精品解析：安徽省蚌埠市2024-2025学年高二下学期期末学业水平监测数学试题

蚌埠市2024—2025学年度第二学期期末学业水平监测 高二数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，则 （ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 已知，，若，则的（ ） A. 最小值为4 B. 最大值为4 C. 最小值为8 D. 最大值为8 4. 在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（ ） A. 残差图带状区域越宽 B. 残差和越小 C. 决定系数越大 D. 相关系数r越大 5. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某大学通过随机询问100名学生能否做到“光盘”行动，得到如下列联表(单位：人)： 性别 “光盘”行动 做不到 能做到 女 46 9 男 31 14 附表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 x₀ 2.706 3.841 6.635 7.879 经计算 则下列结论正确的是（ ） A. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关” B. 依据独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关” C. 依据独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关” D. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关” 7. 已知随机变量X服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数在上的最大值和最小值之和为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 4050 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于 的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 第项为 B. 的系数为 C. 各项系数和为 D. 二项式系数的和为 10. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为π B. 是该函数的一个极值点 C. 当，的取值范围是 D. 图象可由的图象向右平移个单位长度得到 11. 小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山.涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为，则下列结论正确的是（ ） A. “小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件 B. 小明与父母一起选择乙路线登山的概率为 C. 小明选择甲路线登山的概率为 D. 已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则________ 13. 不等式的解集为________ 14. 某外卖电商平台把A，B，C，D四个订单分派给小王、小李、小刘三位骑手，每位骑手至少接到1单，且每个订单都要有骑手接单．订单分派系统通过地址定位发现A 订单派送位置距离小王太远，因此不会将A 订单分派给小王，则满足条件订单分派方案种数为________． 四、解答题：本题共5个小题，共77 分.解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤. 15 已知函数 （1）判断该函数的奇偶性； （2）判断在定义域内的单调性. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 . （1）求; （2）若为的平分线，点E在上，求的长. 17. 袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个黑球，个红球. （1）若不放回的抽取个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率； （2）若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球或黑球不得分.求积分的分布列，以及的期望和方差. 18. 已知函数，． （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）求函数单调区间； （3）若函数在区间存在两个不同零点，，证明： ． 19. 在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为次赢次输.为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况.游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号.游程长度指该连续序列中数据的个数.一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为.假设校篮球队比赛的输赢序列具有个赢的游程， 表示第个赢的游程长度，其中 且 则记向量 表示第个赢的游程以前连续输的次数，表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中 且 ，记向量 例如，用表示赢，表示输，当，一个输赢序列记为 . 这个序列共有个游程，其中个赢的游程，故，游程的长度依次为，向量. （1）已知篮球队的比赛成绩为次赢，次输，即，若，请写出所有满足条件的输赢序列，以及对应的向量 和 （2）若篮球队有次赢，次输. (i)求具有个赢的游程的概率； (ii)求具有个游程的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蚌埠市2024—2025学年度第二学期期末学业水平监测 高二数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2. 已知 ，则 （ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由两角差的正切公式求解即可. 【详解】由题意. 故选：D. 3. 已知，，若，则的（ ） A. 最小值为4 B. 最大值为4 C. 最小值为8 D. 最大值为8 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 故选：A 4. 在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（ ） A. 残差图带状区域越宽 B. 残差和越小 C. 决定系数越大 D. 相关系数r越大 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个变量的意义作出判断，得到答案. 【详解】A选项，残差图带状区域越宽，说明误差大，模型的拟合效果越差，A错误； B选项，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，B错误； C选项，决定系数越大，模型的拟合效果越好，C正确； D选项，相关系数越大，说明两个变量线性相关性越强，与模型的拟合效果无关，D错误. 故选：C 5. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用求导公式，导数四则运算法则以及复合函数的求导法则对选项逐一检验即得. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 故选：A 6. 为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某大学通过随机询问100名学生能否做到“光盘”行动，得到如下列联表(单位：人)： 性别 “光盘”行动 做不到 能做到 女 46 9 男 31 14 附表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 x₀ 2.706 3.841 6.635 7.879 经计算 则下列结论正确的是（ ） A. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关” B. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关” C. 依据独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关” D. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关” 【答案】B 【解析】 分析】依据独立性检验相关概念解题即可. 【详解】由题意得， 所以依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关”. 故选：B． 7. 已知随机变量X服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的性质求解即可. 【详解】由题意，，对比选项可知，只有D正确. 故选：D. 8. 函数在上的最大值和最小值之和为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 4050 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得即可得解. 【详解】因为，所以在关于原点对称的区间上恒有意义， 且 ， 所以在上的图象关于原点对称， 所以函数在上的最大值和最小值之和为8. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于 的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 第项为 B. 的系数为 C. 各项系数和为 D. 二项式系数的和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式、各项系数和以及二项式系数和的相关知识来逐一分析选项. 【详解】对于，其展开式的通项公式为 那么第项，即时，，A正确；  要求的系数，令，则，所以的系数为，B正确； 求各项系数和，令，则，所以各项系数和为，C错误； 根据二项式系数和的性质，二项式的二项式系数和为，D正确。  故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为π B. 是该函数的一个极值点 C. 当，的取值范围是 D. 图象可由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由三角恒等变换化简函数表达式，进一步由周期公式验算即可；对于B，只需验算是否为函数的最值即可；对于C，由，进一步结合三角函数性质即可判断；对于D，由函数平移变换法则即可求解. 【详解】对于A，，所以最小正周期为，故A正确； 对于B，因为，所以是该函数的一个极值点，故B正确； 对于C，，所以的取值范围是，故C正确； 对于D，的图象向右平移个单位长度得到的函数图象对应的解析式为，故D错误. 故选：ABC. 11. 小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山.涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为，则下列结论正确的是（ ） A. “小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件 B. 小明与父母一起选择乙路线登山的概率为 C. 小明选择甲路线登山的概率为 D. 已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项利用条件概率和全概率公式求出和，再利用独立事件的定义进行判断即可；B选项利用条件概率求解；C选项由全概率公式求解；D选项利用贝叶斯公式进行求解. 【详解】设“小明与父母一起爬山”，“选择甲路线”， 则“小明不与父母一起爬山”，“选择乙路线”， ，，， ，， 对于A选项，，， 根据全概率公式可得，， ， “小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”不是相互独立事件，故A错误； 对于B选项，小明与父母一起选择乙路线登山为， ，， ， 即小明与父母一起选择乙路线登山概率为，故B正确； 对于C选项，由A选项的解析可知， 即小明选择甲路线登山的概率为，故C正确； 对于D选项，已知小明从乙路线登山，求他与父母一起爬山的概率，即求， ，， 根据条件概率公式可得，， 再根据贝叶斯公式可得，，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则________ 【答案】3 【解析】 【分析】首先得，然后根据向量垂直列方程求解即可. 【详解】已知向量，则， 若，则，解得. 故答案为：3. 13. 不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】结合对数函数定义域，分类讨论解不等式即可求解. 【详解】由题意，首先， 当，即时，由，此时， 当时，由，此时， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 某外卖电商平台把A，B，C，D四个订单分派给小王、小李、小刘三位骑手，每位骑手至少接到1单，且每个订单都要有骑手接单．订单分派系统通过地址定位发现A 订单派送位置距离小王太远，因此不会将A 订单分派给小王，则满足条件的订单分派方案种数为________． 【答案】24 【解析】 【分析】分把A 订单单独分派给小李或小刘、把A 订单不单独分派给小李或小刘两种情况计算，先分派A 订单，再结合分组分配的方法即可求解． 【详解】分两种情况： ①把A 订单单独分派给小李或小刘： 先分派A 订单，有种方法， 再分派B，C，D订单，三个订单分两组有种方法，把这两组分派给其余两位骑手有种方法， 所以有种方法； ②把A 订单不单独分派给小李或小刘： 先分派A 订单，有种方法， 再分派B，C，D订单，三个订单分派给三位骑手有种方法， 所以有种方法， 故满足条件的订单分派方案种数为． 故答案为：24． 四、解答题：本题共5个小题，共77 分.解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）判断该函数的奇偶性； （2）判断在定义域内的单调性. 【答案】（1）奇函数，理由见解析 （2）单调递增，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出定义域，定义域关于原点对称，并得到，得到结论； （2）化简得到，定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【小问1详解】 奇函数，理由如下： 的定义域为R， 且， 故为奇函数； 【小问2详解】 单调递增，理由如下： ， 取任意的， 则， 因为，在R上单调递增，所以， 又， 故，， 所以在R上单调递增. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 . （1）求; （2）若为的平分线，点E在上，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角结合平方关系即可求解； （2）由等面积法求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 解得； 【小问2详解】 由题意， 由等面积法有，， 即， 所以，解得. 17. 袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个黑球，个红球. （1）若不放回的抽取个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率； （2）若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球或黑球不得分.求积分的分布列，以及的期望和方差. 【答案】（1） （2）分布列见解析；； 【解析】 【分析】（1）先求出从个球中不放回抽取个球的所有情况数，再求出既抽到白球也抽到黑球的事件的情况数，进而求出既抽到白球也抽到黑球的概率； （2）先确定积分的可能取值，再分别求出每个取值的概率，列出分布列，最后根据期望和方差的公式计算的期望和方差. 【小问1详解】 既抽到白球也抽到黑球的概率； 【小问2详解】 记抽到红球的次数为， ， 由题知，，， 的分布列为 ， . 18. 已知函数，． （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在区间存在两个不同零点，，证明： ． 【答案】（1） （2）答案见详解 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）由，得到，再求，从而把代入与中得到切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程； （2）先求出，再分类讨论，进而可得到函数的单调区间； （3）不妨设，根据（2），则，且，得，，则，再根据在上单调递增，从而得到，再结合，构造，，再根据复合函数的求导公式求出，进而根据函数的单调性即可证明结论． 【小问1详解】 由，即，得， 则，得， 所以点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 依题意可得， 令，得或， 当时，若时，，则在上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 若时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递增； 当时，若时，，则在上单调递增， 若时，，则上单调递减， 若时，，则在上单调递增． 综上，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为 ； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问3详解】 证明：不妨设， 根据（2），若存在、是函数在区间的两个不同零点， 则，且，得，， 则， 又在上单调递增， 则， 又，所以只要证明即可． 设， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，成立， 即当时，成立， 即成立， 即成立． 【点睛】方法点睛：（ⅱ）利用函数的单调性证明不等式，如增函数，则，再根据，从而再构造函数，再根据复合函数的求导公式求出，进而根据函数的单调性即可证明结论． 19. 在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为次赢次输.为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况.游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号.游程长度指该连续序列中数据的个数.一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为.假设校篮球队比赛的输赢序列具有个赢的游程， 表示第个赢的游程长度，其中 且 则记向量 表示第个赢的游程以前连续输的次数，表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中 且 ，记向量 例如，用表示赢，表示输，当，一个输赢序列记为 . 这个序列共有个游程，其中个赢的游程，故，游程的长度依次为，向量. （1）已知篮球队的比赛成绩为次赢，次输，即，若，请写出所有满足条件的输赢序列，以及对应的向量 和 （2）若篮球队有次赢，次输. (i)求具有个赢的游程的概率； (ii)求具有个游程的概率. 【答案】（1）答案见解析 （2）(i) (ii) 【解析】 【分析】（1）根据赢的游程数、赢的次数和输的次数，找出所有可能的输赢序列，并确定对应的向量和； （2）需要先计算出所有可能的输赢序列的总数，再分别计算出具有特定赢的游程数和游程总数的序列数，最后根据概率公式计算概率. 【小问1详解】 满足条件的输赢顺序及对应向量分别为： 【小问2详解】 篮球队有次赢，次输赢序列，即“个，个的排列”，共有 先考虑向量的个数， 即方程解的个数，为； 再考虑向量的个数， 即方程解的个数 令 因为方程解的个数为， 所以向量的个数为， 故具有个赢的游程的排列有个， 所以具有个赢的游程的概率. 因为输赢的游程个数相差， 故一种可能是个赢的游程，个输的游程，其概率 另一种可能是个赢的游程，个输的游程，同(i)计算方式知，其概率 故具有个游程的概率为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$