2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二、三册综合训练试卷

**基本信息** 以选择性必修二、三核心知识为载体，通过分层题型系统整合函数导数、数列、概率统计等模块，突出数学思维的逻辑推理与实际应用，体现用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数导数|6题（如8、19题）|极值点转化为零点问题、恒成立问题分类讨论|导数几何意义与数列递推结合，单调性与最值推导链| |数列|4题（如2、7题）|等差性质应用、递推关系构造法|数列与数学文化融合，概念辨析与求和综合| |概率统计|6题（如16、18题）|线性回归、独立性检验、全概率公式|统计案例与概率分布结合，数据处理与决策推理| |排列组合与二项式定理|3题（如6、9题）|分组分配策略、二项式系数和计算|实际情境中计数原理应用，公式推导与性质迁移|

人教A版选择性必修二、三综合试卷 一、单选题 1．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 2．“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（   ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 4．已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值为（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 5．调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（     ） A．与负相关 B．当时，一定为1359 C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系 6．现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有（     ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 7．一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．函数在内存在2个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，则下列描述正确的是（     ） A． B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C．被8除所得的余数是1 D． 10．下列命题中正确的是（     ） A．决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 B．若，两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的线性相关性强 C．在经验回归方程中，若，，则变量与正相关 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可认为与有关 11．已知函数的导函数为，则下列说法正确的有（   ） A． B．函数的极小值点为 C．函数单调递减区间为 D．若函数有两个不同的零点，则 三、填空题 12．已知数列满足，且，则_________． 13．用4种颜色为四个词组“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，要求每个词组颜色相同，相邻词组不同色，共有______种涂色方法． 14．已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________. 四、解答题 15．已知函数，，且的图像在点处的切线为．若数列满足，且对任意，点均在切线上． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 16．某县博物馆国庆期间统计连续5天进入该博物馆参观的游客人数（单位：千人）如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.3 3.1 4.3 4.6 5.7 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程； (2)国庆五天假期博物馆开放1号门、2号门和3号门供游客出入，游客从1号门、2号门和3号门进入博物馆的概率分别为，且出馆与进馆选择相同门的概率为，选择与进馆不同两门的概率各为．假设游客从1号门、2号门、3号门出入博物馆互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名游客于10月2日进馆参观，设为4人中从2号门出馆的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 17．根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 18．“你好．我是，很高兴见到你我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用情况与学历有关？ (2)某校组织“模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜．两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若，（其中），，都有，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D A C B A ABC ACD 题号 11 答案 AC 1．C 【详解】函数， 则. 2．B 【详解】必要性验证：若数列为等差数列，根据等差中项的性质：对任意，若，则， 令，可得，故必要性成立； 充分性验证：若仅满足，无法推出数列为等差数列， 例如构造数列：，此时，，满足，但该数列相邻项差值不恒定，不是等差数列，故充分性不成立， 因此该条件是数列为等差数列的必要不充分条件. 3．C 【详解】因为随机变量，因此正态曲线的对称轴为， 由对称性可知，， 已知，可得， 对称性知， 所以. 4．D 【详解】已知的图象在点处的切线方程是， ， 当时，，则． 5．A 【详解】因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域， 所以y与x负相关，所以A正确，D错误； 当时，，所以约为， 所以B，C错误. 6．C 【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组， 安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组. 若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人； B组已有{丁}，还差3人， 则从剩余4人中选1人进A组，方案数为. 若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为. 所以当甲、乙在A组时，方案数为种. 情况2：甲、乙两人都在 B 小组， 甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致， 安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ， 所以当甲、乙在B组时，方案数为 种. 故所有分配方案共有种. 7．B 【详解】由已知，，，，， 所以数列的前项的和为， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求； 8．A 【详解】，因为在内存在2个极值点， 所以在内存在2个变号零点， 即方程在内有两个不同的实数根， 即在内有两个不同的实数根， 令，则直线与在上有两个不同的公共点， ，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以有最大值， 因为， 所以直线与在上有两个不同的公共点时，. 9．ABC 【详解】令，得，再令，得， ，A选项正确. 根据二项式系数和的性质，对于二项式，所有二项式系数和为， 且奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，都为， 的展开式中，对于所有含的偶数次项的二项式系数和， 即为展开式中奇数项的二项式系数和，为，B选项正确. 而. 可得除了最后一项外，其余各项均能被8整除，故被8除所得的余数是，C选项正确. 对两边分别求导， 可得. 令，得，D选项错误. 10．ACD 【详解】根据决定系数越大，模型拟合效果越好，残差的平方和越小，故A正确， 根据样本相关系数越接近1，线性相关性越强，因为， 故组数据比组数据的线性相关性强，故B错误； 根据经验回归方程必然过点，代入可得，解得， 故变量与正相关，故C正确； 根据独立性检验，，故根据小概率值的独立性检验，可认为与有关． 11．AC 【详解】，所以选项A正确； 极小值点不是点，而是取最小值是x的值，选项B错误 得，， 令，则，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以选项C正确； 是得极小值点，， 若由两个不同的零点，即直线与有两个交点， 因为，当时，所以函数图象大致如下： 所以，当时直线与有两个交点，选项D错误. 12． 【详解】由题意可知，，，，， 以此类推，可知. 13．108 【详解】分类讨论，根据题意，若用四种颜色时，则有种涂色方法； 若只用三种颜色时，则“爱国，诚信”或“爱国，友善”或“敬业，友善”中有一组是同色，先选三种颜色种选法，再从上述中选一个同色的有种选法，则共有种涂色方法； 若只用两种颜色时，则“爱国，诚信”同色，“敬业，友善”同色，先选两种颜色种选法，则共有种涂色方法， 因此，综上所述，共有种涂色方法. 14． 【详解】因为对任意的，总存在，使得， 所以，， 令，得或（舍去）. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故； ，则，因为， 所以在上恒成立， 则在上单调递减，， 所以，故. 故答案为： 15．(1) (2) 【详解】（1）对函数求导得， 因为，即，解得， 因此，又因为的图像过点，所以，解得 因此， 因为，的图像在点处的切线为，即 因为数列满足，且对任意，点均在切线上， 所以，变形可得 因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以由等比数列通项，整理得 （2）已知 因此前项和 因为，令， ， 两式相减得：， 即，整理得 因此. 16．(1) (2)的分布列为： ， 【详解】（1）依题意，，而，，， 所以，， 因此，线性回归方程为. （2）记“甲从2号门出馆”为事件，“甲从1号门进馆”为事件， “甲从2号门进馆”为事件，“甲从3号门进馆”为事件， 由题意可得，，，，. 由全概率公式得： . 同理乙、丙、丁从号门出馆的概率也为， 因为为人中从号门出馆的人数，则， 所以，， ，， ， 故的分布列为： ，. 17．(1) (2) 0 1 2 3 【详解】（1）设事件表示“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”，事件表示“抽取的会员是本地会员”，事件表示“抽取的会员是外地会员”. 因为本地会员占70%，外地会员占30%，. 本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，. . 即该店所有会员中随机抽取1名会员，其对该店商品质量满意的概率为. （2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，每名会员对该店商品质量满意的概率为，且每名会员对该店商品质量满意与否相互独立，故随机变量. 由题意，可取. . 的分布列为 0 1 2 3 . 18．(1)认为的使用情况与学历无关； (2)（i）（ii） 【详解】（1）零假设为：的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据， 可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明推断不成立， 因此可以认为成立，即认为的使用情况与学历无关. （2）（i）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为， ， ， ， 比赛结束甲获胜时的得分可能取值为10，20，30， 则， ， ， 所以比赛结束后，甲获胜的概率， （ii）设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束后乙答对一道题”， ， 则，因此比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为. 19．(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； (2) (3) 【详解】（1）， 当时，，则恒成立，故在上单调递减； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）知，当时，在上单调递减， 则，不符； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 由恒成立，则， 整理得，令，则在上单调递增， 又，故当时，； 综上所述：； （3）由题意可得， 若，则当时，，不符，故，则； ，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 则有恒成立，即， 令，则， 由在上单调递增，则，故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $