精品解析：2026年浙江省杭州市拱墅区文晖实验学校中考数学二模试卷

2026年浙江省杭州市拱墅区文晖实验学校中考数学二模试卷 一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、选错均不得分） 1. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数，若公交车在某站上车8人记作人，那么下车5人则记作（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】C 【解析】 【分析】根据正负数可用于表示一对具有相反意义的量，据此即可解答． 【详解】解：∵正负数可以表示一对相反意义的量，题干中规定上车人数记为正， ∴与上车相反意义的下车人数应记为负， ∴下车5人记作人． 2. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、绕轴旋转一周，可得到球体，故不符合题意； B、绕轴旋转一周，可得到圆台圆柱圆台的组合体，故不符合题意； C、绕轴旋转一周，可得到圆锥，故不符合题意； D、绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形，故符合题意． 3. 2026年4月，一款AI学习软件平均每天产生学习数据：字节()．把字节用科学记数法表示为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．，该选项计算错误，符合题意； B．，该选项计算正确，不符合题意； C．，该选项计算正确，不符合题意； D．，该选项计算正确，不符合题意． 5. 已知反比例函数与二次函数的图象交点的纵坐标为3，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出交点坐标，再代入计算即可． 【详解】解：当时， 解得， ∴交点坐标为或， ∵， ∴反比例函数经过一、三象限， ∴交点坐标为， 将代入得， 解得：． 6. 如图，，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 ，于点 ， ，分别以 ， 为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于点 ，连接并延长交于点 ．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由尺规作图可知平分，故，结合利用平行线的性质即可得出正确结论． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B正确，A，C，D 错误． 7. 在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得， ∴， 根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大， ∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲， 故选：A． 8. 如图，在边长为1的正方形网格中， ， ， ， ， 是正方形网格上的五个点，若半径为1的与线段 交于点 ，则的余弦值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先在中，利用勾股定理可得，从而可得，，再根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：由题意得： 是直角三角形，，， ∴， ∴， 由圆周角定理得，， ∴． 9. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（ ） A. 只能表示绫布的长度 B. 只能表示罗布每尺的价格 C. 既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D. 既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺，根据题意可列方程，由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的，由此可知x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 【详解】解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺， 由“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”可列方程为：， 由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的， 因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 故选：C． 10. 如图，在 中，，，．正方形的顶点D，F分别在， 边上，设， 与正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求得，然后分和两种情况解答即可． 【详解】解：在 中，，，， ∴， ∴， 当时，； 当时，设交 于M，交 于N， 如图： ∵， ∴， 在 中，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∴当时，y为开口向下的抛物线， 观察各选项，只有A符合题意． 二.填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 11. 若有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：有意义的条件是， 解不等式得， 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 13. 一个不透明的袋子中装有3个白球和2个红球，每个球除颜色外都相同，佳佳从袋子中摸出一个白球的概率为______________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出袋子中球的总个数，得到任意摸出1个球的所有等可能结果数，再得到摸出白球的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意知，袋子中球的总个数为， 从中任意摸出1个球共有 种等可能结果，其中摸出白球的结果有种， ∴摸出一个白球的概率为． 14. 如图，在扇形中，， 垂直平分，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，先求扇形的圆心角，根据即可求解． 【详解】解：连接 ， 垂直平分， ，，． ， ． 是等边三角形，． ． ． 15. 已知关于x的方程，在的范围内，该方程有2个不同的实数根，则t的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】将方程在给定区间内有两个不同实数根的问题，转化为二次函数与平行于x轴的直线的交点个数问题，通过配方得到二次函数的顶点坐标，计算区间端点的函数值，结合二次函数的图像性质确定t的取值范围 【详解】解：方程在范围内有 个不同的实数根，等价于函数与直线有 个不同的交点， 对二次函数配方得： 该二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 当时，；当时，； 结合二次函数的图像性质可得，要使直线与在范围内有两个不同交点，需满足 16. 如图，圆O的半径为5，的直角顶点A在圆上，其中，， 在绕点A旋转的过程中，始终保持直线 与圆O有两个交点D，E，其中，连接． （1）当点B与点D重合时， _____； （2）的最小值为_____． 【答案】 ①. ##0.8 ②. ## 【解析】 【分析】(1) 当点 与点 重合时， ， ， 三点都在圆 上，利用直径所对圆周角为直角构造直角三角形，结合同弧所对圆周角相等求解． (2) 先利用解直角三角形求出和 ，由将转化为求的最大值，再通过勾股定理将与关联，利用圆的直径是最长弦求出最值． 【详解】（1）解：当点 与点 重合时，点 在圆 上，连， 如图， ， ， 三点都在圆 上， ∵， ∴为圆 的直径， 圆 的半径为 ， ， ， ， ， ， 在中，， ． （2）在中，，，， ， 过点 作 于点 ， 在中，，， 直线 与圆 交于 ， 两点，且， 点 在点 与点 之间， ， ， 要使最小，只需最大， 点 在 上，且， ， 在中，， 当最大时，最大， 为圆 的弦， 当过圆心 时，最大，此时， ， ， ． 三.解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了立方根，零次幂，先化简绝对值，运算立方根以及零次幂，再运算减法，即可作答． 【详解】解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题可采用代入消元法或加减消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，这里选择代入消元法：先由一个方程变形得到用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入另一个方程消去一个未知数，求出一个未知数的值后，回代求出另一个未知数的值． 【详解】解：， 由①得， 将③代入②得， 解得， 将 代入③得 ， 所以方程组的解为． 19. 如图，点A在线段上，已知，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在 和中， ∴； （2）7 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再利用线段的和差即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴． 20. 某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有学生600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，写出一条理由即可） 【答案】（1）85，87，七 （2）估计两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人 （3） 解：我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好． 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差， 所以八年级的学生掌握的总体水平较好．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 故该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数． A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生． 故答案为：85，87，七． 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人． 【小问3详解】 略 21. 小云从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一小段时间后又走到文具店买了些学习用品，在文具店停留一小段时间后散步走回家．小云离家的距离与她所用的时间的关系如图所示，解答下列问题： （1）小云家离体育场的距离为_____； （2）请求出小云第时离家的距离． 【答案】（1）2.5； （2）小云第时离家的距离时． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，数形结合，掌握待定系数法求函数关系式是解决本题的关键． （1）观察图象可得小云家离体育场的距离； （2）当时，设，取，代入即可取得k的b的值，则可以得到相应的函数解析式，再把代入即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：小云家离体育场的距离为， 故答案为：2.5； 【小问2详解】 解：设从第到第这段时间，小云离家的距离 与她所用时间的解析式为，则有：，解得：． 所以，解析式为 当时，． 答：小云第时离家的距离时． 22. 如图，在 中，，点D在 上， ．过点A，C分别作 ，的平行线相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ，， ∴， ， ∴四边形是菱形； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据条件先证明四边形是平行四边形，再利用等角对等边证明即可； （2）过点 作于点 ，利用三线合一和锐角三角函数比求得，进而利用勾股定理可求的长度，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点 作于点 ， ，，且， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ． 23. 【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，则称这样的抛物线为平衡抛物线．如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】 若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线 ．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线 对称．设． 【解决问题】 （1）求抛物线的解析式； （2）判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； （3）当时，求d的取值范围． 【答案】（1） （2）线段的中点M一定落在直线上，理由如下： ∵点在抛物线上， ∴， 同理（1）可得，抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∵点C与点B关于直线 对称， ∴点， ∵点M是中点， ∴点 的坐标为，即， ∴线段的中点 一定落在直线上． （3） 【解析】 【分析】（1）由平衡抛物线的定义，结合已知可得的顶点坐标，即可得抛物线的解析式； （2）由已知可得点 ，点 的坐标，由点C与点B关于直线 对称，可得点 的坐标，从而可得中点坐标，即可求解； （3）结合（2）可得，令，则，根据二次函数的性质得到，即可求解 的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线是平衡抛物线，对称轴为直线， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得，，， ∴， ， 令，则， 则的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，有最小值； ∵，且， ∴当时，有最大值， ∴， ∴， 即． 24. 如图1，在正方形 中，点E在线段 上，连接，将沿着折叠得到 ，延长交于点G． （1）求证：． （2）如图2，当点E是 的中点时，求的值． （3）如图3，当时，连结并延长交 于点H，求的值． 【答案】（1） 证明：四边形 是正方形， ， 将沿着折叠得到 ， ， ， 又， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由勾股定理可求的长，即可求解； （3）由勾股定理可求，由面积法可求的长，即可求的长，通过证明，可得即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 点E是 的中点， ， 将沿着折叠得到 ， .， ， ， ， ∴， ； 【小问3详解】 如图，过点F作于M，交于N， ， 四边形是矩形， ， ， 设，则， ， ， (负值舍去)， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切值的求解，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各个性质定理是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省杭州市拱墅区文晖实验学校中考数学二模试卷 一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、选错均不得分） 1. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数，若公交车在某站上车8人记作人，那么下车5人则记作（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 2. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年4月，一款AI学习软件平均每天产生学习数据：字节()．把字节用科学记数法表示为(　　) A. B. C. D. 4. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数与二次函数的图象交点的纵坐标为3，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 6. 如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于点 ，，分别以 ，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于点，连接并延长交于点．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，是正方形网格上的五个点，若半径为1的与线段交于点，则的余弦值是（ ） A. B. 2 C. D. 9. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（ ） A. 只能表示绫布的长度 B. 只能表示罗布每尺的价格 C. 既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D. 既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 10. 如图，在中，，，．正方形的顶点D，F分别在，边上，设，与正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二.填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 11. 若有意义，则的取值范围是______． 12. 因式分解：________． 13. 一个不透明的袋子中装有3个白球和2个红球，每个球除颜色外都相同，佳佳从袋子中摸出一个白球的概率为______________． 14. 如图，在扇形中，，垂直平分，则图中阴影部分的面积为________． 15. 已知关于x的方程，在的范围内，该方程有2个不同的实数根，则t的取值范围是_____． 16. 如图，圆O的半径为5，的直角顶点A在圆上，其中，，在绕点A旋转的过程中，始终保持直线与圆O有两个交点D，E，其中，连接． （1）当点B与点D重合时， _____； （2）的最小值为_____． 三.解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解方程组：． 19. 如图，点A在线段上，已知，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有学生600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，写出一条理由即可） 21. 小云从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一小段时间后又走到文具店买了些学习用品，在文具店停留一小段时间后散步走回家．小云离家的距离与她所用的时间的关系如图所示，解答下列问题： （1）小云家离体育场的距离为_____； （2）请求出小云第时离家的距离． 22. 如图，在中，，点D在上，．过点A，C分别作，的平行线相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，则称这样的抛物线为平衡抛物线．如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】 若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设． 【解决问题】 （1）求抛物线的解析式； （2）判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； （3）当时，求d的取值范围． 24. 如图1，在正方形中，点E在线段上，连接，将沿着折叠得到，延长交于点G． （1）求证：． （2）如图2，当点E是的中点时，求的值． （3）如图3，当时，连结并延长交于点H，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $