精品解析：2026年山东高密市大牟家中学初中学业水平考试模拟自测数学试题

初中数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出的值，再根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：， 故的相反数是． 2. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 　 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 3. 不透明的盒子中一共有四个小球，分别写着数字，，，，这些小球除数字外无其他差别．小明从盒子中随机摸出一个小球，摸出的小球是写着数字“”的小球的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定所有可能的结果总数，以及符合要求的结果数，再代入概率公式计算即可． 【详解】解：盒子中共有个小球，其中写着数字“”的小球共个， 则随机摸出一个小球，摸出的小球是写着数字“”的小球的概率是． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 为了了解全国中学生的心理健康情况，选择全面调查 B. 若一个多边形的每个外角均为，则这个多边形的边数为8 C. “若a是实数，则”是必然事件 D. 若甲组数据方差，乙组数据方差，则乙组数据比甲组数据稳定 【答案】B 【解析】 【分析】根据调查方式的选择，多边形外角和定理，必然事件定义，方差的意义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、了解全国中学生心理健康情况，调查范围大，人数多，适合抽样调查，不适合全面调查， ∴该选项错误； B、∵任意多边形外角和为，该多边形每个外角均为， ∴边数为， ∴该选项正确； C、∵当时，， ∴“若是实数，则”是随机事件，不是必然事件， ∴该选项错误； D、∵， ∴甲组数据比乙组数据稳定， ∴该选项错误． 5. 如图，，以为圆心，为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图的理解和三角函数的计算，根据题意可得是的平分线，连接，，通过计算出长度，再计算即可． 【详解】连接交于， 由题意可得是的平分线， ， ， ， ， ， ， ． 6. 我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米，要使像的长度变为原来的倍，下列操作正确的是（ ） A. 人向暗室后退2米 B. 人向暗室前进2米 C. 人向暗室后退4米 D. 人向暗室前进4米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意可得，则可得到小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，可求出操作前，操作后小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，， ∴小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离， ∵操作前小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米， ∴操作前； ∵操作后像的长度变为原来的倍， ∴操作后小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离， 当人向暗室后退2米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故A不符合题意； 当人向暗室前进2米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，满足题意，故B符合题意； 当人向暗室后退4米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故C不符合题意； 当人向暗室前进4米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故D不符合题意； 故选：B． 7. 声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题． 【详解】解：满足公式， 由表格数据可得， 解得， 即， 当温度t为时，， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以原点O为中心，将点A顺时针旋转得到点，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作AB⊥x轴于点B，由AB=、OB=1可得∠AOB=60°，从而知将点A顺时针旋转120°得到点A′后如图所示，OA′=OA=2，即可得到答案． 【详解】：作AB⊥x轴于点B，如图： ∵点A的坐标为， ∴AB=、OB=1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将点A顺时针旋转得到点，则点在x轴上， ∴， ∴点坐标为； 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化——旋转，根据点A的坐标求出∠AOB=60°，再根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小确定出点A′在x轴上是解题的关键． 9. 如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是(　　) A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可． 【详解】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N 则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC， ∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°， ∴此时△PMN周长最小， 作OH⊥CD于H，则CH=DH， ∵∠OCH=30°， ∴OH=OC=， CH=OH=， ∴CD=2CH=． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． 10. 如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B，抛物线和圆C在点A，B之间的部分分别记为，．M，N分别是，上的两个动点（M，N均不与A，B重合）．给出下面四个结论，错误的有（ ） ①当轴时，长的最大值为； ②若点Q在x轴上，则在第一象限内存在点M，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，圆与函数的综合，等边三角形的性质与判定；当与轴重合时，的长取最大值，计算此时的的长即可判断①；，即可判断②；以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形，即可判断③；设，表示出在上，利用建立方程，求出，最后根据的取值范围，即可判断④． 【详解】解：①当与轴重合时，的长取最大值， ∵将代入，得，解得：， ∴， ∴， ∴当与轴重合时，，， ∴当与轴重合时，即为最大值， ∴①正确； ②如图1所示，对于轴上的任意一点， ∵轴， ∴， ∵四边形的名称为， ∴点在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点，都可以画出, 显然， ∴②错误； ③如图2所示，以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形， ∴③正确； ④点分别是，上的点，设， ∵、，、在点、点之间，均不与重合， ∴， ∵为中点， ∴在上， ∴，即， （负值舍去）或， ∵， ∴， ∵，这与是矛盾的， ∴不存在以为中点的线段， ∴④错误； 综上：①③正确，②④错误． 二、填空题（本题共5小题，共15分；只要求填写最后结果，每小题填对得3分） 11. 某云存储平台为用户提供云端照片存储服务．该平台某日登录的用户数量约为人，若当日平均每位用户上传400张高清照片，则该平台当日总共收到用户上传高清照片约为_________张（用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据总照片张数等于用户数量乘以平均每位用户上传照片张数列出算式，计算结果后化为科学记数法形式即可． 【详解】解：根据题意得，． 12. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 13. 已知线段，点是线段的黄金分割点（），则线段的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，线段成比例的计算，公式法解一元二次方程，掌握黄金分割点的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，设，则， ∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，过点作于，解得到，证明，可得，根据可知当有最小值时，有最大值，当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合，可求出的最小值为，则的最大值为． 【详解】解：如图所示，过点作于， 在中，， ∴； ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当有最小值时，有最大值， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1）解不等式组； （2）化简求值：，其中． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将x的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集是； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式． 17. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AF＝CE． （1）求证：△BAE≌△DCF； （2）若BD⊥EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形BEDF是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BA=DC，BA∥DC，AO＝CO，根据平行线的性质可得∠BAE=∠DCF，根据线段的和差求出，继而根据全等三角形的判定定理推出即可； （2）先推出四边形BEDF是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可求证． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA=DC，BA∥DC，AO＝CO， ∴∠BAE=∠DCF， ∵AF＝CE， ∴， ∴， ∴，即， 在ΔBAE和ΔDCF中， ， ∴ 【小问2详解】 四边形BEDF是菱形， 理由：由（1）知， ∴，， ∵BA∥DC， ∴， ∴，即， ∴BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵BD⊥EF， ∴四边形BEDF是菱形， 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和菱形的判定，得出对角线的数量关系并证得是解此题的关键． 18. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A 0.16 B 0.24 C 0.30 D 0.20 E 0.10 合计 1 根据提供的信息回答问题： （1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）调查所得数据的中位数落_________组（填组别）； （3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数； （4）学校举行人工智能创意赛，九年级决定从E组任意选择二人参加，已知E组有三男二女请用树状图或列表等方法说明抽到一男一女参加比赛的概率． 【答案】（1）频数分布直方图如图所示， （2）C （3）450 （4） 【解析】 【分析】（1）用A组学生人数除以对应的频率，即可得到抽样学生人数，再计算D组学生人数，然后补充频数分布直方图； （2）将本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间由小到大排列，找出中位数即可； （3）先计算一周使用大模型辅助学习的时间不少于的频率，再计算出对应的人数； （4）先确定从E组任意选择二人参加的可能，再确定抽到一男一女参加比赛的可能，即可得到抽到一男一女参加比赛的概率． 【小问1详解】 解：由题意可知，A组有8名学生，频率为0.16， 抽样学生人数（名）， D组学生人数（名）； 补充频数分布直方图略； 【小问2详解】 解：抽样学生人数为50名学生，中位数为第25与26位的平均数， A组与B组共有（名）学生，C组有15名学生，第25与26位都在C组， 所以中位数落在C组； 【小问3详解】 解：C、D、E组的频率和， （名）， 答：该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数为450名学生． 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有20种可能，其中抽到一男一女参加比赛的有12种可能， ∴抽到一男一女参加比赛的概率为． 19. 消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂（20米30米）是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内上下转动张角，转动点A距离地面的高度为4米． （1）当起重臂的长度为24米，张角时，云梯消防车最高点C距离地面的高度的长为_____米． （2）某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端C可以达到最大高度） 【答案】（1）16 （2）能 【解析】 【分析】（1）过点作，在中求出的长度，然后计算即可； （2）当起重臂最长，转动张角最大时，同样求出的长度，与26米比较即可. 【小问1详解】 解：如图，过点作， 由题意得：，， ， ， 在中， ， ， 米． 故答案为：16； 【小问2详解】 解：当起重臂最长，转动张角最大时， 即：米，， ， ， 米． ， 能实施有效救援． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确从图中提取数学模型是解题关键． 20. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 21. 综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； （2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 【答案】（1）y关于x的函数是二次函数，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可； （2）先计算出种子自然发芽率为35，令和时，分别求得x的值，再结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：观察上述各点的分布规律， y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为， 将，，代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴种子自然发芽率为35， ∴当时，， 解得，， 当时，， 解得（舍去），， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为． 22. 如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6 （1）求k值和点D的坐标； （2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标． 【答案】（1），点 D 坐标为（4，3）；（2）点E的坐标为（－8，2） 【解析】 【分析】（1）结合反比例函数的几何意义即可求解值；由轴可知轴，利用平行线分线段成比例即可求解D点坐标； （2）可知和的面积相等，由函数图像可知、、的面积关系，再结合题意，即可求CD边上高的关系，故作，垂足为F，即可求解E点横坐标，最后由E点在直线AB上即可求解． 【详解】解∶（1）设点 D 坐标为（m，n）， 由题意得． ∵点 D在的图象上，． ∵直线的图象与轴交于点A， ∴点A 的坐标为（－4，0）． ∵CHx轴，CH//y 轴．． 点D在反比例函数的图象上， 点 D 坐标为（4，3） （2）由（1）知轴，． ． 过点E作EFCD，垂足为点 F，交y轴于点M， ． ． ∴点 E 的横坐标为－8. ∵点E 在直线上，∴点E的坐标为（－8，2）． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形面积问题、的几何意义，属于中档难度的综合题型．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 23. 综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． （1）图中，矩形的周长为______； （2）在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． （4）如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2） （3）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 直线是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， 把矩形分成了周长相等的两部分， 直线符合要求； （4）；． 【解析】 【分析】根据矩形的周长公式计算即可； 以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，连接，由作图可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证，根据矩形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证直线把矩形分成了周长相等的两部分，所以线段即为所求； 根据矩形的性质可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，根据平行四边形的性质和矩形的性质可以证明书，，所以可以证明，所以直线把矩形分成了周长相等的两部分，从而可证直线符合要求； 过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，根据矩形的性质可得：，，，根据勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，，从而可得：，，根据等腰直角三角形的性质可得：，，根据正切的定义可以求出的正切； 连接交于点，把矩形分成了周长相等的两部分，点为和的中点，利用勾股定理可以求出，，过点作，则，根据相似三角形的性质可以求出，，，在中，利用勾股定理可得：，在中，利用勾股定理即可求出的长度． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， ，， ，， 矩形的周长为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形的对角线交于点， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， 直线把矩形分成周长相等的两部分； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作， 四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分， 则点是矩形的对角线与的交点， 点是的中点， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ； 解：如下图所示，连接交于点， 把矩形分成了周长相等的两部分， 点为和的中点， ， 点在以为直径的上， 当与相切时，最大， ，， ， ， ， 过点作， ， 四边形是矩形， ， 则， ， ， ，， ， ， 是的切线， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 　 3. 不透明的盒子中一共有四个小球，分别写着数字，，，，这些小球除数字外无其他差别．小明从盒子中随机摸出一个小球，摸出的小球是写着数字“”的小球的概率是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 为了了解全国中学生的心理健康情况，选择全面调查 B. 若一个多边形的每个外角均为，则这个多边形的边数为8 C. “若a是实数，则”是必然事件 D. 若甲组数据方差，乙组数据方差，则乙组数据比甲组数据稳定 5. 如图，，以为圆心，为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米，要使像的长度变为原来的倍，下列操作正确的是（ ） A. 人向暗室后退2米 B. 人向暗室前进2米 C. 人向暗室后退4米 D. 人向暗室前进4米 7. 声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以原点O为中心，将点A顺时针旋转得到点，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是(　　) A. B. C. 6 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B，抛物线和圆C在点A，B之间的部分分别记为，．M，N分别是，上的两个动点（M，N均不与A，B重合）．给出下面四个结论，错误的有（ ） ①当轴时，长的最大值为； ②若点Q在x轴上，则在第一象限内存在点M，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本题共5小题，共15分；只要求填写最后结果，每小题填对得3分） 11. 某云存储平台为用户提供云端照片存储服务．该平台某日登录的用户数量约为人，若当日平均每位用户上传400张高清照片，则该平台当日总共收到用户上传高清照片约为_________张（用科学记数法表示）． 12. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 13. 已知线段，点是线段的黄金分割点（），则线段的长为______． 14. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 15. 如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1）解不等式组； （2）化简求值：，其中． 17. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AF＝CE． （1）求证：△BAE≌△DCF； （2）若BD⊥EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 18. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A 0.16 B 0.24 C 0.30 D 0.20 E 0.10 合计 1 根据提供的信息回答问题： （1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）调查所得数据的中位数落_________组（填组别）； （3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数； （4）学校举行人工智能创意赛，九年级决定从E组任意选择二人参加，已知E组有三男二女请用树状图或列表等方法说明抽到一男一女参加比赛的概率． 19. 消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂（20米30米）是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内上下转动张角，转动点A距离地面的高度为4米． （1）当起重臂的长度为24米，张角时，云梯消防车最高点C距离地面的高度的长为_____米． （2）某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端C可以达到最大高度） 20. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 21. 综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； （2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 22. 如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6 （1）求k值和点D的坐标； （2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标． 23. 综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． （1）图中，矩形的周长为______； （2）在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． （4）如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $