25.1 一元二次方程的概念（培优课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念，涵盖定义、一般形式及根的核心知识点。课堂导入通过人体雕像比例、矩形铁皮制作方盒等实际问题，关联一元一次方程知识，搭建从具体情境到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以实际问题培养数学眼光，如雕像比例问题抽象出方程模型。通过概念辨析例题和整体代入练习发展数学思维，分层设计基础与提升题，助力学生巩固知识，教师可直接用于教学，提升效率。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 25.1 一元二次方程的概念 第25章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 一元二次方程定义：只含一个未知数、未知数最高次数为2、两边均为整式的方程，三个条件缺一不可。 2. 一般形式：$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，其中$$ax^2$$是二次项，$$a$$为二次项系数；$$bx$$是一次项，$$b$$为一次项系数；$$c$$为常数项，a≠0是核心前提。 3. 方程的根：能使方程左右两边相等的未知数的值。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. $$x^3-2x=0$$ B. $$2x+y=3$$ C. $$x^2-4x+1=0$$ D. $$\frac{1}{x^2}+x=2$$ 2. 若方程$$(m-2)x^2+3x-1=0$$是一元二次方程，则$$m$$的取值范围是（ ） A. $$m eq2$$ B. $$m=2$$ C. $$m\gt2$$ D. $$m\lt2$$ （二）填空题 3. 方程$$2x^2-5x+1=0$$的二次项系数是______，常数项是______。 4. 已知$$x=1$$是方程$$x^2+ax-2=0$$的一个根，则$$a$$=______。 三、提升练习题 （三）解答题 5. 判断下列方程是否为一元二次方程，说明理由。 （1）$$3x^2=5x-1$$ （2）$$(x+2)(x-2)=x^2+1$$ 6. 将方程$$3x(x-2)=2(x+1)$$化为一元二次方程的一般形式，并写出各项系数。 四、参考答案与解析 1. C 解析：A最高次数为3，是一元三次方程；B含两个未知数；D是分式方程，均不符合定义。 2. A 解析：一元二次方程二次项系数不为0，即$$m-2 eq0$$，故$$m eq2$$。 3. 2，1 解析：根据一般形式直接判定各项系数与常数项。 4. 1 解析：将$$x=1$$代入方程，$$1+a-2=0$$，解得$$a=1$$。 5. （1）是，为整式方程，仅含未知数x，最高次数为2；（2）不是，化简后为$$-5=0$$，无二次项，不是一元二次方程。 6. 一般形式：$$3x^2-8x-2=0$$，二次项系数3，一次项系数-8，常数项-2。 总结：判断一元二次方程核心看三点：整式方程、单未知数、最高次数为2，尤其注意二次项系数不为0的隐藏条件，化简后再判定是解题关键。 学习目标 理解一元二次方程的概念.(重点) 2.掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方 程转化为一般形式 3. 确定出二次项系数、一次项系数和常数项. (难点) 学习目标 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感，如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ ∠1 = ∠2 已知 AB = 5m， 求 BC 长度. 实际问题 几何问题 AC∶BC = BC∶5， 即 BC² = 5AC. A C B 解：设雕像下部 BC = x m， x m (5 - x) m A C B 想一想，上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？ 列方程得 x2 = 5(5 - x )， 整理得　x 2 + 5x - 25 = 0．① BC² = 5AC. 问题1 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 100 cm 50cm 探究点1：一元二次方程的概念 x 由方程②可以得出各角所切正方形铁皮的边长. 分析：要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为 cm，则盒底的长为 cm，盒底的宽为 cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积 3600 cm2，可列方程为 . 100 cm 50 cm 3600 cm2 x (50 - 2x) x (100 - 2x) (100-2x)(50-2x) = 3600 化简，得 x² - 75x + 350 = 0② 探究点1：一元二次方程的概念 方程②中未知数的个 数和最高次数各是多少? 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛 1 场)，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 探究点1：一元二次方程的概念 分析：本次排球比赛的总比赛场数为 场.设邀请 支队参赛，则每支队与其他 支队都要赛一场.根据题意，你列出的方程 28 x (x - 1) x2 - x = 56 x(x -1) = 28 ③ 是 .整理为 . 探究点1：一元二次方程的概念 由方程③可以得出应邀请的球队数. 方程③中未知数的个数和最高次数各是多少? 方程 ① ② ③ 有什么共同点？ (1) 方程的两边都是_____； (2) 都只含_____个未知数； (3) 未知数的最高次数都是__. x2 - 75x＋350 = 0 ② x2 + 5x - 25 = 0 ① x2 - x = 56 ③ 类比一元一次方程的特征填空. 整式 1 2 探究点1：一元二次方程的概念 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2，这样的方程叫作一元二次方程. 【知识要点】 ax2 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项. 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 探究点1：一元二次方程的概念 想一想：为什么一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a≠0？b，c 可以为 0 吗？ 当 a = 0 时， bx＋c = 0， 当 a≠0，b = 0 时， ax2＋c = 0， 当 a≠0，c = 0 时， ax2＋bx = 0， 当 a≠0，b = c = 0 时， ax2 = 0， 总结：只要满足 a≠0 即可，b，c 可以为任意实数. 不符合定义； 符合定义； 符合定义； 符合定义． 探究点1：一元二次方程的概念 例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 三个判断条件： ①方程两边都是整式；②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是 2. 总结 C. (x - 1)(x - 2) =0 D. 4x² - 1 = (2x + 3)² A. x² + = 0 B. 3x² - 5xy + y² = 0 探究点1：一元二次方程的概念 (8) 2 - - 6 = 0. 1.判断下列方程是否为一元二次方程：  × × × ×  × × (1) x² + x = 36； (3) x + 3y =36； (5) x + 1 = 0； (7) ax² + bx + c = 0； (2) x3 + x² = 36； (4) - = 0； (6) = 6； 【练一练】 探究点1：一元二次方程的概念 例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？ (1) ax2－x = 2x2； (2) (a－1) x |a| + 1－2x－7 = 0. (a - 2) x2 - x = 0 a ≠ 2 (1) a - 2 ≠ 0 (2) | a | + 1 = 2 a = 1 或 -1 a - 1 ≠ 0 a ≠ 1 a = -1 探究点1：一元二次方程的概念 2. 已知方程 (2a－4)x2 − 2bx + a = 0. (1) 在什么条件下此方程为关于 x 的一元二次方程？ (2) 在什么条件下此方程为关于 x 的一元一次方程？ 解：(1) 当 2a − 4≠0，即 a≠2 时，是关于 x 的一元 二次方程. (2) 当 a = 2 且 b≠0 时，是关于 x 的一元一次方程. 探究点1：一元二次方程的概念 例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 系数和项均包含前面的符号. 总结 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2 - 8x - 10 = 0. 其中二次项系数是 3，一次项系数是 -8，常数项是 -10. 探究点1：一元二次方程的概念 探究点2：一元二次方程的根 试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根? – 4， –3， –2， –1，0，1，2，3，4 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x2 – x – 6 14 6 0 – 4 – 6 – 6 – 4 0 6 总结：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 例4 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值. 解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得 32 + 3a + a = 0. 总结: 已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的方程，然后解这个方程，就能得到字母的值. ∴ a = . 探究点2：一元二次方程的根 变式 已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2026 的值. 解：由题意得 a2 + 2a - 2 = 0，即 a2 + 2a = 2. 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解 ∴ 2a2 + 4a + 2026 = 2(a2 + 2a) + 2026 = 2×2 + 2026 = 2030 探究点2：一元二次方程的根 知识点1 一元二次方程的定义 1. 下列方程：; ; ;; ; 中，属于一元二次方程的是( ) C A. ①和② B. ②和⑤ C. ③和④ D. ③和⑥ 中考考法 21 2.关于的方程 是一元二次方程， 则 的值为_____. 【点拨】注意一元二次方程中二次项系数不为0. 解题支架 中考考法 22 知识点2 一元二次方程的一般形式 3. 把方程化成一般形式，则 的 值是( ) B A. B. 7 C. D. 1 4. 关于的一元二次方程 化为一 般形式后不含一次项，则 的值为( ) D A. 0 B. C. 4 D. 中考考法 23 知识点3 一元二次方程的解 5. [2026汕头期中] 若关于 的一元二次方程 的一个根是，则 的值为( ) C A. 2 B. C. 2或 D. 中考考法 24 6. 若是关于的方程 的解，则 代数式 的值是____. 【点拨】 先求出的值,再代入 比较困难，本题根据解的 定义将代入方程,得 ,变形 为,最后将待求式子变形为 后， 将 整体代入求解. 中考考法 25 7. 已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的 一次项系数是 ，写出一个符合要求的方程： _______________________________. （答案不唯一） 【点拨】由题意可设方程为，将 代入 ，得， 该方程 可为 . 中考考法 26 定义 一元二次方程 只含有__个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是__(二次) 的方程 一般形式 1 2 ax2 + bx + c = 0(a___0) ≠ 一元二次方程的根(解) 使方程左右两边____的未知数的值 相等 课堂小结 $