4.1.1 单项式（第29课时）学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“单项式”核心内容，通过校园生活情境（如操场面积、铅笔价格等）引导学生从具体问题抽象代数式，观察共同特点生成单项式概念，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接代数式基础与后续整式学习。 资料特色在于情境导入发展符号意识，合作探究结合错误诊所，通过“病例诊断”强化对系数（含符号、π）和次数（字母指数和）的准确理解，分层达标检测与中考链接提升应用意识，培养抽象能力和推理意识，助力学生扎实掌握概念并灵活应用。

4.1.1 单项式 一、学习目标 【知识技能】理解单项式的概念，能识别单项式，掌握单项式的系数和次数的概念， 能准确确定单项式的系数和次数。 【数学思考】经历从实际问题中抽象出单项式的过程，发展符号意识，体会从具体到抽象的数学思想。 【问题解决】能根据单项式的概念判断一个代数式是否为单项式，能根据条件写出符合要求的单项式。 【核心素养】通过单项式概念的形成过程，培养观察、分析、归纳的能力，发展数学抽象素养。 二、学习重难点 【重点】单项式的概念，单项式的系数和次数。 【难点】准确识别单项式的系数和次数，特别是系数为1或-1、单独的数或字母的情况。 三、情境导入 【生活情境】校园里的数学问题 我们的校园里有很多数学问题，让我们用代数式来表示： 1. 学校长方形操场的长为 a 米，宽为 b 米，则操场的面积是______平方米； 2. 正方形花坛的边长为 x 米，则花坛的面积是______平方米； 3. 每支铅笔的价格是 m 元，买 n 支铅笔需要______元； 4. 汽车的速度是 v 千米/时，行驶 t 小时的路程是______千米； 5. 棱长为 a 的正方体的体积是______； 6. 有理数 n 的相反数是______。 观察上面列出的代数式，它们有什么共同特点？ 图1：单项式的组成结构 【概念生成】单项式的定义 定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。 特别规定：单独的一个数或者一个字母也是单项式。 例如：3x，-5ab²，xy，a，-m，7，πr² 等都是单项式。 注意： ① 单项式中只含有乘法（包括乘方）运算，不含有加、减运算； ② 单项式中可以含有除以数的运算，但不能含有除以字母的运算； ③ π是一个常数（圆周率），不是字母。 四、合作探究 探究点1：单项式的识别 【活动】判断下列代数式哪些是单项式，哪些不是，并说明理由。 (1) 3x² (2) 2x + 1 (3) ab (4) -y (5) (6) 0 (7) (8) 3a + 2b (9) πr² (10) a+ (11) -2xy³ (12) + 2 图2：单项式判断正误对比 【方法归纳】判断单项式的技巧 一看：代数式中是否只含有乘法（包括乘方）和数字作除数的除法运算； 二查：检查是否含有加、减运算，或者字母作除数的除法运算； 三注意： ① 单独的一个数或一个字母也是单项式； ② π是常数，不是字母； ③ 分母中含有字母的式子一定不是单项式。 探究点2：单项式的系数 【概念】单项式的系数 定义：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 例如： 单项式 3x 的系数是 3； 单项式 -5ab² 的系数是 -5； 单项式 xy 的系数是 ； 单项式 a 的系数是 1（省略不写）； 单项式 -m 的系数是 -1（1省略不写）； 单项式 πr² 的系数是 π（π是常数）。 【特别提醒】系数注意事项 ① 单项式的系数包括它前面的符号； ② 当系数是 1 或 -1 时，"1"通常省略不写，但不能认为没有系数； ③ 当系数是带分数时，要写成假分数的形式； ④ π是常数，不是字母，所以 π 是系数的一部分。 探究点3：单项式的次数 图3：单项式的系数与次数计算 【概念】单项式的次数 定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 例如： 单项式 3x 的次数是 1（x 的指数是 1）； 单项式 -5ab² 的次数是 1+2 = 3（a的指数1，b的指数2）； 单项式 x²y³ 的次数是 2+3 = 5； 单项式 a 的次数是 1； 单项式 7 的次数是 0（非零常数的次数是0）。 【特别提醒】次数注意事项 ① 单项式的次数只与字母的指数有关，与系数无关； ② 字母的指数是1时，通常省略不写，计算次数时不能漏掉； ③ 单独一个非零数的次数是0（可以理解为字母的指数都是0）； ④ 注意：0是单项式，但0的次数没有意义（或说不确定）。 【做一做】填表练习 请填写下表中各单项式的系数和次数： 单项式 3x -5ab² xy a -m 7 系数 次数 五、典型例题 题型一：单项式的识别 【例1】判断下列各式哪些是单项式： (1) -5 (2) a (3) a²b (4) x + y (5) (6) -ab (7) 7 - y (8) πr² (9) 0 (10) 【解析】根据单项式的定义判断： 是单项式的有：(1) -5；(2) a；(3) a²b；(6) -ab；(8) πr²；(9) 0；(10) 不是单项式的有：(4) x+y（含加法）；(5) （分母含字母）；(7) 7-y（含减法） 题型二：确定单项式的系数和次数 【例2】指出下列单项式的系数和次数： (1) 3x³y (2) -2a²b³c (3) mn² (4) -x (5) 2πr (6) -3²x²y 【解析】 (1) 系数是 3，次数是 3+1 = 4； (2) 系数是 -2，次数是 2+3+1 = 6； (3) 系数是 ，次数是 1+2 = 3； (4) 系数是 -1，次数是 1； (5) 系数是 2π，次数是 1（π是常数）； (6) 系数是 -9（注意：-3² = -9），次数是 2+1 = 3。 题型三：根据条件写单项式 【例3】根据要求写出相应的单项式： (1) 写出一个系数为 -3，只含字母 x、y 的三次单项式； (2) 写出一个系数为正，含字母 a、b，次数为 4 的单项式； (3) 已知单项式 (m-2) y³ 是五次单项式，求 m 的值。 【解析】 (1) -3x²y 或 -3xy²（答案不唯一，只要次数和为3即可） (2) 例如：ab³、a²b²、a³b 等（答案不唯一） (3) 由题意得：|m| + 3 = 5，且 m - 2 ≠ 0 解得 |m| = 2，即 m = ±2 又因为 m - 2 ≠ 0，所以 m ≠ 2 所以 m = -2 六、错误诊所 【易错点1】对单项式的系数和次数概念理解不清 例1：判断正误： (1) 单项式 -ab 的系数是1，次数是2。（ ） (2) 单项式 2×10⁴x 的系数是2，次数是5。（ ） (3) 单项式 3πr² 的系数是3，次数是3。（ ） (4) 单项式 -3²x²y 的系数是-9，次数是3。（ ） 【错解】(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 【错因分析】 (1) -ab 的系数是-1，不是1，负号容易忽略； (2) 2×10⁴是系数的一部分，系数是2×10⁴（即20000），次数只看字母指数，x的次数是1，不是5； (3) π是常数，不是字母，所以系数是3π，次数是2； (4) -3² = -9，是系数，次数是2+1=3，这个是对的。 【正解】(1)× (2)× (3)× (4)√ 【易错点2】误认为分母中含字母的式子也是单项式 例2：下列各式中，是单项式的有______（填序号）。 ① -5 ② x/3 ③ 3/x ④ x² ⑤ (x+y)/2 ⑥ π 【错解】①②③④⑥ 【错因分析】单项式的定义是"数与字母的积的形式"，分母中不能含有字母。 ③ 3/x 是数与字母的商，不是积，所以不是单项式； ⑤ (x+y)/2 含有加法运算，是多项式，不是单项式。 【正解】①②④⑥ 【易错点1】把 π 当成字母 病例：指出单项式 πr² 的系数和次数。 错解：系数是 1，次数是 3（把 π 当成了字母）。 诊断：π 是圆周率，是一个常数，不是字母。πr² 中只有 r 是字母。 正解：系数是 π，次数是 2。 警示：π ≈ 3.14159……，是一个无限不循环小数，属于常数，不是字母！ 【易错点2】系数为1或-1时忽略符号 病例：指出单项式 -a³b 的系数和次数。 错解：系数是 1，次数是 4。 诊断：错误在于忽略了负号。-a³b = -1·a³b，系数应该是 -1。 正解：系数是 -1，次数是 4。 警示：当单项式的系数是 1 或 -1 时，"1" 省略不写，但负号不能省略！ 【易错点3】计算次数时漏加指数为1的字母 病例：指出单项式 2xy³ 的次数。 错解：次数是 3（只算了 y 的指数，漏掉了 x 的指数1）。 诊断：x 的指数是 1，只是省略不写，计算次数时要加上。 正解：次数是 1 + 3 = 4。 警示：字母的指数是 1 时省略不写，但计算次数时一定要记得加上！ 【易错点4】把系数的指数也算入次数 病例：指出单项式 -2³x²y 的次数。 错解：次数是 3+2+1 = 6（把系数中2的指数3也算进去了）。 诊断：单项式的次数是所有字母指数的和，系数的指数不算。 -2³ = -8，这是系数部分。 正解：次数是 2 + 1 = 3。 警示：次数只算字母的指数，系数的指数不要算进去！ 七、达标检测 A组 基础巩固 1. 下列代数式中，是单项式的是（ ） A. x + 1 B. x² + 2x C. D. -3a²b 2. 单项式 -2xy³ 的系数和次数分别是（ ） A. -2, 3 B. 2, 3 C. -2, 4 D. 2, 4 3. 下列说法正确的是（ ） A. 单项式 x 的系数是 0 B. 单项式 5 的次数是 1 C. -3 是单项式 D. 单项式 2πr 的次数是 2 4. 下列各组中的两个单项式，次数相同的是（ ） A. 3ab 与 -2xy² B. 5 与 x C. -x²y 与 xy² D. 3x² 与 3²x 5. 填表： 单项式 -5x 3a²b x²y -m abc -2²x³y 系数 次数 6. 判断下列说法是否正确（对的打"√"，错的打"×"）： (1) 单项式 a 的系数是 0，次数是 1。（ ） (2) 单项式 -3x²y 的系数是 3，次数是 2。（ ） (3) 单项式 5×10⁴x 的系数是 5。（ ） (4) 单独的一个字母不是单项式。（ ） (5) 单项式 的系数是 ，次数是 2。（ ） B组 能力提升 7. 在代数式 -x², 3xy, , x²y, 0, x+y, -5 中，单项式共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 8. 若单项式 3 y² 的次数是 5，则 n 的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 下列说法：① -a 一定是负数；② -a 的次数是 1；③ -a 是单项式；④ -a 的系数是 -1。 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 写出一个系数为 ，只含字母 x、y，且次数为 4 的单项式：________。 11. 已知 (m+1)x³ 是关于 x、y 的六次单项式，求 m 的值。 C组 拓展创新 12. 【规律探究】观察下列单项式： x, -2x², 3x³, -4x⁴, 5x⁵, -6x⁶, … (1) 第 7 个单项式是什么？第 10 个呢？ (2) 第 n 个单项式是什么？（用含 n 的式子表示） 13. 【开放题】有一个单项式，只含 a、b 两个字母，并且系数是 2，次数是 3。 (1) 请写出所有满足条件的单项式； (2) 若系数是 -2 呢？写出所有满足条件的单项式。 八、中考链接 【中考真题1】（2023·湖南岳阳中考） 单项式 -3x²y 的系数和次数分别是（ ） A. -3, 2 B. 3, 3 C. -3, 3 D. 3, 2 【解析】单项式 -3x²y 的数字因数是 -3，所以系数是 -3； 字母 x 的指数是 2，y 的指数是 1，所以次数是 2+1 = 3。 答案：C 【中考真题2】（2024·山东济宁中考改编） 如果单项式 3 y² 是五次单项式，则 m 的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【解析】由题意得，单项式的次数是 5，即 m + 2 = 5，解得 m = 3。 答案：B 【中考真题3】（2023·广东中考） 下列说法正确的是（ ） A. 单项式 x 的系数是 1，次数是 0 B. 单项式 -2³xy² 的次数是 6 C. 单项式 πr² 的次数是 2 D. 单项式 的系数是 ，次数是 1 【解析】 A. 单项式 x 的次数是 1，不是 0，故 A 错误； B. 单项式 -2³xy² 的次数是 1+2=3（系数的指数不算），故 B 错误； C. 单项式 πr² 的次数是 2（π是常数），故 C 正确； D. 单项式 的次数是 1+1=2，不是 1，故 D 错误。 答案：C 九、数学文化 【数学史话】代数学的发展与"代数"一词的由来 代数学是数学的一个重要分支，它的发展经历了漫长的历史过程。 1. 修辞代数时代（约公元前1700年—公元250年） 最早的代数问题可以追溯到古巴比伦和古埃及时期。那时人们完全用 文字来叙述和解决数学问题，没有使用符号。例如，古埃及的纸草书 中记载了这样的问题："一个量，加上它的，等于15，求这个量。" 2. 缩写代数时代（约公元250年—16世纪） 古希腊数学家丢番图（约246—330年）在其著作《算术》中，首次使 用了缩写符号来表示未知数和运算，被称为"代数学之父"。 中国古代数学也有辉煌的代数成就，如《九章算术》中的方程术、 宋元时期的天元术等。 3. 符号代数时代（16世纪至今） 法国数学家韦达（1540—1603）是第一个系统地用字母表示已知数和 未知数的数学家，被称为"近代代数学之父"。他的工作使得代数从 "修辞代数"发展到"符号代数"。 后来，笛卡尔（1596—1650）等人进一步完善了代数符号体系， 形成了我们今天使用的代数表示方法。 现在我们学习的单项式，就是符号代数中最基本的概念之一。 十、小结与反思 【知识梳理】 • 概念：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 • 系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，包括符号。 • 次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，只与字母有关。 • 特殊情况：非零常数的次数是 0；系数为 ±1 时，"1" 省略不写。 【方法技巧】 • 判断单项式：只含乘法（乘方）运算，不含加减，分母不含字母。 • 确定系数：找数字因数，注意符号和 π 的特殊性。 • 确定次数：算所有字母的指数和，指数为1不要漏，系数的指数不算。 • 写单项式：先定系数，再定字母，最后根据次数安排各字母的指数。 【易错警示】 1. 把 π 当成字母，实际上 π 是常数； 2. 忽略系数的符号，特别是系数为 -1 时； 3. 计算次数时漏掉指数为1的字母； 4. 把系数中数字的指数也算入单项式的次数； 5. 认为单独的数或字母不是单项式； 6. 分母中含有字母的式子误认为是单项式。 【学习反思】 □ 我理解了单项式的概念，能正确识别单项式 □ 我能准确说出单项式的系数 □ 我能准确计算单项式的次数 □ 我能根据条件写出符合要求的单项式 □ 我理解了 π 是常数不是字母 我的困惑：________________________________________________ 我的收获：________________________________________________ 参考答案 一、学习目标 （略，见正文） 二、学习重难点 （略，见正文） 三、情境导入 问题答案. 1. ab 2. x² 3. mn 4. vt 5. a³ 6. -n共同特点：都是数与字母的积的形式。 四、合作探究 探究点1 单项式识别. 是单项式的：(1) 3x² (3) ab (4) -y (6) 0 (7) (9) πr² (11) -2xy³不是单项式的：(2) 2x+1（含加法） (5) （分母含字母） (8) 3a+2b（含加法） (10) (a+（含加法） (12) +2（分母含字母且含加法） 探究点3 填表. 系数依次为：-5, 3, , -1, 1, -4次数依次为：1, 3, 3, 1, 3, 4 五、典型例题 所以 m = -2 又因为 m - 2 ≠ 0，所以 m ≠ 2 解得 |m| = 2，即 m = ±2 (3) 由题意得：|m| + 3 = 5，且 m - 2 ≠ 0 (2) 例如：ab³、a²b²、a³b 等（答案不唯一） (1) -3x²y 或 -3xy²（答案不唯一，只要次数和为3即可） 【解析】 (3) 已知单项式 (m-2) y³ 是五次单项式，求 m 的值。 (2) 写出一个系数为正，含字母 a、b，次数为 4 的单项式； (1) 写出一个系数为 -3，只含字母 x、y 的三次单项式； 【例3】根据要求写出相应的单项式： 题型三：根据条件写单项式 (6) 系数是 -9（注意：-3² = -9），次数是 2+1 = 3。 (5) 系数是 2π，次数是 1（π是常数）； (4) 系数是 -1，次数是 1； (3) 系数是 ，次数是 1+2 = 3； (2) 系数是 -2，次数是 2+3+1 = 6； (1) 系数是 3，次数是 3+1 = 4； 【解析】 (4) -x (5) 2πr (6) -3²x²y (1) 3x³y (2) -2a²b³c (3) mn² 【例2】指出下列单项式的系数和次数： 题型二：确定单项式的系数和次数 不是单项式的有：(4) x+y（含加法）；(5) （分母含字母）；(7) 7-y（含减法） 是单项式的有：(1) -5；(2) a；(3) a²b；(6) -ab；(8) πr²；(9) 0；(10) 【解析】根据单项式的定义判断： (6) -ab (7) 7 - y (8) πr² (9) 0 (10) (1) -5 (2) a (3) a²b (4) x + y (5) 【例1】判断下列各式哪些是单项式： 题型一：单项式的识别 六、错误诊所 【正解】①②④⑥ ⑤ 含有加法运算，是多项式，不是单项式。 ③ 是数与字母的商，不是积，所以不是单项式； 【错因分析】单项式的定义是"数与字母的积的形式"，分母中不能含有字母。 【错解】①②③④⑥ ① -5 ② ③ ④ x² ⑤ ⑥ π 例2：下列各式中，是单项式的有______（填序号）。 【易错点2】误认为分母中含字母的式子也是单项式 【正解】(1)× (2)× (3)× (4)√ (4) -3² = -9，是系数，次数是2+1=3，这个是对的。 (3) π是常数，不是字母，所以系数是3π，次数是2； (2) 2×10⁴是系数的一部分，系数是2×10⁴（即20000），次数只看字母指数，x的次数是1，不是5； (1) -ab 的系数是-1，不是1，负号容易忽略； 【错因分析】 【错解】(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (4) 单项式 -3²x²y 的系数是-9，次数是3。（ ） (3) 单项式 3πr² 的系数是3，次数是3。（ ） (2) 单项式 2×10⁴x 的系数是2，次数是5。（ ） (1) 单项式 -ab 的系数是1，次数是2。（ ） 例1：判断正误： 【易错点1】对单项式的系数和次数概念理解不清 七、达标检测 A组 基础巩固 1. D. -3a²b 2. C. -2, 4 3. C. -3 是单项式 4. C. -x²y 与 xy²（都是3次） 5. 系数：-5, 3, , -1, 1, -4次数：1, 3, 3, 1, 3, 4 6. (1) × 系数是1 (2) × 系数是-2，次数是3 (3) × 系数是5×10⁴ (4) × 单独的字母是单项式 (5) √ B组 能力提升 7. B. 4个 （-x², 3xy, x²y, -5 是单项式） 8. B. 3 （n+2=5，n=3） 9. C. 3个 （②③④正确，①错误，-a不一定是负数） 10. 答案不唯一，如 -x³y、-x²y²、-xy³ 等 11. 由题意得：3 + |m| = 6，且 m + 1 ≠ 0解得 |m| = 3，即 m = ±3又 m + 1 ≠ 0，所以 m ≠ -1所以 m = 3 或 m = -3 C组 拓展创新 12. (1) 第7个单项式是 7x⁷，第10个是 -10x¹⁰(2) 第 n 个单项式是 · n · 13. (1) 系数为2时：2a²b 和 2ab²(2) 系数为-2时：-2a²b 和 -2ab² 八、中考链接 真题1. C 真题2. B 真题3. C 九、数学文化 （略，阅读了解） 十、小结与反思 （略，自行总结） 学科网（北京）股份有限公司 $