (4) -3(2x - y) = __________ 6. 化简下列各式： (1) 12(x - 0.5) (2) -5(1 - x) (3) -a + (3a - 2) - (2a - 3) B组 能力提升 7. 化简 (3x² - x + 2) - 2(x² + x - 1) 的结果是（ ） A. x² - 3x + 4 B. x² + 4 C. x² - 2x + 4 D. x² + 3x + 4 8. 已知 x - y = 3，则 7 - x + y = ______。 9. 先化简，再求值： 3x + 2(x² - y) - 3(2x² + x - y)，其中 x = ，y = -3。 10. 已知 A = 3a² - 2a + 1，B = 5a² - 3a + 2，求 3A - 2B。 11. 若多项式 2(x² - 3xy - y²) - (x² - 3mxy - 2y²) 中不含 xy 项， 求 m 的值。 C组 拓展创新 12. 【规律探究】观察下列各式： 1 + 2 + 1 = 4 = 2² 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 = 3² 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = 4² …… (1) 请写出第 n 个式子； (2) 利用上面的规律，求 1 + 2 + 3 + … + 100 + … + 3 + 2 + 1 的值。 13. 【综合应用】有这样一道题："当 x = -2024，y = 2025 时， 求多项式 7x³ - 6x³y + 3x²y + 3x³ + 6x³y - 3x²y - 10x³ 的值。" 小明说："题目给出的条件 x = -2024，y = 2025 是多余的。" 你认为小明的说法有道理吗？为什么？ 八、中考链接 【中考真题1】（2023·湖北中考） 化简 -2(x - y) + 3y 的结果是（ ） A. -2x + 5y B. -2x + y C. 2x + 5y D. 2x - y 【解析】-2(x - y) + 3y = -2x + 2y + 3y = -2x + 5y 答案：A 【中考真题2】（2024·四川中考） 若 2x - 3y = 5，则 6x - 9y - 2 的值为（ ） A. 13 B. 10 C. 7 D. 4 【解析】6x - 9y = 3(2x - 3y) = 3×5 = 15，所以 6x - 9y - 2 = 15 - 2 = 13 答案：A 【中考真题3】（2023·广东中考改编） 已知一个三角形的周长为 3a + 2b，其中第一条边长为 a + b， 第二条边长比第一条边长短 1，求第三条边的长。 【解析】第二条边长为 (a + b) - 1 = a + b - 1 第三条边长 = 周长 - 第一条 - 第二条 = (3a + 2b) - (a + b) - (a + b - 1) = 3a + 2b - a - b - a - b + 1 = a + 1 答案：第三条边长为 a + 1 九、数学文化 【数学史话】符号代数的发展与去括号法则 在数学发展的历史长河中，代数符号的出现是一个重要的里程碑。 1. 修辞代数时代 在古希腊和古代中国，数学家们完全用文字来叙述代数问题和解题过程。 丢番图（Diophantus，约246—330年）是第一个使用缩写符号的数学家， 他用希腊字母表示未知数，但还没有括号、等号等现代符号。 2. 符号代数的诞生 16世纪，法国数学家韦达（François Viète, 1540—1603）创立了符号代数， 用字母表示已知数和未知数。笛卡尔（René Descartes, 1596—1650） 进一步完善了符号体系，用字母表末尾的字母表示未知数。 3. 括号符号的演变 括号符号"( )"大约在16世纪开始使用。在这之前，数学家们用文字 描述或者用横线来表示运算顺序。括号的出现使得代数式的书写更加 简洁清晰，也推动了去括号法则的系统化。 4. 去括号法则的本质 去括号法则看似简单，其实质是乘法分配律的应用。 a(b + c) = ab + ac，这是数学中最基本的运算律之一。 它看似简单，却贯穿了整个代数学的学习，从整式的加减到方程的求解， 从多项式的乘法到因式分解，到处都有它的身影。 数学符号的每一次进步，都推动着数学的发展。今天我们学习的去括号， 正是无数数学家智慧的结晶。 十、小结与反思 【知识梳理】 • 去括号法则： 括号前是"+"号，把括号和它前面的"+"号去掉，原括号里各项的符号都不改变； 括号前是"-"号，把括号和它前面的"-"号去掉，原括号里各项的符号都要改变。 • 口诀：遇"加"不变，遇"减"都变。 • 依据：乘法分配律 a(b+c) = ab + ac。 • 注意：括号前有数字因数时，要乘遍括号内的每一项，不要漏乘。 • 多层括号：从内向外，逐层去掉，每去一层合并一次同类项。 【方法技巧】 • 去括号时，先看括号前的符号，再决定变不变号； • 括号前是"-"号时，可以先把"-"号和括号看成"-1"乘以括号，用分配律； • 化简求值题，先化简再代入，计算更简便； • 不含某项的问题，合并后令该项的系数为0； • 整体思想：把某些代数式看作整体，简化计算。 【易错警示】 1. 括号前是负号时，只变第一项符号，忘记变后面的项； 2. 括号前有数字因数时，漏乘括号内的某些项； 3. 符号和乘法同时出错，特别是负系数乘负项； 4. 多层括号时，从外向内去导致符号混乱； 5. 去括号后，同类项没有合并或合并错误。 【学习反思】 □ 我理解了去括号法则，能正确去括号 □ 我掌握了去括号并合并同类项的方法 □ 我能进行化简求值计算 □ 我能处理多层括号的化简问题 □ 我能解决与去括号相关的实际问题 我的困惑：________________________________________________ 我的收获：________________________________________________ 参考答案 一、学习目标 （略，见正文） 二、学习重难点 （略，见正文） 三、情境导入 思考题答案. (1) 2x - 3 (2) -2x + 3 (3) 2x - 2 (4) -3x + 6 四、合作探究 探究点1 活动1答案. (1) × 应该是 a + b - c（+号不变号，不是乘）(2) × 应该是 a - b - c（+c应变-c，题目写的是+c？不，原式a-(b+c)=a-b-c，题目说a-b+c是错的，所以×）(3) × 应该是 -a + b（第二项要变号）(4) × 应该是 2x - 2y（-2也要乘y）(5) √(6) √ 探究点2 活动2答案. (1) 13a + b (2) 5a - 3b - 3a² + 6b = -3a² + 5a + 3b(3) 2x² - 6x + 3x² = 5x² - 6x 探究点3 活动3答案. 5x² - 3x - 3 五、典型例题 (2) 当 a = 5 时，周长 = 6×5 - 2 = 28 = 2(3a - 1) = 6a - 2 周长 = 2 × (长 + 宽) = 2[(2a - 1) + a] (1) 长方形的长为 (2a - 1)， 【解析】 (2) 当 a = 5 时，长方形的周长是多少？ (1) 写出这个长方形的周长； 【例4】一个长方形的宽为 a，长比宽的 2 倍少 1。 题型四：实际应用 = = 1 - = 12 × × - 6 × × ⅑ 原式 = 12 × ()² × - 6 × × ()² 当 a = ，b = 时， = 12a²b - 6ab² （合并同类项） = 15a²b - 5ab² - ab² - 3a²b （去括号） 解：5(3a²b - ab²) - (ab² + 3a²b) 【解析】先去括号、合并同类项化简，再代入求值。 5(3a²b - ab²) - (ab² + 3a²b)，其中 a = ，b = 。 【例3】先化简，再求值： 题型三：化简求值 = -10x + 3y （合并同类项） = 2x - 3y - 12x + 6y （去括号，-3×4x=-12x，-3×(-2y)=+6y） (3) (2x - 3y) - 3(4x - 2y) = -3pr （合并同类项） = -4pq - 4pr + 4pq + pr （去括号） (2) -4(pq + pr) + (4pq + pr) = 2xy - 3z （合并同类项） = 3xy - 6z - xy + 3z （去括号，注意+(-xy+3z) = -xy+3z） (1) 3(xy - 2z) + (-xy + 3z) 【解析】 (3) (2x - 3y) - 3(4x - 2y) (2) -4(pq + pr) + (4pq + pr) (1) 3(xy - 2z) + (-xy + 3z) 【例2】化简下列各式： 题型二：去括号并化简 答案：C D. -(a - b) - c = -a + b - c ≠ -a + b + c，错误（-c没有变号的问题，而是-c保留）。 C. -(a + b) + c = -a - b + c，正确； B. a - (b - c) = a - b + c ≠ a - b - c，错误（第二项符号错了）； A. a - (b + c) = a - b - c ≠ a - b + c，错误（第二项没有变号）； 【解析】根据去括号法则逐一判断： D. -(a - b) - c = -a + b + c C. -(a + b) + c = -a - b + c B. a - (b - c) = a - b - c A. a - (b + c) = a - b + c 【例1】下列去括号正确的是（ ） 题型一：去括号法则的直接应用 六、错误诊所 【正解】原式 = 5a - [3a - 2a + 2] = 5a - [a + 2] = 5a - a - 2 = 4a - 2 错在去中括号时，-2(a-1)前面是负号，应该是 +2(a-1)。 【错因分析】去多层括号要由内向外逐层去，注意每一层的符号变化。 【错解】原式 = 5a - 3a - 2a + 2 = -2 例3：化简：5a - [3a - 2(a - 1)] 【易错点3】去多层括号时符号混乱 【正解】原式 = 6x - 3y - 2x + 6y = 4x + 3y -2(x - 3y) = -2x + 6y，不是 -2x - 3y。 3(2x - y) = 6x - 3y，不是 6x - y； 【错因分析】使用分配律时，系数要乘以括号内的每一项，不能漏乘。 【错解】原式 = 6x - y - 2x - 3y = 4x - 4y 例2：化简：3(2x - y) - 2(x - 3y) 【易错点2】括号前有系数时，漏乘括号内的项 【正解】原式 = 2x - 3y - 5x - 4y = -3x - 7y -(5x + 4y) = -5x - 4y，而不是 -5x + 4y。 【错因分析】括号前是负号时，括号里的各项都要改变符号，不能只改变第一项的符号。 【错解】原式 = 2x - 3y - 5x + 4y = -3x + y 例1：化简：(2x - 3y) - (5x + 4y) 【易错点1】括号前是负号时，只改变第一项的符号 七、达标检测 A组 基础巩固 1. C 2. D 3. D 4. A 5. (1) a - b + c (2) a + b - c (3) 2x - 6y (4) -6x + 3y 6. (1) 12x - 6 (2) -5 + x (3) -a + 3a - 2 - 2a + 3 = 1 B组 能力提升 7. A （3x² - x + 2 - 2x² - 2x + 2 = x² - 3x + 4） 8. 4 （7 - x + y = 7 - (x - y) = 7 - 3 = 4） 9. 化简：3x + 2x² - 2y - 6x² - 3x + y = -4x² - y当 x = , y = -3 时，原式 = -4×() - (-3) = -1 + 3 = 2 10. 3A - 2B = 3(3a²-2a+1) - 2(5a²-3a+2) = 9a² - 6a + 3 - 10a² + 6a - 4 = -a² - 1 11. 原式 = 2x² - 6xy - 2y² - x² + 3mxy + 2y² = x² + (3m - 6)xy因为不含 xy 项，所以 3m - 6 = 0，m = 2 C组 拓展创新 12. (1) 第n个式子：1+2+3+…+n+(n-1)+…+3+2+1 = n²(2) 100² = 10000 13. 小明的说法有道理。因为 7x³ - 6x³y + 3x²y + 3x³ + 6x³y - 3x²y - 10x³ = (7+3-10)x³ + (-6+6)x³y + (3-3)x²y = 0 + 0 + 0 = 0结果是常数0，与x、y的取值无关，所以条件是多余的。 八、中考链接 真题1. A 真题2. A 真题3. 第三条边长为 a + 1 九、数学文化 （略，阅读了解） 十、小结与反思 （略，自行总结） 学科网（北京）股份有限公司 $