精品解析：2026年浙江省绍兴市柯桥区二模数学试题

2026年九年级中考适应性练习数学试卷 考生须知： 1．本试题卷共7页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题卡上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 给出四个数、、、，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴四个数中最小的数是． 2. 如图是某赛事领奖台的示意图，则此领奖台的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是一道关于三视图的题目，解答本题的关键是熟练掌握左视图的定义． 根据左视图的定义即可得出答案． 【详解】解：由左视图的定义可得B选项正确， 故选：B． 3. 北京时间年月日时08分，神舟二十三号载人飞船顺利升空．该飞船每秒飞行米，照此速度计算，1分钟可飞行米．将用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 如图是月份某种商品单个进价和售价的折线统计图，则单个商品盈利最大的月份是（ ） A. 1月份 B. 2月份 C. 3月份 D. 4月份 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，正确的把握图象中的信息，理解利润=售价-进价是解题的关键． 根据利润=售价进价，结合图象中给出的信息即可得到结论． 【详解】解：由图象中的信息可知， 利润=售价进价，利润最大的是2月， 故选：B． 5. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A.   B.   C.   D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：已知， A选项，若，，此时，故A错误； B选项，不等式两边同时减去，不等号方向不变，，故B正确； C选项，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，，故C错误； D选项，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，，故D错误． 6. 如图是一个化学实验某一步骤的截面示意图，其中液面，一根粗细均匀的玻璃棒分别交，于点，，若，则的度数为（ ） A.     B. C.     D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由平行线性质求出，再由邻补角互补求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 7. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴sinα=， ∴BC= sinαAB=12 sinα（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 8. 古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？“其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设耠子有个，耧有个， ∵耠子和耧共有个， ∴， ∵共有100条腿， ∴， ∴方程组为． 9. 已知点，均在反比例函数的图象上，若，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出和，再化简和，结合的范围判断符号，得到正确结论． 【详解】∵点，均在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵， ∴，，即，， ， ∴C错误，D正确， ， ∵分母，分子在范围内可正可负， 因此可正可负，A，B不一定正确， 综上，答案选D． 10. 如图，在正方形中，，点，分别在边，上运动，满足，连接，过点作直线的垂线，垂足为，当的长最大时，的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，如图：过F作于H，则四边形是矩形，则；设，则，，，再证明，利用相似三角形的性质可得，整理为方程为，再利用一元二次方程根的判别式可得，的最大值为，最后代入方程求x的值即可解答． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴， 如图：过F作于H，则四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：， 整理为关于x的一般式为：且该方程有实数根， ∴，解得：， ∴， ∴的最大值为， 当的长最大时，将代入方程，解得：，即， ∴当的长最大时，的长为． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解—公式法的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【详解】． 故答案为：． 12. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解得， ∴不等式组的解集为． 13. 如图，购买高铁车票时，从A，B，C，D，E五个座位中随机选择两个，恰好两个座位都靠近窗户的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，共有20种等可能的结果，其中满足题意的结果有2种， ∴； 14. 如图1，某家具厂设计了一款独特的弧形沙发，其靠背是一整面布料，可看作一段圆弧．图2是其示意图，布料两端点分别为点A，B，已知该弧形的半径米，所在圆弧的圆心角，则这一整面布料弧的长为______米．（结果用表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的应用．直接利用弧长公式“”求解即可． 【详解】解：∵弧形的半径米，圆心角， ∴这一整面布料弧的长为(米)， 故答案为：． 15. 数学家曾提出快速估算两个正分数的平均数的方法，即：已知，，，都是正整数，如果，那么．例如：，那么．若，且为整数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知分数大小比较方法，结合题中给出的分数大小关系，分析确定的取值范围，可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∵为整数， ∴． 16. 已知二次函数，一次函数，当自变量取相同值时，我们把的值称为这两个函数的“绝美值”．若仅存在一个整数，使得这两个函数的“绝美值”不超过，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“绝美值”的定义将问题转化为不等式仅存在一个整数解的问题，再分两种情况：和，结合函数的对称性和增减性，建立不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设这两个函数的“绝美值”为， ∵二次函数，一次函数， ∴， 由题意可知，，， ∴，即， 令二次函数， ①当时，二次函数的开口向下， ∴存在无数个整数，使得，不符合题意； ②当时， 二次函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∵距离对称轴最近的整数是， ∴若仅存在一个整数，使得，则需满足当时，；且当时，， 即， 解得． 三、解答题（本大题有8小题，第17，18，19，20，21小题每题8分，第22，23小题每题10分，第24小题每题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 下面是小莹同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式第一步 第二步 第三步 （1）小莹同学的化简过程从第_______步开始出现错误； （2）请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数代入求值． 【答案】（1）二 （2），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出x的值，最后将x的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小莹同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； 【小问2详解】 解： ； ∵， ∴， 当时，原式． 19. 小柯同学按如下步骤作四边形．第一步：画；第二步：以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点，；第三步：分别以点，为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连结，，． （1）由以上作图可知，四边形的形状是________． （2）若，求的度数． 【答案】（1）菱形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形即可证明； （2）根据菱形的性质得到，由平行得到，再由邻补角即可求解． 【小问1详解】 解：由作图可得， ∴四边形是菱形， 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 为响应国家“健康中国”行动，某校开展“健康生活方式”主题活动．为了解学生日常体重管理情况，学校随机抽取名学生进行了问卷调查． 调查问卷 1．你最坚持的一类体重管理习惯是什么？（单选） A：规律运动 B：合理饮食 C：规律作息 D：控制零食饮料 2．你通过“规律运动”进行体重管理有多长时间了？ A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 E．个月 根据调查结果绘制了扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请结合图中信息解答下列问题： （1）扇形统计图中“控制零食饮料”所在扇形的圆心角度数为________． （2）本次调查中，通过“规律运动”进行体重管理的学生人数是________，并补全条形统计图． （3）若该校共有名学生，请估计最坚持“规律作息”的学生人数． 【答案】（1）； （2），补全条形统计图如下： （3）人 【解析】 【分析】（1）直接用“控制零食饮料”的百分比乘以即可； （2）用抽取的学生数量乘以“规律运动”的百分比即可；再“规律运动”的学生数量减去其他体重管理时长的人数即可补全条形统计图； （3）用总数乘以最坚持“规律作息”的学生比例即可． 【小问1详解】 解：扇形统计图中“控制零食饮料”所在扇形的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：通过“规律运动”进行体重管理的学生人数是； ， 条形统计图略； 【小问3详解】 解：估计最坚持“规律作息”的学生人数为（人）． 21. 如图是我们生活中的一种遮阳伞，如图是它的骨架示意图，点在伞柄（）上下滑动时，骨架可以伸缩．打开遮阳伞时，，，三点始终在同一直线上．关闭遮阳伞后，，，三点重合（即，），点与点重合（即），四边形和四边形都是平行四边形，，． （1）求的长度． （2）若，，在打开伞的过程中，当平行四边形恰为矩形时，求，两点之间的距离． 【答案】（1） （2），两点之间的距离为． 【解析】 【分析】（1）先利用关闭遮阳伞时三点重合的条件，结合已知的长度算出的长度；因为四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，即可得到的长度； （2）先根据关闭伞时的重合条件，结合已知易得为等腰直角三角形，求出，同理可得，也为等腰直角三角形，求出，即可计算出的总长度． 【小问1详解】 解：，，， ． ∵四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：连接， ∵当平行四边形恰为矩形，， ， ． ， 为等腰直角三角形， ． 同理可得，也为等腰直角三角形， ∵， ， ∵，，三点始终在同一直线上， ． 答：，两点之间的距离为． 22. 如图，为的直径，交于点，为上一点（不与端点重合），连接并延长交于点，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若的半径为，且，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ， ． 是的切线 ， ． ， ， ． ， ， ． （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，由半径相等得，根据切线的性质及垂直的定义推出，结合对顶角相等得到，即可推出． （2）设，得，在中，由勾股定理得，由此求出x的值，即可得到的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：的半径，且， 设， ． 在中，由勾股定理得， ， ． 解得，或（舍去）， ， ． 23. 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图，外形参数如图所示．装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的圆弧组成．抛物线的高度为，矩形的边，，圆弧的拱高为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在圆弧上，点，在抛物线上，轴． 问题解决：如图，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）分别求出抛物线的函数表达式和圆弧所在圆的半径． （2）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要到的水平距离为，求此时矩形的面积． 【答案】（1）的函数表达式为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，可知，，，，设中点为P，则，由题干图可知，抛物线的顶点为，设表达式为：，代入求解即可；设圆弧所在圆的半径为，圆心为，连接，根据垂径定理的推论可知，根据勾股定理计算即可； （2）连接，则，作交于点Q，根据矩形的性质得到轴，轴，可知H、G纵坐标相同，即H、G关于抛物线对称轴对称，进而可知到抛物线对称轴的距离与到抛物线对称轴的距离相同，根据可知在抛物线对称轴上，则到抛物线对称轴的距离为，即，根据矩形的判定和性质求出，，根据勾股定理求出，将代入求出点坐标为，可知，根据矩形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵矩形的边，， ∴，， 可知，，，， 设中点为P，则， 由题干图可知，抛物线的顶点为，即， 设表达式为：， 代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； 如图，设圆弧所在圆的半径为，圆心为，连接， ∵为的中点 ∴， ∵圆弧的拱高为，即， 在中，， 解得； 【小问2详解】 解：如图，连接，则，作交于点Q， ∵矩形， ∴， ∵轴， ∴轴，轴， ∴抛物线对称轴，H、G纵坐标相同， ∵H、G在抛物线上， ∴H、G关于抛物线对称轴对称， 即到抛物线对称轴的距离与到抛物线对称轴的距离相同． ∵，P在抛物线对称轴上， ∴在抛物线对称轴上， 即到抛物线对称轴的距离为， ∴， 由题意可知，， ∴， ∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 将代入的函数表达式得，， ∴点坐标为， ∴， 则矩形的面积为． 24. 数学课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动探究．将矩形纸片沿折叠，点的对称点为点，与相交于点． （1）如图，求证： （2）如图，连接并延长，交的延长线于点． ①猜想四边形的形状，并说明理由． ②当时，求的值． 【答案】（1）证明：由折叠得， ∵矩形中，， ∴， ， ． （2）①四边形为平行四边形；理由如下： 根据折叠可得：， ∵矩形中，， ∴， ∵， ∴ ， ， ∵，， ， ， ∵矩形中，， ∴四边形为平行四边形． ② 【解析】 【分析】（1）由折叠得，由得，再根据等腰三角形的判定即可得出答案； （2）①先根据矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，证明，从而证明，再根据，即可证明四边形为平行四边形； ②过点作交于点，交的延长线于点，证明四边形为矩形，得出，，证明，得出，设，，则，．根据勾股定理得出，求出（负值已舍去），从而求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②根据折叠可得：点与点关于直线轴对称， ， ， ， ∴， ∵在矩形中，， 又， ， ∴， 过点作交于点，交的延长线于点，如图所示： ∵在矩形中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 不妨设，，则，． 根据折叠可得，， 在中，根据勾股定理得：， ， （负值已舍去）， ∴，， ∴， ∴， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级中考适应性练习数学试卷 考生须知： 1．本试题卷共7页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题卡上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 给出四个数、、、，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 如图是某赛事领奖台的示意图，则此领奖台的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 北京时间年月日时08分，神舟二十三号载人飞船顺利升空．该飞船每秒飞行米，照此速度计算，1分钟可飞行米．将用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图是月份某种商品单个进价和售价的折线统计图，则单个商品盈利最大的月份是（ ） A. 1月份 B. 2月份 C. 3月份 D. 4月份 5. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A.   B.   C.   D. 6. 如图是一个化学实验某一步骤的截面示意图，其中液面，一根粗细均匀的玻璃棒分别交，于点，，若，则的度数为（ ） A.     B. C.     D. 7. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？“其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，均在反比例函数的图象上，若，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，点，分别在边，上运动，满足，连接，过点作直线的垂线，垂足为，当的长最大时，的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．） 11. 分解因式：________． 12. 不等式组的解集是________． 13. 如图，购买高铁车票时，从A，B，C，D，E五个座位中随机选择两个，恰好两个座位都靠近窗户的概率是______． 14. 如图1，某家具厂设计了一款独特的弧形沙发，其靠背是一整面布料，可看作一段圆弧．图2是其示意图，布料两端点分别为点A，B，已知该弧形的半径米，所在圆弧的圆心角，则这一整面布料弧的长为______米．（结果用表示） 15. 数学家曾提出快速估算两个正分数的平均数的方法，即：已知，，，都是正整数，如果，那么．例如：，那么．若，且为整数，则________． 16. 已知二次函数，一次函数，当自变量取相同值时，我们把的值称为这两个函数的“绝美值”．若仅存在一个整数，使得这两个函数的“绝美值”不超过，则的取值范围为________． 三、解答题（本大题有8小题，第17，18，19，20，21小题每题8分，第22，23小题每题10分，第24小题每题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算：． 18. 下面是小莹同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式第一步 第二步 第三步 （1）小莹同学的化简过程从第_______步开始出现错误； （2）请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数代入求值． 19. 小柯同学按如下步骤作四边形．第一步：画；第二步：以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点，；第三步：分别以点，为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连结，，． （1）由以上作图可知，四边形的形状是________． （2）若，求的度数． 20. 为响应国家“健康中国”行动，某校开展“健康生活方式”主题活动．为了解学生日常体重管理情况，学校随机抽取名学生进行了问卷调查． 调查问卷 1．你最坚持的一类体重管理习惯是什么？（单选） A：规律运动 B：合理饮食 C：规律作息 D：控制零食饮料 2．你通过“规律运动”进行体重管理有多长时间了？ A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 E．个月 根据调查结果绘制了扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请结合图中信息解答下列问题： （1）扇形统计图中“控制零食饮料”所在扇形的圆心角度数为________． （2）本次调查中，通过“规律运动”进行体重管理的学生人数是________，并补全条形统计图． （3）若该校共有名学生，请估计最坚持“规律作息”的学生人数． 21. 如图是我们生活中的一种遮阳伞，如图是它的骨架示意图，点在伞柄（）上下滑动时，骨架可以伸缩．打开遮阳伞时，，，三点始终在同一直线上．关闭遮阳伞后，，，三点重合（即，），点与点重合（即），四边形和四边形都是平行四边形，，． （1）求的长度． （2）若，，在打开伞的过程中，当平行四边形恰为矩形时，求，两点之间的距离． 22. 如图，为的直径，交于点，为上一点（不与端点重合），连接并延长交于点，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若的半径为，且，求的长． 23. 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图，外形参数如图所示．装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的圆弧组成．抛物线的高度为，矩形的边，，圆弧的拱高为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在圆弧上，点，在抛物线上，轴． 问题解决：如图，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）分别求出抛物线的函数表达式和圆弧所在圆的半径． （2）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要到的水平距离为，求此时矩形的面积． 24. 数学课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动探究．将矩形纸片沿折叠，点的对称点为点，与相交于点． （1）如图，求证： （2）如图，连接并延长，交的延长线于点． ①猜想四边形的形状，并说明理由． ②当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $