云南玉溪市易门县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

**基本信息** 以AI大模型标志、钓鱼竿转动等真实情境为载体，覆盖二次根式、勾股定理、一次函数等核心知识，通过基础题、能力题、创新题梯度设计，适配八年级期末对抽象能力、推理意识与应用意识的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|轴对称、二次根式、勾股定理、平行四边形性质|第1题结合AI标志考轴对称，体现科技前沿情境| |填空题|4/8|函数定义、直角三角形中线、圆柱最短路径|第19题圆柱侧面展开求最短路径，考查空间观念| |解答题|8/62|二次根式运算、全等证明、统计分析、函数应用、几何综合|第24题矩形分割与正方形拼图结合代数运算，第27题坐标系动点与平行四边形存在性探究，突出创新应用与综合思维|

云南省玉溪市易门县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题(本大题共15小题,每小题只有一个正确选项,每小题2分,共30分) 1.(2分)在当今数字化、全球化的时代,AI已成为各国竞争力的重要标志.下列AI大模型标志中,是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.(2分)下列各式中是二次根式的是( ) A. B. C. D.2 3.(2分)下列各组数中,能构成直角三角形的是( ) A.4,5,6 B.1,1, C.6,8,11 D.5,12,23 4.(2分)下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 5.(2分)下列二次根式中,是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 6.(2分)一艘轮船先从甲地航行到乙地,在乙地停留一段时间后,又从乙地航行返回到甲地.如图,横坐标表示航行的时间t(h),纵坐标表示轮船与甲地的距离s(km),则下列说法错误的是( ) A.甲、乙两地相距300km B.轮船从甲地到乙地的平均速度为40km/h C.轮船在乙地停留了3.5h D.轮船从乙地返回到甲地的平均速度为14km/h 7.(2分)在 ABCD中,如果∠A+∠C=140 ,那么∠C等于( ) A.20 B.40 C.60 D.70 8.(2分)一次函数y=2x+3的图象经过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 9.(2分)如图所示,A,B两点被池塘隔开,A,B,C三点不共线,设AC,BC的中点分别为点M,N,测得MN=16米,可求出A,B两点之间的距离为( ) A.32米 B.24米 C.20米 D.18米 10.(2分)某单位招聘一名员工,从专业知识、工作业绩、面试成绩三个方面进行考核,每项的满分均为100分,最后将三项得分按3:3:4的比例确定考核的最终得分,小周经过考核后三项所得的分数依次为90,80,90分,则小周考核的最终得分是( ) A.85 B.88 C.87 D.91 11.(2分)如图,四边形ABCD是菱形,∠BCD=60 ,BD=8,则菱形ABCD的面积是( ) A. B. C. D.64 12.(2分)一次投篮训练中,甲、乙、丙、丁四人各进行了10次投篮,每人投篮成绩的平均数都是8,方差分别为,,,,成绩最稳定的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 13.(2分)如图,已知钓鱼竿AC的长为10m,露在水面上的鱼线BC长为6m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'为8m,则BB'的长为( ) A.1m B.2m C.3m D.4m 14.(2分)如图是一次函数y=ax+b的图象,则关于x的不等式ax+b<0的解集为( ) A.x>1 B.x<1 C.x>2 D.x<2 15.(2分)估计的运算结果应在( ) A.6到7之间 B.7到8之间 C.8到9之间 D.9到10之间 二、填空题(本大题共4小题,每小题2分,共8分) 16.(2分)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 . 17.(2分)点(3,﹣5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上,则k的值为 . 18.(2分)如图,一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.已知∠ACB=90 ,点D为边AB的中点,点A、B对应的刻度为1、7,则CD= cm. 19.(2分)如图,一只蚂蚁要从A处沿圆柱体的侧面爬到B处,已知圆柱体的高是12,底面圆周长是10,则蚂蚁爬行的最短路径为 . 三、解答题(本大题共8小题,共62分) 20.(7分)计算:. 21.(6分)如图,C是AB的中点,CD∥BE,CD=BE,连接AD,CE.求证:AD=CE. 22.(7分)如图,一个试验室在0:00﹣2:00保持20 的恒温,在2:00﹣4:00匀速升温,每小时升高5 . (1)求出试验室温度T(单位: )关于时间t(单位:h)的函数解析式. (2)求实验室温度达到25 时,是几时? 23.(6分)为了解八年级学生英语口语情况,某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试,两班人数恰好相同.测试成绩分为A,B,C,D四个等级,其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分,测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图,已知乙学校测试班级有11人的成绩是A级. 请根据以上提供的信息,解答下列问题: (1)直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整. (2)补全下面的表格中的数据:a= b= c= . 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 87.6 a 90 乙校测试班级 b 80 c (3)若甲校八年级有学生500人,根据以上信息,估计甲校八年级学生中测试成绩为B级及以上的学生有多少人? 24.(8分)如图1,将边长分别为a和2b(a>b)的矩形分割成四个全等的直角三角形,再用这四个三角形拼成如图2所示的正方形,中间形成一个正方形的空洞.若矩形的面积为24,拼成的大正方形的边长为5,求下列式子的值. (1)a2+b2; (2)a2﹣b2. 25.(8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作BC的垂线,垂足为点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF. (1)求证:四边形AEFD是矩形; (2)若AB=13,AC=10,求AE的长. 26.(8分)学校需要添置教师办公桌椅A,B两种型号,已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元,1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元. (1)直接写出A型桌椅每套 元,B型桌椅每套 元; (2)若学校需购买两种型号桌椅共200套,若需要A型桌椅不少于120套,B型桌椅不少于60套,平均每套桌椅需要运费10元.设购买A型桌椅x套,总费用为y元. ①求y与x之间的函数关系,并直接写出x的取值范围; ②求出总费用最少的购置方案. 27.(12分)综合与探究 如图所示,在直角坐标系中,直线l与x轴y轴交于A、B两点,已知点A的坐标是(4,0),B的坐标是(0,3). (1)求直线l的解析式; (2)若点C(3,0)是线段OA上一定点,点P(x,y)是第一象限内直线l上一动点,试求出点P在运动过程中 POC的面积S与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围; (3)在(2)问的条件下,若S,此时在坐标平面内是否存在点Q,使以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 云南省玉溪市易门县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共15小题,每小题只有一个正确选项,每小题2分,共30分) 1.(2分)在当今数字化、全球化的时代,AI已成为各国竞争力的重要标志.下列AI大模型标志中,是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可. 【解答】解:A.根据图象特点判断该图形是轴对称图形,故该选项符合题意; B.根据图象特点判断该图形不是轴对称图形,故该选项不符合题意; C.根据图象特点判断该图形 不是轴对称图形,故该选项不符合题意; D.根据图象特点判断该图形不是轴对称图形,故该选项不符合题意. 故选:A. 【点评】本题考查了轴对称图形的识别,熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键. 2.(2分)下列各式中是二次根式的是( ) A. B. C. D.2 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案. 【解答】解:A、是三次根式,不合题意; B、根号下部分是负数,无意义,不是二次根式,不合题意; C、,符合二次根式的定义,符合题意; D、2不是二次根式,不合题意. 故选:C. 【点评】此题主要考查了二次根式的定义,正确掌握相关定义是解题关键. 3.(2分)下列各组数中,能构成直角三角形的是( ) A.4,5,6 B.1,1, C.6,8,11 D.5,12,23 【分析】根据勾股定理的逆定理分别计算较小两边的平方和,与较大边的平方相等时,该三角形是直角三角形,否则不是,据此解答,即可. 【解答】解:A、42+52≠62,不能构成直角三角形,故本选项不符合题意; B、,能构成直角三角形,故本选项符合题意; C、62+82≠112,不能构成直角三角形,故本选项不符合题意; D、52+122≠232,不能构成直角三角形,故本选项不符合题意; 故选:B. 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理,关键是勾股定理逆定理的熟练掌握. 4.(2分)下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【分析】直接利用二次根式的性质结合二次根式的混合运算法则计算得出答案. 【解答】解:A、无法计算,故此选项不合题意; B、3,故此选项不合题意; C、3,故此选项符合题意; D、2,故此选项不合题意; 故选:C. 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算,正确掌握二次根式的性质是解题关键. 5.(2分)下列二次根式中,是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可. 【解答】解:A.,故A不符合题意; B.2,故B不符合题意; C.,故C不符合题意; D.是最简二次根式,故D符合题意; 故选:D. 【点评】本题考查了最简二次根式,熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键. 6.(2分)一艘轮船先从甲地航行到乙地,在乙地停留一段时间后,又从乙地航行返回到甲地.如图,横坐标表示航行的时间t(h),纵坐标表示轮船与甲地的距离s(km),则下列说法错误的是( ) A.甲、乙两地相距300km B.轮船从甲地到乙地的平均速度为40km/h C.轮船在乙地停留了3.5h D.轮船从乙地返回到甲地的平均速度为14km/h 【分析】根据函数图象逐项分析即可. 【解答】A、根据图象可知:甲、乙两地相距300km,正确,不符合题意; B、轮船从甲地到乙地的平均速度为300 7.5=40(km),此选项不符合题意; C、轮船在乙地停留了3.5h,此选项不符合题意; D、轮船从乙地到甲地的平均速度为300 (21﹣11)=30(km/h),原说法错误,符合题意, 故选:D. 【点评】本题考查了函数的图象,解题的关键是看懂图象,获取信息. 7.(2分)在 ABCD中,如果∠A+∠C=140 ,那么∠C等于( ) A.20 B.40 C.60 D.70 【分析】根据“平行四边形的对角相等”的性质推知∠A=∠C,则易求∠C=70 . 【解答】解:如图,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A=∠C, ∵∠A+∠C=140 , ∴2∠C=140 , ∴∠C=70 , 故选:D. 【点评】本题考查的是平行四边形的性质.本题利用了平行四边形对角相等的性质求得∠C的度数. 8.(2分)一次函数y=2x+3的图象经过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 【分析】由于k>0,b>0,根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数y=2x+3的图象经过第一、二、三象限. 【解答】解:∵k=2>0, ∴图象经过第一、三象限, ∴b=3>0, ∴图象与y轴的交点在x轴上方, ∴一次函数y=2x+3的图象经过第一、二、三象限. 故选:A. 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系:一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)是一条直线,当k>0,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小;图象与y轴的交点坐标为(0,b). 9.(2分)如图所示,A,B两点被池塘隔开,A,B,C三点不共线,设AC,BC的中点分别为点M,N,测得MN=16米,可求出A,B两点之间的距离为( ) A.32米 B.24米 C.20米 D.18米 【分析】根据三角形中位线定理计算即可. 【解答】解:∵点M,N分别为AC,BC的中点, ∴MN是 ABC的中位线, ∴AB=2MN=2 16=32(米), 故选:A. 【点评】本题考查的是三角形中位线定理,熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键. 10.(2分)某单位招聘一名员工,从专业知识、工作业绩、面试成绩三个方面进行考核,每项的满分均为100分,最后将三项得分按3:3:4的比例确定考核的最终得分,小周经过考核后三项所得的分数依次为90,80,90分,则小周考核的最终得分是( ) A.85 B.88 C.87 D.91 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可. 【解答】解:小周考核的最终得分是:(分). 故选:C. 【点评】本题主要考查加权平均数,解题的关键是掌握加权平均数的定义. 11.(2分)如图,四边形ABCD是菱形,∠BCD=60 ,BD=8,则菱形ABCD的面积是( ) A. B. C. D.64 【分析】根据菱形性质和已知条件,判断出 BCD是等边三角形,求出OB,BC,根据勾股定理求出OC,再根据菱形的面积公式列式计算即可得解. 【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∠BCD=60 , ∴BC=CD,OA=OC,OB=ODBD8=4,AC⊥BD, ∴ BCD是等边三角形, ∴BC=BD=8, ∴OC4, ∴AC=OC=8, ∴四边形ABCD的面积AC•BD88=32. 故选:C. 【点评】本题考查的是菱形的性质,勾股定理,直角三角形的性质,等边三角形的性质和判定,熟练掌握灵活掌握相关性质定理是解题的关键. 12.(2分)一次投篮训练中,甲、乙、丙、丁四人各进行了10次投篮,每人投篮成绩的平均数都是8,方差分别为,,,,成绩最稳定的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【分析】根据方差的意义求解可得. 【解答】解:∵S甲2=0.20,S乙2=0.38,S丙2=0.24,S丁2=0.75, ∴S甲2<S丙2<S乙2<S丁2, ∴成绩最稳定的是甲, 故选:A. 【点评】本题主要考查方差,解题的关键是掌握方差的意义:方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好. 13.(2分)如图,已知钓鱼竿AC的长为10m,露在水面上的鱼线BC长为6m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'为8m,则BB'的长为( ) A.1m B.2m C.3m D.4m 【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′,再根据BB′=AB﹣AB′即可得出答案. 【解答】解:∵AC=10m,BC=6m, ∴AB(m), ∵AC′=10m,B′C′=8m, ∴AB′(m), ∴BB′=AB﹣AB′=8﹣6=2(m); 故选:B. 【点评】此题考查了勾股定理的应用,用到的知识点是勾股定理,根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键. 14.(2分)如图是一次函数y=ax+b的图象,则关于x的不等式ax+b<0的解集为( ) A.x>1 B.x<1 C.x>2 D.x<2 【分析】利用一次函数的性质,写出直线y=ax+b在x轴下方所对应的自变量的范围即可. 【解答】解:一次函数y=ax+b的图象与x轴的交点是(1,0), 观察图象,关于x的不等式ax+b<0的解集为x>1. 故选:A. 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式:从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.也考查了一次函数的性质. 15.(2分)估计的运算结果应在( ) A.6到7之间 B.7到8之间 C.8到9之间 D.9到10之间 【分析】将算式化简后再估算在哪两个整数之间即可. 【解答】解:44, ∵16<20<25, ∴45, ∴8<49. 故选:C. 【点评】本题考查了无理数的估算,将无理数平方后找到它前后的完全平方数是关键. 二、填空题(本大题共4小题,每小题2分,共8分) 16.(2分)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 x≥2 . 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0,解之即可求出x的取值范围. 【解答】解:根据题意得:x﹣2≥0, 解得:x≥2. 故答案为:x≥2. 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件,解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数. 17.(2分)点(3,﹣5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上,则k的值为 . 【分析】直接把已知点代入,进而求出k的值. 【解答】解:∵点(3,﹣5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上, ∴﹣5=3k, 解得:k, 故答案为:. 【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式,正确得出k的值是解题关键. 18.(2分)如图,一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.已知∠ACB=90 ,点D为边AB的中点,点A、B对应的刻度为1、7,则CD= 3 cm. 【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可以计算出CD的长. 【解答】解:由图可得, ∠ACB=90 ,AB=7﹣1=6(cm),点D为线段AB的中点, ∴CDAB=3cm, 故答案为:3. 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答. 19.(2分)如图,一只蚂蚁要从A处沿圆柱体的侧面爬到B处,已知圆柱体的高是12,底面圆周长是10,则蚂蚁爬行的最短路径为 13 . 【分析】根据题意将圆柱展开,得出AC=12,BC=5,再利用勾股定理求解即可. 【解答】解:根据题意,将圆柱展开如下: ∴AC=12,BC=10 2=5, ∴AB13, ∴最短路程为13, 故答案为:13. 【点评】本题主要考查了平面展开﹣最短路径问题,勾股定理,理解题意,构造直角三角形是解答本题的关键. 三、解答题(本大题共8小题,共62分) 20.(7分)计算:. 【分析】先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、绝对值的定义计算,再合并即可. 【解答】解: =﹣2. 【点评】本题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解题的关键. 21.(6分)如图,C是AB的中点,CD∥BE,CD=BE,连接AD,CE.求证:AD=CE. 【分析】根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可. 【解答】证明:∵C是AB的中点, ∴AC=CB, ∵CD∥BE, ∴∠ACD=∠B. 在 ACD和 CBE中, , ∴ ACD≌ CBE(SAS), ∴AD=CE. 【点评】该题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质及其应用等几何知识点问题;应牢固掌握全等三角形的判定. 22.(7分)如图,一个试验室在0:00﹣2:00保持20 的恒温,在2:00﹣4:00匀速升温,每小时升高5 . (1)求出试验室温度T(单位: )关于时间t(单位:h)的函数解析式. (2)求实验室温度达到25 时,是几时? 【分析】(1)分两种情况求出函数关系式即可; (2)结合(1),令T=25求出t的值即可. 【解答】解:(1)根据题意得:当0≤t≤2时,T=20, 当2<t≤4时,设T=kt+b, ∵它的图象经过点(2,20)与点(4,30), ∴, 解得 , ∴; (2)当T=25 时,5t+10=25, 解得:t=3; ∴实验室温度达到 25 时,是3时. 【点评】本题考查一次函数的应用,解题的关键是读懂题意,列出函数关系式. 23.(6分)为了解八年级学生英语口语情况,某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试,两班人数恰好相同.测试成绩分为A,B,C,D四个等级,其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分,测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图,已知乙学校测试班级有11人的成绩是A级. 请根据以上提供的信息,解答下列问题: (1)直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整. (2)补全下面的表格中的数据:a= 90 b= 87.6 c= 100 . 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 87.6 a 90 乙校测试班级 b 80 c (3)若甲校八年级有学生500人,根据以上信息,估计甲校八年级学生中测试成绩为B级及以上的学生有多少人? 【分析】(1)根据乙学校测试班级有11人的成绩是A级,占总人数的44%,可以求出乙校参加测试的总人数25人,从而可知甲校参加测试的总人数为25人,用25减去获得A、B、D等于级的人数,可得获得C级的人数,根据获得C级的人数补全统计图; (2)根据平均数、中位数、众数的定义分别求出a、b、c的值即可; (3)利用样本估计总体,用甲校参加测试的同学中B级及以上同学占测试总人数的百分比代表全年级同学中B级及以上人数占全年级人数的百分比计算即可. 【解答】解:(1)乙校参加测试的学生的总人数为11 44%=25(人), ∴甲校参加测试的学生总数也是25人, ∴甲校成绩为C级的人数为25﹣6﹣12﹣5=2(人), 补全甲校测试班级成绩统计图如下: (2)甲校参加测试的共有25人,按照成绩从高到低排列第13名学生应在B级, ∴甲校测试班级的中位数是90分, 即a=90, 乙校测试成绩获得A组的人数为25 44%=11(人),获得B级的有25 4%=1(人), 获得C级的有25 36%=9(人),获得D级的有25 16%=4(人), 乙校测试成绩的平均数为:, 乙校测试成绩中获得A级的人数最多, ∴乙校测试成绩的众数是c=100, 故答案为:90,87.6,100; (3)甲校测试成绩为A级的人数占测试总人数的6 25 100%=24%, 甲校测试成绩为B级的人数占测试总人数的12 25 100%=48%, ∴甲校测试成绩为B级及以上的人数占测试总人数的48%+24%=72%, 利用样本估计总体,可得:甲校测试成绩达到B级及以上的人数为500 72%=360(人), 答:估计甲校八年级学生中测试成绩为B级及以上的学生有360人. 【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图,平均数、中位数与众数、用样本估计总体,从统计图中获取数据求出中位数和众数是解题的关键. 24.(8分)如图1,将边长分别为a和2b(a>b)的矩形分割成四个全等的直角三角形,再用这四个三角形拼成如图2所示的正方形,中间形成一个正方形的空洞.若矩形的面积为24,拼成的大正方形的边长为5,求下列式子的值. (1)a2+b2; (2)a2﹣b2. 【分析】(1)观察图1和图2得到大正方形的边长是两直角边分别为a,b的直角三角形的斜边,然后根据勾股定理求出答案即可; (2)观察图形可知矩形的面积=四个直角三角形的面积之和,根据已知条件求出ab,再根据完全平方公式求出a+b,然后小正方形的面积=拼成的大正方形面积﹣4个直角三角形的面积,求出小正方形的面积,观察图形可知小正方形的边长等于直角三角形两直角边的差,从而求出a﹣b,最后利用平方差公式求出答案即可. 【解答】解:(1)∵拼成的大正方形的边长为5,矩形分割的每个直角三角形的两直角边分别为a,b, 由图2可知,大正方形的边长是两直角边分别为a,b的直角三角形的斜边, ∴a2+b2=52=25; (2)∵矩形的面积=四个直角三角形的面积之和, ∴, 2ab=24, ab=12, ∴(a+b)2 =a2+b2+2ab =25+2 12 =25+24 =49, ∵a+b>0, ∴a+b=7, ∵小正方形的面积=拼成的大正方形面积﹣4个直角三角形的面积, ∴小正方形的面积=52﹣24=25﹣24=1, 由图2可知:a﹣b=1, ∴a2﹣b2 =(a+b)(a﹣b) =7 1 =7. 【点评】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理和全等三角形的性质,解题关键是正确识别图形,找出矩形的边长与正方形和直角三角形的边长之间的数量关系. 25.(8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作BC的垂线,垂足为点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF. (1)求证:四边形AEFD是矩形; (2)若AB=13,AC=10,求AE的长. 【分析】(1)根据菱形的性质先证明BC=EF,进而得到AD=EF且AD∥EF,证得四边形AEFD是平行四边形,再根据∠AEF是直角证得四边形AEFD是矩形; (2)先根据勾股定理求出OB,得到BD的长,利用AC•BD=BC•AE,求出AE的长. 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AD∥BC且AD=BC, ∵BE=CF, ∴BE+EC=CF+EC, 即BC=EF, ∴AD=EF, ∵AD∥EF, ∴四边形AEFD是平行四边形, ∵AE⊥BC, ∴∠AEF=90 , ∴四边形AEFD是矩形; (2)解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,AO=CO=5,BC=AB=13, ∵AE⊥BC, ∴S四边形ABCD=BC•AE, 在Rt ABO中,由勾股定理可得: ∴, ∴BD=2BO=24, ∵S四边形ABCDAC•BD=BC•AE, ∴, ∴. 【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理,解题的关键熟知菱形的性质并灵活运用,①菱形具有平行四边形的一切性质;②菱形的四条边都相等;③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;④菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线. 26.(8分)学校需要添置教师办公桌椅A,B两种型号,已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元,1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元. (1)直接写出A型桌椅每套 600 元,B型桌椅每套 800 元; (2)若学校需购买两种型号桌椅共200套,若需要A型桌椅不少于120套,B型桌椅不少于60套,平均每套桌椅需要运费10元.设购买A型桌椅x套,总费用为y元. ①求y与x之间的函数关系,并直接写出x的取值范围; ②求出总费用最少的购置方案. 【分析】(1)根据“2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元,1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元”,建立方程组即可得出结论; (2)①根据题意建立函数关系式,由A型桌椅不少于120套,B型桌椅不少于60套,确定出x的范围; ②根据一次函数的性质,即可得出结论. 【解答】解:(1)设A型桌椅的单价为a元,B型桌椅的单价为b元, 根据题意得,, 解得, 即:A,B两型桌椅的单价分别为600元,800元; 故答案为:600;800; (2)①根据题意知,, 解得120≤x≤140; 由题意得y=600x+800(200﹣x)+200 10 =﹣200x+162000(120≤x≤140); ②由①知,y=﹣200x+162000(120≤x≤140), ∴当x=140时,总费用最少,最少费用为134000元. 即:购买A型桌椅140套,购买B型桌椅60套,总费用最少,最少费用为134000元. 【点评】本题考查一次函数的应用,二元一次方程的应用,一元一次不等式组的应用,读懂题意,列出方程组或不等式是解本题的关键. 27.(12分)综合与探究 如图所示,在直角坐标系中,直线l与x轴y轴交于A、B两点,已知点A的坐标是(4,0),B的坐标是(0,3). (1)求直线l的解析式; (2)若点C(3,0)是线段OA上一定点,点P(x,y)是第一象限内直线l上一动点,试求出点P在运动过程中 POC的面积S与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围; (3)在(2)问的条件下,若S,此时在坐标平面内是否存在点Q,使以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 【分析】(1)利用待定系数法可求解析式; (2)由三角形的面积公式可求解; (3)分三种情况讨论,由平行四边形的性质可求解. 【解答】解:(1)设直线l函数解析式为y=kx+b(k≠0), 由题意可得:, 解得:, ∴直线l函数解析式为, (2)∵SOC y, ∴S3 (x+3)x(0<x<4); (3)当S时,则x, ∴x=2, ∴点P(2,), 设点Q坐标为(x,y), 若以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形中AC为边: ∵以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形, ∴AC与PQ互相平分, ∴,, ∴x=5,y, ∴点Q(5,); 若以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形中AP为边: ∵以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形, ∴AP与CQ互相平分, ∴,, ∴x=3,y, ∴点Q(3,); 若以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形中AQ为边: ∵以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形, ∴AQ与CP互相平分, ∴,, ∴x=1,y, ∴点Q(1,); 综上所述:点Q的坐标为(5,)或(3,)或(1,). 【点评】本题是一次函数综合题,考查了待定系数法解析式,三角形的面积公式,平行四边形的性质,中点坐标公式,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $