2025-2026学年北师大版数学七年级下册期末培优卷.

**基本信息** 七年级下册数学期末培优卷，聚焦概率、几何、代数核心知识，融入再生资源处理、家庭院落设计等现实情境，通过分层问题设计考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|概率意义、几何对称、代数运算|结合时钟镜像（题4）、废铝处理利润（题3）考查应用| |填空题|6/18|代数式表示、几何结论判断|以正方形菜园设计（题13）、角平分线性质（题14）体现空间观念| |解答题|8/72|计算化简、实际问题、几何证明|花坛走道面积计算（题19）、转盘概率决策（题21）、新定义“t系数补角”（题24），梯度覆盖基础与创新应用|

2025-2026学年七年级下册数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（    ） A．昆明明天降雨的概率为，表示昆明明天有一半的时间在下雨 B．掷一枚质地均匀的硬币100次，恰好有50次正面朝上 C．任意买一张电影票，座位号是2的倍数是必然事件 D．明天太阳从东方升起是必然事件 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义和随机事件的定义，本题解决的关键是理解概率的意义． 利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析即可得出答案． 【详解】解：A、降雨的概率是，指有的可能性会下雨，也有50%的可能性不下雨，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币100次，不一定有50次正面朝上，故不符合题意； C、任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件，故不符合题意； D、明天太阳从东方升起是必然事件，故符合题意． 故选：D． 2．在不透明的袋子里装有颜色不同的个红球和若干个白球，每次从袋子里摸出来一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，估计袋中白球有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】设袋中白球有个，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】设袋中白球有个，则总球数为个， 经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在， ，解得， 经检验是原方程的解， 估计袋中白球有个． 3．汨罗是“中国循环经济试点城市”，某再生资源企业处理废铝，进价为每吨万元，售价为每吨万元，每天可处理20吨．若每吨降价万元，每天可多处理5吨，设每吨降价万元，每天获利万元，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据题意列关系式． 根据利润计算公式，每天获利y等于每吨利润乘以每天处理吨数．每吨降价x万元后，每吨利润为万元，每天处理吨数为吨，因此y与x的关系式为． 【详解】解：∵每吨降价x万元， ∴售价为万元， ∵进价为万元， ∴每吨利润为万元， ∵每吨降价万元，每天可多处理5吨， ∴每吨降价x万元，每天可多处理吨， ∴每天处理吨数为吨， ∴． 故选：D． 4．虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题关键是结合轴对称的性质确定墙上时钟时间．根据轴对称的性质分别确定墙上时钟时间，比较即可获得答案． 【详解】解：A.墙上的时钟时间约为，最接近，符合题意； B. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； C. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； D. 墙上的时钟时间约为，不符合题意． 故选：A． 5．已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别计算的度数． 【详解】解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或. 6．将两个全等的三角形与按如图所示的位置摆放，其中，，则与互余的角的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据余角的定义，结合对应角相等进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即与互余， ∵， ∴与互余， ∵ ∴，即与互余， 综上，与互余的角有个． 7．琪琪在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的计算，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．根据运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：，故①计算正确； ，故②计算错误； ，故③计算正确； ，故④计算错误； ，故⑤计算正确； ∴计算正确的有3个， 故选：B． 8．已知，则这四个数从小到大排列顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂的乘方性质，将四个数转化为指数相同的幂，先判断各数的正负，再分别在正数和负数范围内比较大小，即可得到排序结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 比较负数部分：， ，即， 比较正数部分：， ，即， 综上可得 ． 9．如图，在中，，，若 ，那么的面积是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查三角形面积，根据和的高相同得，，同理可得，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 10．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 二、填空题（每小题分3，共18分） 11．已知，则_________．（用含k的代数式表示） 【答案】 【分析】先由得到，再将变形为，然后结合幂的乘方运算法则和积的乘方逆运算法则求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ． 12．若的展开式中不含项，则______． 【答案】 【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算，合并同类项后，根据展开式不含项得到项的系数为0，即可求出的值． 【详解】解： ∵展开式中不含项， ∴ 解得． 13．如图，小明准备在自家院子里开辟一块正方形空地用来设计果园、菜园和花园，其中菜园种植菠菜和黄瓜．初步设计菜园和花园两个正方形区域共，其中菜园中种植黄瓜的长方形区域为．设正方形菜园的边长为，正方形花园的边长为，那么，这块正方形空地的边长为________． 【答案】 【分析】根据题意可知，，再由进行计算即可． 【详解】解：根据题意，，， ， 解得（负值已舍去）， 则这块正方形空地的边长为． 14．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论中：①；②；③；④平分．其中正确的结论有__________（填序号）． 【答案】②③/ 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质逐一判断即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，故③正确； ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，故①错误，②正确； ∵， ∴只能证明，不一定，故④错误； 综上所述：正确的结论有②③． 15．已知，△ABC中，AB=10，BC=15，D为AC的中点，则中线BD的取值范围为___________. 【答案】2.5<BD<12.5 【分析】延长BD到E，使BD=DE，连接AE，可证明，根据全等三角形的性质可得AE=BC=15，在中利用三角形三边关系可求得BE的范围，可求得BD的取值范围． 【详解】解：如图，延长BD到E，使BD=DE，连接AE， ∵D为AC的中点， ∴AD=CD， 在和中， ∵ ∴（SAS）， ∴AE=BC=15， 在中，由三角形三边关系可得， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了添加辅助线，全等三等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，辅助线——中线倍长是本题的关键． 16．如图，，平分，平分，点在上，且．若，则四边形的面积为_______ ． 【答案】 【分析】连接，证明，，得到，进而可得，则可求. 【详解】解：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， 即：. 三、解答题(每小题9分，共72分) 17．计算与化简求值： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据整式的运算法则计算即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算括号内的乘法，合并同类项后计算单项式除以单项式，得到化简结果，再代入已知数值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当，时，原式． 18．我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，∴当时，的值最小，最小值是， ∴，∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当_______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，当_______时，y有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)2；11 (2)；大； (3)的最小值为． 【分析】（1）根据完全平方公式将原式整理后即可确定最小值； （2）将等式右边根据题中材料变形后即可确定当取何值时能取到最大值； （3）首先得到有关的关系式，根据完全平方公式将原式整理后确定最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值； （2）解：∵， ∴当时有最大值； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为． 19．某学校计划改造一片空地，如图，在空地中间修建一个长方形的花坛，花坛的长度为米，宽度为米，在花坛的四周铺设一条宽度为2米的走道，走道的外围为装饰区域，装饰区域外圈围成的图形为正方形，其边长比走道外圈围成的长方形区域的长边多1米，请根据以上信息回答下列问题： (1)走道外圈的周长为________米； (2)走道的面积是多少？ (3)如果，且每平方米的装饰区域铺设费用为60元，计算铺设装饰区域的总费用． 【答案】(1) (2)平方米 (3)8460元 【分析】（1）分别求出走道外圈的长和宽，再计算周长即可； （2）根据平方差公式求出花坛的面积，再求走道的面积即可； （3）求出正方形的边长，进而可知装饰区域的面积，根据“，且每平方米的装饰区域铺设费用为60元”计算即可． 【详解】（1）解：走道外圈的长为米，宽为米， 所以走道外圈的周长为米； （2）解：花坛的面积为平方米， 走道的面积为平方米， 故走道的面积为平方米； （3）解：正方形的边长为米， 所以装饰区域的面积为平方米， 当时，铺设装饰区域的总费用为元． 20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）关于直线对称的图形为，其中是的对称点． (1)请作出对称轴及关于直线对称的； (2)如果每一个小正方形的边长为，则的面积为 ； (3)在直线上找到点，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【分析】（1）根据对称点的连线被对称轴垂直平分作出对称轴和对称图形； （2）利用割补法计算三角形面积； （3）连接，交直线l于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，对称轴直线l及即为所求； （2）解：； （3）解：如图，点P即为所求， 根据轴对称的性质，， 此时最小． 21．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针对准区域“D”，则顾客未中奖；指针对准“A”“B”“C”三个区域，顾客就可以分别获得4元、12元、24元的购物券一张（转到公共线位置时重转），凭购物券可以在商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元． (1)某顾客转动1次转盘，求其获得购物券的概率； (2)若小亮购买了65元商品，他获得购物券的概率是多少? (3)若小丽购买了120元商品，那么： ①她获得12元购物券的概率是多少? ②转转盘和直接获得购物券相比，小丽选择哪种方式更合算?请你通过计算说明． 【答案】(1) (2)0 (3)①；②选择直接获得购物券更合算 【分析】（1）由图算出的圆心角为，即可求解； （2）由得小亮不能获得转动转盘的机会，即可求解； （3）由得能获得一次转动转盘的机会，小丽能获得一次转动转盘的机会， ①根据概率公式即可求解； ②根据概率公式求解，即可判断． 【详解】（1）解：的圆心角为：， 其未中奖的概率为； 故某顾客转动1次转盘，其中奖的概率为； （2）解：每购买100元商品，才能获得一次转动转盘的机会， ， 若小亮购买了65元商品，他获得购物券的概率是0； （3）解：①由题意得，小丽获得12元购物券的概率为； ②P（获得4元购物券），P（获得12元购物券）， P（获得24元购物券）， （元）， ， 选择直接获得购物券更合算． 22．如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）因为，，所以可先推导与相等；可利用定理证明． （2）因为，所以可得到对应边相等，进而求出的长度；再结合三角形面积公式，计算的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ， ， 在中，， 在和中： ∵ （2）解：由全等得： ∵共线，且， ∴， ∴， ∴ 23．如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）设，则，根据，求出，得到，由即可解答． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得， ， ． 24．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”，例如，，，因为，所以是的“4系数补角”． 【概念理解】 (1)若，则的“2系数补角”的度数为________． (2)【初步认识】如图1，平面内，，点E、F分别为直线、上一点，点P为平行线间一点，连接，，已知，，完成下列问题： ①求的度数； ②是的“_______系数补角”． (3)【问题解决】在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点，点P为平行线间一点，连接，，设与直线的夹角为α，当，且是的“3系数补角”时，的度数为________． 【答案】(1)； (2)①；②5； (3)或． 【分析】（1）设的“2系数补角”是，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）①过点作，得，可得； ②根据几系数补角的定义列方程求解即可； （3）先求出，再分点P在之间，点在点左右两侧，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设的“2系数补角”是，根据题意，得： ， 解得：， 所以，的“2系数补角”的度数是； （2）解：①过点作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②∵，， 根据定义得， ∴， 解得， ∴是的“5系数补角”； （3）解：∵，且是的“3系数补角”， ∴， ∴， ∴， 当点P在之间，点在点右侧，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在之间，点在点左侧，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 又 ∴； 综上，的度数为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（    ） A．昆明明天降雨的概率为，表示昆明明天有一半的时间在下雨 B．掷一枚质地均匀的硬币100次，恰好有50次正面朝上 C．任意买一张电影票，座位号是2的倍数是必然事件 D．明天太阳从东方升起是必然事件 2．在不透明的袋子里装有颜色不同的个红球和若干个白球，每次从袋子里摸出来一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，估计袋中白球有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．汨罗是“中国循环经济试点城市”，某再生资源企业处理废铝，进价为每吨万元，售价为每吨万元，每天可处理20吨．若每吨降价万元，每天可多处理5吨，设每吨降价万元，每天获利万元，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 4．虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 5．已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 6．将两个全等的三角形与按如图所示的位置摆放，其中，，则与互余的角的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．琪琪在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．已知，则这四个数从小到大排列顺序是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，若 ，那么的面积是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 10．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 二、填空题（每小题分3，共18分） 11．已知，则_________．（用含k的代数式表示） 12．若的展开式中不含项，则______． 13．如图，小明准备在自家院子里开辟一块正方形空地用来设计果园、菜园和花园，其中菜园种植菠菜和黄瓜．初步设计菜园和花园两个正方形区域共，其中菜园中种植黄瓜的长方形区域为．设正方形菜园的边长为，正方形花园的边长为，那么，这块正方形空地的边长为________． 14．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论中：①；②；③；④平分．其中正确的结论有__________（填序号）． 15．已知，△ABC中，AB=10，BC=15，D为AC的中点，则中线BD的取值范围为___________. 16．如图，，平分，平分，点在上，且．若，则四边形的面积为_______ ． 三、解答题(每小题9分，共72分) 17．计算与化简求值： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中，． 18．我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，∴当时，的值最小，最小值是， ∴，∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当_______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，当_______时，y有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (3)知识拓展：若，求的最小值． 19．某学校计划改造一片空地，如图，在空地中间修建一个长方形的花坛，花坛的长度为米，宽度为米，在花坛的四周铺设一条宽度为2米的走道，走道的外围为装饰区域，装饰区域外圈围成的图形为正方形，其边长比走道外圈围成的长方形区域的长边多1米，请根据以上信息回答下列问题： (1)走道外圈的周长为________米； (2)走道的面积是多少？ (3)如果，且每平方米的装饰区域铺设费用为60元，计算铺设装饰区域的总费用． 20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）关于直线对称的图形为，其中是的对称点． (1)请作出对称轴及关于直线对称的； (2)如果每一个小正方形的边长为，则的面积为 ； (3)在直线上找到点，使得最小． 21．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针对准区域“D”，则顾客未中奖；指针对准“A”“B”“C”三个区域，顾客就可以分别获得4元、12元、24元的购物券一张（转到公共线位置时重转），凭购物券可以在商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元． (1)某顾客转动1次转盘，求其获得购物券的概率； (2)若小亮购买了65元商品，他获得购物券的概率是多少? (3)若小丽购买了120元商品，那么： ①她获得12元购物券的概率是多少? ②转转盘和直接获得购物券相比，小丽选择哪种方式更合算?请你通过计算说明． 22．如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 23．如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”，例如，，，因为，所以是的“4系数补角”． 【概念理解】 (1)若，则的“2系数补角”的度数为________． (2)【初步认识】如图1，平面内，，点E、F分别为直线、上一点，点P为平行线间一点，连接，，已知，，完成下列问题： ①求的度数； ②是的“_______系数补角”． (3)【问题解决】在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点，点P为平行线间一点，连接，，设与直线的夹角为α，当，且是的“3系数补角”时，的度数为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $