精品解析：2026年河北省石家庄市第四十八中学初中毕业生升学文化课考试数学模拟试卷

2026年初中毕业生升学文化课考试数学模拟试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（每题3分，12个小题，共36分．） 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 甲同学对下列三角形的边长分别进行标注，那么他标注错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点，分别在直尺的，处．若点对应，直尺的0刻度位置对应，则点对应的数为（ ） A. 7 B. 6 C. 14 D. 12 5. 如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 的蔗糖溶液是生物课堂上的常用试剂，该试剂可利用的的蔗糖溶液加入的蒸馏水稀释而成，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，多边形ABCDE为圆内接正五边形，PA与圆相切于点A，的大小为（　　） A. B. C. D. 9. 已知，，则的值是（　　） A. 19 B. 18 C. 9 D. 7 10. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 11. 小明用正方形制作了一个七巧板如图1所示，又用这副七巧板拼成了一个平行四边形如图2，若正方形的对角线长是2，则该平行四边形的对角线的长是（ ） A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系中，将由点向点的移动称为“交错移动”．例如，点经过两次“交错移动”，先移动到点，再移动到点．下列各点中，无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算的结果是______． 14. 纳秒是非常小的时间单位，，北斗全球导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示是__________． 15. “里拉斜塔”是一种结构，可以搭建出伸出长度超过木板本身的塔，最上面的木板相对于最下面的木板，几乎是悬浮于空中．如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜塔”，每块木板都是完全相同的长方体，根据杠杆平衡原理可知，①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，按此规律，若每块木板的长度都为，则___________（填编号）号木板最多可伸出． 16. 如图，在矩形纸片中，，，为边上一点，将沿折叠，得到．点关于对称，若，则的度数为______． 三．解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 完成下列题目 （1）计算： （2）课堂上，老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集．请根据下面的“接力游戏”回答问题． 接力游戏老师 甲同学 乙同学 丙同学 丁同学 戊同学 ①在“接力游戏”中，乙同学是依据____________进行变形的． A．等式的基本性质B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质D．乘法对加法的分配律 ②在“接力游戏”中，出现错误的是______同学，请直接写出该不等式正确的解集________． ③请把不等式正确的解集表示在数轴上． 18. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A、B是关于n的多项式． 例：先去括号，再合并同类项： 解： （1）直接写出：①______，______； ②原式的运算结果为______； （2）若n为任意正整数，试说明的值总能被7整除． 19. 如图，C是线段的中点，． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 20. 某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：； b.该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30天的送外卖量（单位：单）如下： 甲 12 12 15 16 17 19 20 21 21 21 23 23 24 24 27 29 32 33 42 47 56 56 56 56 56 58 59 59 60 62 乙 18 23 24 25 25 26 27 28 29 31 34 35 36 38 38 38 39 39 39 39 39 39 39 39 43 43 44 45 46 48 c.甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 甲 35.2 56 乙 35.2 38 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）该快餐连锁店共有2000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对这30天送外卖量前400名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金； （3）该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25单开始，每送一单外卖提成10元． ①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资___________乙这30日的工资（填“”“”或“”）； ②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，甲应选择方案___________，乙应选择方案___________． 21. 如图，圆与圆都经过，两点，点在圆上，点是弧上的一点，连接并延长交圆于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，． 求圆的半径； 直接写出圆中弧的长． 22. 数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． （1）该小组先探究该函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 … 2 1.5 1.2 0.75 … ①表格中的_____； ②请在图3中画出对应的函数图象； （2）该小组综合图2和图3发现，随着的增大而_____；（填“增大”或“减小”） （3）若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 23. 如图所示，矩形中，，，把一块三角尺的直角顶点置于边上，，三角尺的两条直角边，分别交，两边于点，，连接．设． （1）当平分时，求的值； （2）①当，重合时， ； ②当，不重合时，求的值． （3）设线段的中点为，连接，，则与的数量关系为 ；再取的中点，连接，请直接写出线段的最小值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为和2，过点B作轴，与抛物线相交于点C，分别以，的长为边长向上方作矩形． （1）求抛物线的解析式； （2）将矩形先向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点C的对应点在抛物线上． ①求n关于m的函数解析式； ②若边与抛物线相交于点M，点M在抛物线对称轴的右侧，当时，求点的坐标； ③当边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的值或取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业生升学文化课考试数学模拟试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（每题3分，12个小题，共36分．） 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数．4的平方根是． 【详解】解：∵， ∴ 4的平方根是， 故选：C． 2. 我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形成为解题的关键． 根据主视图是从正面看到的图形即可解答． 【详解】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为 ． 故选：C． 3. 甲同学对下列三角形的边长分别进行标注，那么他标注错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】A．∵，故标注正确； B．∵，故标注正确； C．∵，故标注错误； D．∵，故标注正确． 故选：C． 4. 如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点，分别在直尺的，处．若点对应，直尺的0刻度位置对应，则点对应的数为（ ） A. 7 B. 6 C. 14 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，求出，相距的距离，结合题意可得直尺中是数轴上两个单位长度，即可得解． 【详解】解：∵数轴上点，分别在直尺的，处． ∴，相距， ∵点对应，直尺的0刻度位置对应， ∴直尺中是数轴上两个单位长度， ∴点对应的数为， 故选：C． 5. 如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得，可求出，由可得，进而求解． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种， 小亮和爸爸相邻而坐的概率是, 故选：C． 7. 的蔗糖溶液是生物课堂上的常用试剂，该试剂可利用的的蔗糖溶液加入的蒸馏水稀释而成，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据列方程即可． 【详解】解：∵的的蔗糖溶液加入的蒸馏水稀释成的蔗糖溶液， ∴可列方程． 8. 如图，多边形ABCDE为圆内接正五边形，PA与圆相切于点A，的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA，，先求出，再求出，根据切线的性质，即可求解， 本题考查了，正多边形与圆，切线的性质，解题的关键是：添加辅助线求出的度数． 【详解】解：如图，连接OA，， ∵多边形ABCDE为圆内接正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵PA为圆O的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 已知，，则的值是（　　） A. 19 B. 18 C. 9 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘方，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：C． 10. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：B． 11. 小明用正方形制作了一个七巧板如图1所示，又用这副七巧板拼成了一个平行四边形如图2，若正方形的对角线长是2，则该平行四边形的对角线的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了七巧板的特点，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和七巧板的特点． 延长，过点作于点，根据七巧板的特点求出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：延长，过点作于点，如图所示： 根据七巧板的特点可知，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 故选：B． 12. 在平面直角坐标系中，将由点向点的移动称为“交错移动”．例如，点经过两次“交错移动”，先移动到点，再移动到点．下列各点中，无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了平面直角坐标系中点的特征，解一元一次不等式组，根据题意设初始点，第一次“交错移动”后为点，第二次“交错移动”后为点，……以此类推，根据“交错移动”方式确定前四次移动后的点坐标，得出规律，再根据无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧列不等式，解不等式，即可解答． 【详解】解：设初始点，第一次“交错移动”后为点，第二次“交错移动”后为点，……以此类推， 根据题意，得 ， ， ，…… 由此可知，以后的点和前面的点开始重复． ∵“交错移动”点都在y轴左侧， ∴，，，， ∴，， 则满足条件的点为， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 14. 纳秒是非常小的时间单位，，北斗全球导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示是__________． 【答案】s． 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式进行表示即可． 【详解】∵， ∴=20×10-9s， 用科学记数法表示得s， 故答案为：s． 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 15. “里拉斜塔”是一种结构，可以搭建出伸出长度超过木板本身的塔，最上面的木板相对于最下面的木板，几乎是悬浮于空中．如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜塔”，每块木板都是完全相同的长方体，根据杠杆平衡原理可知，①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，按此规律，若每块木板的长度都为，则___________（填编号）号木板最多可伸出． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设n号木板最多可伸出，根据规律列方程求解即可． 【详解】解：设n号木板最多可伸出， ∵①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的， ∴n号木板最多伸出自身长度的， 由题意，得 ， 解得， 经检验符合题意且是原方程的解， 所以第25号木板最多可伸出． 故答案为：25． 16. 如图，在矩形纸片中，，，为边上一点，将沿折叠，得到．点关于对称，若，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，分两种情况解答即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：当点在上方时，如图， 连接， ∵点关于对称， ∴垂直平分， ∵四边形是矩形， ∴， 若，则是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 当点在下方时，如图， 由图可得，； ∴的度数为或， 故答案为：或． 三．解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 完成下列题目 （1）计算： （2）课堂上，老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集．请根据下面的“接力游戏”回答问题． 接力游戏老师 甲同学 乙同学 丙同学 丁同学 戊同学 ①在“接力游戏”中，乙同学是依据____________进行变形的． A．等式的基本性质B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质D．乘法对加法的分配律 ②在“接力游戏”中，出现错误的是______同学，请直接写出该不等式正确的解集________． ③请把不等式正确的解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2）①D；②戊，； ③ 【解析】 【分析】（1）依据绝对值、立方根的运算法则求解各项即可； （2）①根据乘法对加法的分配律变形； ②最后一个同学出现错误，未知数的系数为负，系数化1时，不等号的方向没有改变； ③画出正确的解集即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：①在“接力游戏”中，乙是依据乘法对加法的分配律变形的； ②戊同学出现错误，系数化1时，不等号的方向没有改变； ③略． 18. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A、B是关于n的多项式． 例：先去括号，再合并同类项： 解： （1）直接写出：①______，______； ②原式的运算结果为______； （2）若n为任意正整数，试说明的值总能被7整除． 【答案】（1）①，；② （2） 证明： ， 即n为任意正整数，的值总能被7整除． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）①根据去括号法则求解即可；②先去括号，再合并同类项即可； （2）将多项式A、B代入，先根据完全平方公式展开，再合并同类项，即可证明结论． 【小问1详解】 解：①， 则，， 故答案为：，； ② ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 19. 如图，C是线段的中点，． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． （2）8 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键： （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，是线段的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ． 20. 某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：； b.该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30天的送外卖量（单位：单）如下： 甲 12 12 15 16 17 19 20 21 21 21 23 23 24 24 27 29 32 33 42 47 56 56 56 56 56 58 59 59 60 62 乙 18 23 24 25 25 26 27 28 29 31 34 35 36 38 38 38 39 39 39 39 39 39 39 39 43 43 44 45 46 48 c.甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 甲 35.2 56 乙 35.2 38 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）该快餐连锁店共有2000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对这30天送外卖量前400名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金； （3）该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25单开始，每送一单外卖提成10元． ①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资___________乙这30日的工资（填“”“”或“”）； ②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，甲应选择方案___________，乙应选择方案___________． 【答案】（1） （2）不能 （3）①；②二，一 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数，众数，解题的关键是熟练掌握平均数，中位数和众数的定义． （1）根据中位数、众数的定义进行解答即可； （2）根据甲的平均数进行解答即可； （3）①根据方案一分别计算出甲乙俩人这30日的工资，比较即可；②根据方案二分别计算出甲乙俩人这30日的工资，与①中方案一比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：甲在这30天的送外卖量中，排在第15和16的是27和29， 则中位数； 乙在这30天的送外卖量中，39出现的次数最多，出现了8次， 则众数； 【小问2详解】 解：， 由频数分布直方图可知，平均送单量在“”及“”区间的人数共人，占抽样100人的，即这部分人对应前， 而甲的平均值为35.2，落在“”区间，并不在45以上那一组中， 故估计甲不能进入前400名，得不到奖金； 【小问3详解】 解：甲、乙的30天的日平均送单量都是35.2单/天 ， 则这30天甲、乙的总送单量为（单）， 因而二人总工资 (元)， 所以甲的工资 =乙的工资， ②若甲按“方案二”的总收入为(元)， 大于其在“方案一”下的6780元， 因此甲应选“方案二”， 若乙按“方案二”的总收入为(元)， 小于其在“方案一”下的6780元， 因此乙应选“方案一”． 21. 如图，圆与圆都经过，两点，点在圆上，点是弧上的一点，连接并延长交圆于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，． 求圆的半径； 直接写出圆中弧的长． 【答案】（1）证明：连接，，，如图， ， 根据题意可知，、为圆与圆圆心，点，点，点，点，四点都在圆上， 在圆中， ∵是圆心角，对应，，是圆周角，对应， ∴， 在圆中， ∵是圆心角，对应，是圆周角，对应， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）， 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理求解，注意区分好圆周角和圆心角． （2）利用（1）中结论求出，构造直角三角形，利用三角函数求半径．直接利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，为圆半径， ∴， ∴为等腰三角形， 过作，交于点，如图， ， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴圆半径是． 解：在圆中， ∵，半径， ∴长度． 22. 数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． （1）该小组先探究该函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 … 2 1.5 1.2 0.75 … ①表格中的_____； ②请在图3中画出对应的函数图象； （2）该小组综合图2和图3发现，随着的增大而_____；（填“增大”或“减小”） （3）若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 【答案】（1）①1； ②图象如下图所示，即为所求． （2）增大 （3） 不能，理由如下： 由题意，设（，b为常数） 将，代入，得， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∵由（2）知I随着m的增大而增大， ∴当时，则 ∴． ∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）①依据题意，将代入中，进而计算可以得解； ②依据题意，根据表格数据描点即可得解； （2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解； （3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，得，求出k，b后可得，再结合，进而可以得，故可判断得解． 【小问1详解】 解：①由题意，将代入中，得， ． 故答案为：1． ②略 【小问2详解】 解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小， 又∵I随R的增大而减小， ∴I随着m的增大而增大． 故答案为：增大． 【小问3详解】 略 23. 如图所示，矩形中，，，把一块三角尺的直角顶点置于边上，，三角尺的两条直角边，分别交，两边于点，，连接．设． （1）当平分时，求的值； （2）①当，重合时， ； ②当，不重合时，求的值． （3）设线段的中点为，连接，，则与的数量关系为 ；再取的中点，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1） （2）①；② （3）；的最小值 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质易得，再分别用勾股定理表示出和，进而建立方程求解； （2）①由即可得解；②参照①思路，构造矩形，过点Q作，垂足为H，证，即可得解； （3）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出，进而得到点T在的垂直平分线上，很明显当垂直于的垂直平分线上时，有最小值，再参考（2）中思路构造相似求解即可． 【小问1详解】 解：在矩形和三角尺中，有． 当平分时，应有，即． 而，， ∴， 解得， 即当平分时，； 【小问2详解】 解：①如图， ∴， 故答案为：； ②过点Q作，垂足为H， 则， ∴四边形为矩形，． 在中，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图， 在中，， 在中，， ∴， ∴点T在的垂直平分线上， 如图，连接，作的垂直平分线，交于点E，交于点F，过O作， 当时，有最小值， ∵，K为中点， ∴， 由辅助线可知四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为和2，过点B作轴，与抛物线相交于点C，分别以，的长为边长向上方作矩形． （1）求抛物线的解析式； （2）将矩形先向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点C的对应点在抛物线上． ①求n关于m的函数解析式； ②若边与抛物线相交于点M，点M在抛物线对称轴的右侧，当时，求点的坐标； ③当边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的值或取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为： （2）①关于的解析式为 ②点的坐标为或 ③或 【解析】 【分析】（1）首先根据点A，B在函数上求解点A，B的坐标，再代入抛物线中求解解析式即可； （2）①：根据向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，写出点C的坐标为，再根据点在抛物线上，代入化简即可得到关于的解析式； ②：首先根据平移写出点E的坐标，再根据结合勾股定理求解出的长，即可表示出点M的坐标，结合点M在抛物线上即可求解m的值，再求解点的坐标即可； ③：首先利用数形结合得到与抛物线只有一个公共点时的情况，当与的顶点相交时，根据抛物线的顶点坐标写出点的纵坐标即可求解此时m的值；当点在抛物线上时，根据平移写出点的坐标，利用点在抛物线上求解m的值，画图发现在范围内边与抛物线只有一个公共点，即可写出此时m的取值范围． 【小问1详解】 解：对于函数，当时，，当时，, ∴点，， 将点、的坐标代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：①：∵轴，函数的对称轴为轴， ∴点，关于轴对称， ∵，∴， ∵向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴平移后点为， 当点在抛物线上时，将代入得：， ∴，即关于的解析式为； ②：∵，点，关于轴对称， ∴， ∵以为长构造长方形的宽， ∴， ∴，则，即， 在中，，， ∴， ∴， 将代入，得：，解得：， 又 当时， 当时， 综上：点的坐标为或； ③：情况一：当边与抛物线只有一个公共点时，即与的顶点相交， ∵抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标为， ∴点的纵坐标为5， ∴点的纵坐标为3， ∴，解得：， ∵， ∴此时； 情况二：当点在抛物线上时， ∵，且点在抛物线上， ∴， 即为，解得：， 当时，如图， 当时，如图， ∴当，边与抛物线只有一个公共点， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合题、平移的性质，根据平移的结果写出点的坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $