精品解析：2025年吉林省长春市长春汽车经济技术开发区中考一模数学试题

汽开区2024-2025学年度第二学期九年级核心素养质量监测 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算结果为0的是（　　） A. B. C. D. 2. 在“生活中的数学”实践活动中，小明观察家中的空心卷纸，如图所示，则其俯视图为（　　） A. B. C. D. 3. 根据某网站统计，截止至2025年2月，的总访问量达到了亿次，其中亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上有、、、四个点，其中与最接近的点是（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 如图，将一张矩形纸片对折，折痕为，再将以的中点为顶点的平角三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以为顶点的等腰三角形将剪出的等腰三角形全部展开平铺后，得到的平面图形每个内角的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 小明在做小孔成像实验时，固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔置于距离光屏的位置如图所示，测得烛焰的像高，，则此时烛焰的高为（小孔大小和厚度忽略不计）（　　） A. B. C. D. 7. 如图为建造楼梯的设计图，虚线为楼梯的倾斜线，与地面的夹角．现在要在楼梯上铺地毯（沿台阶从点铺到点），已知米，则所铺地毯的总长度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，半径为1的与轴相切，点的坐标为．若点关于点的对称点也在此函数图象上，则的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 比较大小：___________0．（填“”、“”或“”） 10. 因式分解：x2﹣3x=_____． 11. 若是抛物线上的点，则代数式的值为________． 12. 去年某市空气质量优良的天数与全年天数（365天）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过80%，那么明年空气质量优良的天数比去年至少要增加多少天？若设明年空气质量优良的天数比去年增加天，根据题意，可列不等式为___________． 13. 如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过光滑地板反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为、．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当时，光斑从到移动的距离约为___________m．（结果精确到，参考数据：） 14. 如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连结，过点作，垂足为点．给出下面五个结论： ①； ②是的切线； ③； ④当时，若，则阴影部分图形的面积为； ⑤当时，与的面积比为． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 一个不透明的口袋中装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色不同外其余均相同．小明先从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个球记下颜色．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次摸出的球中至少有一个白球的概率． 17. 我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺．问长木多少尺？ 18. 如图，四边形中，的平分线交于点E，连接，求证：四边形是菱形． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中作出直线，使，点为格点； （2）在图②中作出以线段为腰的等腰三角形，点为格点，且的面积为8； （3）在图②中作出的外接圆圆心（不要求画）． 20. 我国在《黄帝内经》和《左传》中记载，不同的音调对人体五脏以及情绪有不同的影响．科学研究也表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用表示心率，单位：次/分，数据分为4组：A.，B.，C.，D.） 【数据的收集与整理】20名同学听音乐前频数分布表 心率（次/分） 频数 5 6 5 4 各组平均心率（次/分） 64 75 86 95 20名同学听音乐时心率扇形统计图 【数据分析】 平均数 中位数 方差 听音乐前 78 124.5 听音乐时 73 73.5 99 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________； （2）请你结合“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”这个课题中的统计量分析，心率波动小且心率较为平缓的是___________；（填“听音乐前”或“听音乐时”） （3）如果兴趣小组再选择本年级200名同学开展试验，请估计这200名同学听该舒缓音乐时心率在组的人数． 21. 某公司生产了、两款新能源电动汽车．技术组经过试验，绘制了如图所示的函数图象，、分别表示款、款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的函数关系． （1）求所对应的函数表达式； （2）当电池电量用完时，判断、两款新能源电动汽车哪款行驶路程更长？长多少？ （3）如果试验中款电动汽车平均行驶速度为，那么它耗电能够行驶的时长为___________． 22. 【问题原型】如图①，在中，，点分别是边上的动点，且，连接、．试探究最小时，的度数． 【问题解决】小明通过以往的学习经验，对上述问题给出了如下部分解题过程： 解：如图②，过点向下作，且，连接、． 过程缺失一 ． ． 当三点共线时，最小． 此时点为与的交点． 过程缺失二 请你补全两部分缺失的解题过程． 【方法拓展】如图③，是某公园门口规划的一块等腰三角形广场，在边上找一点修建便民服务中心，在右侧修建一个等边三角形的草坪，沿铺设一条石子小路（宽度忽略不计），从的中点处向点铺设一条灯光地板．已知．若在线段上找一点修建游客休息亭，且，当点到点的距离与的长度之和最小时，灯光地板的长度为___________． 23. 如图，在中，，，，为的中点．动点在边上，过点作的垂线交折线于点．以为邻边构造矩形． （1）的长为___________，的长为___________； （2）当点落在上时，证明； （3）当点落在的边上时，用圆规和无刻度的直尺在备用图中作出矩形（保留作图痕迹），并求此时的长； （4）沿直线将矩形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合条件的的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点、均在抛物线上，横坐标分别为，过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线，两直线交于点，以为对角线作． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当时，求的值； （3）当线段与抛物线有异于点的交点时，记这个交点为，连结．①当将分成两部分图形的面积比为时，求的值；②当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汽开区2024-2025学年度第二学期九年级核心素养质量监测 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算结果为0的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数加减法，熟练掌握有理数加减法法则是解题的关键． 根据有理数加减法法则计算并判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 在“生活中的数学”实践活动中，小明观察家中的空心卷纸，如图所示，则其俯视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解： “空心卷纸”的俯视图是两个同心圆． 故选：A． 3. 根据某网站统计，截止至2025年2月，的总访问量达到了亿次，其中亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿 故选：B． 4. 如图，数轴上有、、、四个点，其中与最接近的点是（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的大小估算，熟练掌握无理数的大小估算是解题的关键．根据无理数的大小估算可得，再观察数轴即可得出答案． 【详解】解：， ， 观察数轴可得，与最接近的点是点． 故选：D． 5. 如图，将一张矩形纸片对折，折痕为，再将以的中点为顶点的平角三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以为顶点的等腰三角形将剪出的等腰三角形全部展开平铺后，得到的平面图形每个内角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了剪纸，正六边形的性质，由题意可得所剪出的平面图形是正六边形，即可得了答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵以的中点为顶点的平角三等分， ∴展开得到图形的中心角为， ∴所剪出的平面图形是边形， 由题意可知，这个六边形为正六边形， ∴平面图形每个内角的度数为， 故选：C． 6. 小明在做小孔成像实验时，固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔置于距离光屏的位置如图所示，测得烛焰的像高，，则此时烛焰的高为（小孔大小和厚度忽略不计）（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合题意得，即可求出烛焰的高． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 7. 如图为建造楼梯的设计图，虚线为楼梯的倾斜线，与地面的夹角．现在要在楼梯上铺地毯（沿台阶从点铺到点），已知米，则所铺地毯的总长度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和平移的性质，根据正切求出的长，再通过平移性质即可求出地毯的长度，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴所铺地毯的总长度为（米）， 故选：． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，半径为1的与轴相切，点的坐标为．若点关于点的对称点也在此函数图象上，则的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据半径为1的与轴相切，得到点A的横坐标为1，设，点， 根据点关于点的对称点也在此函数图象上，得到，得到点C的坐标，再代入反比例函数的解析式解答即可． 【详解】解：由半径为1的与轴相切， 故点A的横坐标为1， 又点在函数的图象上， 设， 设点，根据点关于点的对称点也在此函数图象上， 故， 解得， 故点， 故， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，反比例函数的性质，中点坐标公式，待定系数法求解析式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 比较大小：___________0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数大小比较，解题的关键是熟练掌握实数大小比较的方法： 先确定出的范围，然后根据正数大于0，0大于负数．即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 10. 因式分解：x2﹣3x=_____． 【答案】x（x﹣3） 【解析】 【详解】试题分析：提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）． 考点：因式分解. 11. 若是抛物线上的点，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将点代入，得出，即，整体代入即可求解． 【详解】解：将点代入， 得，即 ∴ 故答案为：． 12. 去年某市空气质量优良的天数与全年天数（365天）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过80%，那么明年空气质量优良的天数比去年至少要增加多少天？若设明年空气质量优良的天数比去年增加天，根据题意，可列不等式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天，由去年该市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到且明年（365天）这样的比值要超过，即可得出关于x的一元一次不等式． 【详解】解：设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天， 依题意得：， 故答案为：． 13. 如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过光滑地板反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为、．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当时，光斑从到移动的距离约为___________m．（结果精确到，参考数据：） 【答案】4.4 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为E，过点作，垂足为F，根据题意可得：，和都是等腰三角形，，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为E，过点作，垂足为F， 由题意得：，和都是等腰三角形，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴光斑移动的距离约为， 故答案为：4.4． 14. 如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连结，过点作，垂足为点．给出下面五个结论： ①； ②是的切线； ③； ④当时，若，则阴影部分图形的面积为； ⑤当时，与的面积比为． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】连接，根据是的直径，得出，根据已知可得垂直平分，即可判断①，根据中位线的性质即可判断②，根据等边对等角可得，进而判断③；根据平行线的性质可得，进而得出是等腰直角三角形，再根据扇形面积减去的面积即可判断④；根据已知可得，进而得出与的面积比为，即可判断⑤，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径 ∴ 又∵， ∴垂直平分 ∴故①错误； ∵分别为的中点， ∴ ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线；故②正确 ∵，即， 又 ∴ ∴，故③错误， 当时， ∴ ∴， ∵，则是等腰直角三角形， 又， ∴，故④正确 ∵ ∴ 当时， ∴与的面积比为 ∴与的面积比为，故⑤错误． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，圆周角定理，中位线的性质，切线的判定，三角形的面积，扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先根据分式的乘除法法则运算，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 16. 一个不透明的口袋中装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色不同外其余均相同．小明先从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个球记下颜色．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次摸出的球中至少有一个白球的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，注意区分“放回”与“不放回”． 画出树状图或列表法求出所有可能，找出符合题意的可能结果，进而根据概率公式列式即可得解． 【详解】解：树状图如下： 由树状图可得，两次摸球的等可能结果一共有9种，两次摸出的球中至少有一个白球的有5种 所以，（小明两次摸出的球中至少有一个白球）． 列表如下： 由列表可得，两次摸球的等可能结果一共有9种，两次摸出的球中至少有一个白球的有5种 所以，（小明两次摸出的球中至少有一个白球）． 17. 我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺．问长木多少尺？ 【答案】长木为6.5尺 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据绳子的长度不变，得出关于x的一元一次方程，即为答案． 【详解】解：设长木为x尺，则绳长为尺 依题意得 解这个方程，得 答：长木为6.5尺. 18. 如图，四边形中，的平分线交于点E，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】根据，可得，再由平分，可得，从而得到，进而得到，再由，可得，可证得四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的判定，等腰三角形的判定是解题的关键． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中作出直线，使，点为格点； （2）在图②中作出以线段为腰的等腰三角形，点为格点，且的面积为8； （3）在图②中作出的外接圆圆心（不要求画）． 【答案】（1） 如图，直线即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 如图，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，等腰三角形的定义，勾股定理与网格问题，三角形的外接圆圆心的定义，数形结合是解题的关键； （1）找到的格点，作直线即可求解； （2）根据等腰三角形的定义以及轴对称的性质，作出等腰三角形， （3）根据三角形的外接圆圆心的定义，找到的垂直平分线的交点，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求； 如图， ∵, ∴ 又∵ ∴，即 【小问2详解】 解：如图，即为所求； ∵ ∴是等腰三角形， ∵，到的距离为 ∴的面积为8； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求， 同（1）作出的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ∴到的距离相等，即是的外接圆圆心． 20. 我国在《黄帝内经》和《左传》中记载，不同的音调对人体五脏以及情绪有不同的影响．科学研究也表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用表示心率，单位：次/分，数据分为4组：A.，B.，C.，D.） 【数据的收集与整理】20名同学听音乐前频数分布表 心率（次/分） 频数 5 6 5 4 各组平均心率（次/分） 64 75 86 95 20名同学听音乐时心率扇形统计图 【数据分析】 平均数 中位数 方差 听音乐前 78 124.5 听音乐时 73 73.5 99 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________； （2）请你结合“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”这个课题中的统计量分析，心率波动小且心率较为平缓的是___________；（填“听音乐前”或“听音乐时”） （3）如果兴趣小组再选择本年级200名同学开展试验，请估计这200名同学听该舒缓音乐时心率在组的人数． 【答案】（1）79 （2）听音乐时 （3）80人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图，平均数，中位数，用样本估计总量，熟知上述概念是解题的关键． （1）根据加权平均数的公式即可解答； （2）根据方差做出判断即可； （3）利用样本估计总量即可解答． 【小问1详解】 解： ， 故答案为： ； 【小问2详解】 解：∵ ∴从方差看，心率波动小且心率较为平缓的是听音乐时， 故答案为：听音乐时； 【小问3详解】 解：人， 答：心率在A组的同学人数为人． 21. 某公司生产了、两款新能源电动汽车．技术组经过试验，绘制了如图所示的函数图象，、分别表示款、款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的函数关系． （1）求所对应的函数表达式； （2）当电池电量用完时，判断、两款新能源电动汽车哪款行驶路程更长？长多少？ （3）如果试验中款电动汽车平均行驶速度为，那么它耗电能够行驶的时长为___________． 【答案】（1） （2）款汽车比款行驶路程长，长 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象获取信息，数形结合是解题的关键； （1）根据函数图象中的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）令中，得出，根据函数图象求得款新能源电动汽车行驶路程，比较大小，即可求解； （3）令中，，分别求得路程，即可得出能够行驶的路程，再除以速度，即可求解． 【小问1详解】 解：设所对应的函数表达式，依题意， ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 当时，， 解得：， 电池电量用完时，款新能源电动汽车行驶路程为， ()， ∴款汽车比款行驶路程长，长； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， ， （小时）， 故答案为：． 22. 【问题原型】如图①，在中，，点分别是边上的动点，且，连接、．试探究最小时，的度数． 【问题解决】小明通过以往的学习经验，对上述问题给出了如下部分解题过程： 解：如图②，过点向下作，且，连接、． 过程缺失一 ． ． 当三点共线时，最小． 此时点为与的交点． 过程缺失二 请你补全两部分缺失的解题过程． 【方法拓展】如图③，是某公园门口规划的一块等腰三角形广场，在边上找一点修建便民服务中心，在右侧修建一个等边三角形的草坪，沿铺设一条石子小路（宽度忽略不计），从的中点处向点铺设一条灯光地板．已知．若在线段上找一点修建游客休息亭，且，当点到点的距离与的长度之和最小时，灯光地板的长度为___________． 【答案】【问题解决】如图②，过点向下作，且，连接、． ∵， ∴，， ∵， ∴， ． ． 当三点共线时，最小． 此时点为与的交点． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【方法拓展】 【解析】 【分析】问题解决：根据题干信息提示补充解题过程即可． 方法拓展：过点A作，且，连接交于点G，连接，当点P与点G重合时，取得最小值，利用三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，余弦的含义，等腰三角形的性质等，计算其长度即可． 【详解】问题解决：略； 方法拓展：解：过点A作，且， 连接交于点G，连接， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴当G，M，B三点共线时，取得最小值，即点P与点G重合，取得最小值， 过点A作于点T， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 延长到点N，使得，连接，， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 过点C作，交的延长线于点Q， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ 故此时铺设灯光地板的长度为． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，余弦的定义，熟练掌握两点之间线段最短，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 23. 如图，在中，，，，为的中点．动点在边上，过点作的垂线交折线于点．以为邻边构造矩形． （1）的长为___________，的长为___________； （2）当点落在上时，证明； （3）当点落在的边上时，用圆规和无刻度的直尺在备用图中作出矩形（保留作图痕迹），并求此时的长； （4）沿直线将矩形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合条件的的长． 【答案】（1）6； （2）证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ （3）如图，即为所求作： ； （4）2，3， 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，即可求解； （2）根据，，即可得证； （3）在中，根据列式计算，即可求解． （4）根据题意，分三种情况讨论，①当经过的中点时，②当重合时，③当经过的中点时，分别画出图形，解直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 在中，，，， ∴，； 故答案为：6；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴， 在中， ∴ 解得： 【小问4详解】 解：①当经过的中点时，符合题意，如图 ∴ 由（3）可得 ∴是等边三角形， ∴， 由（3）可得， ∴ ∴； ②当重合时，符合题意，如图， ∴ ③当经过的中点时，符合题意，如图 ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，所有符合条件的的长为2，3，． 【点睛】本题考查了动点问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定，解直角三角形，矩形的性质，作垂线，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点、均在抛物线上，横坐标分别为，过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线，两直线交于点，以为对角线作． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当时，求的值； （3）当线段与抛物线有异于点的交点时，记这个交点为，连结．①当将分成两部分图形的面积比为时，求的值；②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①或；② 【解析】 【分析】1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，，，根据四边形为平行四边形，得出，根据正切的定义，即可求解． （3）①根据线段与抛物线有异于点的交点时，得出的中点的横坐标在对称轴的右侧且在对称轴的左侧，可得，根据对称性求得点的横坐标，进而求得，，根据题意可得或，进一步计算，即可求解； ②根据题意可得恒成立，进而求得时，，根据勾股定理，在中，，求得，结合①的结论，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入 得， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：点、均在抛物线上，横坐标分别为 当时，、的横坐标分别为 当时， 当时， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴ 【小问3详解】 ①，对称轴为直线， 依题意，点、均在抛物线上，横坐标分别为，线段与抛物线有异于点的交点时，的中点的横坐标在对称轴的右侧且在对称轴的左侧， ∴且 ∴ 此时， 根据抛物线的对称性可得 ∴ 当将分成两部分图形的面积比为时， ∴或 即或 解得：或， ②∵四边形为平行四边形， ∴ ∴恒成立， 当时， 如图， ∵，， ∴ 当时，， 当时， ∴ 在中， 又 ∴ 解得：或（舍去） 故图形可得当时， 由①知，， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $