精品解析：陕西西安市西电中学2026届高三上学期第二次模拟考试数学试题

西电中学高三模拟题 2 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合中元素的个数为（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】若，则；若，则；若，则； 若，则；若，则； 所以，共个元素. 2. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据向量的垂直关系得到，然后再将向量的模长转化为向量的数量积进行求解即可. 【详解】由，可知，得：，故. 再由，可得：， 将代入，可得：，解得：. 故选：B 3. 若 ，，，则 ，， 之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，，， ，即， 所以. 4. 函数的一个对称中心的横坐标是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可求得对称中心的横坐标. 【详解】由，可得，， 所以，，所以当时，， 故选：D 5. 已知，，则等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两角和的余弦公式和同角三角函数关系切化弦计算化简，再由两角差的余弦公式计算求解. 【详解】由得， 由，得， 所以，， 所以. 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. 或 81 C. D. 81 【答案】B 【解析】 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ， ， 所以. 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分段函数单调性，保证两段都单调递减，考虑端点即可. 【详解】根据题意得到，，解得，即. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，的最小值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】由幂函数的单调性比较大小判断A；由不等式性质判断 B；作差法判断C；结合正弦函数的值域，利用对勾函数的单调性求解值域判断D. 【详解】对于A，因为函数在上单调递增，所以由即知， ，则，A正确； 对于B，若，则当时，，B错误； 对于C，由， 因，可得，故有，C正确. 对于D，因为，所以，在上单调递减， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为5，D错误， 故选：AC 10. 已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）． A. 若数列为等差数列，则恒成立 B. 若数列为等差数列，则，，，…为等差数列 C. 若数列为等比数列，且，，则 D. 若数列为等比数列，则，，，…为等比数列 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质判定AB选项，根据等比数列的性质判定CD选项. 【详解】若数列为等差数列，不妨设其公差为d,则, 显然当才相等，故A错误， 而，作差可得成立，故B正确； 若数列为等比数列，且，，设其公比为q， 则，作商可得或所以 或，故C错误； 由题意得各项均不为0，而实数范围内，， 即且，结合选项B的计算可得，故D正确. 故选：BD. 11. 定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为“下凹函数”.下列函数是下凹函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据定义与幂函数、指数函数、对数函数的单调性、基本不等式结合反例计算即可. 【详解】取， 对于A，显然， 等号仅在时成立，则有，故A正确； 对于B，令，则，故B错误； 对于C，因为，所以， 则，等号仅在时成立，故C正确； 对于D，令，因为，则，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数列出方程，解出即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故答案为：1. 13. 已知，，，则的最小值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件，将所求的式子化为，再应用基本不等式，即可求解. 【详解】，，， ， 当且仅当， 即时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，拼凑出积为定值是解题的关键，属于中档题. 14. 若点，则两点间距离的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得点在直线上，点在曲线上，在曲线上找到与直线平行的切线，则该切线与直线的距离即为的最小值. 【详解】点在直线上，点在曲线上， 即求的最小值等价于求直线上的点到曲线上的点的距离的最小值， 过上的点作的切线，可得， 令，可得，故该切线为， 则直线与的距离即为的最小值， 此时，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于观察出点在直线上，点在曲线上，则可借助求直线上的点到曲线上的点的距离的最小值得到的最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（ 且 ）是偶函数. （1）求实数的值； （2）若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数满足，求解的值； （2）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解. 【小问1详解】 因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为, 不恒为 0，所以必须 ，所以； 【小问2详解】 由（1）知 ，则 因为 ，，故 是奇函数， 而 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即， 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若函数，试求在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最小值，最大值8 【解析】 【分析】（1）由函数周期可得，然后代入一个点的坐标即可求，从而得到结果； （2）根据题意，由条件可得，然后由其单调性可得的单调性，即可得到其最大值，再分别求得端点值比较大小，即可得到最小值. 【小问1详解】 由图象可得，的最小正周期， ， ， .， 解得，又， . 【小问2详解】 由题， 由知，， 则当，即时，单调递增， 当，即时，单调递减， 所以， 而， 所以. 17. 已知数列的前n项和为，且. （1）求； （2）求的通项公式，并证明为等差数列； （3）若，求. 【答案】（1） （2），证明： 令，所以， 由的通项公式可得：， 由通项公式可知：。 所以为等差数列； （3） 【解析】 【分析】（1）令即可求解； （2）通过作差法即可求的通项公式，再由通项公式结构可证等差数列； （3）由裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 令可得：， 即 【小问2详解】 由， 可得：， 两式相减可得：，， 当时，不满足， 所以的通项公式为， 【小问3详解】 由（2）知，当时， ， 所以 18. 记的内角的对边分别是，满足． （1）证明：； （2）若为锐角三角形，求：的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合角的范围进行分析讨论即可得解； （2）利用正弦定理边化角，再利用角的范围即可求解. 【小问1详解】 由题意得：， 由余弦定理得：，所以， 由于，所以或 因为； 【小问2详解】 由（1）知，， 又为锐角三角形，所以，，故， 所以，得， ， ， 因为，故：， . 19. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，用导数正负判断单调性，进而确定最小值； （2）将恒成立问题转为最值问题，通过构造函数，求导分析单调性即可求解. 【小问1详解】 由题可知， 则函数在上单调递增，且. 由，得；由，得. 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 【小问2详解】 由， 得. 令，则. 由，得. 由，得，则在区间上单调递增， 在区间上单调递减，从而. 由（1）知的最小值， 所以要使恒成立，只需， 解得，即. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西电中学高三模拟题 2 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合中元素的个数为（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 2 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 3. 若 ，，，则 ，， 之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的一个对称中心的横坐标是（ ） A. 0 B. C. D. 5. 已知，，则等于（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. 或 81 C. D. 81 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，的最小值为4 10. 已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）． A. 若数列为等差数列，则恒成立 B. 若数列为等差数列，则，，，…为等差数列 C. 若数列为等比数列，且，，则 D. 若数列为等比数列，则，，，…为等比数列 11. 定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为“下凹函数”.下列函数是下凹函数的是（ ） A. B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数__________. 13. 已知，，，则的最小值为_______ 14. 若点，则两点间距离的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（ 且 ）偶函数. （1）求实数的值； （2）若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若函数，试求在区间上的最值. 17. 已知数列前n项和为，且. （1）求； （2）求的通项公式，并证明为等差数列； （3）若，求. 18. 记的内角的对边分别是，满足． （1）证明：； （2）若为锐角三角形，求：的取值范围． 19. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $