4.2.3 整式的加减综合运算与实际应用（第33课时）学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦整式的加减综合运算与实际应用，通过购物情境导入引出问题，结合知识回顾整式加减的一般步骤（列式、去括号、合并同类项、结果），搭建前后知识联系的学习支架。 资料特色在于情境贴近生活，合作探究突出整体思想，错误诊所归纳易错点，达标检测分层次且含中考链接，辅以图示帮助理解。能培养学生运算能力和模型意识，提升用数学语言表达实际问题的能力，渗透数学文化。

4.2.3 整式的加减综合运算与实际应用 一、学习目标 【知识技能】熟练掌握整式加减的运算法则，能正确进行整式的加减运算； 能运用整式的加减解决简单的实际问题。 【数学思考】经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，发展符号意识和应用意识。 【问题解决】能综合运用去括号、合并同类项等知识进行整式的化简与求值； 能运用整式加减解决实际生活中的数量关系问题。 【核心素养】通过整式加减的综合应用，培养运算能力和推理能力， 体会数学的应用价值，发展数学建模素养。 二、学习重难点 【重点】整式的加减运算（去括号、合并同类项的综合运用）； 运用整式加减解决实际问题。 【难点】根据实际问题中的数量关系正确列出代数式； 整体思想在整式加减中的应用。 三、情境导入 【生活情境】购物中的数学 小明去文具店买文具，已知每支铅笔 a 元，每本笔记本 b 元。 问题1：小明买了3支铅笔和2本笔记本，一共花了多少钱？ 问题2：如果小明买了 x 支铅笔和 y 本笔记本，付款 50 元， 应找回多少钱？ 问题3：如果铅笔打8折，笔记本打9折，买 m 支铅笔和 n 本笔记本， 需要多少钱？ 这些问题都可以用整式的加减来解决！今天我们就来学习 整式的加减综合运算及其在实际生活中的应用。 图1：整式加减的一般步骤 【知识回顾】整式加减的一般步骤 1. 列式：根据题意列出代数式； 2. 去括号：按去括号法则去掉括号； 3. 合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变； 4. 结果：化成最简形式（通常按某个字母的降幂排列）。 注意：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来， 再用加减号连接，然后去括号、合并同类项。 四、合作探究 探究点1：整式的加减运算 【活动1】计算： (1) (2x² - 3x + 1) + (-x² + 2x - 3) (2) (3a²b - 2ab²) - (4a²b - 5ab²) (3) 2(x - y) + 3(x + y) - 4(x - 2y) 【方法归纳】整式加减运算技巧 ① 列式时要把每个整式用括号括起来，再用加减号连接； ② 去括号时要注意符号，特别是括号前是负号的情况； ③ 合并同类项时要找准同类项，不要漏项； ④ 可以把相同的括号内的式子看作整体，简化计算； ⑤ 最后结果要化成最简形式，没有同类项可合并。 探究点2：化简求值 图2：化简求值解题思路 【活动2】先化简，再求值： 3(2x²y - xy²) - (5x²y + 2xy²)，其中 x = -1，y = 2。 【解题示范】 解：3(2x²y - xy²) - (5x²y + 2xy²) = 6x²y - 3xy² - 5x²y - 2xy² （去括号） = (6-5)x²y + (-3-2)xy² （合并同类项） = x²y - 5xy² （最简形式） 当 x = -1，y = 2 时， 原式 = (-1)² × 2 - 5 × (-1) × 2² = 1 × 2 - 5 × (-1) × 4 = 2 + 20 = 22 【活动3】已知 x + 2y = 3，求 3x + 6y - 4 的值。 【整体思想】 分析：题目没有给出x和y的具体值，只给出了x+2y的值， 我们可以把x+2y看作一个整体，代入所求的代数式。 解：因为 x + 2y = 3， 所以 3x + 6y - 4 = 3(x + 2y) - 4 = 3 × 3 - 4 = 9 - 4 = 5 技巧：观察已知式和所求式的关系，利用整体代入的思想， 可以简化计算，提高效率。 探究点3：整式加减的实际应用 图3：实际问题分析思路 【活动4】如图，一个长方形的长为 (a + b)，宽为 (a - b)， 在长方形内部挖去一个边长为 b 的正方形，求剩余部分的面积。 分析：剩余面积 = 长方形面积 - 正方形面积 长方形面积 = 长 × 宽 = (a + b)(a - b) 正方形面积 = b² 五、典型例题 题型一：整式的加减运算 【例1】计算： (1) (3x² - 2x + 1) + (5 - x - 3x²) (2) (2a²b - 3ab²) - 2(a²b - ab²) + 3ab² (3) 3(x² - 2xy) - 2(-3xy + y²) + (x² - y²) 【解析】 (1) (3x² - 2x + 1) + (5 - x - 3x²) = 3x² - 2x + 1 + 5 - x - 3x² （去括号） = (3-3)x² + (-2-1)x + (1+5) （合并同类项） = -3x + 6 （最简结果） (2) (2a²b - 3ab²) - 2(a²b - ab²) + 3ab² = 2a²b - 3ab² - 2a²b + 2ab² + 3ab² （去括号） = (2-2)a²b + (-3+2+3)ab² （合并同类项） = 2ab² （最简结果） (3) 3(x² - 2xy) - 2(-3xy + y²) + (x² - y²) = 3x² - 6xy + 6xy - 2y² + x² - y² （去括号） = (3+1)x² + (-6+6)xy + (-2-1)y² （合并同类项） = 4x² - 3y² （最简结果） 题型二：化简求值 【例2】先化简，再求值： 已知 A = 3x² - 2x + 1，B = 2x² - x - 3， 求 2A - 3B 的值，其中 x = -2。 【解析】 2A - 3B = 2(3x² - 2x + 1) - 3(2x² - x - 3) = 6x² - 4x + 2 - 6x² + 3x + 9 （去括号） = -x + 11 （合并同类项） 当 x = -2 时， 原式 = -(-2) + 11 = 2 + 11 = 13 题型三：实际应用 【例3】某商店有一种商品，每件成本为 a 元， 按成本价提高 20% 后标价，再按标价的 9 折出售。 (1) 每件商品的售价是多少元？ (2) 每件商品的利润是多少元？ (3) 如果卖出 100 件，总利润是多少元？ 【解析】 (1) 标价 = a × (1 + 20%) = 1.2a 售价 = 标价 × 0.9 = 1.2a × 0.9 = 1.08a（元） (2) 利润 = 售价 - 成本 = 1.08a - a = 0.08a（元） (3) 总利润 = 0.08a × 100 = 8a（元） 题型四：整体思想的应用 【例4】已知 a² + ab = 3，ab + b² = 1， 试求：(1) a² + 2ab + b² 的值；(2) a² - b² 的值。 【解析】观察已知条件和所求式子的关系，用整体思想： (1) a² + 2ab + b² = (a² + ab) + (ab + b²) = 3 + 1 = 4 (2) a² - b² = (a² + ab) - (ab + b²) = 3 - 1 = 2 六、错误诊所 【易错点1】列式时忘记添加括号 例1：求多项式 2x² - 3x + 1 与 -x² + 2x - 5 的差。 【错解】2x² - 3x + 1 - x² + 2x - 5 = x² - x - 4 【错因分析】求两个多项式的差时，每个多项式都要看作一个整体，要加括号。 错在第二个多项式没有加括号，导致符号全部错误。 【正解】(2x² - 3x + 1) - (-x² + 2x - 5) = 2x² - 3x + 1 + x² - 2x + 5 = 3x² - 5x + 6 【易错点2】整式加减时，不是同类项也强行合并 例2：化简：3x² + 2x - 5x² - 3 + x 【错解】原式 = (3x² - 5x²) + (2x + x) - 3 = -2x² + 3x - 3 = -2x 【错因分析】最后一步错误地把不是同类项的 -2x²、3x、-3 合并了。 只有同类项才能合并，不是同类项不能合并。 【正解】原式 = -2x² + 3x - 3 【易错点3】代入求值时，负数或分数忘记加括号 例3：当 x = -2 时，求代数式 x² - 2x + 1 的值。 【错解】当 x = -2 时，原式 = -2² - 2×(-2) + 1 = -4 + 4 + 1 = 1 【错因分析】代入负数时，底数是负数的乘方要加括号。x² 中 x = -2 时，应是 (-2)² = 4，而不是 -2² = -4。 【正解】当 x = -2 时，原式 = (-2)² - 2×(-2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9 【易错点1】去括号时符号错误 病例：计算 (2x - 3y) - (x - 2y) 错解：(2x - 3y) - (x - 2y) = 2x - 3y - x - 2y = x - 5y 诊断：去第二个括号时，括号前是负号，括号内各项都要变号。 -2y 应该变成 +2y。 正解：(2x - 3y) - (x - 2y) = 2x - 3y - x + 2y = x - y 警示：括号前是负号，去括号要变号，每一项都不能漏！ 【易错点2】漏乘括号内的项 病例：计算 3(2x² - x) - 2(x² + 3x) 错解：3(2x² - x) - 2(x² + 3x) = 6x² - x - 2x² + 3x = 4x² + 2x 诊断：两处错误：① 3没有乘-x，应该是-3x； ② -2没有乘+3x，应该是-6x。 正解：3(2x² - x) - 2(x² + 3x) = 6x² - 3x - 2x² - 6x = 4x² - 9x 警示：括号外的因数要乘遍括号内的每一项，不要漏乘！ 【易错点3】列式时忘记加括号 病例：求多项式 2x - 3y 与 5x + 4y 的和。 错解：2x - 3y + 5x + 4y = 7x + y（结果虽然对，但过程不严谨） 诊断：列式时应该把每个多项式用括号括起来，表示整体。 虽然这道题结果正确，但如果是减法就容易出错。 正解：(2x - 3y) + (5x + 4y) = 2x - 3y + 5x + 4y = 7x + y 警示：几个整式相加减，列式时一定要用括号把每个整式括起来！ 【易错点4】实际问题中单位不统一 病例：一个长方形的长是 a 米，宽是 b 分米，求周长。 错解：周长 = 2(a + b) 米 诊断：单位不统一，长的单位是米，宽的单位是分米， 需要先统一单位再计算。 正解：b 分米 = 0.1b 米，周长 = 2(a + 0.1b) = 2a + 0.2b 米 警示：解决实际问题时，一定要注意单位是否统一！ 七、达标检测 A组 基础巩固 1. 计算 (3a² + 2a - 1) - (a² - 3a + 2) 的结果是（ ） A. 2a² + 5a - 3 B. 2a² - a + 1 C. 2a² + 5a + 3 D. 2a² - a - 3 2. 化简 -2(x - y) + 3(x + y) 的结果是（ ） A. x + y B. x + 5y C. -x + y D. -x + 5y 3. 一个多项式减去 x² - 2x + 1 得 2x² - 3x - 5，则这个多项式是（ ） A. x² - x - 6 B. 3x² - 5x - 4 C. x² + x - 4 D. 3x² - 5x + 4 4. 若 x² + 3x = 2，则 2x² + 6x + 5 的值是（ ） A. 9 B. 10 C. 7 D. 8 5. 计算： (1) (x + 2y) - (3x - y) = __________ (2) 2(a² - 2ab) - 3(ab - a²) = __________ 6. 先化简，再求值：2(x²y + xy) - 3(x²y - xy) - 4x²y，其中 x = 1，y = -1。 7. 一个长方形的长是 (2a + 3b)，宽是 (a + b)，求这个长方形的周长。 B组 能力提升 8. 若 M = 3x² - 2xy + y²，N = 2x² + xy - 3y²，则 M - N 等于（ ） A. x² - 3xy + 4y² B. x² - xy - 2y² C. 5x² - xy - 2y² D. 5x² - 3xy + 4y² 9. 已知 a - b = 1，a - c = 2，则 (b - c)³ - 3(b - c) + 2 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -2 D. -4 10. 已知 A = x² - 2x + 1，B = 2x² - 3x - 1，求 A - 2B。 11. 若多项式 2x³ - 8x² + x - 1 与多项式 3x³ + 2mx² - 5x + 3 的和不含二次项， 求 m 的值。 12. 某工厂第一季度的产值为 a 万元，第二季度比第一季度增长了 10%， 第三季度比第二季度减少了 10%，第三季度的产值是多少？ C组 拓展创新 13. 【规律探究】观察下列各式： 1³ = 1² 1³ + 2³ = 3² 1³ + 2³ + 3³ = 6² 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 10² …… (1) 请写出第 5 个式子； (2) 第 n 个式子是什么？（用含 n 的式子表示） 14. 【方案选择】某公园的成人票价每张 20 元，儿童票价每张 10 元。 甲旅行团有 x 名成人和 y 名儿童；乙旅行团的成人数是甲团的 2 倍， 儿童数是甲团的一半。 (1) 两个旅行团的门票费用总和是多少元？ (2) 若 x = 20，y = 10，两个旅行团一共需要多少门票钱？ (3) 如果团体票打 8 折，两个团一起买票比单独买票省多少钱？ 八、中考链接 【中考真题1】（2023·浙江中考） 计算 2(x + y) - 3(x - y) 的结果正确的是（ ） A. -x + y B. -x + 5y C. -x - y D. -x - 5y 【解析】2(x+y) - 3(x-y) = 2x + 2y - 3x + 3y = -x + 5y 答案：B 【中考真题2】（2024·四川中考） 已知 x - y = 3，则 3 - 2x + 2y = ______。 【解析】3 - 2x + 2y = 3 - 2(x - y) = 3 - 2×3 = 3 - 6 = -3 答案：-3 【中考真题3】（2023·广东中考） 某商店在甲批发市场以每件 m 元的价格购进了 20 件衬衫， 又在乙批发市场以每件 n 元 (m > n) 的价格购进了同样的 40 件衬衫。 如果商店以每件 (m+ 元的价格卖出这些衬衫，那么这家商店（ ） A. 盈利了 B. 亏损了 C. 不盈不亏 D. 盈亏不能确定 【解析】 总成本 = 20m + 40n 元 总收入 = (20+40) × (m+ = 60 × (m+ = 30(m+n) = 30m + 30n 元 利润 = 总收入 - 总成本 = (30m+30n) - (20m+40n) = 10m - 10n = 10(m-n) 因为 m > n，所以 m - n > 0，利润 > 0，盈利了。 答案：A 九、数学文化 【数学史话】代数学的发展历程 代数学是数学中最古老的分支之一，它的发展经历了漫长的历史。 1. 古巴比伦的代数成就 早在公元前1800年左右，古巴比伦人就已经能够解一元二次方程了。 他们用楔形文字在泥板上记录了许多数学问题和解法， 包括二次方程、方程组，甚至三次方程的问题。 2. 古希腊的代数 古希腊数学家丢番图（Diophantus，约246—330年）被称为"代数学之父"。 他的著作《算术》是古代最重要的代数著作之一， 书中首次使用了符号来表示未知数和运算。 3. 中国古代的代数成就 中国古代数学在代数学方面也取得了辉煌的成就。 《九章算术》中记载了许多方程问题， 宋元时期的数学家李冶、朱世杰等人发展了"天元术"和"四元术"， 可以解高次方程和多元方程组，比西方早了几百年。 4. 符号代数的建立 16世纪，法国数学家韦达（François Viète）创立了符号代数， 用字母表示已知数和未知数。笛卡尔进一步完善了符号体系， 形成了我们今天使用的代数符号系统。 5. 代数学的现代发展 现在，代数学已经发展成为一个庞大的数学分支，包括初等代数、 高等代数、线性代数、抽象代数等众多领域， 在物理、计算机科学、经济学等领域都有广泛的应用。 我们今天学习的整式的加减，是整个代数学的基础， 它看似简单，却蕴含着深刻的数学思想。 十、小结与反思 【知识梳理】 • 整式加减的一般步骤：列式 → 去括号 → 合并同类项 → 最简结果 • 去括号法则：遇"加"不变，遇"减"都变；数字因数要乘遍每一项。 • 合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变。 • 化简求值：先化简，再代入，计算更简便。 • 整体思想：把某些代数式看作整体，代入求值，简化计算。 • 实际应用：分析数量关系，列出代数式，再进行运算。 【方法技巧】 • 整式加减的结果要化为最简形式，即没有同类项可合并； • 化简求值题，先化简再代入，比直接代入更简便； • 遇到"比...多（少）"、"是...的几倍"等关键词，要注意列式顺序； • 整体代入是重要的数学思想，要善于观察已知和未知的关系； • 实际问题中要注意单位统一，最后结果要带单位。 【易错警示】 1. 去括号时符号错误，特别是括号前有负号和数字因数的情况； 2. 漏乘括号内的某些项，只乘了第一项，漏乘后面的项； 3. 列式时忘记给多项式加括号，导致运算顺序错误； 4. 合并同类项时找错同类项，或者系数计算错误； 5. 实际问题中单位不统一，或者没有写单位； 6. 整体代入时符号处理错误。 【学习反思】 □ 我掌握了整式加减的一般步骤 □ 我能正确进行整式的加减运算 □ 我能进行整式的化简求值 □ 我能运用整体思想解决问题 □ 我能运用整式加减解决实际问题 我的困惑：________________________________________________ 我的收获：________________________________________________ 参考答案 一、学习目标 （略，见正文） 二、学习重难点 （略，见正文） 三、情境导入 问题答案. 问题1：3a + 2b 元问题2：50 - (ax + by) 元问题3：0.8am + 0.9bn 元 四、合作探究 活动1答案. (1) 原式 = 2x² - 3x + 1 - x² + 2x - 3 = x² - x - 2(2) 原式 = 3a²b - 2ab² - 4a²b + 5ab² = -a²b + 3ab²(3) 原式 = 2x - 2y + 3x + 3y - 4x + 8y = x + 9y 活动2答案. 化简结果：x²y - 5xy²；当x=-1,y=2时，值为22 活动3答案. 值为5 活动4答案. 剩余面积 = (a+b)(a-b) - b² = a² - b² - b² = a² - 2b² 五、典型例题 题型一：整式的加减运算 【例1】计算： (1) (3x² - 2x + 1) + (5 - x - 3x²) (2) (2a²b - 3ab²) - 2(a²b - ab²) + 3ab² (3) 3(x² - 2xy) - 2(-3xy + y²) + (x² - y²) 【解析】 (1) (3x² - 2x + 1) + (5 - x - 3x²) = 3x² - 2x + 1 + 5 - x - 3x² （去括号） = (3-3)x² + (-2-1)x + (1+5) （合并同类项） = -3x + 6 （最简结果） (2) (2a²b - 3ab²) - 2(a²b - ab²) + 3ab² = 2a²b - 3ab² - 2a²b + 2ab² + 3ab² （去括号） = (2-2)a²b + (-3+2+3)ab² （合并同类项） = 2ab² （最简结果） (3) 3(x² - 2xy) - 2(-3xy + y²) + (x² - y²) = 3x² - 6xy + 6xy - 2y² + x² - y² （去括号） = (3+1)x² + (-6+6)xy + (-2-1)y² （合并同类项） = 4x² - 3y² （最简结果） 题型二：化简求值 【例2】先化简，再求值： 已知 A = 3x² - 2x + 1，B = 2x² - x - 3， 求 2A - 3B 的值，其中 x = -2。 【解析】 2A - 3B = 2(3x² - 2x + 1) - 3(2x² - x - 3) = 6x² - 4x + 2 - 6x² + 3x + 9 （去括号） = -x + 11 （合并同类项） = -x + 11 （合并同类项） = -x + 11 （合并同类项） 当 x = -2 时， 原式 = -(-2) + 11 = 2 + 11 = 13 题型三：实际应用 【例3】某商店有一种商品，每件成本为 a 元， 按成本价提高 20% 后标价，再按标价的 9 折出售。 (1) 每件商品的售价是多少元？ (2) 每件商品的利润是多少元？ (3) 如果卖出 100 件，总利润是多少元？ 【解析】 (1) 标价 = a × (1 + 20%) = 1.2a 售价 = 标价 × 0.9 = 1.2a × 0.9 = 1.08a（元） (2) 利润 = 售价 - 成本 = 1.08a - a = 0.08a（元） (3) 总利润 = 0.08a × 100 = 8a（元） 题型四：整体思想的应用 【例4】已知 a² + ab = 3，ab + b² = 1， 试求：(1) a² + 2ab + b² 的值；(2) a² - b² 的值。 【解析】观察已知条件和所求式子的关系，用整体思想： (1) a² + 2ab + b² = (a² + ab) + (ab + b²) = 3 + 1 = 4 (2) a² - b² = (a² + ab) - (ab + b²) = 3 - 1 = 2 六、错误诊所 【易错点1】列式时忘记添加括号 例1：求多项式 2x² - 3x + 1 与 -x² + 2x - 5 的差。 【错解】2x² - 3x + 1 - x² + 2x - 5 = x² - x - 4 【错因分析】求两个多项式的差时，每个多项式都要看作一个整体，要加括号。 错在第二个多项式没有加括号，导致符号全部错误。 【正解】(2x² - 3x + 1) - (-x² + 2x - 5) = 2x² - 3x + 1 + x² - 2x + 5 = 3x² - 5x + 6 【易错点2】整式加减时，不是同类项也强行合并 例2：化简：3x² + 2x - 5x² - 3 + x 【错解】原式 = (3x² - 5x²) + (2x + x) - 3 = -2x² + 3x - 3 = -2x 【错因分析】最后一步错误地把不是同类项的 -2x²、3x、-3 合并了。 只有同类项才能合并，不是同类项不能合并。 【正解】原式 = -2x² + 3x - 3 【易错点3】代入求值时，负数或分数忘记加括号 例3：当 x = -2 时，求代数式 x² - 2x + 1 的值。 【错解】当 x = -2 时，原式 = -2² - 2×(-2) + 1 = -4 + 4 + 1 = 1 【错因分析】代入负数时，底数是负数的乘方要加括号。x² 中 x = -2 时，应是 (-2)² = 4，而不是 -2² = -4。 【正解】当 x = -2 时，原式 = (-2)² - 2×(-2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9 七、达标检测 A组 基础巩固 1. A 2. B 3. B （被减数 = 差 + 减数 = 2x²-3x-5 + x²-2x+1 = 3x²-5x-4） 4. A （2x²+6x+5 = 2(x²+3x) + 5 = 2×2+5 = 9） 5. (1) -2x + 3y (2) 5a² - 7ab 6. 化简：2x²y + 2xy - 3x²y + 3xy - 4x²y = -5x²y + 5xy；当x=1,y=-1时，原式 = -5×1×(-1) + 5×1×(-1) = 5 - 5 = 0 7. 周长 = 2[(2a+3b) + (a+b)] = 2(3a+4b) = 6a + 8b B组 能力提升 8. A 9. A （b-c = (a-c) - (a-b) = 2 - 1 = 1 代入得：1³ - 3×1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0） 10. A - 2B = (x²-2x+1) - 2(2x²-3x-1) = x²-2x+1 - 4x²+6x+2 = -3x² + 4x + 3 11. 和 = (2x³-8x²+x-1) + (3x³+2mx²-5x+3) = 5x³ + (2m-8)x² - 4x + 2 不含二次项，则 2m - 8 = 0，m = 4 12. 第二季度：a(1+10%) = 1.1a；第三季度：1.1a(1-10%) = 1.1a×0.9 = 0.99a（万元） C组 拓展创新 13. (1) 1³+2³+3³+4³+5³ = 15²；(2) 1³+2³+…+n³ = [n（n+）]² 14. (1) 甲团费用：20x + 10y，乙团费用：40x + 5y总和：(20x+10y) + (40x+5y) = 60x + 15y 元(2) 当x=20,y=10时，60×20 + 15×10 = 1200 + 150 = 1350 元(3) 原价总和1350元，打8折后：1350×0.8 = 1080元节省：1350 - 1080 = 270 元 八、中考链接 真题1. B 真题2. -3 真题3. A 九、数学文化 （略，阅读了解） 十、小结与反思 （略，自行总结） 学科网（北京）股份有限公司 $