精品解析：山东省济南市天桥区2026年学考适应性模拟训练 数学试题

2026年学考适应性模拟训练数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡上，并同时将学校、班级、姓名填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 如图是由五个大小完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主视图是指从正面看得到的图形，从正面看，从左往右3列小正方形的个数依次为，，，由此即可得出答案， 【详解】解：从正面看，从左往右3列小正方形的个数依次为，，，， 如图所示：， 3. 据2026年4月14日《天津日报》报道，2006年7月1日，青藏铁路全线通车运营，彻底结束了西藏没有铁路的历史．到2025年末，进出藏货运量已攀升至8313000吨，年均增长率达18%．将数据8313000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：科学记数法表示为． 4. 2025年12月2日是第14个“全国交通安全日”，学习交通标志是学校安全教育的重要组成部分，下列交通标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 5. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，不等式的基本性质，掌握不等式的三个基本性质是关键；由数轴得，再利用不等式的三个基本性质判断． 【详解】解：由数轴得， 由不等式的基本性质1得：，， 故选项A、B错误； 由不等式基本性质3得：， 故选项C错误； 由不等式基本性质2得：， 故选项D正确； 故选：D． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项分别计算得出答案． 【详解】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B、a3⋅a4=a7原计算错误，该选项不符合题意； C、(a3)4=a12正确，该选项符合题意； D、a6÷a2=a4原计算错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键． 7. 函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则函数的大致图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察图象得：与y轴交于负半轴，反比例函数位于第一、三象限内，可得，，即可求解． 【详解】解：观察图象得：与y轴交于负半轴，反比例函数位于第一、三象限内， ∴，， ∴， ∴函数的图象经过第二、三、四象限． 故选：A 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 8. 随着人工智能时代的到来，某学校开设了涵盖人工智能技术的四门兴趣课程，分别为“音乐创作”“打印与虚拟仿真”“机器人编程与应用”“非遗文化数字化”，每位同学只能选择一门自己喜欢的课程，甲、乙两名同学选择同一门课程的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出表格，列举出甲乙两名同学选课的所有可能结果数，即可得到两人选择同一门课程的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意得，设“音乐创作”“打印与虚拟仿真”“机器人编程与应用”“非遗文化数字化”为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 由表格可得，两人选课的所有可能结果总数为16种， ∵甲乙选择同一门课程的结果共有4种， ∴． 9. 在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；（3）作射线交于H，则线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点H作于T，根据矩形的性质和点D的坐标可得 ，利用勾股定理可得，由作图方法可得平分，则，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点H作于T， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵O为线段的中点， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可知平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 抛物线的对称轴是直线，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断： ①且； ②； ③； ④； ⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则.其中正确的个数有( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称轴的位置及图象与y轴的交点位置可对①进行判断；由图象过点（1，0）及对称轴可得图象与x轴的另一个交点坐标，由抛物线开口方向可得a<0，可得x=-2时y>0，可对②进行判断；由对称轴方程可得b=2a，由图象过点（1，0）可知a+b+c=0，即可得出3a+c=0，可对③④进行判断；由ax2+bx+c=2x+2可得ax2+(b-2)x+c-2=0，根据一元二次方程根与系数的故选可对⑤进行判断，综上即可得答案. 【详解】∵对称轴在y轴左侧，图象与y轴交于y轴正半轴， ∴ab>0，c>0，故①错误， ∵图象过点（1，0），对称轴为x=-1， ∴图象与x轴的另一个交点为（-3，0）， ∵抛物线的开口向下， ∴a<0， ∴x=-2时，4a-b+c>0，故②正确， ∵对称轴x==-1， ∴b=2a， ∵x=1时，a+b+c=0， ∴3a+c=0， ∴8a+c=5a<0，故③错误， ∵3a+c=0， ∴c=-3a， ∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c，故④正确， ax2+bx+c=2x+2， 整理得：ax2+(b-2)x+c-2=0， ∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为， ∴x1+x2+x1x2=+==-5，故⑤正确， 综上所述：正确的结论为②④⑤，共3个. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点． 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，理解分母不能等于0是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个边长为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，设这个“福”字的面积是，由题意可得，解之即可求解，解题的关键是理解大量重复试验中事件发生的频率即是事件发生的概率． 【详解】解：设这个“福”字的面积是， 由题意可得，， 解得， ∴这个“福”字的面积是， 故答案为：． 13. 图1是一款正八边形的装饰画，抽象出的几何示意图如图2所示，则的度数为__________°． 【答案】45 【解析】 【分析】正八边形的外角和为，根据多边形的外角和进行计算即可． 【详解】正八边形的一个外角为． 14. 如图，在Rt△AOB中，，，顶点A，B分别在反比例函数和反比例函数的图象上，则k的值为______． 【答案】-12 【解析】 【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，然后结合相似三角形的性质、三角函数以及k的几何意义，即可求解． 【详解】解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，如图， ∴∠BDO=∠OCA=90°， ∴∠OBD+∠BOD=90°， ∵， ∴∠BOD+∠COA=90°， ∴∠OBD=∠COA， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴k<0， ∴k=-12． 故答案为；-12． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、反比例函数的性质以及三角函数，解题时注意掌握数形结合的应用，注意掌握辅助线的作法． 15. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB，延长EF至K，使FK=EF，则△EBK是等腰直角三角形，求出BK，根据三角形中位线定理得到，再利用三角形三边关系解答． 【详解】解：在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°， ∴, 如图，延长EF至K，使FK=EF，则△EBK是等腰直角三角形， ∴， ∵M是AE的中点，F是EK的中点， ∴MF是△AEK的中位线， ∴， 在△ABK中，， ∴，即， ∴， ∴线段FM的最大值是， 故答案为：． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线的判定及性质定理，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值和算术平方根，代入特殊角的三角函数值，然后再实数运算即可． 【详解】解： ． 17. 解不等式组：，并写出它的正整数解. 【答案】，正整数解为：， 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，根据解集求得正整数解即可求解．． 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴原不等式组的解集是 ∴正整数解为：， 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 18. 如图，在矩形中，点、在边上，若，求证：． 【答案】证明：四边形是矩形， ，， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得到，，再证明得到，进而可证得结论． 【详解】略 19. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域． 如图①，驾驶员的眼睛位于点处，和为驾驶员看向汽车两侧的视线，，为汽车两侧的盲区截面图． 图②为示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点分别为与车窗底部的交点，，，，垂足分别为． （1）求盲区中线段的长． （2）已知点在线段上，在处有一个高度为的障碍物，驾驶员能看到障碍物吗？请说明理由．（参考数据：，，，）． 【答案】（1）盲区中线段的长约为 （2）驾驶员不能看到障碍物，理由见解析 【解析】 【分析】（1）解直角三角形即可解答； （2）过点作交于点，计算的长度，比较即可． 【小问1详解】 解：在直角三角形中，， 答：盲区中线段的长约为； 【小问2详解】 解：驾驶员不能看到障碍物，理由如下： 如图，过点作交于点， 根据题意可得四边形为矩形， ， 在直角三角形中，， ， 在直角三角形中，， ， 驾驶员不能看到障碍物． 20. 如图，在中，，点是上一点，以为直径的交于点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可求证； （）证明，根据相似三角形的性质求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质计算即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴ 由圆周角定理得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，弧弦圆心角的关系，圆周角定理，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 21. 幸福社区开展“共建节约型社区 活动，鼓励居民自觉减少塑料袋的使用量，以促进环保．志愿者随机抽取社区50名居民，对其2024年5月1日（劳动节）当天使用塑料袋数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表： 信息Ⅰ：使用塑料袋数量频数分布表 组别 使用塑料袋数量(个) 频数 A 5 B m C 11 D 14 E n 合计 50 信息Ⅱ：使用塑料袋数量扇形统计图 信息Ⅲ： C组包含的数据：10，10，11，11，11，12，12，13，13，13，14． 请结合以上信息完成下列问题： （1）统计表中的 ， ； （2）统计图中A组对应扇形的圆心角为 度； （3）抽取的50名居民2024年5月1日当天塑料袋使用数量的中位数是 ； （4）已知该社区中2024年5月1日当天有3000名居民参加这次活动，请估计当天使用塑料袋的数量不少于15个的人数． 【答案】（1）10，10 （2）36 （3）13.5个 （4）1440名 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，理解题意，能从表和统计图中准确获取信息是解答的关键． （1）先用样本人数乘以B组所占的百分数求得m值，进而可求得n值； （2）用乘以A组所占的比例可求解； （3）利用中位数的求解方法求解即可； （4）用当天总人数乘以样本中当天使用塑料袋的数量不少于15个所占的比例求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，， 故答案为：10，10； 【小问2详解】 解：A组对应扇形的圆心角为， 故答案为：36； 【小问3详解】 解：将50个数据从小到大排列，第25和第26个数据为13和14， ∴当天塑料袋使用数量的中位数是（个）， 故答案为：13.5个； 【小问4详解】 解：（名）， 答：估计当天使用塑料袋的数量不少于15个的人数为1440名． 22. 为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售 成本价（万元/辆） 售价（万元/辆） A型 16 16.8 B型 28 29.4 （1）如果该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，那么购进A、B两种型号的电动汽车各多少辆？ （2）如果为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，那么20辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）购进A型电动汽车12辆，B型电动汽车8辆 （2）购进14辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是19.6万元 【解析】 【分析】（1）设购进A型电动汽车x辆，购进B型电动汽车y辆，由题意：该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A型电动汽车m辆，则购进B型电动汽车（20﹣m）辆，由题意：购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，列出一元一次不等式，解不等式求得的范围，然后再根据一次函数的性质求得最大利润即可． 【小问1详解】 解：设购进A型电动汽车x辆，购进B型电动汽车y辆， 根据题意，得：， 解得：， 答：购进A型电动汽车12辆，B型电动汽车8辆； 【小问2详解】 设购进A型电动汽车m辆，则购进B型电动汽车（20﹣m）辆， ∵购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍， ∴m≥2（20﹣m）， 即m， 设销售的利润为，根据题意，得：w＝（16.8﹣16）m+（29.4﹣28）（20﹣m）， ＝﹣0.6m+28． ∵﹣0.6＜0， ∴m＝14时，利润最大，最大值为：﹣0.6×14+28＝19.6万元， ∴购进14辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是19.6万元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式，一次函数关系式是解题的关键． 23. 一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点做反比例函数． （1）求出，的值； （2）为线段上的点，将点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； （3）在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先求得，，设，且，根据平移性质可得，即可求得答案； （3）在轴上存在点，使得，分两种情况：当点D在轴正半轴上时，在轴负半轴上时，分别求得点D的坐标即可． 【小问1详解】 解：点在直线：上， ， ∴， ∵反比例函数经过点， 则， 解得：； 【小问2详解】 在中，令，得， ∴， 令，得， 解得：， ∴， ∵为线段上的点， 设，且， 将点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点， ∴， 点恰巧在反比例函数上， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当时，， ∴； 【小问3详解】 存在，理由如下， 当点在轴正半轴时，如图，过点作轴交轴于点， 则， 此时点 当点在轴负半轴上时， 如图，设与轴交于点， ∵， ∴， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，解得：， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合问题，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，平移的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． （1）求的值． （2）若点D是直线上方的抛物线上一点，当点D到直线距离最大时，求点D坐标，并求出最大距离． （3）抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在点P，直线的解析式为或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）根据待定系数法即可得出结果； （2）过作于点，作轴，交于点，易得为等腰直角三角形，得到，进而得到当的值最大时，最大，即点D到直线BC距离最大，进行求解即可； （3）分点在直线下方，与点在直线上方，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于点， 得， 解得：； 【小问2详解】 由（1）知：， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 过作于点，作轴，交于点， ∴轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，的值最大，即点D到直线BC距离最大， 设，则， ∴， ∴当时，有最大值为，此时，的最大值为． 【小问3详解】 解：存在点P，理由如下： 当点在直线下方时， 在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点， 由（2）得， ， ， ， ， 设直线的解析式为，代入点， 得，解得， 故直线的解析式为； 当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作交抛物线于点， ∴， ∴， ， ， ， 设直线的解析式为，代入点， 得，解得， 故设直线的解析式为， ，且过点， 故设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 综上所述：直线的解析式为或． 25. 【问题发现与证明】 如图1，正方形中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题．将绕点顺时针旋转，得到，可证：．请完成下面的问题． （1）______； （2）求证：． （3）【问题拓展与应用】某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图2所示，四边形是平行四边形，已知米，米，．为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道、、，要求点在边上，点为边的中点，且，现计划在所在区域种植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米12元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金． 【答案】（1） （2）证明：四边形为正方形， ，， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ，， ，，， ∴，即G、B、E共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）需要投入元资金 【解析】 【分析】（1）由旋转性质可得答案； （2）先由正方形的性质得到，，再由旋转性质得到，，，则可得G、B、E共线，证明，得到，进而可得答案； （3）在上截取，连接并延长使，连接，过作，交延长线于点，先证明为等边三角形得，，证明得到，，，再证明得到，，设，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，过点作于点，于点，利用角平分线的性质定理得到，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而求得即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转性质得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在上截取，连接并延长使，连接，过作，交延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，，，， ∴， 为中点， ， ， 为等边三角形， ，， ， ，， ， ，，， ，， ， ， ， ，， ， ，， 设，则， ， ， ， 在中，， ， ，， 在中，由勾股定理得， 解得， 过点作于点，于点， ， 在中，，， ，则， ， （平方米）， 需投入的资金为：（元）， 答：该公园种植郁金香需要投入元资金． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年学考适应性模拟训练数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡上，并同时将学校、班级、姓名填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由五个大小完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据2026年4月14日《天津日报》报道，2006年7月1日，青藏铁路全线通车运营，彻底结束了西藏没有铁路的历史．到2025年末，进出藏货运量已攀升至8313000吨，年均增长率达18%．将数据8313000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 2025年12月2日是第14个“全国交通安全日”，学习交通标志是学校安全教育的重要组成部分，下列交通标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则函数的大致图象为（　　） A. B. C. D. 8. 随着人工智能时代的到来，某学校开设了涵盖人工智能技术的四门兴趣课程，分别为“音乐创作”“打印与虚拟仿真”“机器人编程与应用”“非遗文化数字化”，每位同学只能选择一门自己喜欢的课程，甲、乙两名同学选择同一门课程的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；（3）作射线交于H，则线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 10. 抛物线的对称轴是直线，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断： ①且； ②； ③； ④； ⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则.其中正确的个数有( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 12. 如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个边长为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______． 13. 图1是一款正八边形的装饰画，抽象出的几何示意图如图2所示，则的度数为__________°． 14. 如图，在Rt△AOB中，，，顶点A，B分别在反比例函数和反比例函数的图象上，则k的值为______． 15. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是 ___． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并写出它的正整数解. 18. 如图，在矩形中，点、在边上，若，求证：． 19. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域． 如图①，驾驶员的眼睛位于点处，和为驾驶员看向汽车两侧的视线，，为汽车两侧的盲区截面图． 图②为示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点分别为与车窗底部的交点，，，，垂足分别为． （1）求盲区中线段的长． （2）已知点在线段上，在处有一个高度为的障碍物，驾驶员能看到障碍物吗？请说明理由．（参考数据：，，，）． 20. 如图，在中，，点是上一点，以为直径的交于点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求的长． 21. 幸福社区开展“共建节约型社区 活动，鼓励居民自觉减少塑料袋的使用量，以促进环保．志愿者随机抽取社区50名居民，对其2024年5月1日（劳动节）当天使用塑料袋数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表： 信息Ⅰ：使用塑料袋数量频数分布表 组别 使用塑料袋数量(个) 频数 A 5 B m C 11 D 14 E n 合计 50 信息Ⅱ：使用塑料袋数量扇形统计图 信息Ⅲ： C组包含的数据：10，10，11，11，11，12，12，13，13，13，14． 请结合以上信息完成下列问题： （1）统计表中的 ， ； （2）统计图中A组对应扇形的圆心角为 度； （3）抽取的50名居民2024年5月1日当天塑料袋使用数量的中位数是 ； （4）已知该社区中2024年5月1日当天有3000名居民参加这次活动，请估计当天使用塑料袋的数量不少于15个的人数． 22. 为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售 成本价（万元/辆） 售价（万元/辆） A型 16 16.8 B型 28 29.4 （1）如果该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，那么购进A、B两种型号的电动汽车各多少辆？ （2）如果为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，那么20辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是多少？ 23. 一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点做反比例函数． （1）求出，的值； （2）为线段上的点，将点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； （3）在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 24. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． （1）求的值． （2）若点D是直线上方的抛物线上一点，当点D到直线距离最大时，求点D坐标，并求出最大距离． （3）抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 25. 【问题发现与证明】 如图1，正方形中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题．将绕点顺时针旋转，得到，可证：．请完成下面的问题． （1）______； （2）求证：． （3）【问题拓展与应用】某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图2所示，四边形是平行四边形，已知米，米，．为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道、、，要求点在边上，点为边的中点，且，现计划在所在区域种植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米12元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $