25.2.1.2配方法（培优课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“配方法”，系统梳理定义、原理、步骤及注意点。通过直接开平方法复习和完全平方公式填空导入，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生理解配方法的形成脉络。 其亮点在于以“探究点”引导学生通过填一填发现配方规律，培养数学思维中的推理意识。例题分层呈现二次项系数为1与不为1的情况，结合“移常数、化系数、补平方、再开方”口诀总结，强化数学语言的模型意识。学生能掌握规范步骤，教师可利用分层练习提升教学效率。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 25.2.1.2配方法 第25章 一元二次方程 25.2.1.2 配方法 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 配方法定义：通过配方，将一元二次方程变形为$$(x+m)^2=n(n\geq0)$$的完全平方形式，再用直接开平方法求解的方法，是解一元二次方程的通用基础方法。 2. 配方核心原理：完全平方公式$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$，二次项系数为1时，方程左边加上“一次项系数一半的平方”，即可凑成完全平方式。 3. 标准解题步骤：①移项，将常数项移至等式右侧；②化二次项系数为1，方程两边同时除以二次项系数；③配方，两边加一次项系数一半的平方；④写成完全平方形式；⑤开方求解。 4. 关键注意点：配方时必须等式两边同时加同一个数，保证等式成立；若配方后右侧常数小于0，方程无实数根。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 用配方法解方程$$x^2-4x-1=0$$，配方后正确的是（ ） A. $$(x-2)^2=5$$ B. $$(x-2)^2=3$$ C. $$(x+2)^2=5$$ D. $$(x+2)^2=3$$ 2. 将$$x^2+6x$$配方成完全平方式，需要加上的数是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 （二）填空题 3. 方程$$x^2+2x-3=0$$配方后为$$(x+1)^2=$$________。 4. 用配方法解方程$$2x^2-4x=6$$，首先需要将方程两边同时除以________，化二次项系数为1。 三、提升练习题 （三）解答题 5. 用配方法解下列一元二次方程： （1）$$x^2-6x+5=0$$ （2）$$x^2+4x-7=0$$ 6. 用配方法解方程：$$2x^2-8x+2=0$$ 四、参考答案与解析 1. A 解析：移项得$$x^2-4x=1$$，两边加$$2^2=4$$，得$$(x-2)^2=5$$。 2. C 解析：一次项系数为6，一半为3，平方为9，即$$x^2+6x+9=(x+3)^2$$。 3. 4 解析：移项得$$x^2+2x=3$$，两边加1，得$$(x+1)^2=4$$。 4. 2 解析：方程二次项系数为2，配方第一步需除以2，化为$$x^2-2x=3$$。 5.（1）解：移项得$$x^2-6x=-5$$，配方加9，得$$(x-3)^2=4$$，开方得$$x-3=\pm2$$，解得$$x_1=5，x_2=1$$。 （2）解：移项得$$x^2+4x=7$$，配方加4，得$$(x+2)^2=11$$，开方解得$$x_1=-2+\sqrt{11}，x_2=-2-\sqrt{11}$$。 6. 解：两边除以2得$$x^2-4x+1=0$$，移项得$$x^2-4x=-1$$，配方加4得$$(x-2)^2=3$$，解得$$x_1=2+\sqrt{3}，x_2=2-\sqrt{3}$$。 总结：配方法核心口诀：移常数、化系数、补平方、再开方。二次项系数不为1时，必须先化1再配方，且配方务必保证等式两边等值变形，是后续学习求根公式的基础，需熟练掌握标准步骤。 学习目标 1.了解配方法的概念. (重点) 2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤. 3. 会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不 是1 的一元二次方程. (难点) 学习目标 (1) 9x2 = 1； (2) (x－2)2 = 2. 1. 用直接开平方法解下列方程： 2. 你还记得完全平方公式吗？填一填： (1) a2 + 2ab + b2 = ( )2； (2) a2 - 2ab + b2 = ( )2. a + b a − b 解：x1 = ，x2 = -. 解：x1 = 2 + ，x2 = 2 - . 1. 填上适当的数或式，使下列各等式成立. （1）x2 + 4x + = ( x + )2； （2）x2 − 6x + = ( x − )2； （3）x2 + 8x + = ( x + )2； （4） x2 − x + = ( x − )2. 你发现了什么规律？ 22 2 32 3 42 4 【填一填】 对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方式. 想一想 怎样解方程 x2 + 6x + 4 = 0 ？ 探究点：用配方法解方程 问题：能不能将方程 x2 + 6x + 4 = 0 变成 (x + n)2 = p 的形式呢？ 解： x2 + 6x + 4 = 0 x2 + 6x = −4 移项 x2 + 6x + 9 = −4 + 9 两边都加上 为什么在方程 x2 + 6x = −4 的两边加上 9 ？加其他的数，行吗？ (x + 3)2 = 5 左边写成完全平方的形式 x1 = -3 + ，或 x2 = -3 可以验证，-3±是方程 x2 + 6x + 4 = 0的两个根. 探究点：用配方法解方程 填一填： x2 + px + ( )2 = ( x + )2. 【配方关键】把握二次项系数为 1 的完全平方式的特点：常数项等于一次项系数一半的平方. 定义：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 【知识要点】 探究点：用配方法解方程 例1 解下列方程： 解：移项，得 x2 - 8x = -1. 配方，得 x2 - 8x + 42 = －1 + 42， 由此可得 (x - 4)2 = 15. (1) x² - 8x + 1 = 0; x - 4 = ±， x1 = 4 + ，或 x2 = 4 . 分析：(1) 方程的二次项系数为1，可直接运用配方法 探究点：用配方法解方程 (2) 2x2 + 1 = 3x； 解：移项，得 2x2－3x＝－1. (2)方程的二次项系数为 2，为了便于配方，可把二次项系数化为1. 为此，方程的两边都除以 2. 配方，得 二次项系数化为1，得 由此可得 探究点：用配方法解方程 (3) 3x2－6x＋4＝0. (3) 与 (2) 类似，方程的两边都除以 3 后再配方. (3) 移项，得 3x2－6x＝－4. 二次项系数化为1，得 x2－2x＝. 配方，得 x2－2x＋12＝＋12， (x－1)2＝. 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x－1)2 都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 探究点：用配方法解方程 ①当 p > 0 时，方程有两个不等的实数根 ②当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = -n. ③当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有 (x + n)2≥0，所以方程无实数根. 一般地，一个一元二次方程通过配方转化成 (x + n)2 = p. 探究点：用配方法解方程 1. 解方程： x2 - 2x - 5 = 0. 解： x2 - 2x -5 = 0， 移项，得 x2 - 2x = 5. 配方，得 (x - 1)2 = 6. 由此可得 x - 1 = ±， x1=1+， x2= 1. 探究点：用配方法解方程 【练一练】 2. 解下列方程： (1) x2 + 4x - 9 = 2x - 11； (2) x(x + 4) = 8x + 12； 解：(1)移项，得 x2 + 2x + 2 = 0， 配方，得 (x + 1)2 = -1. ∴ 此方程无解. (2) 整理移项，得 x2 - 4x - 12 = 0， 配方，得 (x - 2)2 = 16. 由此可得 x - 2 = ±4， ∴x1 = 6， x2 = -2. 探究点：用配方法解方程 (3) 4x2 - 6x - 3 = 0； (4) 3x2 + 6x - 9 = 0. x2 + 2x = 3， x1 = -3，x2 = 1. (3)移项，得 4x2 - 6x = 3， 配方，得 = . 二次项系数化为1，得 x2 - x = ， x1= ， x2= . (4)移项，得 3x2 + 6x = 9， 二次项系数化为1，得 配方，得 (x + 1)2 = 4. 由此可得 x + 1 = ±2， 由此可得 = ±. 探究点：用配方法解方程 3. 已知代数式 x2 + 1 的值与代数式 2x + 4 的值相等， 求 x 的值. 解：根据题意，得 x2 + 1 = 2x + 4. 整理，得 x2 − 2x = 3. 配方，得 (x − 1)2 = 4. 解得 x1 = −1，x2 = 3. 探究点：用配方法解方程 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 移常数项，并将二次项系数化为 1； ② 配完全平方式 [配上 ]； ③ 写成 (x + n)2 = p； ④ 直接开平方法解方程. 【归纳总结】 探究点：用配方法解方程 知识点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1. [2026清华附中期中] 用配方法解方程 ，变 形正确的是( ) A A. B. C. D. 中考考法 16 2. 若方程可配方成 的形式，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【点拨】，， ， ,，则 . 中考考法 17 3. 填空： （1）____ （___） ； （2）____ （___） ； （3）_ __ （__） ； （4）__ （__） . 25 5 36 6 中考考法 18 4.用配方法解方程： （1） ； 【解】 ， ， ， ， . 中考考法 19 （2） ; ， ， ， ， . 中考考法 20 （3） . , , , . 中考考法 21 定义 配方法 通过配完全平方式解一元二次方程的方法 步骤 二配完全平方式[配上____________] 实际应用 求代数式或字母的值 一移常数项，并将二次项系数化为__ 三写成 (x + n)2 = p 四直接开平方法解方程 1 $