专题06 二元一次方程组的实际应用（期末复习专项训练）2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以十大实际应用题型为框架，通过65道阶梯式例题构建二元一次方程组建模训练体系，强化数学模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |行程问题|6题|涵盖相遇、追及、顺逆流等|从匀速运动基本关系到复杂情境变量分析| |工程问题|5题|涉及效率、分工、报酬分配|通过工作量=效率×时间建立等量关系| |古代问题|10题|《九章算术》等经典问题改编|将古文表述转化为现代数学语言| |方案问题|6题|租车、运输、分装等优化问题|培养分类讨论和最优决策思维| |综合攻坚|16题|多知识点交叉的复杂情境题|提升实际问题的数学抽象能力|

专题06 二元一次方程组的实际应用 目 录 A题型建模・专项突破 题型一、行程问题 1 题型二、工程问题 2 题型三、数字问题 4 题型四、年龄问题 6 题型五、分配问题 7 题型六、古代问题（常考点） 9 题型七、和差倍分问题 12 题型八、销售利润问题（重点） 14 题型九、方案问题（难点） 17 题型十、几何问题（难点） 20 B综合攻坚・能力跃升 24 题型建模·专项突破 A 题型一、行程问题 1．某船顺流航行用了，逆流航行，用了，则水流速度为（ ），船在静水中的速度为（ ） A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2 2．A，B两地相距72km，甲、乙两人骑行，甲从A地出发到B地，乙从B地出发到A地，两人同时出发，4h后相遇．若骑行6h，此时甲剩下的路程为乙剩下路程的2倍，则甲、乙两人的骑行速度分别为（   ） A．6km/h和12km/h B．12km/h和4km/h C．8km/h和10km/h D．20km/h和10km/h 3．甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要________ 4．甲、乙两人相距．若两人同时出发相向而行，则出发后相遇；若两人仍是相向而行，但甲比乙先出发，则乙出发后两人相遇．求甲、乙两人的速度． 5．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 6．一列匀速行驶的火车通过一座160米的铁路桥用了30秒，而它以同样的速度穿过一段200米长的隧道用了35秒，求这列火车的速度和长度？ 题型二、工程问题 7．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 9．某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 10．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 11．如何分配工作时间 如何分配工作时间，使公司能在规定时间内完成任务 素材1 某电子零件生产公司承接到19200个零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产12天，乙车间生产24天，则比订单多生产720个；若甲车间生产24天，乙车间生产12天，则比订单少生产240个零件． 素材2 经调查，甲车间每人每天能生产25个电子零件，乙车间每人每天能生产20个电子零件． 素材3 因分公司生产需求，需从两个车间抽走相同数量的工人，为了保证抽调后两个车间每天生产总和不变，且甲、乙两车间同时开工生产，余下工人每人每天生产个数需要提高． 问题解决 (1)求甲、乙车间原来每天生产多少个电子零件？ (2)甲、乙车间抽调后各有多少人？ (3)若按甲、乙车间抽调后的人数和提高后的工作效率计算，如何分配甲、乙两车间工作的天数（天数为整数），使公司能在不超过20天的情况下，恰好完成该任务？ 题型三、数字问题 12．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 13．如图1是2022年8月份的月历，小军同学用“Z”字形框在月历上框出四个数字，将该“Z”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于m，n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 14．小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是________． 15．将这八个数分成两组，每组四个数，并且两组数之和相等．从A组拿一个数到B组后，B组五个数之和将是A组剩下的三个数之和的2倍；从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和将是A组五个数之和的，则A组的四个数是____． 16．一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 17．小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 18．幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 题型四、年龄问题 19．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 20．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 21．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为___岁． 22．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 题型五、分配问题 23．2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 24．某车间有98名工人，平均每人每天可加工机轴15根或轴承12个，每根机轴 要配2个轴承，应分配x人加工机轴，y人加工轴承，才能使每天加工的机轴和轴承配套，根据题意可得方程组______． 25．七年（2）班的王老师和张老师带领40名学生去公园野营，大帐篷限住5人，小帐篷限住3人，一共租了10顶帐篷，正好全部住满，求大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 26．疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人． (1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？ (2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为 （辆）． 27．某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 28．商店中贩卖一款包含两种图案的艺术纸片组合包，形状分别为公分公分、公分公分的长方形，如图所示． 小灿打算在不裁切纸片的情况下，将这两种艺术纸片以紧密相邻的方式贴成图的长方形，其中奇数层为图案，偶数层为图案，且最后一层为图案，而相同图案的艺术纸片皆为相同的方向． 请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： (1)以上述方式贴成的长方形，第一层最少有几个图案？ (2)已知每个组合包中两种图案的艺术纸片数量比为，若小灿想购买一些组合包，贴成图的长方形，其中第一层的图案数量与（1）求出之值相同，判断他是否可能恰好把购买的艺术纸片用完？请说明理由． 题型六、古代问题（常考点） 29．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 30．《算法统宗》中写道：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．译文：一些客人来到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就会有7人没有地方住；若是每间住9人，则空了一间房间．问有多少间房？多少客人？设李三公有间客房，来了个客人，可列方程组为（    ）． A． B． C． D． 31．《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长?（一尺等于十寸），设木头长尺，绳子长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 32．《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，则可列方程组________．（结果可以不化简） 33．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思是说，有一群乌鸦到树林休息，如果每棵树上有3只乌鸦，则有5只落在地上；如果每棵树上有5只乌鸦，则有一棵树上没有乌鸦．设共有只乌鸦，棵树，则可列方程组为___________． 34．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如图1，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x、y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则图2表示的方程是_________，这两个方程组成的方程组的解为_________． 35．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程或方程组解应用题． (1)周瑜寿数：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小，个位上的数字的倍正好等于这个两位数，求这个两位数； (2)官兵分布：一千官兵一千布，一官四尺无零数；四兵才得布一尺，请问官兵多少数？诗的意思是：现共有官兵和尺布．每位官分尺布，位士兵共分一尺布，恰好分完．问官和兵各有多少人？若设官有人，兵有人，由题意可列方程组为：________________，解此方程组可知官有________人，兵有________人． 36．今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？选自《张丘建算经》 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙的钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多倍；如果乙得到甲的钱，那么两人钱数相等．甲、乙两人各带了多少钱？ 37．《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 38．电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少；另外三个群，狗的数量多且数量相同．若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量． 39．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”请你用二元一次方程组解决该问题． 题型七、和差倍分问题 40．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 41．2022年第19届亚运会即将在我国杭州举行．如图是杭州市桐庐县瑶琳镇林场区块，从高处俯瞰，有一处白绿相间的“马”字形建筑分外引人注目，这里就是杭州亚运会马术项目比赛场馆桐庐马术中心，其总建筑面积约为5.4万平方米，包括各种功能区．其中主赛场和室内训练场总共占17000平方米，主赛场面积开阔，是室内训练场的2倍还多2000平方米．问主赛场的面积和室内训练场的面积各多少平方米？ 42．3月12日植树节当天，某校组织学生参加植树活动，践行绿色环保理念．如果每人种2棵树苗，则最后还剩5棵树苗；如果每人种3棵树苗，则还缺40棵树苗．求参加植树的人数和这批树苗的总数． 43．有一群鸟，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若从地上飞到树上1只，则地上的鸟就是整个鸟群的；若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟就一样多了．你知道树上、地上各有多少只鸟吗？试列方程组解答． 44．某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克． (1)求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克； (2)已知1架型无人机的单次租金为150元，1架型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元． 题型八、销售利润问题（重点） 45．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 46．“相超文具店”新到两款限定中性笔：“永州款”每支笔杆带闪粉，“星城款”每支笔帽会变色．小艾买了9支永州款和4支星城款，老板报价：“一共52元”付完钱后，小艾突然说：“姐姐，我少要1支星城款，多换3支永州款吧”老板看了看库存，说：“可以，不过你还得再补1元钱”根据他们的对话，可知：永州款的单价为_______元． 47．一次考试之后数学老师来到一奶茶店购买奶茶用于奖励成绩进步较大的学生，注视着价格表： （1）老师发现：2杯百香双重奏、3杯芝士葡萄共需元；3杯百香双重奏、5杯芝士葡萄共需元，那么购买1杯百香双重奏和2杯芝士葡萄共需________元； （2）老师购买了杨枝甘露、清补凉椰椰、芝士杨梅三种奶茶共杯，共消费了元，若杨枝甘露元/杯，清补凉椰椰元/杯，芝士杨梅元/杯，则芝士杨梅买了________杯． 48．学校组织学生举行“数学创新技能大赛”，该学校拟购进A、B两种品牌的计算器作为本次大赛奖品．已知某商店购进3台A种品牌计算器所需费用与购进2台B种品牌计算器所需费用相同，购进1台A种品牌计算器与2台B种品牌计算器共需费用400元． (1)请你计算一下该商店A、B两种品牌计算器每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌计算器定价为180元/台，B种品牌计算器定价为250元/台，该商店拟用1000元购进这两种计算器（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种计算器后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 49．某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求、两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 50．某商店购进两种商品共件， 商品每件进价元， 商品每件进价元，总进价为元． (1)求两种商品各购进多少件？ (2)若商品每件售价元， 商品每件售价元，全部售完后，该商店共获利多少元？ 51．信阳毛尖是中国十大名茶之一，具有“细、圆、光、直、多白毫、香高、味浓、汤色绿”的独特风格，被誉为“绿茶之王”．固始皇姑山茶是全国农产品地理标志产品，干茶条索紧秀圆直，汤色柳芽黄清澈，具兰花香气，鲜爽回甘，种植历史超2300年．河南某茶叶经销商要购进“信阳毛尖”和“固始皇姑山茶”进行销售，已知购进3份信阳毛尖与2份固始皇姑山茶共需要280元，购进2份信阳毛尖与3份固始皇姑山茶共需要270元，求每份信阳毛尖和每份固始皇姑山茶的价格 52．某水果店2025年第一季度苹果和橙子的总销售额为8000元，第二季度两种水果的销售额均有增长，其中苹果销售额增长了15%，橙子销售额增长了20%． 季度 苹果销售额/元 橙子销售额/元 总销售额/元 第一季度 8000 第二季度 ______ ______ ______ (1)设2025年第一季度苹果销售额为元，橙子销售额为元，请用含，的代数式填表： (2)已知第二季度总销售额比第一季度增加了1400元，求第二季度苹果和橙子的销售额分别是多少元？ 题型九、方案问题（难点） 53．某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示： 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 (1)求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数？ (2)若租用小客车辆，租用大客车辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所有的租车方案． 54．一方有难，八方支援．某市发生地震，某公司用甲、乙两种货车向该市运送爱心物资，两次满载的运输情况如表： 运输次数 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)现有45吨物资需要再次运往该市，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？ 55．端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入、两种食品盒中，种食品盒每盒装8个粽子，种食品盒每盒装10个粽子，若将200个粽子分别装入、两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满，粽子没有剩余），则有哪几种不同的分装方式？ 56．我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： (1)1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 57．【列方程（组）解决问题】春假即将来临，某校组织学生去农场春游，体验草莓采摘、包装和销售过程．据了解该农场在包装草莓时，通常采用盒装和袋装两种包装方式．其中，盒装每份售价50元，袋装每份售价70元． (1)活动中，学生卖出盒装和袋装草莓共150份，销售总收入为9500元，请问盒装和袋装各销售了多少份？ (2)已知现在需要对36斤草莓进行分装，既有盒装也有袋装，且恰好将这36斤草莓整份分装完．若盒装每份4斤，袋装每份6斤，请问盒装和袋装各多少份恰好能分完？并请求出具体方案． 58．王洋准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ (2)现有30吨梨子，王洋计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有多少种租车方案？ (3)若1辆甲型车需租金180元/次，1辆乙型车需租金150元/次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 59．某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元． (1)若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部（必购进甲型号手机），请你研究一下商场的进货方案； (2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？ 题型十、几何问题（难点） 60．在一块长方形广场上有3个大小完全相同的长方形花坛，如图中阴影部分即为花坛，已知长方形广场的长为，宽为，则每个花坛面积为（   ） A． B． C． D． 61．在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长和为______；面积和为______． 62．小宇准备制作数盏如图①所示的仿古灯笼，他用图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，最终制成图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼，现有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，则的值为______（用含a，b的式子表示）． 63．分别用8个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm的小正方形．你能求出小长方形的长和宽吗？ 64．综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②高为的圆柱形烧杯原始水面高度是． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 65．如图，已知直线和直线相交于点，平分，是内部的一条射线． (1)若，，则 °． (2)若比大比大，请结合二元一次方程组求的度数． 66． 项目主题 制作仿古灯笼 素材1 灯笼、又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼． 素材2 用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼． 素材3 用现有的纸板裁成如图②的长方形和正方形作为侧面与底面已知一张纸板的裁剪方式有两种（均有余料）、方式一：裁成个长方形与一个正方形：方式二：裁成个长方形与个正方形、现将张硬纸板用方式一裁剪、张硬纸板用方式二裁剪 任务一 设做成的竖式灯笼个，横式灯笼个，根据题意完成表格； 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） ①__________ 正方形宣纸的数量（张） ②___________ 任务二 若使用长方形宣纸张，正方形宣纸张，试求出两种灯笼一共做了多少个？（用含、的代数式表示） 任务三 若两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，两种灯笼都制作，则两种款式的灯笼分别做了多少个？ 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） 正方形宣纸的数量（张） 综合攻坚·能力跃升 B 1．（2026·辽宁·模拟预测）我国古代数学典籍中记载了这样一道数学题：“今有绢一匹买紫草三十斤，染绢二丈五尺．今有绢七匹，欲减买紫草，还自染余绢．问减绢、买紫草各几何．”（匹：布料长度的计量单位，1匹丈，1丈尺）译文：现在1匹绢可以换30斤紫草，这些紫草用来染绢可染2丈5尺．现有7匹绢，想要卖掉一部分来买紫草，并用买来的紫草染剩余的绢．问卖掉多少匹绢，买多少斤紫草．若设卖掉x匹绢，剩余y匹绢，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·一模）我国数学著作《九章算术·卷七·盈不足》中有这样一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文：现有黄金9枚、白银11枚，放在天平两边，重量正好相等．如果从黄金中拿1枚放到白银那边，从白银中拿1枚放到黄金这边（互换1枚），这时黄金一边轻了13两．问：1枚黄金、1枚白银各重多少？设黄金一枚重两，白银一枚重两，根据题意，下列方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·福建福州·期中）晨光文具店以固定的单价卖出同样的笔记本和水笔，以下是4天的账目记录：第1天，卖出7本笔记本和12支水笔，收入59元；第2天，卖出28本笔记本和48支水笔，收入234元；第3天，卖出21本笔记本和36支水笔，收入177元；第4天，卖出14本笔记本和24支水笔，收入118元；其中记录有误的是（    ） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 4．（25-26七年级下·福建厦门·期中）为了落实校园餐专项整治，某市给中学生的营养餐提出如下标准： ①营养餐的总质量为，成分包含：蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物质； ②蛋白质和脂肪的含量占； ③碳水化合物比蛋白质少，矿物质的含量是脂肪含量的2倍． 若设一份营养餐中含蛋白质，脂肪，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·北京海淀·期末）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 6．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）某学校知识竞赛共18轮，每轮胜一场积分、负一场积分均不变（无平局情况），如表记录了A、B、C、D4名参赛者前5轮积分情况．若18轮结束后，参赛者胜场数是负场数的偶数倍，则参赛者B总积分是___________． 参赛者 胜场数 负场数 积分 A 4 1 19 B 3 2 13 C 3 2 13 D 2 3 7 7．（25-26七年级下·西藏·期中）年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本(元/件) 售价(元/件) 甲 700 1000 乙 800 1200 若该厂投入元生产甲、乙两款服装共件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ 8．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）某公司计划租用甲乙两种型号的冷柜车运送80吨水果，甲型冷柜车每天运送量为6吨，乙型冷柜车每天运送量为8吨．甲型冷柜车先运送了若干天之后退出，剩余的水果由乙型冷柜车负责运送直至完成，整个运送过程总共用时12天．求甲乙两种型号的冷柜车各运送多少天？ (1)思路1：直接设未知数法．若设甲型冷柜车运送天，乙型冷柜车运送天，请根据题意直接列出方程组（无需求解）： (2)思路2：间接设未知数法．若设甲型冷柜车运送吨水果，乙型冷柜车运送吨水果，请列方程组并解答． 9．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）传说幻方最早出现于我国古代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)求图所示的幻方中的值； (2)求图所示的幻方中，的值； (3)如图，若，均为正整数，请通过计算说明一共有多少种不同的填法． 10．（25-26七年级下·北京·期中）三月，我校班超联赛火热开赛！为丰富同学们的课余生活、满足运动需求，学校计划采购一批足球和篮球．负责采购的老师在团购群中看到了如下对话信息： (1)根据对话信息，求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)若学校一次性采购总金额为700元．两种球都至少购买1个且采购资金正好用完，请给出所有购买方案． 11．（25-26八年级下·福建三明·月考）某校组织消防演练，李老师通过测试推测紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼．请根据下表信息，完成下列问题． 课题 测试紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼 方式 模拟教学楼发生火灾的场景，进行应急疏散演习，师生按照预定路线迅速、有序地撤离到安全地带． 地点 共有5道门作为安全出口，有大小相同的三道正门，大小相同的两道侧门． 数据收集 ①通过预演，李老师得到如下数据：正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过200人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过280人． ②紧急情况导致局部人口密度过高，通过正门、侧门的效率均降低为原来的． 相关情况 教学楼内有教师122名；共有35间教室，每间教室平均有50名学生． 安全要求 紧急情况下，教学楼内所有人员应在5分钟内通过5个门安全撤离． (1)求正常情况下每个侧门和正门每分钟通过的人员数量； (2)教学楼内全体师生在紧急情况下撤离教学楼至少需要多少分钟，是否能安全撤离？ 12．（25-26七年级下·福建福州·期中）综合与实践：设计制作纸盒方案 素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形． 素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料． ②制作纸盒后没有剩余材料． 问题解决： 为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒个，竖式无盖纸盒个． 问题一：初探材料用量 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） 个横式无盖纸盒 个竖式无盖纸盒 问题二：再探关系 需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计 ________ ________ 300 (1)请完善上述表格，并写出、之间满足的关系式：________； 方案选择： (2)能否用这300张纸板制作这两种纸盒，使得到的竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，且材料没有剩余，如果可以，请设计你的分配方案；如果不能，请说明理由． 13．（2026·湖南湘西·一模）问界车型中有一款增程版车型，汽车先通过车身电池中电力续航（续航：汽车持续行驶），亏电（电池中电量使用完）后会通过汽油发动机发电来为电池充电，再用电力续航，满电满油情况下可续航1400千米，因此具有更强的续航里程．问界增程版电池容量为40度，可在纯电模式下行驶180千米．亏电后通过汽油发电续航，100千米耗油6.3升．2024年清明假期，小张从长沙出发，驾驶满电满油的问界到距离380千米的湘西游玩三日两晚再回到长沙．当行驶280千米时，电费与油费共82.4元；当行驶到达湘西时，电费与油费共132.8元． (1)求每度电的价格与每升油的价格； (2)与小张同行的小李驾驶某品牌纯燃油车（车身不带电池），每100千米耗油5升．根据景区规定：纯燃油车停车费25元/晚，而问界属新能源车，受国家扶持，景区免收停车费．请问小张这次出游（说明：往返长沙，中途不充电、不加油）比小李节省了多少费用？ 14．（25-26七年级下·福建福州·期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖和横式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)【任务1】若，求，，的值； (2)【任务2】求的最大值． 15．（25-26八年级上·广东梅州·期末）问题的解决策略：逐步确定 【问题】中秋佳节灯笼俏，灯笼齐挂亮堂堂，三三数时能数尽，五五数时剩两盏，七七数时刚刚好．求最少有多少盏灯笼？ 【理解问题】灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件： ①三三数时能数尽，则所求灯笼的数量能被3整除； ②五五数时剩两盏，则所求灯笼的数量除以______，余数是______； ③七七数时刚刚好，则所求灯笼的数量能被7整除． 【拟定计划】设灯笼的数量为x（x为正整数），需满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）； ②（m为非负整数）； ③______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数）．根据以上分析，得到，因此，且m为非负整数，所以“”一定能被5整除． 【实施计划】（1）补全以上三个空格，并求最少有多少盏灯笼？ （2）学校举办“班级文化展示周”，八（1）班计划用彩色小旗装饰教室外墙．小旗有两种悬挂方式： ①若按“7面红旗、5面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余2面红旗和部分黄旗； ②若按“1面红旗、6面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余部分红旗和0面黄旗． 已知红旗和黄旗总数为100面．请问八（1）班至少准备了多少面红旗？ 16．（25-26七年级下·浙江·期中）根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二元一次方程组的实际应用目 录 A题型建模・专项突破 题型一、行程问题 1 题型二、工程问题 5 题型三、数字问题 9 题型四、年龄问题 14 题型五、分配问题 17 题型六、古代问题（常考点） 21 题型七、和差倍分问题 28 题型八、销售利润问题（重点） 30 题型九、方案问题（难点） 37 题型十、几何问题（难点） 44 B综合攻坚・能力跃升 50 题型建模·专项突破 A 题型一、行程问题 1．某船顺流航行用了，逆流航行，用了，则水流速度为（ ），船在静水中的速度为（ ） A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，正确列方程组是解题的关键；设水流速度为，船在静水中的速度为，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设水流速度为，船在静水中的速度为． 由题意，得， 解得， 水流速度为，船在静水中的速度为， 故选：． 2．A，B两地相距72km，甲、乙两人骑行，甲从A地出发到B地，乙从B地出发到A地，两人同时出发，4h后相遇．若骑行6h，此时甲剩下的路程为乙剩下路程的2倍，则甲、乙两人的骑行速度分别为（   ） A．6km/h和12km/h B．12km/h和4km/h C．8km/h和10km/h D．20km/h和10km/h 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据“4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时， 依题意得：， 解得：． 故答案选：C. 3．甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要________ 【答案】或10 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据相遇问题中的路程关系列方程．当同时出发后相距时，需分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距．分别与第一个条件联立解方程组，求出甲的速度，再计算甲由A地到B地所需时间． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据第一个条件：甲比乙早出发，乙出发后相遇，得方程： （1） 根据第二个条件：同时出发后相距，分两种情况： 情况一：相遇前相距，得方程： ，即（2） 联立（1）和（2）： ， 解得：，， 甲由A地到B地需要时间：， 情况二：相遇后相距，得方程： ，即（3） 联立（1）和（3）： ， 解得：， 甲由A地到B地需要时间：． 故答案为：或10． 4．甲、乙两人相距．若两人同时出发相向而行，则出发后相遇；若两人仍是相向而行，但甲比乙先出发，则乙出发后两人相遇．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度为12 千米/时，乙的速度为6 千米/时 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知行程问题的等量关系． 设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，根据路程等于速度乘以时间可列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：， 设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，        依题意得： ，                          解得 ，                                   答：甲的速度为12 千米/时，乙的速度为6 千米/时． 5．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【答案】(1)甲每小时行20km   乙每小时行16km (2)或或 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算； （2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲每小时行，乙每小时行． 根据题意，得 解得 故甲每小时行，乙每小时行． （2）解：相遇前：，解得，，符合题意； 相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意； 相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意． 综上所述，的值为或或． 6．一列匀速行驶的火车通过一座160米的铁路桥用了30秒，而它以同样的速度穿过一段200米长的隧道用了35秒，求这列火车的速度和长度？ 【答案】火车的速度为8米/秒，长度为80米 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组解答． 设这列火车的速度和长度分别为米秒和米，根据题意列出方程组解答即可． 【详解】解：设这列火车的速度和长度分别为米秒和米， 可得：， 解得：， 答：火车的速度为8米/秒，长度为80米． 题型二、工程问题 7．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线，且修完时，甲工程队比乙工程队多修了”，即可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：∵甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线， ∴； ∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了， ∴． ∴根据题意可列方程组 故选：B． 8．某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 【答案】 44.5 42.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，由题意，得： ，解得：， 答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米； 故答案为：，． 9．某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 【答案】甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“两项工程的工作天数”，“对应总报酬”，梳理出两个等量关系是解题关键． 设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元，根据“两项工程的工作天数”和“对应总报酬”，设未知数并列二元一次方程组求解． 【详解】解：设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元． 10．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 11．如何分配工作时间 如何分配工作时间，使公司能在规定时间内完成任务 素材1 某电子零件生产公司承接到19200个零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产12天，乙车间生产24天，则比订单多生产720个；若甲车间生产24天，乙车间生产12天，则比订单少生产240个零件． 素材2 经调查，甲车间每人每天能生产25个电子零件，乙车间每人每天能生产20个电子零件． 素材3 因分公司生产需求，需从两个车间抽走相同数量的工人，为了保证抽调后两个车间每天生产总和不变，且甲、乙两车间同时开工生产，余下工人每人每天生产个数需要提高． 问题解决 (1)求甲、乙车间原来每天生产多少个电子零件？ (2)甲、乙车间抽调后各有多少人？ (3)若按甲、乙车间抽调后的人数和提高后的工作效率计算，如何分配甲、乙两车间工作的天数（天数为整数），使公司能在不超过20天的情况下，恰好完成该任务？ 【答案】(1)甲车间原来每天生产500个零件，乙车间原来每天生产580个零件 (2)甲车间抽调人数后有16人，乙车间抽调人数后有25人 (3)方案一：甲车间工作20天，乙车间工作16天；方案二：甲车间工作15天，乙车间工作20天 【分析】（1）设甲车间原来每天生产个零件，乙车间原来每天生产个零件，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）设每个车间被抽走人，根据“抽调后两个车间每天生产总和不变”进行列式求解即可； （3）设甲车间工作天，乙车间工作天，根据题意列出二元一次方程，再求出符合要求的解即可． 【详解】（1）解：设甲车间原来每天生产个零件，乙车间原来每天生产个零件， ， 解得， 答：甲车间原来每天生产500个零件，乙车间原来每天生产580个零件； （2）解：设每个车间被抽走人， 抽调前 抽调后 车间效率 个人效率 人数 个人效率 人数 车间效率 甲 500 25 20 30 和不变 乙 580 20 29 24 ∴ 解得， ∴甲车间人数：（人）；乙车间人数：（人）； （3）解：由（2）得，甲车间抽调后每天生产480个零件，乙车间抽调后每天生产600个零件， 设甲车间工作天，乙车间工作天， 由题意得，， ∴符合要求的解为， ∴方案一：甲车间工作20天，乙车间工作16天；方案二：甲车间工作15天，乙车间工作20天． 题型三、数字问题 12．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“这个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：，即， 解得：， 则这个两位数是． 故选：A． 13．如图1是2022年8月份的月历，小军同学用“Z”字形框在月历上框出四个数字，将该“Z”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于m，n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据日历上的数字之间的关系列方程组：，再解方程组，再分别检验四个选项即可得到答案． 【详解】解：由题意得： ， 由②得：， 把代入①得：， ， ，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，，∴，故选项C符合题意， ，故选项D不符合题意． 14．小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是________． 【答案】21 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握在加数后多写一个等价于该数乘以的数量关系，从而建立方程组是解题的关键． 设两个加数分别为和，根据题意列出方程组并求解，比较大小得出较小加数． 【详解】解：设原来两个加数分别为和． 根据题意，得方程组 解方程组，将第一式乘以，得， 减去第二式，得，解得． 代入第一式，得， 即，解得． ∴方程组的解为 故原来两个加数分别为和，较小的加数是． 故答案为：． 15．将这八个数分成两组，每组四个数，并且两组数之和相等．从A组拿一个数到B组后，B组五个数之和将是A组剩下的三个数之和的2倍；从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和将是A组五个数之和的，则A组的四个数是____． 【答案】 【分析】先求解出这八个数之和，再根据两组数之和相等，可分别求解出A组与B组的和，再根据已知条件分别求解出从A组拿的一个数和从B组拿的一个数，由此可解． 【详解】解：∵这八个数之和为， 又∵分成两组，每组四个数，并且两组数之和相等， ∴A组与B组的和都为， 设从A组拿一个数为x，从B组拿一个数为y， ∵从A组拿一个数到B组后，B组五个数之和将是A组剩下的三个数之和的2倍， ∴，解得， ∵从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和将是A组五个数之和的， ∴，解得， ∴A组中有，B组中有，且A组其余三个数的和为， 满足和为的只有， 则A组的四个数是． 16．一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 【答案】原来的两位数是81． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出等量关系是解决问题的关键． 根据等量关系，设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故原来的两位数是81． 17．小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【答案】 时看到的两位数是16 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可． 【详解】解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为； 则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：； 则时看到的数为，时行驶的里程数为：； 由题意列方程组得： ， 解得：， 时看到的两位数是16． 18．幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)或或，补全幻方见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意并列出方程是解题的关键． （1）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，即可； （2）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程组，即可； （3）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，再结合m，a为正整数，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得： ， 解得：； （3）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ∵m，a为正整数， ∴或或， 当时， 第三行的三个数从左到右依次为13，8，15，第三列三个数从上到下依次为11，10，15， 每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都36， ∴第二行的三个数从左到右依次为14，12，10， ∴第一列三个数从上到下依次为11，12，13， ∴第一行的三个数从左到右依次为11，14，11， 11 14 11 12 12 10 13 8 15 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下 21 4 11 2 12 22 13 20 3 题型四、年龄问题 19．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 20．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 【答案】14 【分析】设聪聪的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 21．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为___岁． 【答案】28 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，根据我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半可得方程，根据当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁可得方程，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁， 由题意得，， 解得， ∴今年甲的年龄为28岁， 故答案为：28． 22．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 题型五、分配问题 23．2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 根据面包总数为1000份，灾民人数为300位，列方程组即可． 【详解】解：设成人有x人，小孩有y人， 由题意可得，， 故选：A． 24．某车间有98名工人，平均每人每天可加工机轴15根或轴承12个，每根机轴 要配2个轴承，应分配x人加工机轴，y人加工轴承，才能使每天加工的机轴和轴承配套，根据题意可得方程组______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用（配套问题），解题的关键是找出两个核心等量关系：一是加工机轴与轴承的总人数等于车间总人数，二是每天加工的轴承数量是机轴数量的2倍（根据“每根机轴配2个轴承”的配套要求）． 先根据总人数为98人，得到加工机轴的人数与加工轴承的人数的和为98，列出第一个方程；再根据“每根机轴配2个轴承”的配套规则，可知轴承总数（）是机轴总数（）的2倍，列出第二个方程，进而组成方程组． 【详解】解：根据题意，找两个等量关系： 加工机轴人数加工轴承人数总人数，即； 轴承总数机轴总数（每根机轴配2个轴承），其中机轴总数为，轴承总数为，故； 综上，组成的方程组为． 故答案为：． 25．七年（2）班的王老师和张老师带领40名学生去公园野营，大帐篷限住5人，小帐篷限住3人，一共租了10顶帐篷，正好全部住满，求大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 【答案】大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设大帐篷租了x顶，则小帐篷租了顶，根据租用的帐篷正好住人，再根据列出关于x的一元一次方程，可解求得出x的值，再将其代入中，即可求出租用小帐篷的数量． 【详解】解：设大帐篷租了x顶，则小帐篷租了顶， 根据题意得：，解得：， ∴． 答：大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶． 26．疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人． (1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？ (2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为 （辆）． 【答案】(1)1辆小客车可载45人，1辆大客车可载60人 (2)4，2 【分析】（1）设1辆小客车可载人，1辆大客车可载人，根据“租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人”，列方程组求解即可； （2）设租用小客车辆、大客车辆，均为正整数（需同时租用两种车型，因此都大于0），根据总人数可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设1辆小客车可载人，1辆大客车可载人， 根据题意可得： ， 解得， 答：1辆小客车可载45人，1辆大客车可载60人； （2）解：设租用小客车辆、大客车辆，均为正整数（需同时租用两种车型，因此都大于0）， 根据总人数列方程： ，化简得：， 变形得， ∵均为正整数， ∴仅当时，符合要求． 因此需要租用小客车4辆，大客车2辆． 27．某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 【答案】(1) (2)零件个，零件个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用． 根据甲、乙两种材料的总用量建立等量关系得到二元一次方程组，解方程组得到零件的个数． 【详解】（1）解：∵设生产零件个，零件个， ∴根据甲材料总用量：生产个零件需甲材料，生产个零件需甲材料，总共有， 乙材料总用量：生产个零件需乙材料，生产个零件需乙材料，总共有， 可列方程组为：； （2）解：解方程组得：， ∴零件个，零件个． 28．商店中贩卖一款包含两种图案的艺术纸片组合包，形状分别为公分公分、公分公分的长方形，如图所示． 小灿打算在不裁切纸片的情况下，将这两种艺术纸片以紧密相邻的方式贴成图的长方形，其中奇数层为图案，偶数层为图案，且最后一层为图案，而相同图案的艺术纸片皆为相同的方向． 请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： (1)以上述方式贴成的长方形，第一层最少有几个图案？ (2)已知每个组合包中两种图案的艺术纸片数量比为，若小灿想购买一些组合包，贴成图的长方形，其中第一层的图案数量与（1）求出之值相同，判断他是否可能恰好把购买的艺术纸片用完？请说明理由． 【答案】(1)第一层最少有个图案， (2)不可以，理由见解析． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意是解题的关键． （1）先求出与的最小公倍数为，进而得出答案； （2）设图案的层数为，图案的层数为，列出方程组，进而得出答案． 【详解】（1）解：与的最小公倍数为， （个）， 答：以上述方式贴成的长方形，第一层最少有个图案． （2）不可以，理由如下： ∵的形状分别为公分公分的长方形，的形状分别为公分公分的长方形， ∴， ∵第一层的图案数量与（1）求出之值相同， ∴第二层的图案最少有个， 设图案的层数为，图案的层数为， ， 解得：， ∵为整数， ∴不可以． 题型六、古代问题（常考点） 29．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据五只雀六只燕共重16两，可得第一个方程：，互换其中一只后，一方剩余只雀和只燕，另一方剩余只雀和只燕，二者重量相等，可得第二个方程：，即可得到答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ． 30．《算法统宗》中写道：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．译文：一些客人来到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就会有7人没有地方住；若是每间住9人，则空了一间房间．问有多少间房？多少客人？设李三公有间客房，来了个客人，可列方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需根据题意提取两个等量关系，分别列出方程即可得到答案． 【详解】解：设李三公有间客房，来了个客人， 根据“每间房住7人，7人没有地方住”，可得； 根据“每间住9人，空出一间房”，可得； 因此，可列方程组为． 31．《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长?（一尺等于十寸），设木头长尺，绳子长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设木头长尺，绳子长尺，由题意可得，， ∴可列方程组为． 32．《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，则可列方程组________．（结果可以不化简） 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据总人数和总馒头数确定两个等量关系，结合设出的未知数即可列出方程组. 【详解】解：已知大和尚人，小和尚人，总共有个和尚，因此可得第一个方程：. 大和尚每人吃个馒头，个大和尚共吃个馒头；个小和尚吃个馒头，个小和尚共吃个馒头，总共有个馒头，因此可得第二个方程：. 联立两个方程可得方程组. 33．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思是说，有一群乌鸦到树林休息，如果每棵树上有3只乌鸦，则有5只落在地上；如果每棵树上有5只乌鸦，则有一棵树上没有乌鸦．设共有只乌鸦，棵树，则可列方程组为___________． 【答案】 【分析】根据“每棵树上有3只乌鸦，5只落在地上”，可得等量关系：乌鸦总数树的总数，即．根据“每棵树上有5只乌鸦，有一棵树上没有乌鸦”，可得等量关系：乌鸦总数树的总数，即，即可得解． 【详解】解：可列方程组为． 34．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如图1，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x、y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则图2表示的方程是_________，这两个方程组成的方程组的解为_________． 【答案】 【分析】先得到图二表示的方程，进而得到方程组求解即可． 【详解】解：∵从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x、y的系数与相应的常数项， ∴表示， ∴表示， ∴图2表示的方程是， 可得， 解得：． 35．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程或方程组解应用题． (1)周瑜寿数：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小，个位上的数字的倍正好等于这个两位数，求这个两位数； (2)官兵分布：一千官兵一千布，一官四尺无零数；四兵才得布一尺，请问官兵多少数？诗的意思是：现共有官兵和尺布．每位官分尺布，位士兵共分一尺布，恰好分完．问官和兵各有多少人？若设官有人，兵有人，由题意可列方程组为：________________，解此方程组可知官有________人，兵有________人． 【答案】(1) (2) ；； 【分析】（1）设这个两位数十位上的数字是，个位上的数字是，列二元一次方程组解题即可； （2）设官有人，兵有人，列方程组求解即可. 【详解】（1）解：设这个两位数十位上的数字是，个位上的数字是， 根据题意得： 解得： 答：这个两位数是. （2）解：设官有人，兵有人， 由题意得：， 解得：， 即：官有人，兵有人． 36．今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？选自《张丘建算经》 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙的钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多倍；如果乙得到甲的钱，那么两人钱数相等．甲、乙两人各带了多少钱？ 【答案】甲带了钱，乙带了钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲带的钱数为，乙带的钱数为，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲带的钱数为，乙带的钱数为， 根据题意，得， 解方程组，得， 所以，甲带了钱，乙带了钱． 37．《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 【答案】(1)牛每头值金两，羊每头值金两 (2)①消元；②数据如图 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及消元思想，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设牛每头值金两，羊每头值金两，根据有牛头、羊头，共值金10两；牛头、羊头，共值金两；列出二元一次方程组，解方程即可； （2）①根据题意即可得出结论； ②根据“方程术”推算即可． 【详解】（1）解：设牛每头值金两，羊每头值金两，由题意得， ， 解得：， 答：牛每头值金两，羊每头值金两． （2）解：① “遍乘”是用一个数去乘方程两边，“直除”是通过相减消去一个未知数，这体现了解二元一次方程组的消元思想． 故答案为：消元． ②因为右方羊的数量是，左方羊的数量是，所以用右羊数遍乘左方各数， 左方原来牛、羊、金，遍乘后：牛，羊，金，得到遍乘后的左方数据为牛、羊10、金16，右方数据不变（牛、羊、金10）， 然后进行直除，要消去羊，右方羊是，左方羊是10，，用左方各数减去右方对应数的倍． 牛：；羊：；金： ． 所以最终图填写如下： 38．电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少；另外三个群，狗的数量多且数量相同．若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量． 【答案】“三多”的每群狗有85条，“一少”的狗有45条． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 设“三多”的每群狗有m条，“一少”的狗有n条，根据共有300条狗，“三多”的每群狗比“一少”的那个群里狗的数量多40条列方程组求解即可． 【详解】解：设“三多”的每群狗有m条，“一少”的狗有n条， 由题意得， 解得， 答：“三多”的每群狗有85条，“一少”的狗有45条． 39．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”请你用二元一次方程组解决该问题． 【答案】绳长尺，竿长尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳长尺，竿长尺， 根据题意得： 解得： 答：绳长尺，竿长尺． 题型七、和差倍分问题 40．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 【详解】解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 41．2022年第19届亚运会即将在我国杭州举行．如图是杭州市桐庐县瑶琳镇林场区块，从高处俯瞰，有一处白绿相间的“马”字形建筑分外引人注目，这里就是杭州亚运会马术项目比赛场馆桐庐马术中心，其总建筑面积约为5.4万平方米，包括各种功能区．其中主赛场和室内训练场总共占17000平方米，主赛场面积开阔，是室内训练场的2倍还多2000平方米．问主赛场的面积和室内训练场的面积各多少平方米？ 【答案】主赛场的面积为12000平方米，室内训练场的面积为5000平方米 【分析】设主赛场的面积为x平方米，室内训练场的面积为y平方米，根据其中主赛场和室内训练场总共占17000平方米，主赛场面积开阔，是室内训练场的2倍还多2000平方米，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：设主赛场的面积为x平方米，室内训练场的面积为y平方米．             根据题意，得                 解得                 答：主赛场的面积为12000平方米，室内训练场的面积为5000平方米． 42．3月12日植树节当天，某校组织学生参加植树活动，践行绿色环保理念．如果每人种2棵树苗，则最后还剩5棵树苗；如果每人种3棵树苗，则还缺40棵树苗．求参加植树的人数和这批树苗的总数． 【答案】参加植树的人数为45人，这批树苗总数为95棵 【详解】解：设参加植树的人数为人，这批树苗总数为棵， 根据题意，得， 解得， 答：参加植树的人数为45人，这批树苗总数为95棵． 43．有一群鸟，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若从地上飞到树上1只，则地上的鸟就是整个鸟群的；若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟就一样多了．你知道树上、地上各有多少只鸟吗？试列方程组解答． 【答案】树上有7只鸟，地上有5只鸟． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设树上有只鸟，地上有只鸟，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设树上有只鸟，地上有只鸟． 根据条件，若从地上飞到树上1只，则地上的鸟为整个鸟群的，得：； 若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟一样多，得：； 即， 解得：． 答：树上有7只鸟，地上有5只鸟． 44．某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克． (1)求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克； (2)已知1架型无人机的单次租金为150元，1架型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元． 【答案】(1)1架A型无人机一次可配送货物100千克，1架B型无人机一次可配送货物60千克 (2)租金更少的租用方案是租用8架A型无人机和1架B型无人机，节省了50元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设1架型无人机一次可配送千克，1架型无人机一次可配送千克，再根据题意列出关于x、y的二元一次方程组求解即可； （2）先说明选8架型无人机和1架型无人机配送运的租金更少，再求出节省的费用即可． 【详解】（1）解：设1架型无人机一次可配送千克，1架型无人机一次可配送千克， 根据题意，得，解得：， 答：1架型无人机一次可配送100千克，1架型无人机一次可配送60千克． （2）解：选择方案：选8架型无人机和1架型无人机配送． 由（1）得1架型无人机一次可配送100千克，1架型无人机一次可配送60千克， 当按原计划租用9架A型无人机的运力为（千克），符合要求；此时，该方案的费用为（元）； 当租用8架A型无人机和1架B型无人机的运力为（千克），符合要求，此时，该方案的费用为（元）． 当租用7架A型无人机和2架B型无人机的运力为（千克），不符合要求； ∵， ∴选8架型无人机和1架型无人机配送的租金更少； ∴该方案节省的费用为（元）． 题型八、销售利润问题（重点） 45．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元，根据销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元， 由题意得： 解得： 故调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元． 故选：C． 46．“相超文具店”新到两款限定中性笔：“永州款”每支笔杆带闪粉，“星城款”每支笔帽会变色．小艾买了9支永州款和4支星城款，老板报价：“一共52元”付完钱后，小艾突然说：“姐姐，我少要1支星城款，多换3支永州款吧”老板看了看库存，说：“可以，不过你还得再补1元钱”根据他们的对话，可知：永州款的单价为_______元． 【答案】 【分析】设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，根据他们的对话，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：永州款的单价为元． 47．一次考试之后数学老师来到一奶茶店购买奶茶用于奖励成绩进步较大的学生，注视着价格表： （1）老师发现：2杯百香双重奏、3杯芝士葡萄共需元；3杯百香双重奏、5杯芝士葡萄共需元，那么购买1杯百香双重奏和2杯芝士葡萄共需________元； （2）老师购买了杨枝甘露、清补凉椰椰、芝士杨梅三种奶茶共杯，共消费了元，若杨枝甘露元/杯，清补凉椰椰元/杯，芝士杨梅元/杯，则芝士杨梅买了________杯． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程以及二元一次方程组是解此题的关键． （1）设每杯百香双重奏的价格为元，每杯芝士葡萄的价格为元．根据2杯百香双重奏、3杯芝士葡萄共需元；3杯百香双重奏、5杯芝士葡萄共需元列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设老师购买芝士杨梅杯，杨枝甘露杯，则购买清补凉椰椰杯， 利用总价单价数量列出二元一次方程，根据、、均为正整数，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）设每杯百香双重奏的价格为元，每杯芝士葡萄的价格为元． 由题意，得， ，得, 故购买1杯百香双重奏和2杯芝士葡萄共需元． 故答案为：． （2）设老师购买芝士杨梅杯，杨枝甘露杯，则购买清补凉椰椰杯， 由题意，得， 化简，得， ∴， 又∵、、均为正整数， ∴，， ∴芝士杨梅买了杯， 故答案为：． 48．学校组织学生举行“数学创新技能大赛”，该学校拟购进A、B两种品牌的计算器作为本次大赛奖品．已知某商店购进3台A种品牌计算器所需费用与购进2台B种品牌计算器所需费用相同，购进1台A种品牌计算器与2台B种品牌计算器共需费用400元． (1)请你计算一下该商店A、B两种品牌计算器每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌计算器定价为180元/台，B种品牌计算器定价为250元/台，该商店拟用1000元购进这两种计算器（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种计算器后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 【答案】(1)A品牌计算器每台的进价为100元，B品牌计算器每台的进价为150元 (2)为能在销售完后获得最大利润，该商店应购进A种品牌计算器10台，B种品牌计算器0台 【分析】（1）设A品牌计算器每台的进价为x元，B品牌计算器每台的进价为y元，根据购进3台A种品牌计算器所需费用与购进2台B种品牌计算器所需费用相同，购进1台A种品牌计算器与2台B种品牌计算器共需费用400元建立方程组求解即可； （2）设购买A品牌计算器m台，购买B品牌计算器n台，根据购买费用为1000元列出方程，求出对应方程的非负整数解，再求出每组解对应的利润即可得到答案． 【详解】（1）解：设A品牌计算器每台的进价为x元，B品牌计算器每台的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A品牌计算器每台的进价为100元，B品牌计算器每台的进价为150元； （2）解：设购买A品牌计算器m台，购买B品牌计算器n台， 由题意得，， ∴， ∴， ∵m、n都是非负整数， ∴是不大于10的整数， ∴n要是偶数， 当时，，此时利润为元， 当时，，此时利润为元， 当时，，此时利润为元， 当时，，此时利润为元， ∵， ∴当，时，利润最大， 答：为能在销售完后获得最大利润，该商店应购进A种品牌计算器10台，B种品牌计算器0台． 49．某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求、两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元 (2)不能实现利润恰好为1200元的目标，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解决问题的关键． （1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元． 依题意，得， 解得， 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元； （2）解：不能实现利润恰好为1200元的目标，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， ， 解得， ∵根据题意，，都为正整数， ∴不合题意，舍去， 不能实现利润恰好为1200元的目标． 50．某商店购进两种商品共件， 商品每件进价元， 商品每件进价元，总进价为元． (1)求两种商品各购进多少件？ (2)若商品每件售价元， 商品每件售价元，全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)商品购进件， 商品购进件； (2)元． 【分析】（）设商品购进件，商品购进件，根据题意得，然后解方程即可； （）分别求出商品的获利，然后相加即可． 【详解】（1）解：设商品购进件，商品购进件， 根据题意得： ， 解得：， 答：商品购进件，商品购进件； （2）解：获利：（元），获利：（元）， 总获利：（元）． 51．信阳毛尖是中国十大名茶之一，具有“细、圆、光、直、多白毫、香高、味浓、汤色绿”的独特风格，被誉为“绿茶之王”．固始皇姑山茶是全国农产品地理标志产品，干茶条索紧秀圆直，汤色柳芽黄清澈，具兰花香气，鲜爽回甘，种植历史超2300年．河南某茶叶经销商要购进“信阳毛尖”和“固始皇姑山茶”进行销售，已知购进3份信阳毛尖与2份固始皇姑山茶共需要280元，购进2份信阳毛尖与3份固始皇姑山茶共需要270元，求每份信阳毛尖和每份固始皇姑山茶的价格 【答案】每份信阳毛尖的价格是60元，固始皇姑山茶的价格是50元 【分析】设每份信阳毛尖的价格是元，每份固始皇姑山茶的价格是元，根据题意，得解方程组即可； 【详解】解：设每份信阳毛尖的价格是元，每份固始皇姑山茶的价格是元， 根据题意，得 解得 答：每份信阳毛尖的价格是60元，固始皇姑山茶的价格是50元． 52．某水果店2025年第一季度苹果和橙子的总销售额为8000元，第二季度两种水果的销售额均有增长，其中苹果销售额增长了15%，橙子销售额增长了20%． 季度 苹果销售额/元 橙子销售额/元 总销售额/元 第一季度 8000 第二季度 ______ ______ ______ (1)设2025年第一季度苹果销售额为元，橙子销售额为元，请用含，的代数式填表： (2)已知第二季度总销售额比第一季度增加了1400元，求第二季度苹果和橙子的销售额分别是多少元？ 【答案】(1)，，； (2)第二季度苹果销售额为4600元，橙子销售额为4800元 【分析】（1）根据题意列代数式，再填表即可； （2）根据“第一季度苹果和橙子的总销售额为8000元，第二季度总销售额比第一季度增加了1400元”列出关于的二元一次方程组，解方程组得到的值，再乘以各自的增长率即可解答． 【详解】（1）解：第二季度苹果销售额为； 第二季度橙子销售额为； 第二季度总销售额为； 填表如下： 季度 苹果销售额/元 橙子销售额/元 总销售额/元 第一季度 8000 第二季度 （2）解：由题意可得，， 解得， ，， 答：第二季度苹果销售额为4600元，橙子销售额为4800元． 题型九、方案问题（难点） 53．某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示： 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 (1)求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数？ (2)若租用小客车辆，租用大客车辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所有的租车方案． 【答案】(1)每辆小客车满员能坐20人，每辆大客车满员能坐45人 (2)方案1：小客车11辆，大客车4辆；方案2：小客车2辆，大客车8辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设每辆小客车满员乘坐人，每辆大客车满员乘坐人，根据表格中信息，列出方程组，解方程组即可； （2）根据每辆小客车满员乘坐20人，每辆大客车满员乘坐45人，师生共400人，列出二元一次方程，求出方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每辆小客车满员能坐人，每辆大客车满员能坐人， 由题意得：， 解得： 答：每辆小客车满员能坐20人，每辆大客车满员能坐45人． （2）解：由题意得：， 整理可得：， 又因为均为正整数，于是b应该是4的正整数倍． 可得，， 方案1：小客车11辆，大客车4辆； 方案2：小客车2辆，大客车8辆． 54．一方有难，八方支援．某市发生地震，某公司用甲、乙两种货车向该市运送爱心物资，两次满载的运输情况如表： 运输次数 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)现有45吨物资需要再次运往该市，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货4吨、3吨 (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据已知条件列出方程组是解题的关键． 设甲、乙两种货车每辆分别能装货x，y吨，根据题意列方程组为，解方程组即可； 设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车．依题意得，则，根据，n均为正整数得到或或，即共有3种租车方案． 【详解】（1）解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货x，y吨，依题意，得 解得 因此，甲、乙两种货车每辆分别能装货4吨、3吨； （2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车． 依题意，得， 则， ，n均为正整数， 则或或 即共有3种租车方案， 方案1：租用3辆甲种货车、11辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车、7辆乙种货车； 方案3：租用9辆甲种货车、3辆乙种货车． 55．端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入、两种食品盒中，种食品盒每盒装8个粽子，种食品盒每盒装10个粽子，若将200个粽子分别装入、两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满，粽子没有剩余），则有哪几种不同的分装方式？ 【答案】共有四种不同的分装方式： ①种食品盒个，种食品盒个； ②种食品盒个，种食品盒个； ③种食品盒个，种食品盒个； ④种食品盒个，种食品盒个． 【分析】本题主要考查二元一次方程的正整数解的应用，涉及到方程思想和分类讨论思想．解题的关键在于根据题目条件列出关于两种食品盒数量的二元一次方程，然后结合正整数的条件来确定方程的解，也就是不同的分装方式．设出未知数：设用种食品盒个，种食品盒个．再根据粽子总数列出方程．变形后根据的取值范围求出方程的正整数解：通过对取值的讨论，求出满足条件的和的值，进而得到不同的分装方式． 【详解】解：设种食品盒x个，种食品盒个， 根据题意得：， ∴ 由题意知，、均为正整数， ∴或或或． 故共有四种不同的分装方式： ①种食品盒个，种食品盒个； ②种食品盒个，种食品盒个； ③种食品盒个，种食品盒个； ④种食品盒个，种食品盒个． 56．我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： (1)1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 【答案】(1)1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； (2)该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 【分析】（1）设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨，由“租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄”，列出二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨， 由题意得：， 解得：， 答：1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； （2）解：由题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 57．【列方程（组）解决问题】春假即将来临，某校组织学生去农场春游，体验草莓采摘、包装和销售过程．据了解该农场在包装草莓时，通常采用盒装和袋装两种包装方式．其中，盒装每份售价50元，袋装每份售价70元． (1)活动中，学生卖出盒装和袋装草莓共150份，销售总收入为9500元，请问盒装和袋装各销售了多少份？ (2)已知现在需要对36斤草莓进行分装，既有盒装也有袋装，且恰好将这36斤草莓整份分装完．若盒装每份4斤，袋装每份6斤，请问盒装和袋装各多少份恰好能分完？并请求出具体方案． 【答案】(1)盒装销售了50份，袋装销售了100份 (2)共有2种分装方案，方案1：盒装3份，袋装4份；方案2：盒装6份，袋装2份 【分析】（1）设盒装和袋装各销售了x份，y份，依题意列出二元一次方程组并求出x，y的值即可； （2）设盒装和袋装各m份、n份，恰好能分完，依题意得到，即，推导出m为3的倍数，且，得到或6，进而求出n的值即可． 【详解】（1）解：设盒装和袋装各销售了x份，y份，依题意，得 ， 解得， 答：盒装销售了50份，袋装销售了100份． （2）解：设盒装和袋装各m份、n份，恰好能分完，依题意，得 ， 即， ∵m，n都为正整数， ∴m为3的倍数，且， 解得， ∴或6， 当时，； 当时，； 答：共有2种分装方案，方案1：盒装3份，袋装4份；方案2：盒装6份，袋装2份． 58．王洋准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ (2)现有30吨梨子，王洋计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有多少种租车方案？ (3)若1辆甲型车需租金180元/次，1辆乙型车需租金150元/次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨 (2)共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，6辆乙型车；方案2：租用6辆甲型车，2辆乙型车 (3)租用6辆甲型车和2辆乙型车最省钱，最少租车费用为1380元 【分析】（1）设1辆甲型车装满梨子一次可运货x吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货y吨，根据用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨，列出方程组，解方程组即可； （2）根据一次运完30吨梨，列出方程，求出方程的正整数解即可； （3）分别求出两种方案的租金，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设1辆甲型车装满梨子一次可运货x吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货y吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨． （2）解：依题意，得：， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，；当时，． ∴共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，6辆乙型车；方案2：租用6辆甲型车，2辆乙型车． （3）解：方案1所需租金（元）； 方案2所需租金（元）． ∵， ∴租用6辆甲型车和2辆乙型车最省钱，最少租车费用为1380元． 59．某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元． (1)若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部（必购进甲型号手机），请你研究一下商场的进货方案； (2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？ 【答案】(1)方案1：甲型号30部，乙型号10部 方案2：甲型号20部，丙型号20部 (2)方案2 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，熟练掌握是解决此题的关键． （1）分别购进甲乙两种型号和甲丙两种型号，分别列出方程组进行求解即可； （2）求出两种方案的获利钱数进行比较即可． 【详解】（1）解：①若购甲、乙两种型号．设购进甲型号手机部，乙型号手机部， 根据题意，得 解得 所以购进甲型号手机30部，乙型号手机10部； ②若购甲、丙两种型号，设购进甲型号手机部，丙型号手机部， 根据题意，得解得 所以购进甲型号手机20部，丙型号手机20部． 综上所述，商场共有两种进货方案． 方案1：购甲型号手机30部，乙型号手机10部； 方案2：购甲型号手机20部，丙型号手机20部． （2）解：方案1获利：（元）； 方案2获利：（元）， 所以方案2获利最多． 题型十、几何问题（难点） 60．在一块长方形广场上有3个大小完全相同的长方形花坛，如图中阴影部分即为花坛，已知长方形广场的长为，宽为，则每个花坛面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设每个花坛的长为，宽为，根据题意，列出方程组，求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：设每个花坛的长为，宽为，根据题意得： ， 解得：， 即每个花坛的长为，宽为， ∴每个花坛面积为． 故选：B 61．在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长和为______；面积和为______． 【答案】 【分析】设大正方形和小正方形的边长分别是和，根据题意列方程组得到，，设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为，根据题意列方程得到，根据正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：设大正方形边长，小正方形边长， 依题意得， 解得， 设重叠的小正方形边长， 依题意得， 解得， 两块阴影部分的周长和， 阴影面积 62．小宇准备制作数盏如图①所示的仿古灯笼，他用图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，最终制成图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼，现有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，则的值为______（用含a，b的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了几何问题(二元一次方程组的应用) ，解题关键是找准等量关系． 先根据题意，列出关于x，y的方程组，再将两个方程组相加后两边都除以5即可． 【详解】解：∵有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完， ∴， ∴两式相加，得， ∴， 故答案为：． 63．分别用8个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm的小正方形．你能求出小长方形的长和宽吗？ 【答案】小长方形的长为，宽为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，观察图①、图②，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得 解得 答：小长方形的长为，宽为． 64．综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②高为的圆柱形烧杯原始水面高度是． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 【答案】(1)2 (2)放入4个大球，6个小球 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题时要能读懂题意，找到相等关系是关键． （1）根据“3个小球使水面上升”列式计算； （2）设放入x个大球，y个小球，根据放入大球、小球共10个，使水面上升到，进而可列方程组求解． 【详解】（1）解：由题意，根据图中数据可得，． 故答案为：2； （2）解：由步骤二可知，放入一个大球水面升高， 设放入x个大球，y个小球， 根据题意，得， 解得， 答：放入4个大球，6个小球． 65．如图，已知直线和直线相交于点，平分，是内部的一条射线． (1)若，，则 °． (2)若比大比大，请结合二元一次方程组求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据角平分线，由的度数求出的度数，再利用对顶角相等得到的度数，最后结合角的和差运算，用减去的度数，即可求出的度数； （2）设、，根据角平分线得出，再通过角的和差分别表示出、，然后根据与、与的度数关系列出二元一次方程组，解出方程组的解后，代入求出的度数，最后利用对顶角相等即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：设，． ∵平分， ∴， ∴， ． 根据“比大”，得：； 根据“比大”，得：， 联立，得方程组：， 解得， 则， ∴． 66． 项目主题 制作仿古灯笼 素材1 灯笼、又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼． 素材2 用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼． 素材3 用现有的纸板裁成如图②的长方形和正方形作为侧面与底面已知一张纸板的裁剪方式有两种（均有余料）、方式一：裁成个长方形与一个正方形：方式二：裁成个长方形与个正方形、现将张硬纸板用方式一裁剪、张硬纸板用方式二裁剪 任务一 设做成的竖式灯笼个，横式灯笼个，根据题意完成表格； 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） ①__________ 正方形宣纸的数量（张） ②___________ 任务二 若使用长方形宣纸张，正方形宣纸张，试求出两种灯笼一共做了多少个？（用含、的代数式表示） 任务三 若两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，两种灯笼都制作，则两种款式的灯笼分别做了多少个？ 【答案】任务一：填写表格见解析；任务二：两种灯笼一共个；任务三：竖式灯笼做了个，横式灯笼做了个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系． 任务一：根据长方体的六个面的特点求解即可； 任务二：根据制作的两种灯笼恰好用了长方形宣纸张，正方形宣纸张，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务三：根据两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：任务一：填写表格如下： 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） 正方形宣纸的数量（张） 故答案为：，； 任务二：根据题意得 ， 解得， 答：两种灯笼一共个； 任务三：根据题意可列方程组 解得， 答：竖式灯笼做了个，横式灯笼做了个． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（2026·辽宁·模拟预测）我国古代数学典籍中记载了这样一道数学题：“今有绢一匹买紫草三十斤，染绢二丈五尺．今有绢七匹，欲减买紫草，还自染余绢．问减绢、买紫草各几何．”（匹：布料长度的计量单位，1匹丈，1丈尺）译文：现在1匹绢可以换30斤紫草，这些紫草用来染绢可染2丈5尺．现有7匹绢，想要卖掉一部分来买紫草，并用买来的紫草染剩余的绢．问卖掉多少匹绢，买多少斤紫草．若设卖掉x匹绢，剩余y匹绢，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“现有7 匹绢”可得；根据“1匹绢可以换30斤紫草，这些紫草用来染绢可染2丈5尺”以及“1匹丈，1丈尺”可得，即可列出方程组． 【详解】解：设卖掉x匹绢，剩余y匹绢， 根据题意，可列方程组为． 2．（2026·浙江·一模）我国数学著作《九章算术·卷七·盈不足》中有这样一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文：现有黄金9枚、白银11枚，放在天平两边，重量正好相等．如果从黄金中拿1枚放到白银那边，从白银中拿1枚放到黄金这边（互换1枚），这时黄金一边轻了13两．问：1枚黄金、1枚白银各重多少？设黄金一枚重两，白银一枚重两，根据题意，下列方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意的两个等量关系，列出方程组即可． 【详解】解：由黄金9枚和白银11枚的重量相等，可列方程：， 互换1枚后，天平一边为8枚黄金和1枚白银，另一边为1枚黄金和10枚白银， ∴根据题意，可列方程：， ∴方程组为． 3．（25-26九年级下·福建福州·期中）晨光文具店以固定的单价卖出同样的笔记本和水笔，以下是4天的账目记录：第1天，卖出7本笔记本和12支水笔，收入59元；第2天，卖出28本笔记本和48支水笔，收入234元；第3天，卖出21本笔记本和36支水笔，收入177元；第4天，卖出14本笔记本和24支水笔，收入118元；其中记录有误的是（    ） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 【答案】B 【分析】设笔记本和水笔的单价分别为元和元，根据第一天的记录得到和的关系式，再利用后三天卖出商品数量与第一天的倍数关系，计算正确的总收入，对比记录即可找出错误的一天 【详解】解：设笔记本单价为元，水笔单价为元 根据第1天记录可得 ； 观察数量关系：第2天卖出笔记本数量，水笔数量， 正确总收入应为 ，与记录的234元不符， 验证第3天：，，正确总收入为，与记录一致， 验证第4天：，，正确总收入为，与记录一致， 因此记录有误的是第2天 4．（25-26七年级下·福建厦门·期中）为了落实校园餐专项整治，某市给中学生的营养餐提出如下标准： ①营养餐的总质量为，成分包含：蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物质； ②蛋白质和脂肪的含量占； ③碳水化合物比蛋白质少，矿物质的含量是脂肪含量的2倍． 若设一份营养餐中含蛋白质，脂肪，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】00根据题干给出的等量关系列出方程即可得到答案． 【详解】解：设一份营养餐中含蛋白质，脂肪， ∵蛋白质和脂肪的含量占总质量的， ∴， ∵碳水化合物比蛋白质少，矿物质含量是脂肪含量的倍， ∴碳水化合物质量为，矿物质质量为， ∵总质量中，除去蛋白质和脂肪，剩余碳水化合物和矿物质的总质量为， ∴， 因此得到方程组． 5．（25-26七年级上·北京海淀·期末）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形卡片的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出关于、的二元一次方程组，解之可得出、的值，再由长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 根据题意得：，解得：， 阴影部分的总面积为：． 故选：C． 6．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）某学校知识竞赛共18轮，每轮胜一场积分、负一场积分均不变（无平局情况），如表记录了A、B、C、D4名参赛者前5轮积分情况．若18轮结束后，参赛者胜场数是负场数的偶数倍，则参赛者B总积分是___________． 参赛者 胜场数 负场数 积分 A 4 1 19 B 3 2 13 C 3 2 13 D 2 3 7 【答案】54或78/78或54 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键． 由A和D的积分数据建立方程组，求解胜一场和负一场的积分；再根据B的总场数为18和胜场数是负场数的偶数倍的条件，列出方程求可能负场数，结合前5轮B已有2负，排除负场数为18的情况，得到负场数为2或6，计算积分分别为78或54． 【详解】解：设胜一场得分，负一场得分． 由A（4胜1负积分19）得： 由D（2胜3负积分7）得： 解方程组：， 得， 故胜一场得5分，负一场得分． 设B在18轮后胜场数为，负场数为，则，且（为正偶数）． 代入得，． 为18的正因数，且为偶数，为奇数． 18的正因数有1、2、3、6、9、18． 时，不是偶数； 时，是偶数； 时，不是偶数； 时，是偶数； 时，不是偶数； 时，不是正偶数，故无效． 因此或． B总积分． 若，则； 若，则． 故答案为：54或78． 7．（25-26七年级下·西藏·期中）年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本(元/件) 售价(元/件) 甲 700 1000 乙 800 1200 若该厂投入元生产甲、乙两款服装共件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ 【答案】可以生产甲款服装件，乙款服装件． 【分析】设生产甲款服装件，生产乙款服装件，根据该工厂共投入元生产两款服装共件，列方程组解题即可． 【详解】解：设生产甲款服装件，生产乙款服装件． 根据题意，可列方程组， 解得， 答：可以生产甲款服装件，乙款服装件． 8．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）某公司计划租用甲乙两种型号的冷柜车运送80吨水果，甲型冷柜车每天运送量为6吨，乙型冷柜车每天运送量为8吨．甲型冷柜车先运送了若干天之后退出，剩余的水果由乙型冷柜车负责运送直至完成，整个运送过程总共用时12天．求甲乙两种型号的冷柜车各运送多少天？ (1)思路1：直接设未知数法．若设甲型冷柜车运送天，乙型冷柜车运送天，请根据题意直接列出方程组（无需求解）： (2)思路2：间接设未知数法．若设甲型冷柜车运送吨水果，乙型冷柜车运送吨水果，请列方程组并解答． 【答案】(1) (2)甲型冷柜车运送8天，乙型冷柜车运送4天 【分析】（1）根据总运送天数为12天，总运送水果重量为80吨列方程组即可； （2）根据总运送天数为12天，总运送水果重量为80吨列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵总运送时间共12天，总运送水果共80吨， ∴根据题意，得 ， （2）解：根据题意，得 ， 解得， 甲型冷柜车运送天数为 （天） ， 乙型冷柜车运送天数为 （天） ， 答：甲型冷柜车运送8天，乙型冷柜车运送4天． 9．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）传说幻方最早出现于我国古代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)求图所示的幻方中的值； (2)求图所示的幻方中，的值； (3)如图，若，均为正整数，请通过计算说明一共有多少种不同的填法． 【答案】(1)的值为； (2)的值为，的值为； (3)一共有种不同的填法． 【分析】（）根据题意列出方程 ，然后解方程即可； （）根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）根据题意列出二元一次方程 ，然后求出正整数解即可． 【详解】（1）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴ ， ∴的值为； （2）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴， 整理得：， 解得：， ∴的值为，的值为； （3）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴ ， 整理得： ， ∴ ， ∵，均为正整数， ∴或或或， ∴一共有种不同的填法． 10．（25-26七年级下·北京·期中）三月，我校班超联赛火热开赛！为丰富同学们的课余生活、满足运动需求，学校计划采购一批足球和篮球．负责采购的老师在团购群中看到了如下对话信息： (1)根据对话信息，求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)若学校一次性采购总金额为700元．两种球都至少购买1个且采购资金正好用完，请给出所有购买方案． 【答案】(1)足球和篮球的单价分别为元 (2)有2种购买方案：①足球8个，篮球5个；②足球2个，篮球10个 【分析】（1）设足球和篮球的单价分别为元，根据对话信息建立二元一次方程组求解； （2）设购买足球个，篮球个，由题意得，，整理得，，再根据题意以及的约束条件求解． 【详解】（1）解：设足球和篮球的单价分别为元， 由题意得，， 解得 答：足球和篮球的单价分别为元； （2）解：设购买足球个，篮球个， 由题意得，， 整理得， ∵为正整数， ∴为整数，即为的倍数， ∵， ∴当时，； 当时， 当时，（舍去）， ∴当时，均不符合题意， ∴有2种购买方案：①足球8个，篮球5个；②足球2个，篮球10个． 11．（25-26八年级下·福建三明·月考）某校组织消防演练，李老师通过测试推测紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼．请根据下表信息，完成下列问题． 课题 测试紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼 方式 模拟教学楼发生火灾的场景，进行应急疏散演习，师生按照预定路线迅速、有序地撤离到安全地带． 地点 共有5道门作为安全出口，有大小相同的三道正门，大小相同的两道侧门． 数据收集 ①通过预演，李老师得到如下数据：正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过200人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过280人． ②紧急情况导致局部人口密度过高，通过正门、侧门的效率均降低为原来的． 相关情况 教学楼内有教师122名；共有35间教室，每间教室平均有50名学生． 安全要求 紧急情况下，教学楼内所有人员应在5分钟内通过5个门安全撤离． (1)求正常情况下每个侧门和正门每分钟通过的人员数量； (2)教学楼内全体师生在紧急情况下撤离教学楼至少需要多少分钟，是否能安全撤离？ 【答案】(1)正常情况下每个正门每分钟通过120人，正常情况下每个侧门每分钟通过80人 (2)至少需要分钟，教学楼内全体师生在紧急情况下能安全撤离 【分析】（1）设正常情况下每个正门每分钟通过人，正常情况下每个侧门每分钟通过人，根据“李老师得到如下数据：正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过200人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过280人．”列出方程组，即可求解； （2）教学楼内全体师生在紧急情况下撤离所需的最短时间，即可求解． 【详解】（1）解：设正常情况下每个正门每分钟通过人，正常情况下每个侧门每分钟通过人，根据题意，得： ， 解这个方程组，得 答：正常情况下每个正门每分钟通过120人，正常情况下每个侧门每分钟通过80人． （2）解：师生共有人数为：（人）． 紧急情况下1分钟最多能撤离人数：（人）， 教学楼内全体师生在紧急情况下撤离时间至少为：（分钟）， ， 答：教学楼内全体师生在紧急情况下能安全撤离． 12．（25-26七年级下·福建福州·期中）综合与实践：设计制作纸盒方案 素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形． 素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料． ②制作纸盒后没有剩余材料． 问题解决： 为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒个，竖式无盖纸盒个． 问题一：初探材料用量 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） 个横式无盖纸盒 个竖式无盖纸盒 问题二：再探关系 需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计 ________ ________ 300 (1)请完善上述表格，并写出、之间满足的关系式：________； 方案选择： (2)能否用这300张纸板制作这两种纸盒，使得到的竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，且材料没有剩余，如果可以，请设计你的分配方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)可以得到竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，此时60张纸板裁成正方形，240张纸板裁成长方形． 【分析】（1）根据题意，用正方形和长方形的所需张数除以1张纸板可裁剪的数量，即可表示；再根据纸板的总数量列式整理即可； （2）假设可以得到竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，根据题意得到二元一次方程组，求出、的值，满足题意，再代入（1）所得代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，需裁成正方形的纸板数为张，需裁成长方形的纸板数为张， 则， 整理得：； （2）解：假设可以得到竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍， 由题意可得， 解得：，满足、为正整数，符合题意， 则（张），（张）， 即可以得到竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，此时60张纸板裁成正方形，240张纸板裁成长方形． 13．（2026·湖南湘西·一模）问界车型中有一款增程版车型，汽车先通过车身电池中电力续航（续航：汽车持续行驶），亏电（电池中电量使用完）后会通过汽油发动机发电来为电池充电，再用电力续航，满电满油情况下可续航1400千米，因此具有更强的续航里程．问界增程版电池容量为40度，可在纯电模式下行驶180千米．亏电后通过汽油发电续航，100千米耗油6.3升．2024年清明假期，小张从长沙出发，驾驶满电满油的问界到距离380千米的湘西游玩三日两晚再回到长沙．当行驶280千米时，电费与油费共82.4元；当行驶到达湘西时，电费与油费共132.8元． (1)求每度电的价格与每升油的价格； (2)与小张同行的小李驾驶某品牌纯燃油车（车身不带电池），每100千米耗油5升．根据景区规定：纯燃油车停车费25元/晚，而问界属新能源车，受国家扶持，景区免收停车费．请问小张这次出游（说明：往返长沙，中途不充电、不加油）比小李节省了多少费用？ 【答案】(1)每度电的价格为0.8元，每升油的价格为8元 (2)29.68元 【分析】（1）设每度电的价格为x元，每升油的价格为y元，根据当行驶280千米时，电费与油费共82.4元；当行驶到达湘西时，电费与油费共132.8元，列出方程组进行求解即可； （2）根据题意用油车需花费的总费用减去电车需花费的总费用进行求解即可. 【详解】（1）解：设每度电的价格为x元，每升油的价格为y元， 根据题意得， 解得； 答：每度电的价格为0.8元，每升油的价格为8元． （2）解：（元） 答：小张这次出游比小李节省了29.68元． 14．（25-26七年级下·福建福州·期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖和横式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)【任务1】若，求，，的值； (2)【任务2】求的最大值． 【答案】(1)，，的值分别为、、 (2) 【分析】（1）张标准卡纸通过剪裁得到张小长方形，而一张可以剪裁个小长方形，先算出总的小长方形，减去，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以即可求解，根据个竖式叠盖纸盒需要个小长方形和个正方形，个横式叠盖纸盒个小长方形和个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要个小长方形，则，求其整数解，判断其最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 则， 解得， ∴，，的值分别为、、． （2）解：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， 即， 其整数解为、、、， ∴的最大值为． 15．（25-26八年级上·广东梅州·期末）问题的解决策略：逐步确定 【问题】中秋佳节灯笼俏，灯笼齐挂亮堂堂，三三数时能数尽，五五数时剩两盏，七七数时刚刚好．求最少有多少盏灯笼？ 【理解问题】灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件： ①三三数时能数尽，则所求灯笼的数量能被3整除； ②五五数时剩两盏，则所求灯笼的数量除以______，余数是______； ③七七数时刚刚好，则所求灯笼的数量能被7整除． 【拟定计划】设灯笼的数量为x（x为正整数），需满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）； ②（m为非负整数）； ③______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数）．根据以上分析，得到，因此，且m为非负整数，所以“”一定能被5整除． 【实施计划】（1）补全以上三个空格，并求最少有多少盏灯笼？ （2）学校举办“班级文化展示周”，八（1）班计划用彩色小旗装饰教室外墙．小旗有两种悬挂方式： ①若按“7面红旗、5面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余2面红旗和部分黄旗； ②若按“1面红旗、6面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余部分红旗和0面黄旗． 已知红旗和黄旗总数为100面．请问八（1）班至少准备了多少面红旗？ 【答案】（1）5，2，；42；（2） 【分析】本题主要考查了用代数式表示，求代数式的值． （1）根据题意填写各空，再根据一定能被5整除，可得的个位数是2和7，然后讨论得出答案； （2）设存在非负整数，根据悬挂方式①，可得红旗有面，黄旗数量大于面；根据悬挂方式②，可得黄旗有面，红旗数量大于面；则，再对从小到大讨论分析即可． 【详解】解：（1）五五数时剩下两盏，则所求的灯笼的数量除以5，余数是2； 设灯笼的数量为x，（x为正整数），需要满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）；②（m为非负整数）；③（n为正整数）， 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数），可得（m为非负整数）， ∴一定能被5整除， ∴的个位数是2和7， 当时，不符合题意； 当时，能被5整除，此时， 则最少有42盏灯笼； 故答案为：5，2，；42； （2）设存在非负整数，根据悬挂方式①，可得红旗有面，黄旗数量大于面； 根据悬挂方式②，可得黄旗有面，红旗数量大于面； ，即， ， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，且， ，符合题意； 故八（1）班至少准备了面红旗． 16．（25-26七年级下·浙江·期中）根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 【答案】(1) (2)千瓦时． (3)①见解析，②14.6 【分析】（1）根据题意列出方程组并解方程组即可； （2）设型机器人用了台，型机器人用了台．列出方程并求出正整数解即可得到答案； （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台．根据题意列出二元一次方程，并求出正整数解即可；②根据各方案的耗电量进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：设型机器人用了台，型机器人用了台． 由题意，得， 整理，得． 因为，都是正整数，所以是4的倍数， 所以，， 所以总耗电量为（千瓦时）． （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台． 由题意，得， 整理，得． 由题意得，是2的倍数，故所有可行方案列表如下： 方案 型/台 型/台 型/台 总耗电量/千瓦时 一 2 16 1 14.9 二 4 12 2 14.8 三 6 8 3 14.7 四 8 4 4 14.6 ②方案四：有A型号的机器人台，有B型号的机器人台，有C型号的机器人台；最省电，其耗电量为14.6千瓦时 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $