4.1.2 多项式及整式 学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦多项式及整式，涵盖多项式的项、次数、常数项和整式概念。通过校园生活情境中的6个问题引导学生列出代数式，对比单项式特征，搭建从单项式到多项式的学习支架，衔接前后知识。 以核心素养为导向，设计合作探究、错误诊所、分层检测等环节，帮助学生准确理解概念，发展符号意识与数学抽象能力。典型例题结合中考真题，融入数学文化渗透历史背景，培养推理意识和应用意识，提升学习效率与学科素养。

4.1.2 多项式及整式 一、学习目标 【知识技能】理解多项式的概念，能识别多项式，掌握多项式的项、常数项、次数等概念， 能准确确定多项式的项数和次数；理解整式的概念，能判断一个代数式是否为整式。 【数学思考】经历从单项式到多项式的抽象过程，体会类比和从特殊到一般的数学思想。 【问题解决】能根据多项式的次数和项数的概念解决相关问题，能将多项式按要求重新排列。 【核心素养】通过多项式概念的形成和应用，发展符号意识和数学抽象素养，培养观察、分析、归纳能力。 二、学习重难点 【重点】多项式的概念，多项式的项、次数、常数项；整式的概念。 【难点】准确确定多项式的次数，区分单项式和多项式的次数；正确识别整式。 三、情境导入 【生活情境】校园里的数学问题 我们继续用代数式来表示校园中的数量关系： 1. 长方形的长为 a，宽为 b，则周长是__________，面积是__________； 2. 七年级一班有男生 x 人，女生 y 人，全班共有__________人； 3. 一个三位数，百位数字是 a，十位数字是 b，个位数字是 c， 则这个三位数表示为__________； 4. 如图，一个十字形花坛的面积是__________； 5. 温度由 t℃ 下降 3℃ 后是__________℃； 6. 买一个篮球需要 m 元，买一个排球需要 n 元，买 2 个篮球和 3 个排球 共需要__________元。 观察上面列出的代数式，它们与上节课学的单项式有什么区别和联系？ 图1：多项式的组成结构 【概念生成】多项式的定义 定义：几个单项式的和叫做多项式。 相关概念： • 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。 • 常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项。 • 项数：一个多项式含有几项，就叫做几项式。 例如：多项式 3x² - 2x + 5 有三项，分别是 3x²、-2x、5， 其中 5 是常数项，这个多项式是三项式。 注意：多项式的每一项都包括它前面的符号。 四、合作探究 探究点1：多项式的识别与项的分析 【活动1】判断下列代数式哪些是多项式，哪些不是，并说明理由。 (1) 2x + 3y (2) 5x² - 3x + 2 (3) 3x (4) + (5) + 2 (6) x² - 2xy + y² (7) 0 (8) 3x³y - 2x + 1 (9) (x+ (10) 2x - (11) πr² - 2r (12) x + 【活动2】指出下列多项式的项、常数项和项数： (1) 2x - 3y (2) 3x² - 2x + 1 (3) -x³ + 2x² - x + 5 (4) 4a² - 2ab + b² (5) -x²y + 3xy - 2x (6) 5x^m - 3x + 2（m为正整数） 【方法归纳】判断多项式的技巧 一看：代数式是否是几个单项式的和的形式； 二查：检查每一项是否都是单项式（分母不含字母，不含根号等）； 三注意： ① 多项式的项包括它前面的符号； ② 单独的一个数或一个字母是单项式，也是多项式（一项式）； ③ 分母中含有字母的式子一定不是多项式，也不是整式。 探究点2：多项式的次数 图2：多项式的项、次数与常数项 【概念】多项式的次数 定义：多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 例如： 多项式 3x² - 2x + 5 中，次数最高的项是 3x²（2次）， 所以这个多项式的次数是 2，它是二次三项式。 多项式 5a³b - 2a² + 7 中，次数最高的项是 5a³b（4次）， 所以这个多项式的次数是 4，它是四次三项式。 注意：多项式的次数是次数最高项的次数，不是所有项次数的和。 【特别提醒】次数注意事项 ① 多项式的次数只与次数最高项有关，与其他项无关； ② 要先找出所有项，再分别确定每一项的次数，最后找到最高次数； ③ 常数项的次数是 0（非零常数），不影响多项式的次数； ④ 几次几项式的命名：先说次数再说项数，如二次三项式、四次二项式等。 探究点3：整式的概念 图3：整式的分类关系 【概念】整式 定义：单项式与多项式统称为整式。 分类： 整式 { 单项式：数与字母的积（单独的数或字母） { 多项式：几个单项式的和 判断标准： 整式的分母中不能含有字母，也不能含有根号下含字母的情况。 例如：3x、-5、a、x² + 2x - 1 等都是整式； 、+1、 等都不是整式。 【做一做】分类练习 将下列代数式分别填入相应的框内： -5, x, 2x + 3, x²y, 0, , 3x² - 2x + 1, a+, , 单项式 多项式 整式的有：________________________________ 五、典型例题 题型一：多项式的识别与判断 【例1】判断下列说法是否正确： (1) 多项式 x² + 2x - 1 的项是 x²、2x、1；（ ） (2) 多项式 3x - 2 是一次二项式；（ ） (3) 0 是单项式，也是多项式；（ ） (4) 多项式 2x² - xy + y² 是二次三项式；（ ） (5) 多项式 x³ + 2x² - 5 的次数是 6；（ ） (6) 整式包括单项式和多项式。（ ） 【解析】 (1) × 项包括前面的符号，应该是 x²、2x、-1； (2) √ 一次项 3x，常数项 -2，共两项； (3) √ 0 是单项式，单独的一个数也是单项式，单项式属于整式； (4) √ 最高次项是 2 次，有 3 项； (5) × 多项式的次数是最高项的次数，不是所有项次数的和，应该是 3 次； (6) √ 单项式和多项式统称为整式。 题型二：确定多项式的次数和项 【例2】指出下列多项式是几次几项式，并指出次数最高的项和常数项： (1) 3x - 2x² + 1 (2) 5a³ - 2a²b + ab² - b³ (3) -xy³ + 2x²y - 7 (4) x^n - 2x^(n-1) + 3（n为大于2的正整数） 【解析】 (1) 二次三项式；次数最高的项是 -2x²；常数项是 1； (2) 三次四项式；次数最高的项是 5a³、-2a²b、ab²（都是3次）；常数项是 -b³？不对，没有常数项（常数项为0，通常不写）； 正确：三次四项式；次数最高的项是 5a³、-2a²b、ab²、-b³（都是3次）；没有常数项； (3) 四次三项式；次数最高的项是 -xy³（1+3=4次）；常数项是 -7； (4) n次三项式；次数最高的项是 x^n；常数项是 3。 题型三：根据次数求参数值 【例3】已知多项式 (m-2) + 3x - 5 是关于 x 的三次三项式，求 m 的值。 【解析】 因为多项式是三次三项式，所以次数最高的项的次数是 3。 由题意得：m = 3，且 m - 2 ≠ 0（保证三次项存在） 解得：m = 3，且 m ≠ 2，所以 m = 3。 检验：当 m = 3 时，多项式为 (3-2)x³ + 3x - 5 = x³ + 3x - 5，确实是三次三项式。 【例4】已知关于 x、y 的多项式 y² - (m-2)xy + 3 是四次三项式，求 m 的值。 【解析】 因为多项式是四次三项式，所以次数最高的项的次数是 4。 第一项 y²y² 的次数是 |m| + 2，第二项 -(m-2)xy 的次数是 2。 由题意得：|m| + 2 = 4，且 m - 2 ≠ 0（保证第二项存在，即三项式） 解得：|m| = 2，即 m = ±2 又因为 m - 2 ≠ 0，所以 m ≠ 2 所以 m = -2。 六、错误诊所 【易错点1】确定多项式的项时忽略符号 例1：多项式 3x² - 2x + 1 的各项是（ ） A. 3x², 2x, 1 B. 3x², -2x, 1 C. 3x², 2x, -1 D. -3x², -2x, -1 【错解】A 【错因分析】多项式的每一项都包括它前面的符号。在 3x² - 2x + 1 中，第二项是 -2x，不是 2x。 【正解】B 【易错点2】对多项式次数的概念理解错误 例2：多项式 3x²y - 2x³y² + xy - 5 的次数是（ ） A. 3次 B. 4次 C. 5次 D. 6次 【错解】D 【错因分析】多项式的次数是"次数最高项的次数"，而不是所有字母的指数之和。 各项次数分别为：3x²y（3次）、-2x³y²（5次）、xy（2次）、-5（0次）。 最高次项是 -2x³y²，次数是5。 【正解】C 【易错点3】误认为常数项没有次数 例3：多项式 2x³ - x² + 5 是____次____项式。 【错解】三，二（认为常数项5没有次数，所以不算一项） 【错因分析】多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，常数项也是一项。 常数项的次数是0次（因为可以看作字母的0次幂与常数的积），但它仍然是一项。 【正解】三，三（三次三项式） 【易错点1】确定多项式的项时忽略符号 病例：指出多项式 3x² - 2x + 1 的项。 错解：3x²、2x、1（漏掉了第二项的负号）。 诊断：多项式的项包括它前面的符号，-2x 是一个整体，不能分开。 正解：3x²、-2x、1。 警示：多项式的项是单项式，而单项式的系数包括符号，所以项也包括符号！ 【易错点2】混淆多项式次数与所有项次数和 病例：求多项式 x³ + 2x² - x + 5 的次数。 错解：3+2+1 = 6次（把所有项的次数加起来了）。 诊断：多项式的次数是次数最高项的次数，不是所有项次数的和。 正解：次数最高的项是 x³，次数是 3，所以多项式的次数是 3。 警示：多项式的次数 = 最高次项的次数，不是各项次数相加！ 【易错点3】常数项的次数误以为是1 病例：判断：多项式 2x + 3 的次数是 2（因为 x 的次数1 + 常数项次数1 = 2）。 错解：正确。 诊断：常数项 3 的次数是 0，不是 1。多项式的次数只看最高次项。 正解：错误。多项式 2x + 3 的次数是 1。 警示：非零常数的次数是 0，不是 1；常数项不影响多项式的次数！ 【易错点4】认为 π 是字母 病例：判断多项式 2πr - 3 的次数。 错解：2次（把 π 当成了字母，π 是1次，r 是1次，共2次）。 诊断：π 是圆周率，是一个常数，不是字母。2πr 中只有 r 是字母。 正解：次数最高的项是 2πr，次数是 1，所以多项式的次数是 1。 警示：π 是常数，不是字母！判断次数时只看字母的指数。 七、达标检测 A组 基础巩固 1. 下列代数式中，是多项式的是（ ） A. 2x B. 2x + 3 C. D. x² 2. 多项式 x² - 2x + 1 的各项分别是（ ） A. x²、2x、1 B. x²、-2x、1 C. x²、2x、-1 D. x²、-2x、-1 3. 多项式 3x³ - 2x²y + xy - 1 的次数是（ ） A. 3次 B. 4次 C. 5次 D. 6次 4. 下列说法正确的是（ ） A. 整式就是多项式 B. 单项式与多项式统称为整式 C. 多项式中不含字母的项没有次数 D. 多项式的次数是所有项次数的和 5. 下列代数式中，是整式的有（ ） ① -5 ② x ③ 2x + 3 ④ ⑤ x²y ⑥ x+ ⑦ A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 填表： 多项式 项 次数最高的项 常数项 几次几项式 3x - 1 x² - xy + y² 2x³y - 3x² + 5 -a + 2b - 3c 7. 判断下列说法是否正确（对的打"√"，错的打"×"）： (1) 单项式和多项式都是整式。（ ） (2) 多项式 x³ + x² 的次数是 5。（ ） (3) 多项式 3x - 2 的常数项是 2。（ ） (4) 多项式 2x² - 3x + 1 是二次三项式。（ ） (5) 0 不是多项式。（ ） B组 能力提升 8. 若多项式 (k+1)x² - 3x + 1 中不含 x² 项，则 k 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 不确定 9. 已知多项式 - (m+2)x + 7 是关于 x 的二次三项式，则 m 的值是（ ） A. 2 B. -2 C. 2或-2 D. 3 10. 关于 x、y 的多项式 3 y + 2xy² - 1 是四次三项式，则 m 的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 11. 若多项式 x² + (k-1)x + 3 中不含一次项，则 k = ______。 12. 已知关于 x 的多项式 (a-4)x³ - x^b + x - b 是二次三项式，求 a、b 的值。 C组 拓展创新 13. 【规律探究】观察下列多项式： x + 1, x² + 2, x³ + 3, x⁴ + 4, … (1) 第 6 个多项式是什么？第 n 个呢？ (2) 第 2024 个多项式是几次几项式？ 14. 【开放题】写出满足下列条件的多项式： (1) 只含字母 x 的二次三项式，二次项系数为 2，常数项为 -1； (2) 含字母 x、y 的三次三项式，且三次项系数为 -1； (3) 关于 x 的二次三项式，一次项系数是 -5，二次项系数和常数项互为相反数。 八、中考链接 【中考真题1】（2023·湖北中考） 多项式 3x² - 2x + 1 的各项分别是（ ） A. 3x²、2x、1 B. 3x²、-2x、1 C. 3x²、2x、-1 D. 3x²、-2x、-1 【解析】多项式的项包括它前面的符号。 答案：B 【中考真题2】（2024·山东中考） 如果关于 x 的多项式 - (m-2)x + 3 是二次三项式， 则 m 的值为（ ） A. 2 B. -2 C. ±2 D. 3 【解析】由二次三项式可知：最高次项次数为2，且三项都要存在。 |m| = 2，且 m - 2 ≠ 0，所以 m = -2。 答案：B 【中考真题3】（2023·四川中考） 下列说法正确的是（ ） A. 整式包括单项式和多项式 B. 多项式的次数是所有项次数的和 C. -3 不是单项式 D. 单项式 πr² 的次数是 3 【解析】 A. 正确，单项式和多项式统称为整式； B. 错误，多项式的次数是最高次项的次数； C. 错误，单独的一个数是单项式； D. 错误，π是常数，次数是2。 答案：A 九、数学文化 【数学史话】多项式的历史与代数学的发展 多项式是代数学中最基本的研究对象之一，它的发展与代数学的发展密不可分。 1. 古代的多项式思想 早在公元前2000年左右，古巴比伦人就已经能够解决一些二次多项式方程的问题。 中国古代的《九章算术》中也记载了许多与多项式相关的问题，如面积、体积的 计算等，虽然没有使用现代符号，但已经蕴含了多项式的思想。 2. 符号代数的诞生 16世纪，法国数学家韦达（François Viète, 1540—1603）首次系统地使用字母 表示数，创立了符号代数。他用元音字母表示未知数，辅音字母表示已知数， 使得多项式的表示和运算更加简洁和规范。因此，韦达被称为"代数学之父"。 3. 多项式理论的完善 17世纪，笛卡尔（René Descartes, 1596—1650）改进了韦达的符号体系， 用字母表中前面的字母表示已知数，后面的字母表示未知数，形成了我们今天 使用的表示方法。他还提出了著名的笛卡尔符号法则，用于判断多项式正根 和负根的个数。 4. 多项式的应用 多项式在数学、物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。 例如，在微积分中，泰勒多项式可以近似表示复杂的函数；在计算机图形学中， 贝塞尔曲线和B样条曲线都是基于多项式的。 现在我们学习的多项式虽然是最基础的，但它是整个代数学的基石。 十、小结与反思 【知识梳理】 • 多项式：几个单项式的和叫做多项式。 • 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，包括它前面的符号。 • 常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项。 • 次数：多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 • 整式：单项式和多项式统称为整式。 • 命名：几次几项式，如二次三项式、四次二项式等。 【方法技巧】 • 识别多项式：看是否是几个单项式的和，分母不含字母。 • 确定多项式的项：逐项写出，注意每一项都包括前面的符号。 • 确定多项式的次数：先求每一项的次数，再找到最高的那个次数。 • 判断整式：单项式和多项式都是整式，分母含字母的不是整式。 • 根据次数求参数：利用次数定义列方程，注意检验系数不为0。 【易错警示】 1. 确定多项式的项时，不要漏掉前面的符号； 2. 多项式的次数是最高次项的次数，不是所有项次数的和； 3. 非零常数的次数是0，不是1； 4. π是常数，不是字母，判断次数时不要算上π； 5. 一个多项式是几次几项式，项数要数全，次数要算对； 6. 分母中含有字母的式子不是整式，也不是多项式。 【学习反思】 □ 我理解了多项式的概念，能正确识别多项式 □ 我能准确说出多项式的各项和常数项 □ 我能准确计算多项式的次数 □ 我能正确判断一个代数式是否为整式 □ 我能根据多项式的次数求参数的值 我的困惑：________________________________________________ 我的收获：________________________________________________ 参考答案 一、学习目标 （略，见正文） 二、学习重难点 （略，见正文） 三、情境导入 问题答案. 1. 2(a+b)、ab 2. x+y 3. 100a+10b+c 4. 略 5. t-3 6. 2m+3n区别：单项式只有数与字母的积，多项式是几个单项式的和（含加减运算）；联系：多项式由单项式组成，单项式和多项式都是整式。 四、合作探究 探究点1 多项式识别. 是多项式的：(1)(2)(4)(6)(8)(9)(10)(11)不是多项式的：(3)是单项式，不是多项式（只有一项）； (5)(12)分母含字母，不是整式。注意：单项式可以看作只有一项的多项式（特殊情况）。 探究点2 填表（做一做）. 单项式：-5、x、x²y、0、；：2x+3、3x²-2x+1、a+；：-5、x、2x+3、x²y、0、3x²-2x+1、a+、 五、典型例题 所以 m = -2。 又因为 m - 2 ≠ 0，所以 m ≠ 2 解得：|m| = 2，即 m = ±2 由题意得：|m| + 2 = 4，且 m - 2 ≠ 0（保证第二项存在，即三项式） 第一项 y² 的次数是 |m| + 2，第二项 -(m-2)xy 的次数是 2。 因为多项式是四次三项式，所以次数最高的项的次数是 4。 【解析】 【例4】已知关于 x、y 的多项式 y² - (m-2)xy + 3 是四次三项式，求 m 的值。 检验：当 m = 3 时，多项式为 (3-2)x³ + 3x - 5 = x³ + 3x - 5，确实是三次三项式。 解得：m = 3，且 m ≠ 2，所以 m = 3。 由题意得：m = 3，且 m - 2 ≠ 0（保证三次项存在） 因为多项式是三次三项式，所以次数最高的项的次数是 3。 【解析】 【例3】已知多项式 (m-2) + 3x - 5 是关于 x 的三次三项式，求 m 的值。 题型三：根据次数求参数值 (4) n次三项式；次数最高的项是 x^n；常数项是 3。 (3) 四次三项式；次数最高的项是 -xy³（1+3=4次）；常数项是 -7； 正确：三次四项式；次数最高的项是 5a³、-2a²b、ab²、-b³（都是3次）；没有常数项； (2) 三次四项式；次数最高的项是 5a³、-2a²b、ab²（都是3次）；常数项是 -b³？不对，没有常数项（常数项为0，通常不写）； (1) 二次三项式；次数最高的项是 -2x²；常数项是 1； 【解析】 (3) -xy³ + 2x²y - 7 (4) x^n - 2x^(n-1) + 3（n为大于2的正整数） (1) 3x - 2x² + 1 (2) 5a³ - 2a²b + ab² - b³ 【例2】指出下列多项式是几次几项式，并指出次数最高的项和常数项： 题型二：确定多项式的次数和项 (6) √ 单项式和多项式统称为整式。 (5) × 多项式的次数是最高项的次数，不是所有项次数的和，应该是 3 次； (4) √ 最高次项是 2 次，有 3 项； (3) √ 0 是单项式，单独的一个数也是单项式，单项式属于整式； (2) √ 一次项 3x，常数项 -2，共两项； (1) × 项包括前面的符号，应该是 x²、2x、-1； 【解析】 (6) 整式包括单项式和多项式。（ ） (5) 多项式 x³ + 2x² - 5 的次数是 6；（ ） (4) 多项式 2x² - xy + y² 是二次三项式；（ ） (3) 0 是单项式，也是多项式；（ ） (2) 多项式 3x - 2 是一次二项式；（ ） (1) 多项式 x² + 2x - 1 的项是 x²、2x、1；（ ） 【例1】判断下列说法是否正确： 题型一：多项式的识别与判断 六、错误诊所 【正解】三，三（三次三项式） 常数项的次数是0次（因为可以看作字母的0次幂与常数的积），但它仍然是一项。 【错因分析】多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，常数项也是一项。 【错解】三，二（认为常数项5没有次数，所以不算一项） 例3：多项式 2x³ - x² + 5 是____次____项式。 【易错点3】误认为常数项没有次数 【正解】C 最高次项是 -2x³y²，次数是5。 各项次数分别为：3x²y（3次）、-2x³y²（5次）、xy（2次）、-5（0次）。 【错因分析】多项式的次数是"次数最高项的次数"，而不是所有字母的指数之和。 【错解】D A. 3次 B. 4次 C. 5次 D. 6次 例2：多项式 3x²y - 2x³y² + xy - 5 的次数是（ ） 【易错点2】对多项式次数的概念理解错误 【正解】B 【错因分析】多项式的每一项都包括它前面的符号。在 3x² - 2x + 1 中，第二项是 -2x，不是 2x。 【错解】A C. 3x², 2x, -1 D. -3x², -2x, -1 A. 3x², 2x, 1 B. 3x², -2x, 1 例1：多项式 3x² - 2x + 1 的各项是（ ） 【易错点1】确定多项式的项时忽略符号 七、达标检测 A组 基础巩固 1. B 2. B 3. A （最高次项 3x³ 和 -2x²y 都是3次） 4. B 5. C （①②③⑤⑥⑦是整式，共6个？不对：-5、x、2x+3、x²y、x+、，共6个，选D） 5修正. D （6个：-5、x、2x+3、x²y、x+、） 6. 3x-1：项为3x、-1；最高次项3x；常数项-1；一次二项式x²-xy+y²：项为x²、-xy、y²；最高次项x²、-xy、y²；常数项无；二次三项式2x³y-3x²+5：项为2x³y、-3x²、5；最高次项2x³y（4次）；常数项5；四次三项式-a+2b-3c：项为-a、2b、-3c；最高次项都是1次；常数项无；一次三项式 7. (1) √ (2) ×（3次） (3) ×（常数项是-2） (4) √ (5) ×（0是单项式，也是多项式） B组 能力提升 8. B （k+1=0，k=-1） 9. A （|m|=2且m+2≠0，所以m=2） 10. B （m+1=4，m=3） 11. 1 （k-1=0，k=1） 12. 由二次三项式可知：三次项不存在（系数为0），二次项存在。所以 a-4=0，即 a=4；且 b=2（最高次为二次，且 - 必须存在，即b=2）。检验：当a=4，b=2时，多项式为 -x² + x - 2，是二次三项式。 C组 拓展创新 13. (1) 第6个多项式是 x⁶ + 6；第n个是 + n(2) 第2024个多项式是 2024次二项式 14. (1) 2x² + 3x - 1（答案不唯一，一次项系数任意）(2) -x²y + xy + 1（答案不唯一，只要三次项系数为-1即可）(3) 2x² - 5x - 2（答案不唯一，二次项系数和常数项互为相反数即可） 八、中考链接 真题1. B 真题2. B 真题3. A 九、数学文化 （略，阅读了解） 十、小结与反思 （略，自行总结） 学科网（北京）股份有限公司 $