期末模拟卷（1）2025-2026学年湖南邵阳市七年级数学下学期湘教版

**基本信息** 本卷以七年级下学期核心知识为载体，融合糖画非遗、蔬菜种植园、能源生产统计等真实情境，通过新定义“阳光区间”、智慧数探究等创新题型，考查抽象能力、几何直观与数据意识，实现基础巩固与思维提升的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数、轴对称图形、整式运算|结合精美曲线考轴对称（数学眼光）| |填空题|6/18|旋转、扇形统计图、不等式|以“智慧数”考平方差公式应用（推理意识）| |解答题|8/72|统计图表分析、三角板旋转、新定义|能源生产数据解读（数据意识），“阳光区间”新定义探究（创新意识）|

2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．数学中有许多精美的曲线，下面的曲线中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（     ） A． B． C． D． 5．为了解某校学生的户外运动时间，现对该校学生进行抽样调查，下列抽样方式较合理的是（     ） A．随机抽取该校一个班级的学生 B．随机抽取该校名学生 C．在操场上随机抽取名学生 D．随机抽取该校名男生 6．数轴上四个点的位置如图所示，点表示的数分别是．与算式的结果对应的点最接近的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 8．已知甲长方形相邻两边长相差6，乙长方形相邻两边长相差4，甲、乙两长方形的周长相等．若甲长方形的面积记为，乙长方形的面积记为，则的值为（   ） A．3 B． C．5 D． 9．糖画是中国民间传统手工艺，亦糖亦画、可观可食，俗称“倒糖人儿”，“糖灯影儿”．目前糖画被列入国家级非物质文化遗产，如图1糖画师傅正在制作糖画．如图2是从糖画线条中抽象出的几何图形，已知，，垂足为点B，的平分线交于点F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如：，，，给出如下结论：其中正确的结论有（     ） ①； ②若，则的取值范围是； ③当时，的值为或； ④是方程的唯一一个解． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若，则___． 12．比较大小：______6．（填“”“”或“”） 13．如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，已知，则 ______． 14．学校利用校园闲置空地开辟蔬菜种植园，旨在通过实践活动培养学生的劳动技能和团队合作精神．同学们选定五种蔬菜进行种植，种植面积的扇形统计图（不完整）如图所示．若辣椒的种植面积是，根据统计图可知番茄的种植面积是________． 15．已知、为实数，若不等式解集为，不等式的解集为________． 16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2026个智慧数是_______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 19．（8分）国家统计局发布了2026年1~2月份能源生产情况.数据显示：1~2月份，规模以上工业（以下简称规上工业）原煤生产保持稳定，原油生产由降转增，天然气生产稳定增长，电力生产增速加快； 下图是2025年1月至2026年2月规上工业原油产量月度走势数据： （注：“当月增速”指的是与上年同月相比的增长率） (1)2025年全年（1~12月）中，原油日均产量最高的是哪个月份? (2)有人认为“图中数据显示，2025年全年中，当月增速最大的那个月份原油日均产量并不是最高的，数据有误”.你同意这种说法吗?为什么? (3)若计划2026年5月当月增速达，计算2026年5月日均的目标产量（结果精确到0.1万吨）． 20．（8分）已知一副三角板按如图1的方式摆放，、、三点在同一直线上，其中，． (1)求图1中的度数． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，其中．当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． 21．（10分）新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进箱甲型口罩和箱乙型口罩，共需要资金元；若购进箱甲型口罩和箱乙型口罩，共需要资金元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于元且不少于元的资金购进这两种型号口罩共箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； 22．（10分）在整式乘法学习过程中：我们学过完全平方公式：和，请利用该公式变形解答下列问题： (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 23．（12分）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 24．（12分）已知． (1)如图1，点是，之间的一点，连接，，求证：． (2)如图2，点，是，之间的两点，当时，请直接写出和之间的数量关系． (3)如图3，线段平分．交直线于点，的平分线交于点且，已知，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数是无限不循环小数的定义，逐个判断选项中数的类型，得到答案． 【详解】解：无理数的定义为无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数都是有理数 是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，是无理数． 2．数学中有许多精美的曲线，下面的曲线中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形. A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，符合题意. 3．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，运算正确，符合要求； B、，运算错误，不符合要求； C、和不是同类项，不能合并，运算错误，不符合要求； D、和不是同类项，不能合并，运算错误，不符合要求. 4．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，同位角相等，求出，再根据平角的定义，即可． 【详解】解：如图 ∵直尺两边互相平行， ∴， ∴． 5．为了解某校学生的户外运动时间，现对该校学生进行抽样调查，下列抽样方式较合理的是（     ） A．随机抽取该校一个班级的学生 B．随机抽取该校名学生 C．在操场上随机抽取名学生 D．随机抽取该校名男生 【答案】B 【分析】本题考查抽样调查的合理性判断，合理抽样要求样本具有广泛性和代表性，能够反映总体的真实情况． 【详解】解：∵ 调查目的是了解某校全体学生的户外运动时间，样本需能代表全校不同群体的情况， ∴ 逐一分析选项： A选项，仅抽取该校一个班级的学生，样本范围局限，代表性不足，抽样不合理； B选项，从全校随机抽取50名学生，样本具有广泛性和代表性，抽样合理； C选项，仅在操场上抽样，抽到的多为爱好运动的学生，抽样存在偏向，不能代表全体学生，不合理； D选项，仅抽取男生，忽略了女生群体，样本不全面，存在偏差，不合理． 6．数轴上四个点的位置如图所示，点表示的数分别是．与算式的结果对应的点最接近的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】由数轴上四个点的位置，由不等式性质及有理数乘法运算法则估算的范围即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，则， 结合图中数轴上四个点的位置可知与算式的结果对应的点最接近的是点． 7．利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 【答案】A 【分析】先观察表格数据，总结被开方数与对应算术平方根的小数点移动规律，再根据规律计算所求结果. 【详解】解：由表格数据可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，算术平方根的小数点向相同方向移动1位， ∵的小数点向右移动2位得到，且， ∴的结果是将的小数点向右移动1位，即. 8．已知甲长方形相邻两边长相差6，乙长方形相邻两边长相差4，甲、乙两长方形的周长相等．若甲长方形的面积记为，乙长方形的面积记为，则的值为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据甲乙周长相等得到二者邻边长度之和相等，设参数表示出甲乙的两边长，再计算面积差，消去参数即可得到结果． 【详解】解：∵长方形周长相等，周长（邻边之和） ∴甲乙两长方形的邻边之和相等，设甲乙邻边之和为 对于甲长方形，相邻两边长相差， 设长为，宽为， ∴ 解得 ∴长为，宽为 ∴ 对于乙长方形，相邻两边长相差，同理可得长为，宽为 ∴ ∴． 9．糖画是中国民间传统手工艺，亦糖亦画、可观可食，俗称“倒糖人儿”，“糖灯影儿”．目前糖画被列入国家级非物质文化遗产，如图1糖画师傅正在制作糖画．如图2是从糖画线条中抽象出的几何图形，已知，，垂足为点B，的平分线交于点F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出 的度数，利用角平分线的定义求出 的度数，在 中求出 的度数，最后根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等）即可求出 的度数． 【详解】解： ， ， ∵， ， 平分 ， ， 在 中， ， ， ． 10．数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如：，，，给出如下结论：其中正确的结论有（     ） ①； ②若，则的取值范围是； ③当时，的值为或； ④是方程的唯一一个解． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据取整函数的定义可判断①；通过举反例，结合定义判断可判断②；分三种情况分别计算可判断③；解不等式判断方程解的个数即可判断④．． 【详解】解：① 举反例：取，则，，而，，因此①错误． ② 根据定义，若不超过的最大整数为，则的取值范围满足，因此②正确．； ③ 当时，分情况讨论： 当时，，，得，，和为； 当时，； 当时，，，得，，和为；因此的值为或，③正确； ④ 设，为整数，满足，方程整理得，代入不等式得， 解得， 因为为整数， 所以或， 当时，，代入方程验证成立； 当时，，代入方程也成立． 所以方程有两个解，不是唯一解，④错误． 综上，正确的结论为②③． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若，则___． 【答案】36 【详解】∵， ∴. 12．比较大小：______6．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】通过比较平方的大小判断，平方更大的原数更大 【详解】解：，，且， 13．如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，已知，则 ______． 【答案】/ 【分析】根据旋转的性质结合角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵把绕点按逆时针方向旋转得到，， ∴， ∴. 14．学校利用校园闲置空地开辟蔬菜种植园，旨在通过实践活动培养学生的劳动技能和团队合作精神．同学们选定五种蔬菜进行种植，种植面积的扇形统计图（不完整）如图所示．若辣椒的种植面积是，根据统计图可知番茄的种植面积是________． 【答案】8 【分析】先求出总的种植面积，再求出番茄的种植面积所占的百分比，即可求解． 【详解】解：总种植面积为：， 番茄的种植面积所占的百分比为：， ∴番茄的种植面积为：． 15．已知、为实数，若不等式解集为，不等式的解集为________． 【答案】/ 【分析】先根据第一个不等式的解集确定一次项系数小于0，得到m和n的数量关系，判断出m的符号，再代入第二个不等式求解即可． 【详解】解：∵不等式解集为， ∴， ∴， ∵不等式解集为， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 将代入得，解得：； 将代入不等式， 得：， 化简得， 移项得 ， ∵， ∴， 两边同时除以得：． 16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2026个智慧数是_______． 【答案】2704 【分析】设两个数分别为，k，其中，且k为整数，即智慧数，因为k为正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解：设两个数分别为，k，其中，且k为整数．则． 设两个数分别为和，其中，且k为整数．则，时，， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴（且k为整数）均为智慧数； 除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式， 证明如下： ∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得， ∴， ∵和这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等． ∴不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又∵， ∴第2026个智慧数在（组），并且是第组的最后一个数，即． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，27 【详解】解： ， 当，时，原式． 19．（8分）国家统计局发布了2026年1~2月份能源生产情况.数据显示：1~2月份，规模以上工业（以下简称规上工业）原煤生产保持稳定，原油生产由降转增，天然气生产稳定增长，电力生产增速加快； 下图是2025年1月至2026年2月规上工业原油产量月度走势数据： （注：“当月增速”指的是与上年同月相比的增长率） (1)2025年全年（1~12月）中，原油日均产量最高的是哪个月份? (2)有人认为“图中数据显示，2025年全年中，当月增速最大的那个月份原油日均产量并不是最高的，数据有误”.你同意这种说法吗?为什么? (3)若计划2026年5月当月增速达，计算2026年5月日均的目标产量（结果精确到0.1万吨）． 【答案】(1)3月份 (2)不同意，因为当月增速是与上年同月相比的增长率，跟当月的日均产量最高与否没有关系 (3)2026年5月日均的目标产量为60.8万吨 【分析】（1）根据统计图可进行求解； （2）根据题意合理说明原因即可； （3）根据题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：由统计图可知：2025年全年（1~12月）中，原油日均产量最高的是3月份； （2）答：不同意，因为当月增速是与上年同月相比的增长率，跟当月的日均产量最高与否没有关系． （3）解：由题意得： （万吨）； 答：2026年5月日均的目标产量为60.8万吨． 20．（8分）已知一副三角板按如图1的方式摆放，、、三点在同一直线上，其中，． (1)求图1中的度数． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，其中．当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． 【答案】(1)； (2)旋转角的度数为或． 【分析】（1）根据平角的性质，结合三角板中的角度计算即可求解； （2）设的平分线为射线，先求得，再分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点B、C、D在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 设的平分线为射线， ∴， 根据题意，分两种情况讨论： ①当边平分时： 此时， ∵初始位置时， ∴旋转角； ②当边平分时： 此时． ∵初始位置时与重合， ∴旋转角． 综上所述，旋转角的度数为或． 21．（10分）新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进箱甲型口罩和箱乙型口罩，共需要资金元；若购进箱甲型口罩和箱乙型口罩，共需要资金元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于元且不少于元的资金购进这两种型号口罩共箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； 【答案】(1)甲型口罩每箱的进价为300元，乙型口罩每箱的进价为240元． (2)共有5种进货方案，具体为：方案1：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩；方案2：购进9箱甲型口罩，11箱乙型口罩；方案3：购进10箱甲型口罩，10箱乙型口罩；方案4：购进11箱甲型口罩，9箱乙型口罩；方案5：购进12箱甲型口罩，8箱乙型口罩． 【分析】（1）设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进a箱甲型口罩，则购进箱乙型口罩，再根据资金的限制范围列出一元一次不等式组，求出a的取值范围，结合a为正整数的条件，列举出所有符合要求的进货方案即可解答． 【详解】（1）解：设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元， 依题意，得：，解得：． 答：甲型口罩每箱的进价为300元，乙型口罩每箱的进价为240元． （2）解：设购进a箱甲型口罩，则购进箱乙型口罩， 依题意，得：，解得：． ∵a为正整数， ∴a可取8、9、10、11、12， ∴共有5种进货方案，具体为：方案1：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩；方案2：购进9箱甲型口罩，11箱乙型口罩；方案3：购进10箱甲型口罩，10箱乙型口罩；方案4：购进11箱甲型口罩，9箱乙型口罩；方案5：购进12箱甲型口罩，8箱乙型口罩． 22．（10分）在整式乘法学习过程中：我们学过完全平方公式：和，请利用该公式变形解答下列问题： (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用即可解答； （2）先求出，再利用完全平方公式变形即可求解． 【详解】（1）解： ，， ； （2）解：∵，， 设， 则，， ∴， ∴． 23．（12分）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 【答案】(1)， (2)或3 (3) 【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“阳光区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“阳光区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的“阳光区间”是，的“阳光区间”是； （2）解：∵无理数的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或3； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“阳光区间”是． 24．（12分）已知． (1)如图1，点是，之间的一点，连接，，求证：． (2)如图2，点，是，之间的两点，当时，请直接写出和之间的数量关系． (3)如图3，线段平分．交直线于点，的平分线交于点且，已知，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过M作，则，根据平行线的性质得出，，结合即可得证； （2）过M作，过N作，根据平行线的判定与性质得出，，，结合，得出，根据，，得出，即可求解； （3）设，，根据平行线的性质得出，，过M作，过N作，过G作，根据平行线的判定与性质得出，，，，，，，，，则，，解方程组即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过M作， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴； （2）解：， 理由：如图，过M作，过N作 ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，， ∵线段平分．交直线于点，的平分线交于点， ∴，， 如图，过M作，过N作，过G作， ∵， ∴， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $