精品解析：陕西省铜川市印台区等2地2026届高三一模数学试题

铜川市2026届模拟预测（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名､准考证号､座位号填写在本试卷上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 3.作答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义求解. 【详解】，复数在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 2. 设全集（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的定义即可得出答案． 【详解】由题可知，， 则. 故选：A 3. 下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（ ） A. B. C. 任何实数都有算术平方根 D. 任意两个无理数之和仍为无理数 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，含有全称量词，再根据指数函数的值域即可判断；对于B，不含有全称量词，故可判断；对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断；对于D，含有全称量词，举例说明即可判断. 【详解】对于A，含有全称量词，而，所以，故A正确； 对于B，不含有全称量词，故B错误； 对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断，故C错误； 对于D，含有全称量词，是无理数，而，而是有理数，故D错误. 故选：A 4. 已知为等比数列，而且（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式的基本量运算求出公比和，即可求的值. 【详解】设等比数列的公比为. 由可得，又，所以. 又由可得解得. 所以. 故选：D 5. 已知向量为单位向量，，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的计算公式和向量数量积的定义求出，结合两向量夹角的范围即可求得答案. 【详解】由可得， 解得，因，则. 故选：C. 6. 设为奇函数，将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简得，进而可得，利用为奇函数，可求得. 【详解】 ， 因为将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像， 所以向右平移个单位长度后，得到函数的图像， 所以， 又因为为奇函数，所以，所以， 又，所以. 故选：B. 7. 某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据台体的体积公式求台体的高，再计算台体的斜高，进而可求四棱台的侧面积. 【详解】如图,点分别是棱台上下底面的中心，分别取边的中点,连接. 设四棱台的高为， 则. 由图知，, 设正四棱台的斜高. 所以正四棱台的侧面积为：. 故选：D 8. 已知F为抛物线的焦点，C的准线和轴交于点P，点M在抛物线C上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用，结合圆与抛物线的交点得出M点的横坐标，再由抛物线的定义得，又因为，求得即得. 【详解】因为C的准线和轴交于点，且． 根据题意可得图形， 由已知，可知满足， 又因为M在抛物线C上，所以， 所以，所以，因此，M点的横坐标是， 由抛物线的定义知， 且， 所以，所以． 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 2025年江苏省城市足球联赛火爆出圈，赛场热度赶超职业赛事，城市玩梗引爆网络话题.其中南通队在常规赛中取得10胜2平的战绩，其12场每场进球数分别为则关于样本中进球数的数字特征说法正确的是（ ） A. 平均数是3 B. 中位数是2.5 C. 众数是2 D. 方差是1 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平均数、中位数、众数、方差的计算公式求解即可. 【详解】将12场每场进球数进行排序：， 所以平均数为：，故A正确； 中位数为：，故B不正确； 众数为：，故C正确； 方差为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知双曲线，的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于点，与直线交于点，下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. C. 若，则 D. 若是线段的中点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得的值，可求得离心率判断A；设直线的方程为，与双曲线的方程联立，进而求得的坐标，结合BCD的条件计算可判断BCD. 【详解】由双曲线，可得，所以， 所以左顶点，右焦点，离心率，故A正确； 设直线的方程为，代入双曲线方程得， 整理得， 设，则，所以， 又点Q在双曲线的右支上，则，解得，故B正确； 若，所以，又， 所以， 又因为，所以 ， 解得，故C错误； 直线与直线交于点， 若是线段的中点，则由中点坐标公式得，解得， 故，解得，符合，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知三次函数，下列说法正确的是（ ） A. 若的极大值为4，则 B. 的极小值为0，则 C. ，则 D. 存在，使在的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，显然，求导，并进行因式分解，分和两种情况，得到的单调性和极值情况，得到，A正确；B选项，在A基础上，分和两种情况，分析出满足要求；C选项，作差法比较出，C正确；D选项，在A基础上，分，和三种情况，得到D错误. 【详解】对于A选项，显然，， 令得或3，若， 令，得或，令，得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值，且， 令，解得；若， 令得，令得或， 故在，上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，在处取得极大值， 且，不合要求，综上，，A正确； 对于B选项，由A可知，当时，极小值为，满足要求； 当时，极小值为，不合要求，则，B错误； 对于C选项，由题意得， 可得，， 又，故，故，C正确； 对于D选项，由A知，时，在，上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 显然的最小值为，不合要求； 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 若，则在上单调递增，在上单调递减， 其中，故的最小值为，不合要求； 若，则在上单调递减，故的最小值为，不合要求； 不存在，使在的值域为，D错误. 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 12. 若直线（为实数）是曲线的一条切线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求得，设切点为，得到，得出切点为，代入切线方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， 设切点为，可得， 因为直线是曲线的一条切线，所以， 解得，所以切点为， 代入切线方程为，可得，解得. 故答案为：. 13. 已知圆是过原点且互相垂直的两条直线，若被截得的弦长与被截得的弦长的比为，则直线的斜率______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可设直线，直线，结合垂径定理求弦长，列式求解即可. 【详解】因为圆，即为，可知圆心为，半径， 由题意知：直线的斜率存在，且不为0， 设直线，则直线， 则圆心到直线的距离分别为， 由题意可得：，解得. 故答案为：. 14. 某企业到A大学招聘，小张､小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张､小李2人中至少有1人签约的概率是，小王签约的概率是，3人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】事件“3人中至少有1人签约该企业”的对立事件是“3人均未签约”，通过求其对立事件的概率即可得到答案 【详解】事件“3人中至少有1人签约该企业”的对立事件是“3人均未签约”， 因为小张､小李2人中至少有1人签约的概率是， 所以小张､小李2人均未签约的概率是； 因为小王签约的概率是，所以小王未签约的概率是， 所以三人均未签约的概率是， 所以3人中至少有1人签约该企业的概率是. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分. 15. 某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 （1）根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； （2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）认为使用者的满意度与区域无关 （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）提出零假设，计算卡方值，将其与小概率值对应的临界值比较即得结果. （2）求出抽样比，确定所抽取的9名使用者中，甲地与乙地使用者的人数，依题意确定的可能值，利用超几何分布概率公式求出相应的概率，列出分布列，计算数学期望即可. 【小问1详解】 零假设为：使用者的满意度与区域无关，代入列联表中的数据可得： 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 故可认为使用者的满意度与区域无关. 【小问2详解】 从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为， 则9名使用者中甲地6人､乙地3人. 因为4人中乙地人数为，所以的可能取值为，其对应的概率分别为： ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 故数学期望为 16. 设的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若点D是BC边上一点，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据及三角恒等变换得到，求出； （2）根据向量数量积为0和（1）可知，设，则，得到，在中，由正弦定理得可得，又，从而可得方程，求出故，为锐角，结合同角三角函数平方关系求出答案. 【小问1详解】 因为在的内， 所以 则， 可得， 因为，所以， 所以，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以. 由（1）可知， 则. 如图，设， 则. 在中，，即， 在中，由正弦定理得， 可得 ， 又因为，所以， 又，故， 即， 可得，即， 故，故为锐角， 又，为锐角，则， 所以的值为. 17. 如图，已知平行六面体的底面为正方形，为AD的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所夹角的正弦值. 【答案】（1） 因为底面为正方形， 所以， 又，即平面，， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 由题意得，平行六面体的各棱长相等，不妨设，则， 在中，， 由余弦定理得， 所以，所以， 又因为平面平面平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，设， 如图，以为坐标原点，作平行方向的直线为轴， 分别为轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则， ， 设平面的一个法向量， 则，即， 令，则，所以， 设平面的一个法向量， 则，即， 令，则，则， 设平面与平面所夹角为， 所以，所以， 所以平面与平面所夹角的正弦值为. 18. 已知椭圆两个焦点与一个下顶点组成一个长为4的等边三角形.设直线与椭圆C交于两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）求的最大面积； （3）在y轴上是否存在一定点P，对任意，使得直线的斜率之和恒为0？若存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题可得，结合求解即可； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得.利用化简可得，利用函数单调性求解即可； （3）设，由题意得，即，结合韦达定理以及直线方程化简即可求解. 【小问1详解】 由题意，，则， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，直线与轴的交点为. 联立消去，整理得， 所以. 则. 因为， 所以， 令，则. 因为函数在区间上单调递增，， 所以，当时取得等号， 所以面积的最大值为. 【小问3详解】 存在. 设，由题意得， 即， 即. 因为， 所以. 因为，所以， 所以点的坐标为. 19. 已知函数其中，是常数，而且（），若满足. （1）的单调区间与极值； （2）为等差数列，求； （3），求证. 【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增；极小值为，无极大值 （2） （3） 先证明， 设是第一个不大于，即，， 由（1）可知，在区间上单调递增， 所以，即， 这与假设矛盾，所以所设不成立，即. 其次证明，令， 则， 所以为单调增函数，当时，， 因为，所以，即， 故. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域及导数，进而求出单调区间及极值； （2）设数列的公差为，由题意可递推出，用可求得，即可求解； （3）假设是第一个不大于，由（1）可知，在区间上单调递增， 代入已知可得，与已知矛盾，令，对其求导，根据单调性即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 令，解得， 当变化时的变化情况如下表： 0 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值，且极小值为，无极大值. 【小问2详解】 设数列的公差为，由题意得， ②①得 ， 整理，得， 又因为， 所以，即， 所以，解得， 而当时，易得，为常数列，满足题设要求. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜川市2026届模拟预测（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名､准考证号､座位号填写在本试卷上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 3.作答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设全集（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（ ） A. B. C. 任何实数都有算术平方根 D. 任意两个无理数之和仍为无理数 4. 已知为等比数列，而且（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量为单位向量，，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 设为奇函数，将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 7. 某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知F为抛物线的焦点，C的准线和轴交于点P，点M在抛物线C上，若，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 2025年江苏省城市足球联赛火爆出圈，赛场热度赶超职业赛事，城市玩梗引爆网络话题.其中南通队在常规赛中取得10胜2平的战绩，其12场每场进球数分别为则关于样本中进球数的数字特征说法正确的是（ ） A. 平均数是3 B. 中位数是2.5 C. 众数是2 D. 方差是1 10. 已知双曲线，的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于点，与直线交于点，下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. C. 若，则 D. 若是线段的中点，则 11. 已知三次函数，下列说法正确的是（ ） A. 若的极大值为4，则 B. 的极小值为0，则 C. ，则 D. 存在，使在的值域为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 12. 若直线（为实数）是曲线的一条切线，则______. 13. 已知圆是过原点且互相垂直的两条直线，若被截得的弦长与被截得的弦长的比为，则直线的斜率______． 14. 某企业到A大学招聘，小张､小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张､小李2人中至少有1人签约的概率是，小王签约的概率是，3人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分. 15. 某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 （1）根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； （2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 设的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若点D是BC边上一点，，求. 17. 如图，已知平行六面体的底面为正方形，为AD的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所夹角的正弦值. 18. 已知椭圆两个焦点与一个下顶点组成一个长为4的等边三角形.设直线与椭圆C交于两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）求的最大面积； （3）在y轴上是否存在一定点P，对任意，使得直线的斜率之和恒为0？若存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由. 19. 已知函数其中，是常数，而且（），若满足. （1）的单调区间与极值； （2）为等差数列，求； （3），求证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $