精品解析：吉林省长春市汽车经济技术开发区2025-2026学年下学期九年级中考一模数学试卷

九年级练习题（数学学科） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵题目规定支出记作负数，收入记作正数， ∴支出元可记为，获得元收入可记为， ∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为． 2. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】A 【解析】 【详解】解：从正面看和从上面看，看到的轮廓形状相同， ∴主视图与俯视图相同， 从左面看，看到的图形为圆，与主视图与俯视图不同． 3. 刘徽在为《九章算术》作注时，提出“方自乘之，再自乘，为立方之幂”，描述了幂的乘方运算．下列数式的运算结果，与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，直线，一副三角板放置在，之间，含的直角三角板的斜边在上，且它较长的直角边与含的直角三角板的斜边在同一直线上．若含的直角三角板的直角顶点在上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 5. 五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者．某爱好者搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为米．若的度数为，则此“天幕”的宽度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】令和相交于点，根据题意得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：令和交于， ，， ，， ， ， ． 6. 下列函数中，的值随的值增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不同函数的增减性逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A，是二次函数，开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求． 选项B，，是一次函数，，随的增大而减小，不符合要求． 选项C，，是二次函数，开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求. 选项D，是一次函数，，随的增大而增大，符合要求． 7. 平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，为了得到▱ABCD（如图），下列说法错误的是（　　） A. 将线段AB沿BC的方向平移BC长度可以得到▱ABCD B. 将△ABC绕边AC的中点O旋转180°可以得到▱ABCD C. 将△AOB绕点O旋转180°可以得到▱ABCD D. 将△ABC沿AC翻折可以得到▱ABCD 【答案】D 【解析】 【分析】利用平移变换，旋转变换，翻折变换的性质一一判断即可． 【详解】解：A、将线段AB沿BC的方向平移BC长度可以得到▱ABCD，正确，本选项不符合题意． B、将△ABC绕边AC的中点O旋转180°可以得到▱ABCD，正确，本选项不符合题意． C、将△AOB绕点O旋转180°可以得到▱ABCD，正确，本选项不符合题意． D、将△ABC沿AC翻折不可以得到▱ABCD，本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转变换，平移变换，翻折变换等知识，解题的关键是理解旋转变换，翻折变换，平移变换的性质． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线交于A、B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 利用反比例函数系数的几何意义求出的面积，再根据中心对称性和平行线分线段成比例得出与的面积关系，即可进行后续求解． 【详解】解：直线与双曲线交于，两点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴轴，  轴，即， ∴ ∴ 是的中点， ， ∵ ， 点在双曲线上，轴， ，  ， ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 写出一个比小的有理数______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了对有理数的性质的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 【详解】解：比小的有理数为：，等， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 计算：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接进行同类二次根式的合并即可． 【详解】解：． 故答案为： 11. 已知多边形每个内角都等于，则这个多边形是___边形． 【答案】十 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．先求出每一个外角的度数，再根据边数外角的度数计算即可． 【详解】解：， ， 这个多边形的边数是10． 故答案为：十． 12. 已知点位于第一象限，若它的横、纵坐标均为整数，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据第一象限内点的坐标特征，列出关于的不等式组，求出的取值范围，再结合横纵坐标均为整数的条件，确定的值． 【详解】解：点位于第一象限，第一象限内点的横纵坐标均为正数， ∴，解得：， 点的横纵坐标均为整数， 为整数，可得． 13. 随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶．如图是搭载了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形面积为__________平方米（结果保留）． 【答案】 【解析】 【详解】解：该可视区域形成的扇形面积为（平方米）． 14. 如图，在中，，的平分线交于点，为边上的一点，，以点为圆心、的长为半径作．给出下面四个结论： ①； ②为的切线； ③； ④当时，． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】过点D作于F，根据和角平分线的性质可判断①正确；得到，从而证得是的切线，可判断②正确；证明，进而得证，再由，可知，可判断③正确；求得，即可得到，可判断④错误． 【详解】解：过点作于，如图所示， ∵， ∴， ∵平分， ∴，①正确； ∵， ∴， ∴是的切线，②正确； 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， 即，③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，④错误． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式； ∴当时，则原式． 16. 生活常识：日常使用电池时，严禁将有电电池与没电电池混合搭配使用，混用容易出现漏液、损坏电器、发热危险等安全隐患．家用电池检测仪可以快速区分电池电量状态．现有2节有电电池、和1节没电电池B，所有电池除电量状态外无其他区别．使用家用电池检测仪，从中随机取出一节电池检测后不放回，再随机取一节进行检测．用列表法或树状图法，求两次检测电池电量状态相同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】根据列表法可进行求解概率． 【详解】解：由题意可列表如下： B ／ ／ B ／ 由表可知：从中随机取出一节电池检测后不放回，再随机取一节进行检测的所有等可能情况有种，其中两次检测电池电量状态相同的情况有种， 所以两次检测电池电量状态相同的概率为． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，确定格点，作射线，使； （2）在图②中，确定格点，作射线，使． 【答案】（1）所作射线如图所示： （2）所作射线如图所示： 【解析】 【分析】（1）在图中找到一个角的正切值也为即可； （2）在图中构造一个等腰直角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：图略， 证明如下：连接， 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 18. 伊通河是长春的母亲河，甲、乙两人选择了一段风光秀美的伊通河岸骑行．已知这段路程全长12000米，甲的骑行速度是乙的1.2倍，甲骑完全程比乙少用5分钟，问乙每分钟骑行多少米？ 【答案】 乙每分钟骑行400米. 【解析】 【分析】先设乙每分钟骑行x米，可得甲每分钟骑行，再根据两人分别骑行12000米所用的时间差为5列出分式方程，求出解即可． 【详解】解：设乙每分钟骑行x米，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以乙每分钟骑行400米． 19. 如图，在中，平分，延长至点，在上截取，连接并延长交于点．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可知，然后可得，进而根据角平分线的定义可得，则问题可求证． 【详解】略 20. 问题背景：2025年太阳粒子活动进入活跃期，地磁活动越强，越易观测到极光．地磁波动幅度R（单位：）是计算指数（级）的依据，我国某县多次观测到极光．指数简化计算规则：，；，；，；，；，．以下是某观测站采集上半年数据，绘制如下统计图表： 2025年月我国某县地磁观测数据 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 地磁幅度R 420 610 480 650 730 850 指数 5 7 5 8 （1）表格中的_______，_______； （2）求1至6月份的观测次数； （3）通过以上数据信息发现：指数（级）_______（“越大”或“越小”），越容易观测到极光，你会选择______月份去观测极光． 【答案】（1）7；9 （2）31 （3）越大，6 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据折线统计图及表格可进行求解； （3）由题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：由表格可知：4月份地磁幅度为650，根据“，”可知：； 6月份地磁幅度为850，根据“，”可知：； 【小问2详解】 解：由表格可知：出现在2、4、5、6月份， ∴根据折线统计图可知：1至6月份的观测次数为； 【小问3详解】 答：通过以上数据信息发现：指数（级）越大，越容易观测到极光，所以我会选择6月份去观测极光． 21. 为实现绿色低碳发展，各地大力推广新能源电动汽车，新能源汽车凭借低能耗、零尾气、出行成本低等优势，深受大家喜爱．某新能源纯电车电池总容量为70度，初始剩余电量为10度，某充电站对该纯电车进行恒功率充电，充电过程中，电池电量（度）与充电时间（分钟）成一次函数关系．已知充电15分钟，电量显示40度． （1）按此速度匀速充电，充满整块电池一共需要_______分钟； （2）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）若充电15分钟后，充电桩切换慢充模式，充电速度每分钟比原来减少0.5度，请你在给出的平面直角坐标系中画出整个充电过程与之间的函数图象． 【答案】（1）30 （2），自变量的取值范围为 （3）整个充电过程与之间的函数图象如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）设与之间的函数关系式为，然后利用待定系数法进行求解即可； （3）由题意可得慢充的充电速度为每分钟度，充满电所需时间为分钟，然后可得整个充电时间为分钟，进而可画出函数图象． 【小问1详解】 解：由题意得：（度/分钟）， ∴按此速度匀速充电，充满整块电池一共需要（分钟）； 【小问2详解】 解：设与之间的函数关系式为， 由题意可把代入得：， 解得：， ∴与之间的函数关系式为， 由（1）及题意可知：自变量的取值范围为； 【小问3详解】 解：由题意可知：充电15分钟，电量显示为40度，还有剩余30度电充满， ∵充电桩切换慢充模式，充电速度每分钟比原来减少0.5度， ∴慢充的充电速度为每分钟度， ∴充满电所需时间为分钟， ∴整个充电时间为分钟， 函数图象（略）． 22. 【定义】我们把对角线互相垂直的圆内接四边形称为“十字架四边形”． （1）【探究】如图①，已知是十字架四边形．求证：四边形是正方形．以下是小明的部分证明过程： 证明：是十字架四边形， ． ∴四边形是菱形． 为圆内接四边形， …… （2）【操作】已知是的一条弦，请你用圆规和无刻度的直尺在图②中作出十字架四边形，使为的直径（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑）． （3）【拓展】如图③，四边形为十字架四边形，连结、、、． （1）与的和为________度； （2）若时，则半径的最小值为_______． 【答案】（1）证明：是十字架四边形， ， ∴四边形是菱形． 为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）作出十字架四边形，使为的直径，如图所示： （3）（1）；（2）半径的最小值为 【解析】 【分析】探究：接着题目的证明过程证明，由圆内接四边形得到，由平行四边形对角相等得到，即可证明四边形是正方形． 操作：分别以、为圆心，大于长度为半径画弧，交于点，连接并两边延长与交于、两点，由作图可得，由圆半径相等得到，即可得到垂直平分，即，满足十字架四边形，使为的直径； 拓展：（1）由四边形为十字架四边形，得到，则，再结合圆周角定理得到； （2）过作于，于，则由垂径定理可得，，再证明，得到，，，设，则，，，最后根据求半径的最小值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（1）设与交于点， ∵四边形为十字架四边形， ∴， ∴， 由圆周角定理可得，， ∴， 即与的和为度； （2）过作于，于，则由垂径定理可得，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则，，， ∴， ∴当时，最小， ∴半径的最小值为． 23. 如图，在中，，，．点是边上一动点，沿过点的直线翻折，使的对应线段与平行，且折痕与射线交于点．继续沿过点的直线翻折，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点． （1）的度数为_______； （2）证明：； （3）当时，求的值； （4）连结，当四边形有两个角为时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）证明：由折叠可得，， ∵， ∴， ∴； （3） （4）当四边形有两个角为时，或 【解析】 【分析】（1）直接根据三角形内角和得到； （2）由折叠可得，，结合，即可得到； （3）由与平行，，得到，结合折叠得到和是等边三角形，则，，，代入即可得到； （4）四边形中，，，当四边形有两个角为时，或，据此分情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与平行，， ∴， ∴由折叠可得，，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：连结， 由（3）可得，，， ∴设，则，， 由折叠可得，，，，，， ∵四边形中，，， ∴当四边形有两个角为时，或， 当时，， ∴， ∴， ∴， 解得，即； 当时，， 过作于， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 综上所述，当四边形有两个角为时，或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过原点，其对称轴为直线．直线（）与该抛物线交于点，连结． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当时，作交轴于点，交该抛物线对称轴于点． ①求点的坐标； ②求的长； （3）点在直线上，，以、为邻边作菱形，连结交该抛物线对称轴于点．当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，经过原点，建立方程组即可求出抛物线解析式； （2）①在抛物线，令，即可求出点的坐标；②过点作轴，垂足为，交对称轴于点，利用求出点、点的坐标，即可求出的长； （3）由四边形是菱形，可得点在轴上，且，得出，由平行线分线段成比例定理可得，得出，得出是等边三角形，进而可得，当点在点上方时，可得， 当点在点下方时，可得，即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵抛物线对称轴为直线，经过原点， ∴，解得：， ∴抛物线表达式为． 【小问2详解】 解：①如图所示： ∵抛物线， ∴令，得：， ∴； ②过点作轴，垂足为，交对称轴于点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵直线（）与该抛物线交于点， ∴， ∵点在直线上， ∴轴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴点在轴上，且， ∵ ∴，即， ∴ ∵ ∴，即， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点在点上方，如图所示： ∴， ∴，解得：或（舍去）， 当点在点下方，如图所示： ∴， ∴，解得：或（舍去）， 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级练习题（数学学科） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 3. 刘徽在为《九章算术》作注时，提出“方自乘之，再自乘，为立方之幂”，描述了幂的乘方运算．下列数式的运算结果，与相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，一副三角板放置在，之间，含的直角三角板的斜边在上，且它较长的直角边与含的直角三角板的斜边在同一直线上．若含的直角三角板的直角顶点在上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者．某爱好者搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为米．若的度数为，则此“天幕”的宽度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 下列函数中，的值随的值增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 7. 平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，为了得到▱ABCD（如图），下列说法错误的是（　　） A. 将线段AB沿BC的方向平移BC长度可以得到▱ABCD B. 将△ABC绕边AC的中点O旋转180°可以得到▱ABCD C. 将△AOB绕点O旋转180°可以得到▱ABCD D. 将△ABC沿AC翻折可以得到▱ABCD 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线交于A、B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 写出一个比小的有理数______． 10. 计算：=_____． 11. 已知多边形每个内角都等于，则这个多边形是___边形． 12. 已知点位于第一象限，若它的横、纵坐标均为整数，则的值为__________． 13. 随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶．如图是搭载了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形面积为__________平方米（结果保留）． 14. 如图，在中，，的平分线交于点，为边上的一点，，以点为圆心、的长为半径作．给出下面四个结论： ①； ②为的切线； ③； ④当时，． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 生活常识：日常使用电池时，严禁将有电电池与没电电池混合搭配使用，混用容易出现漏液、损坏电器、发热危险等安全隐患．家用电池检测仪可以快速区分电池电量状态．现有2节有电电池、和1节没电电池B，所有电池除电量状态外无其他区别．使用家用电池检测仪，从中随机取出一节电池检测后不放回，再随机取一节进行检测．用列表法或树状图法，求两次检测电池电量状态相同的概率． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，确定格点，作射线，使； （2）在图②中，确定格点，作射线，使． 18. 伊通河是长春的母亲河，甲、乙两人选择了一段风光秀美的伊通河岸骑行．已知这段路程全长12000米，甲的骑行速度是乙的1.2倍，甲骑完全程比乙少用5分钟，问乙每分钟骑行多少米？ 19. 如图，在中，平分，延长至点，在上截取，连接并延长交于点．求证：． 20. 问题背景：2025年太阳粒子活动进入活跃期，地磁活动越强，越易观测到极光．地磁波动幅度R（单位：）是计算指数（级）的依据，我国某县多次观测到极光．指数简化计算规则：，；，；，；，；，．以下是某观测站采集上半年数据，绘制如下统计图表： 2025年月我国某县地磁观测数据 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 地磁幅度R 420 610 480 650 730 850 指数 5 7 5 8 （1）表格中的_______，_______； （2）求1至6月份的观测次数； （3）通过以上数据信息发现：指数（级）_______（“越大”或“越小”），越容易观测到极光，你会选择______月份去观测极光． 21. 为实现绿色低碳发展，各地大力推广新能源电动汽车，新能源汽车凭借低能耗、零尾气、出行成本低等优势，深受大家喜爱．某新能源纯电车电池总容量为70度，初始剩余电量为10度，某充电站对该纯电车进行恒功率充电，充电过程中，电池电量（度）与充电时间（分钟）成一次函数关系．已知充电15分钟，电量显示40度． （1）按此速度匀速充电，充满整块电池一共需要_______分钟； （2）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）若充电15分钟后，充电桩切换慢充模式，充电速度每分钟比原来减少0.5度，请你在给出的平面直角坐标系中画出整个充电过程与之间的函数图象． 22. 【定义】我们把对角线互相垂直的圆内接四边形称为“十字架四边形”． （1）【探究】如图①，已知是十字架四边形．求证：四边形是正方形．以下是小明的部分证明过程： 证明：是十字架四边形， ． ∴四边形是菱形． 为圆内接四边形， …… （2）【操作】已知是的一条弦，请你用圆规和无刻度的直尺在图②中作出十字架四边形，使为的直径（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑）． （3）【拓展】如图③，四边形为十字架四边形，连结、、、． （1）与的和为________度； （2）若时，则半径的最小值为_______． 23. 如图，在中，，，．点是边上一动点，沿过点的直线翻折，使的对应线段与平行，且折痕与射线交于点．继续沿过点的直线翻折，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点． （1）的度数为_______； （2）证明：； （3）当时，求的值； （4）连结，当四边形有两个角为时，直接写出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过原点，其对称轴为直线．直线（）与该抛物线交于点，连结． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当时，作交轴于点，交该抛物线对称轴于点． ①求点的坐标； ②求的长； （3）点在直线上，，以、为邻边作菱形，连结交该抛物线对称轴于点．当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $