精品解析：2026年山东济南高新区学考第二次模拟测试 九年级数学试题

2026年济南高新区学考第二次模拟测试 九年级数学试题2026.05 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，与2026互为相反数的是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 3. 2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱成功着陆，神舟十九号载人飞船有很多创新之处，首次以果蝇为实验对象，建立太空亚磁环境，已知亚磁环境的磁感应强度小于特斯拉，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我国四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（   ） A. B. C. D. 6. 如图，将一个含角的直角三角板，按如图所示的位置摆放在直尺上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是 B. 该组数据的平均数是 C. 该组数据的方差是 D. 若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 8. 如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点作的垂线分别交，于点M，N，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题:（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 分解因式：________． 12. 如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 13. 如图，正五边形边长为6，以A为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的周长为 _______．（结果保留） 14. 关于x的方程解为非负数，则的取值范围是___________. 15. 如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 三、解答题:（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 17. 解不等式组 ，并写出该不等式组的正整数解． 18. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：． 19. 某工厂在斜坡上安装一块广告牌，其侧面结构如图所示，斜坡与水平线的夹角，广告牌长为，与水平线的夹角，三个支撑杆固定该广告牌（点C，M，B在同一条直线上，且），其中． （1）求广告牌的端点D到水平线的高度； （2）求水平支撑杆的长度． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 20. 如图，是圆的直径，交圆于点，且与圆的切线互相垂直，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求线段的长度． 21. 九（1）班开展班级文化建设活动，现从A，B，C，D四款班徽设计图中挑选一款作为本班班徽，全班同学通过投票选出最受欢迎的班徽，根据投票结果得到以下不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）九（1）班参与投票的总人数为 ；并补全条形统计图； （2）D类所占的百分比为 ；B类所对应的扇形圆心角 ； （3）为确定本班班徽，全班同学分为10组，分别从“内涵”、“美观”、“契合度”三个维度对A，C两款设计图进行打分，根据打分结果，得到以下统计表： 设计图得分 A C 平均数 中位数 平均数 中位数 内涵 7 7 8 美观 8 8 契合度 7 8 请从“美观”这一维度分析哪款设计图最受欢迎； （4）全班投票确定“内涵”、“美观”、“契合度”三个维度占比为，若按照这个比例计算（3）中两款设计图的综合得分，得分高者作为本班班徽，请结合数据说明九（1）班最终会选择哪款班徽． 22. 某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． （1）求篮球和足球的单价； （2）学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，购买多少个篮球时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点． （1）求和直线的解析式； （2）点在直线下方且在反比例函数的图象上，连接， ①如图1，延长交轴于点，当和相似时，求点的坐标； ②如图2，连接，当时，求点的坐标． 24. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 （1）如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为 ，直线与形成的锐角度数为 ． 【拓展探究】 （2）如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系及夹角大小是否发生变化？请利用图进行证明． 【解决问题】 （3）如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边在右侧作正方形，点为正方形的对称中心，连接，若，，求出的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线在轴下方的一个动点，轴于点，轴于点，得到矩形． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点的横坐标为，当矩形是正方形时，求的值； （3）将抛物线向右平移（）个单位长度后，得到新抛物线，新抛物线与抛物线的对称轴交于点，直线与直线交于点，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年济南高新区学考第二次模拟测试 九年级数学试题2026.05 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，与2026互为相反数的是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可得到答案． 【详解】∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 的相反数是． 2. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行投影的意义．根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项D中的图形比较符合题意． 故选：D． 3. 2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱成功着陆，神舟十九号载人飞船有很多创新之处，首次以果蝇为实验对象，建立太空亚磁环境，已知亚磁环境的磁感应强度小于特斯拉，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，需掌握科学记数法表示较小数的形式（其中，为正整数），确定与的值即可求解． 【详解】解： ． 故选：C． 4. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我国四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A.该选项图案是轴对称图形； B. 该选项图案不是轴对称图形； C. 该选项图案不是轴对称图形； D. 该选项图案不是轴对称图形． 5. 下列运算正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、同底数幂除法法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A．∵，∴ A错误，该选项不符合题意； B．∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴ B正确，该选项符合题意； C．∵，∴ C错误，该选项不符合题意； D．∵ 时，同底数幂相除，底数不变，指数相减，，∴ D错误，该选项不符合题意． 6. 如图，将一个含角的直角三角板，按如图所示的位置摆放在直尺上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等，由平角的定义可得，由平行线的性质可得． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵直尺的对边平行， ∴． 7. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是 B. 该组数据的平均数是 C. 该组数据的方差是 D. 若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查方差公式的意义，以及平均数和方差的计算，解题思路是先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有4个平方项， ∴，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为，，，，计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：， ∴C选项说法正确，不符合题意； 加入数后，新数据为，，，，，计算新方差得： 新平均数， 新方差， ∵， ∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 8. 如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知求出点B的坐标，再将A、B的坐标代入直线， 分别求出对应的b的值，即可得解． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，，点的坐标为， ∴点的坐标为， 分别将点和点的坐标代入直线，得到和， 则的取值范围为． 故选：D． 9. 如图，在矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点作的垂线分别交，于点M，N，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练利用相关性质是解题的关键． 设交于点，证明，可得，可求得，证明，求得，可利用勾股定理求得，即可解答． 【点睛】解：设交于点， ， 由题意可得， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性可知抛物线的对称轴为，可得：，又因为，可知抛物线开口向上，所以，则有，由表格可知，当时，，所以可知；因为开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大，可得：；整理方程，可得：，因为抛物线有最小值且，所以当时，，又因为，所以当时，，所以方程有个不相等的实数根；当时，方程可化为，此时方程有个不相等的实数根；当时，，此时方程无实数根；因为当时，，当时，，解得：，，所以可得：，又因为，所以可得：，根据和，可得不等式，从而可得：，根据不等式的性质可得：；根据抛物线的对称性可知，若要的最小值是，则有或，从而可得：当的最小值是，时或. 【详解】解：当和时，均有， 点和点关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 又当时，， 由表格可知当时，， ， ， ， 抛物线的开口向上， ，，， ， 故正确； 由可知抛物线开口向上，对称轴为， ，， ， 开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大， ，故正确； 抛物线开口向上，对称轴为， 与关于对称轴对称， ， 由可知， ， ， 当时，， 把方程，整理得：， 有个根； 当时，方程为， 方程有个根； 当时，， 则有， 方程无实根，故错误； 时，， 当时，， 当时，， 可得，， ，， ， ， ， 解得：， ，故正确； 当时，， 此时抛物线过点，， 抛物线与交于点，， 时最小值为， 或，与结论不符合，故错误． 综上所述，正确结论为，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、二次方程根的个数判断、不等式的应用，解题的关键是通过表格信息确定抛物线的对称轴、开口方向及系数关系，再结合函数性质逐一分析结论． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题:（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的计算，关键是利用几何概率的定义：事件发生的概率等于该事件对应的区域面积与总区域面积的比值．题目中正方形被等分为8个小三角形，只需确定阴影部分包含的小三角形数量，通过计算数量比即可得到面积比，也就是所求概率． 【详解】解：设每个小三角形的面积为， ∵正方形由8个大小相等的三角形构成， ∴正方形的面积为， 由图可知阴影区域包含3个该小三角形，其面积为， ∴棋子落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 13. 如图，正五边形边长为6，以A为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的周长为 _______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】利用正多边形内角和定理以及弧长公式求解． 【详解】解：∵， ∴的长度为， ∴阴影部分的周长为． 14. 关于x的方程解为非负数，则的取值范围是___________. 【答案】且 【解析】 【分析】先解分式方程得到用表示的结果，再根据解为非负数得到，结合分式方程分母不为零得到，进而求出的取值范围． 【详解】解：原方程变形为：， 方程两边同乘，得， 整理得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∵方程的解为非负数，且分式分母不能为， ∴， 解得且． 15. 如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大； 此时； 故答案为：2． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点的位置，将三角形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键． 三、解答题:（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算．用乘方、特殊角三角函数值、二次根式的加减法、零指数幂、负整数指数幂等知识进行计算即可． 【详解】解： 17. 解不等式组 ，并写出该不等式组的正整数解． 【答案】，正整数解为 【解析】 【详解】解： ， 解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为；； 故该不等式组的正整数解为． 18. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：． 【答案】 证明：连接，交于点O， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，连接，由平行四边形的性质得，，再由平行四边形的判定方法即可得证；掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 【详解】略 19. 某工厂在斜坡上安装一块广告牌，其侧面结构如图所示，斜坡与水平线的夹角，广告牌长为，与水平线的夹角，三个支撑杆固定该广告牌（点C，M，B在同一条直线上，且），其中． （1）求广告牌的端点D到水平线的高度； （2）求水平支撑杆的长度． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】（1）广告牌的端点D到水平线的高度约为米 （2）水平支撑杆的长度为米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，利用锐角三角函数求解； （2）判定出四边形为矩形，然后利用锐角三角函数求出相关线段的长度，最后利用线段的和差求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ， 在中，， ， ， 答：广告牌的端点D到水平线的高度约为米； 【小问2详解】 解：， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 在中，， ， ． 答：水平支撑杆的长度为米． 20. 如图，是圆的直径，交圆于点，且与圆的切线互相垂直，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：连接． 是的切线， ， 又， ， ， ， ， ， 即； （2） 【解析】 【分析】（1）首先连接，由圆是的切线，，又由，即可判定，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得； （2）过点作于点，过点作于点，连接，则四边形是矩形，根据垂径定理可得，根据已知可得，进而得出，在中，勾股定理求得，在中，求得，进而得出，证明得出，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ 在中， 在中， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，已知正切求边长，勾股定理，等腰三角形的性质与平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 21. 九（1）班开展班级文化建设活动，现从A，B，C，D四款班徽设计图中挑选一款作为本班班徽，全班同学通过投票选出最受欢迎的班徽，根据投票结果得到以下不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）九（1）班参与投票的总人数为 ；并补全条形统计图； （2）D类所占的百分比为 ；B类所对应的扇形圆心角 ； （3）为确定本班班徽，全班同学分为10组，分别从“内涵”、“美观”、“契合度”三个维度对A，C两款设计图进行打分，根据打分结果，得到以下统计表： 设计图得分 A C 平均数 中位数 平均数 中位数 内涵 7 7 8 美观 8 8 契合度 7 8 请从“美观”这一维度分析哪款设计图最受欢迎； （4）全班投票确定“内涵”、“美观”、“契合度”三个维度占比为，若按照这个比例计算（3）中两款设计图的综合得分，得分高者作为本班班徽，请结合数据说明九（1）班最终会选择哪款班徽． 【答案】（1）50； 补全条形统计图如下： （2），72 （3） 解：从“美观”这一维度来看，款和款的中位数相等，但是款平均数大于款平均数， ∴款设计图最受欢迎； （4）最终会选择C款 【解析】 【分析】（1）根据部分实际数据和占比求出总数，然后求出各部分的数据，补全条形统计图即可； （2）利用部分实际数据除以总数得出占比，利用乘其占比得出圆心角度数； （3）利用中位数和平均数做决策； （4）利用加权平均数做决策． 【小问1详解】 解：九（1）班参与投票的总人数为； 选择款的人数为； 【小问2详解】 解：D类所占的百分比为； B类所对应的扇形圆心角； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：款综合得分为； 款综合得分为； ∵， ∴九（1）班最终会选择款班徽． 22. 某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． （1）求篮球和足球的单价； （2）学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，购买多少个篮球时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）篮球的单价为100元，足球的单价为80元 （2）当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低，为11040元 【解析】 【小问1详解】 解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； 【小问2详解】 解：设购买篮球a个，总费用为y元， 由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且a为整数， ∵，， ∴y随a增大而增大， ∴当时，y有最小值， 此时，元， 答：当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低，为11040元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点． （1）求和直线的解析式； （2）点在直线下方且在反比例函数的图象上，连接， ①如图1，延长交轴于点，当和相似时，求点的坐标； ②如图2，连接，当时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）①，② 【解析】 【分析】（1）将代入求出m，设直线的解析式为，将A，C，的坐标代入求解即可； （2）①先确定只有一种情况，作轴于点，证得求出，得，再求出所在直线的解析式，与反比例函数联立方程求解即可；②设点，过作轴，过作轴，利用，求出，过点作一条平行于y轴的直线，交直线于点，利用求出，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴，即， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①在中， 当和相似时，则中必须有一个角是 ∵是公共角，在第一象限，在轴正半轴 ∴只有一种情况， 作轴于点， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， 在和中： ∴ ∴，即，解得， ∵点在轴上，且在点右侧， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， 则解得：， ∴所在直线的解析式为， ∵点是直线与反比例函数的交点 联立方程： 整理得： 解得： 当时，（与点重合，舍去）； 当时，， ∴ ②设点， 过作轴，过作轴 ∵，，点在直线下方， ∴，， ∴，，，，， ， 过点作一条平行于y轴的直线，交直线于点， ∵点在直线上，则点的坐标是， ∴， ∴点到直线的距离是，点到直线的距离是， ∴ ， ∵， ∴ 即 解得或 当时，（与点重合，舍去）； 当时，， ∴． 24. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 （1）如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为 ，直线与形成的锐角度数为 ． 【拓展探究】 （2）如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系及夹角大小是否发生变化？请利用图进行证明． 【解决问题】 （3）如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边在右侧作正方形，点为正方形的对称中心，连接，若，，求出的长． 【答案】（1）； （2） 解：不发生变化，理由如下： 如图所示，延长交于点， ∵四边形和四边形为矩形，且由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ∵， ∴， ∴， ∴， 即直线与形成的锐角度数为； （3）或 【解析】 【分析】（1）延长交于点，根据矩形的性质以及含角的直角三角形的性质求解； （2）延长交于点，根据旋转和矩形的性质证明三角形相似，利用相似三角形的性质求解； （3）连接、，根据点的位置分两种情况进行讨论，根据正方形的判定和性质证明三角形相似，然后利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， 即直线与形成的锐角度数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当矩形的边时，四边形为正方形， ①如图3，当点在线段上时，连接、， ∵四边形和四边形为正方形，且点为正方形的对称中心， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图，当点在线段延长线上时，连接、， ∵四边形和四边形为正方形，且点为正方形的对称中心， ，， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，的长为或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线在轴下方的一个动点，轴于点，轴于点，得到矩形． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点的横坐标为，当矩形是正方形时，求的值； （3）将抛物线向右平移（）个单位长度后，得到新抛物线，新抛物线与抛物线的对称轴交于点，直线与直线交于点，当时，求的值． 【答案】（1） （2）， （3）h的值为或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解； （2）利用二次函数解析式求出抛物线与轴的交点坐标，确定的取值范围，然后利用正方形的性质列出方程求解； （3）利用待定系数法求出相关函数的解析式，求出相关点的坐标，然后利用相似三角形的判定和性质，列出方程求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的函数表达式为， ∴时，， 解得：，， ∴，， ∵点是抛物线在轴下方的一个动点，点的横坐标为， ∴． 设， ∵轴于点，轴于点， ∴，， ∵矩形是正方形， ∴，即． 解得：，； 【小问3详解】 解：设与抛物线的对称轴交于点，直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的函数表达式为， ∴对称轴为直线， ∵对于直线，当时，， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位长度后，得到新抛物线， ∴抛物线的解析式为， 对于抛物线，当时，， ∴， 如图，当点在点上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（负值舍去）； 如图，当点在点下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）． 综上所述：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $