2025-2026学年沪科版七年级数学下册期末提分卷

**基本信息** 沪科版七年级数学下册期末提分卷，涵盖代数几何核心知识，通过新运算定义、数形结合拼图、动态几何探究等设计，分层考查运算能力、推理意识与应用意识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|实数估算、不等式性质、整式运算、相交线|基础概念辨析，如估算√值范围| |填空题|6/18|非负性、数轴区间、平行线判定、方程组|结合数轴考查整式取值，如第12题区间判断| |解答题|8/72|分式计算、新运算、数形结合拼图、行程应用、动态几何|第21题拼图验证乘法公式，第24题动态探究角关系，体现创新与应用|

2025-2026学年沪科版七年级数学下册期末提分卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．估算介于（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 2．若，则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知，则这四个数从小到大排列顺序是（     ） A． B． C． D． 5．如图，直线，相交于点，过点作．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为，则的结果为（    ） A． B． C． D． 7．对于任意实数a，b，定义新运算：，给出下列结论： ①； ②若，则； ③； ④若，则x的取值范围为．其中正确结论是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 8．设，，，则值为（   ） A． B． C． D． 9．用表示距离最接近的整数，已知，则n的值为（） A．1019090 B．1021110 C．1023132 D．1025156 10．已知直线，点E、F分别在直线、上，如图，点H是直线与外一点，连接、．若，，，点P、H、Q在同一直线上，若，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．若实数x，y满足，则____． 12．如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数________． 13．如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断的条件有______（填序号）． 14．已知，且满足两个等式，，则的值为______． 15．设、、、为正整数，且，，，则___________． 16．若数使关于的不等式组有且只有三个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为______． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．分式计算 (1) (2) (3) (4) 18．用“”规定一种新运算：对于任意两个数a和b，规定．如，． (1)求的值； (2)已知x为实数，若，，试通过计算比较m、n的大小． 19．已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 20．先化简，再求值：，其中，． 21．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形卡片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要2号卡片______张，3号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形时，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是________． (4)请你依照该同学的方法，画出拼图并利用拼图将分解因式． 22．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 求m的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 23．在国家发展的新时期，河南省将加快建设内联外通、立体高效的快速交通网，其中要新建或续建一批高速公路项目．已知、两市原国道长为，经过改修高速公路后，长度比原来缩短了．高速公路通车后，一辆长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上的行驶速度提高了，从市到市在高速公路上行驶的时间是在原国道上行驶时间的． (1)设该长途汽车在原国道上行驶的速度为，根据题意解答下列问题： ①该长途汽车在高速公路上行驶的速度为________； ②该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速公路上行驶的时间为________ ； ③根据题意列出关于的方程为________________________，解方程得________，经检验，的值是原方程的解且符合题意； ④答：________________________________________________________________________． (2)若设该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速公路上行驶的时间为，据此请你列出方程并解决这个问题． 24．已知，点、分别是和上两个定点，的角平分线交于，点是直线上一个动点，且不与点、重合． (1)如图1，当时，请补全图1，已知，则____________； (2)如图2，平分交于，连接，设、、 ． ①当点在线段上，请证明：、与之间满足（不能直接用三角形相关知识）； ②当点在直线上运动时，、与之间的数量关系是否保持①中的结论不变？若不变，请说明理由，若发生改变，请直接写出、与之间所有其他可能的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年沪科版七年级数学下册期末提分卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．估算介于（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】求出和的值，根据算术平方根的意义即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即介于和之间． 2．若，则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项，找出结论不一定成立的选项即可． 【详解】A. 不等式两边同时减1，不等号方向不变， ∵， ∴，结论一定成立，故此选项不符合题意； B. 不等式两边同时乘正数2，不等号方向不变，得，两边同时加3，不等号方向不变，得，结论一定成立，故此选项不符合题意； C. 不等式两边同时乘负数，不等号方向改变， ∵， ∴，结论一定成立，故此选项不符合题意； D. 举例：当，时，满足，但，，此时， 因此结论不一定成立，故此选项符合题意． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据约分、多项式乘法、幂的乘方法则、平方差公式对各选项计算，再判断正误即可． 【详解】解：选项A：分子无法分解因式，不能约分， ，A错误． 选项B：， B错误． 选项C：根据幂的乘方法则，， C错误． 选项D：， ，D正确． 4．已知，则这四个数从小到大排列顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂的乘方性质，将四个数转化为指数相同的幂，先判断各数的正负，再分别在正数和负数范围内比较大小，即可得到排序结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 比较负数部分：， ，即， 比较正数部分：， ，即， 综上可得 ． 5．如图，直线，相交于点，过点作．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据对顶角相等得，由得，结合及角度和差关系列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵直线相交于点， ∴， ∵， ∴， 由图可知 又∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴ ． 6．小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意得到抄错符号后的等式，展开后对比对应项系数求出和的值，进而计算即可． 解：由题意得，抄错后的算式为， ∵得到的结果为， ∴， 即， ∴，， 解得，， ∴． 7．对于任意实数a，b，定义新运算：，给出下列结论： ①； ②若，则； ③； ④若，则x的取值范围为．其中正确结论是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据新定义的分段运算规则分类讨论，逐一判断每个结论是否正确即可解答． 【详解】解：①，根据新定义可得，故①正确； ②若，分两种情况讨论： 当时，，符合条件； 当时，，解得，符合条件； 因此或，故②错误； ③当时，，，，故③错误； ④解不等式，分两种情况讨论： 当，即时， 不等式化为，解得， 结合，得此时解集为； 当，即时， 不等式化为，解得， 结合，得此时解集为； 综上，不等式的解集为，故④正确； 因此正确结论为①④． 8．设，，，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，难度不大，关键是通过先求其倒数再进一步求解． 要求的值，可先求出其倒数的值，根据，，，分别取其倒数即可求解． 【详解】解：，，， ，，． ． ． ． ． 故选：B． 9．用表示距离最接近的整数，已知，则n的值为（） A．1019090 B．1021110 C．1023132 D．1025156 【答案】D 【分析】本题考查了无理数大小的规律，从特殊到一般的规律的探究是解题的关键．本题需要先找出的规律，再根据规律计算的值，最后根据已知条件求出的值． 【详解】解：设为距离最接近的整数，即， 当时，，解得， 所以，此时， 当时，， 解得， 所以，此时， 当时，，解得, 所以,此时， 以此类推，可以发现当时，的和为2，且对应的的个数为， 因为每个的和为2，所以，即一共有1012组，每组对应的的个数为个， 1025156． 故选：D． 10．已知直线，点E、F分别在直线、上，如图，点H是直线与外一点，连接、．若，，，点P、H、Q在同一直线上，若，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解一元一次方程．设，则，过点P作，过点H作，过点Q作，则，则，，，因此，而由，得，因此，代入得，化简得，故，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：过点P作，过点H作，过点Q作，    ∵， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，即． ∵， ∴， 解得， 故选：D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．若实数x，y满足，则____． 【答案】 【分析】根据非负数的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 解得：， ∴． 12．如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数________． 【答案】 【分析】由整式的值落在数轴上的区间②内得，解不等式组可得整数的值． 【详解】解：若整式的值落在数轴上的区间②内， 得， 由①得， 由②得 不等式组的解集是， 整数． 13．如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断的条件有______（填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．根据平行线的判定定理即可直接作出判断． 【详解】解：①，不能判断，不合题意； ②， ，不合题意； ③， ，符合题意； ④， ，符合题意； ⑤， ， ， ， ， ，符合题意． 故答案为：③④⑤． 14．已知，且满足两个等式，，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查因式分解的应用，联立方程，通过因式分解求出的值，再将因式分解得，将的值代入求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，则 ∴，则， ∴． 故答案为：4． 15．设、、、为正整数，且，，，则___________． 【答案】 【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入中求解即可． 【详解】解：，， 设，；，． ， ， ， ，， ，． ，， ． 16．若数使关于的不等式组有且只有三个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【分析】分别计算不等式组和分式方程，根据条件综合得出的可能取值，最后求和． 【详解】解：已知不等式组， 则不等式组的解集为， 有且只有三个整数解， 的取值为，，， ， ， 已知， 则， 解得， 方程的解为非负数， ，解得， ，即， ， 综上，的取值范围为，且， 为整数， 的可能取值为，，， 所有可能的取值的和为． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．分式计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．用“”规定一种新运算：对于任意两个数a和b，规定．如，． (1)求的值； (2)已知x为实数，若，，试通过计算比较m、n的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于新运算求值问题，首先明确新运算的规则，即的计算式，因为，，所以直接将两个值代入新运算公式，按照有理数运算顺序计算即可． （2）先分别将、对应新运算中的、代入公式，化简得到、关于的表达式；再用作差法计算，结合平方的非负性判断差的符号，进而比较m和n的大小． 【详解】（1）解：根据新运算规则， 令代入得： ； （2）解：因为， ， 所以， 因为是实数，， 所以，即， 因此． 19．已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）解：的立方根是， ， ； 的算术平方根为3， ， ，且， ； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， 的平方根为； （3）解：， 的立方根为. 20．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【详解】解：原式 ； ∵，， ∴原式． 21．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形卡片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要2号卡片______张，3号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形时，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是________． (4)请你依照该同学的方法，画出拼图并利用拼图将分解因式． 【答案】(1) (2)4张，5张 (3) (4)图见解析， 【分析】（1）等积法作答即可； （2）求出多项式乘以多项式的积，即可得出结果； （3）等积法作答即可； （4）按要求画图后，即可得出结果. 【详解】（1）解：由题意，这个乘法公式是； （2）解：， 故需要2号卡片4张，3号卡片5张； （3）解：由图可知，； （4）解：由题意，画图如下： 由图可知：. 22．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 求m的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】(1) (2)，10 (3) 【分析】（1）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，进一步计算即可求解， （3）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为列出不等式组，解得． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵，， ∴； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，且，解得：且． 综上，． 23．在国家发展的新时期，河南省将加快建设内联外通、立体高效的快速交通网，其中要新建或续建一批高速公路项目．已知、两市原国道长为，经过改修高速公路后，长度比原来缩短了．高速公路通车后，一辆长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上的行驶速度提高了，从市到市在高速公路上行驶的时间是在原国道上行驶时间的． (1)设该长途汽车在原国道上行驶的速度为，根据题意解答下列问题： ①该长途汽车在高速公路上行驶的速度为________； ②该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速公路上行驶的时间为________ ； ③根据题意列出关于的方程为________________________，解方程得________，经检验，的值是原方程的解且符合题意； ④答：________________________________________________________________________． (2)若设该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速公路上行驶的时间为，据此请你列出方程并解决这个问题． 【答案】(1)①；②；③，；④该长途汽车在原国道上行驶的速度为 (2)，该长途汽车在原国道上行驶的时间为 【分析】（1）本题是分式方程的应用问题，解题核心是根据 “路程、速度、时间” 的关系，用含的代数式表示各量，再根据时间关系列方程求解； （2）本题同样考查分式方程的应用，解题思路是设原国道行驶时间为，用y表示出高速公路行驶时间、速度，再根据速度关系列方程求解． 【详解】（1）解：设该长途汽车在原国道上行驶的速度为，则长途汽车在高速公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的时间为，根据题意列出方程： 解得 经检验，是原分式方程的解， 答：该长途汽车在原国道上行驶的速度为； （2）公路长度：国道，高速． 则可得， 解得 经检验，是原方程的解， 答：该长途汽车在原国道上行驶的时间为． 【点睛】本题是分式方程在行程问题中的应用，解题的核心是抓住 “路程、速度、时间” 三者的关系，根据题目中的等量关系列方程求解． 24．已知，点、分别是和上两个定点，的角平分线交于，点是直线上一个动点，且不与点、重合． (1)如图1，当时，请补全图1，已知，则____________； (2)如图2，平分交于，连接，设、、 ． ①当点在线段上，请证明：、与之间满足（不能直接用三角形相关知识）； ②当点在直线上运动时，、与之间的数量关系是否保持①中的结论不变？若不变，请说明理由，若发生改变，请直接写出、与之间所有其他可能的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)①：见解析；②：①中的结论改变，或 【分析】（1）过点P作，根据平行线的判定和性质解答即可； （2）①过点P作，根据平行线的判定和性质解答即可； ②分两种情况，结合平行线的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：补全图形，如下图； 过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵，即， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分，， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∵ ，， ∴； ②：①中的结论改变， 如图，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分，， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∵ ，， ∴； 如图，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵的角平分线为， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴， 即； 综上所述，、与之间的数量关系为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $