甘肃武威市古浪县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

**基本信息** 立足八年级数学核心内容，以现实情境与几何探究为载体，考查运算能力、推理意识与数据观念，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|分式识别（1题）、函数性质（2题）、平行四边形判定（4题）|基础概念辨析，突出几何直观| |填空题|8题24分|数据众数（11题）、菱形周长（14题）、科学记数法（15题）|结合几何变换与统计应用| |解答题|8题66分|分式方程（19题）、冰雪灾害抢修（23题）、正方形探究（27题）|现实情境问题（23题）与逻辑推理（27题）结合，体现综合应用|

甘肃省武威市古浪县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（30分） 1．（3分）在式子、、、、、中，分式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（3分）下列函数中，y随x增大而减小的是（　　） A．y B．y C．y（x＞0） D．y（x＜0） 3．（3分）初三•一班五个劳动竞赛小组一天植树的棵数是：10，10，12，x，8，如果这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是（　　） A．12 B．10 C．9 D．8 4．（3分）下面四个命题； ①相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形 ②对角线相等的四边形是矩形 ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．②③ D．①③ 5．（3分）已知直角坐标系内三个点A（0，2），B（﹣1，0），C（0，﹣2）．若在坐标系平面内再找一个点，使这四个点构成的四边形是平行四边形，则该点的坐标不可能是（　　） A．（﹣1，﹣4） B．（1，0） C．（0，1） D．（﹣1，4） 6．（3分）函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＝﹣1 D．x＜﹣1 7．（3分）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子一定成立的是（　　） A．OA＝OC B．AC⊥BD C．AC＝BD D．AO＝OD 8．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，则AB的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（3分）如图，在周长为20cm的▱ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 10．（3分）如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF等于（　　） A． B． C． D．8 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．（3分）若一组数据8，9，7，8，x，3的平均数是7，则这组数据的众数是　 　 ． 12．（3分）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称 　 　 ． 13．（3分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，有下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2，其中所有正确结论的序号是　 　 ． 14．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝24，BD＝10，则菱形的周长L＝　 　 ． 15．（3分）生物学家发现一种病毒的长度约为0.00000043mm，用科学记数法表示这个数为　 　 mm． 16．（3分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC边上的一点，若添加一个条件　 　 ，则四边形EBFD为平行四边形（只填一个条件即可）． 17．（3分）如图，梯形纸片ABCD，∠B＝60°，AD∥BC，AB＝AD＝2，BC＝6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE＝　 　 ． 18．（3分）已知直线交y轴于点A，交x轴于点B，交双曲线于点D，DC⊥x轴，垂足为C，且S△OAB＝2S△OCD，则k＝　 　 ． 三、解答题 19．（6分）解分式方程：． 20．（6分）先化简分式，然后请你选取一个合适的x的值，使分式的值为一个整数． 21．（6分）直线y＝k1x+b与双曲线只有一个交点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线、双曲线的解析式． 22．（6分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM中点． （1）求证：四边形MENF是菱形； （2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论． 23．（6分）在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电．该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果两车同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度． 24．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形． 25．（10分）某企业进行了一次人事变动，面向本企业全体职工招聘副厂长一名，对竞聘的A、B、C三人进行了三项测试．他们的各项测试成绩如下： 测试项目 测试成绩 A B C 笔试 67 85 72 面试 70 74 50 职工评议 67 45 88 （1）根据三项测试的平均成绩择优录用，谁将被录用？ （2）若将笔试、面试、职工评议三项测试得分按3：2：5的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？ 26．（12分）如图，直线y＝kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线y＝（m+5）x2m+1交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限． （1）求双曲线的解析式； （2）求B点的坐标； （3）若S△AOB＝2，求A点的坐标； （4）在（3）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（8分）请阅读下列材料： 问题：如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC． 探究：当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形BEFG是正方形？ 小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG是矩形；然后延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题． （1）求证：四边形BEFG是矩形； （2）PG与PC的夹角为　 　 度时，四边形BEFG是正方形． 理由： 甘肃省武威市古浪县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（30分） 1．（3分）在式子、、、、、中，分式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【解答】解：、、9x这3个式子的分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均不含有字母，是整式，不是分式． 故选：B． 【点评】本题考查的是分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有字母的式子即为分式． 2．（3分）下列函数中，y随x增大而减小的是（　　） A．y B．y C．y（x＞0） D．y（x＜0） 【分析】分别根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵函数y中，k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而增大，故本选项错误； B、∵函数y中，k＝2＞0，∴在每个象限，y随x的增大而减小，故本选项错误； C、∵函数y中，k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而增大，故本选项错误； D、∵函数y（x＜0）中，k＝4＞0，x＜0函数图象在第四象限内y随x的增大而减小，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质， （1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 3．（3分）初三•一班五个劳动竞赛小组一天植树的棵数是：10，10，12，x，8，如果这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是（　　） A．12 B．10 C．9 D．8 【分析】众数可能是10，也可能是12或8，因此应分众数是10或者众数是12，或者众数三种情况进行讨论． 【解答】解：当众数是10时， ∵众数与平均数相等， ∴（10+10+12+x+8）＝10，解得x＝10． 这组数据为：8，10，10，10，12， ∴中位数为10； 当众数是12时，∵众数与平均数相等， ∴（10+10+12+x+8）＝12，此题解出x＝20，故不可能； 当众数是8时，∵众数与平均数相等， ∴（10+10+12+x+8）＝8，此题解出x＝0，故不可能． 所以这组数据中的中位数是10． 故选：B． 【点评】正确运用分类讨论的思想是解答本题的关键． 4．（3分）下面四个命题； ①相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形 ②对角线相等的四边形是矩形 ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．②③ D．①③ 【分析】①利用同旁内角互补，两直线平行，即可证得此四边形的两组对边分别平行，得平行四边形； ②、③举反例等腰三角形，即可判断； ④根据平行四边形与菱形的判定即可证得． 【解答】解：① ∵∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．正确． ②、等腰梯形的对角线相等；所以错误． ③、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形；所以错误． ④、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；所以正确． 故选：A． 【点评】此题考查了平行四边形的判定、菱形的判定以及等腰三角形，矩形的性质．注意说明命题正确需要证明，说明命题错误举反例即可． 5．（3分）已知直角坐标系内三个点A（0，2），B（﹣1，0），C（0，﹣2）．若在坐标系平面内再找一个点，使这四个点构成的四边形是平行四边形，则该点的坐标不可能是（　　） A．（﹣1，﹣4） B．（1，0） C．（0，1） D．（﹣1，4） 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得到D点坐标的三种情况：当AB∥CD，AD∥BC时，D点坐标为（1，0）；当AD∥BC，AC∥BD时，D点坐标为（﹣1，4）；当AB∥CD，AC∥BD时，D点坐标为（﹣1，﹣4）． 【解答】解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∴可以分以下三种情况分别求出D点的坐标： ①当AB∥CD，AD∥BC时，D点的坐标为（1，0）； ②当AD∥BC，AC∥BD时，D点的坐标为（﹣1，4）； ③当AB∥CD，AC∥BD时，D点的坐标为（﹣1，﹣4）． 故D点坐标为（1，0）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），不可能是（0，1）， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，要求学生掌握平行四边形的判定并会灵活运用． 6．（3分）函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＝﹣1 D．x＜﹣1 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0． 【解答】解：根据题意得：x+1≠0， 解得：x≠﹣1． 故选：A． 【点评】当函数表达式是分式时，函数要有意义，则要使分式的分母不能为0． 7．（3分）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子一定成立的是（　　） A．OA＝OC B．AC⊥BD C．AC＝BD D．AO＝OD 【分析】根据平行四边形的性质逐项分析即可． 【解答】解：因为对于一般的平行四边形的性质有：边：平行四边形的对边相等；角：平行四边形的对角相等；对角线：平行四边形的对角线互相平分． 所以选项B，C，D都不一定成立，只有选项A一定成立． 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等； ②角：平行四边形的对角相等； ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． 8．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，则AB的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由过点A作AE∥CD，交BC于点E，由AD∥BC，可得四边形ADCE是平行四边形，又由AB＝CD，∠B＝60°，易证得△ABE是等边三角形，则可求得答案． 【解答】解：过点A作AE∥CD，交BC于点E， ∵AD∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∴AE＝CD，CE＝AD， ∴BE＝BC﹣CE＝BC﹣AD＝6﹣2＝4， ∵AB＝CD， ∴AB＝AE， ∵∠B＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝BE＝4． 故选：B． 【点评】此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 9．（3分）如图，在周长为20cm的▱ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【分析】要求周长，就要求出三角形的三边，利用垂直平分线的性质即可求出BE＝DE，所以△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD． 【解答】解：∵AC，BD相交于点O， ∴O为BD的中点， ∵OE⊥BD， ∴BE＝DE， ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD20＝10（cm）， ∴△ABE的周长为10cm． 故选：D． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质及线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是将三角形的三边长转为平行四边形的一组邻边的长． 10．（3分）如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF等于（　　） A． B． C． D．8 【分析】先图形折叠的性质得到BF＝EF，AE＝AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠EAD的度数，设FE＝x，则AF＝2x，在△ADE中利用勾股定理即可求解． 【解答】解：由折叠的性质得BF＝EF，AE＝AB， 因为CD＝6，E为CD中点，故ED＝3， 又因为AE＝AB＝CD＝6， 所以∠EAD＝30°， 则∠FAE（90°﹣30°）＝30°， 设FE＝x，则AF＝2x， 在△AEF中，根据勾股定理，（2x）2＝62+x2， x2＝12，x1＝2，x2＝﹣2（舍去）． AF＝22＝4． 故选：A． 【点评】解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质解答． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．（3分）若一组数据8，9，7，8，x，3的平均数是7，则这组数据的众数是　7和8　 ． 【分析】根据平均数先求出x，再确定众数． 【解答】解：因为数据的平均数是7， 所以x＝42﹣8﹣9﹣7﹣8﹣3＝7． 根据众数的定义可知， 众数为7和8． 故答案为：7和8． 【点评】主要考查了众数和平均数的定义．众数是一组数据中出现次数最多的数．要注意本题有两个众数． 12．（3分）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称 　平行四边形或等腰梯形或矩形　 ． 【分析】让相等边重合，动手操作看拼合的形状即可． 【解答】解： 如图：可知可拼成平行四边形、等腰梯形和矩形三种不同的形状． 故答案为：平行四边形或等腰梯形或矩形． 【点评】这是一道生活联系实际的问题，不仅要用到等腰直角三角形及其中位线的性质、等腰梯形、矩形的性质、还锻炼了学生的动手能力． 13．（3分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，有下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2，其中所有正确结论的序号是　①　 ． 【分析】根据一次函数的图象与性质及一次函数与不等式之间的关系进行判断即可． 【解答】解：由所给函数图象可知， 因为y1＝kx+b中y1随x的增大而减小， 所以k＜0， 故①正确； 因为y2＝x+a的图象与y轴交于负半轴， 所以a＜0， 故②错误； 当x＜3时，函数y1＝kx+b的图象在函数y2＝x+a图象的上方，即y1＞y2， 故③错误． 故答案为：①． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 14．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝24，BD＝10，则菱形的周长L＝　52　 ． 【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得菱形的边长，再根据周长公式求得即可． 【解答】解：菱形ABCD的对角线AC＝24，BD＝10，则菱形的边长13，则菱形的周长L＝13×4＝52． 故答案为52． 【点评】本题考查菱形的性质以及勾股定理的运用． 15．（3分）生物学家发现一种病毒的长度约为0.00000043mm，用科学记数法表示这个数为　4.3×10﹣7 mm． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000 00043＝4.3×10﹣7； 故答案为：4.3×10﹣7． 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 16．（3分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC边上的一点，若添加一个条件AE＝FC（答案不唯一）　 ，则四边形EBFD为平行四边形（只填一个条件即可）． 【分析】四边形EBFD要为平行四边形，则要证DE＝BF，就要证△AEB≌△CFD，而在平行四边形中已有AB＝CD，∠A＝∠C，因而可添加AE＝FC或∠ABE＝∠CDF就可用SAS或ASA得证． 【解答】解：∵四边形EBFD要为平行四边形 ∴∠BAE＝∠DCF，AB＝CD 又AE＝FC ∴△AEB≌△CFD ∴AE＝FC ∴DE＝BF ∴四边形EBFD为平行四边形． ∴可添加的条件是AE＝FC，同理还可添加∠ABE＝∠CDF． 故答案为：AE＝FC或∠ABE＝∠CDF． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，是开放题，答案不唯一，可以针对各种平行四边形的判定方法，给出条件，本题可通过要证DE＝BF，且DE∥BF，即可证明平行四边形成立，于是构造条件证△AEB≌△CFD即可． 17．（3分）如图，梯形纸片ABCD，∠B＝60°，AD∥BC，AB＝AD＝2，BC＝6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE＝　4　 ． 【分析】根据翻转不变性，找到全等的三角形，以此确定四边形ABED为平行四边形，然后解答． 【解答】解：连接DE． 因为两个三角形能够完全重合，故△ABE≌△ADE， ∴∠BAE＝∠DAE，∠BEA＝∠DEA． 又∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠DEA， ∴AB∥DE， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴是BE＝AD， ∵AD＝2， ∴BE＝2， ∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，综合利用了三角形全等的知识． 18．（3分）已知直线交y轴于点A，交x轴于点B，交双曲线于点D，DC⊥x轴，垂足为C，且S△OAB＝2S△OCD，则k＝　6　 ． 【分析】先确定直线yx﹣4与坐标轴的交点坐标，即A点坐标为（0，﹣4），B点坐标为（3，0），则可计算出S△OAB＝6，于是得到S△OCD＝3，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义即可得到k的值． 【解答】解：∵把x＝0代入，解得y＝﹣4； 把y＝0代入得x﹣4＝0，解得x＝3， ∴A点坐标为（0，﹣4），B点坐标为（3，0）， ∴S△OAB3×4＝6， ∵S△OAB＝2S△OCD， ∴S△OCD＝3， ∴|k|＝3， 而k＞0， ∴k＝6． 故答案为6． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了反比例函数的比例系数的几何意义． 三、解答题 19．（6分）解分式方程：． 【分析】本题考查解分式方程的能力．因为x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），所以可确定最简公分母为（x+2）（x﹣2），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验． 【解答】解：方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得 （x﹣2）2﹣16＝（x+2）2， x2﹣4x+4﹣16＝x2+4x+4， ﹣8x＝16， 解得x＝﹣2． 经检验：x＝﹣2不是方程的解． 因此原方程无解． 【点评】解分式方程的关键是去分母，因此将分式方程转化为整式方程时要准确确定最简公分母．找最简公分母时，要注意把各分母按同一字母降幂排列，是多项式能因式分解的要先进行分解． 20．（6分）先化简分式，然后请你选取一个合适的x的值，使分式的值为一个整数． 【分析】先把分式化简，然后选取适合x的值． 【解答】解： （2分） 如x＝3时，分式＝1． 【点评】要注意代入求值时，要使原式和化简的每一步都有意义． 21．（6分）直线y＝k1x+b与双曲线只有一个交点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线、双曲线的解析式． 【分析】首先把点A的坐标代入反比例函数解析式，求得反比例函数的解析式；再根据AD垂直平分OB，求得点B和点C的坐标，运用待定系数法进一步求得一次函数的解析式． 【解答】解：∵双曲线过点A（1，2）， ∴k2＝xy＝1×2＝2， y． ∵AD为OB的中垂线，OD＝1， ∴OB＝2，即可得点B的坐标（2，0）． ∵直线y＝k1x+b过A（1，2），B（2，0），得 ，， ∴y＝﹣2x+4． 【点评】考查一次函数、反比例函数解析式的确定，能够熟练运用待定系数法进行求解． 22．（6分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM中点． （1）求证：四边形MENF是菱形； （2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）根据等腰梯形的中位线的性质求出四边形四边相等即可； （2）利用等腰梯形的性质和正方形的性质解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴AB＝CD，∠A＝∠D． ∵M为AD的中点， ∴AM＝DM．（2分） ∴△ABM≌△DCM．（1分） ∴BM＝CM．（1分） ∵E、F、N分别是MB、CM、BC的中点， ∴EN、FN分别为△BMC的中位线， ∴ENMC，FNMB， 且ME＝BEMB，MF＝FCMC． ∴EN＝FN＝FM＝EM． ∴四边形ENFM是菱形．（1分） （2）解：结论：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半． 理由：连接MN， ∵BM＝CM，BN＝CN， ∴MN⊥BC． ∴MN是梯形ABCD的高．（2分） 又∵四边形MENF是正方形， ∴∠EMF＝90°， ∴△BMC为直角三角形． 又∵N是BC的中点， ∴MNBC．（1分） 即等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半． 【点评】本题比较复杂，涉及面较广，需要同学们把所学知识系统化，提高自己对所学知识的综合运用运用能力． 23．（6分）在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电．该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果两车同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度． 【分析】速度分别是：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时；路程：都是15千米，时间表示为：．关键描述语为：“抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果两车同时到达抢修工地”．等量关系为：抢修车的时间﹣吉普车的时间． 【解答】解：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时． 由题意得：． 解得：x＝20． 经检验：x＝20是原方程的解． ∴当x＝20时，1.5x＝30． 答：抢修车的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 24．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形． 【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB∥DC，推出∠1＝∠2，根据AAS证两三角形全等即可； （2）根据全等得出AB＝CF，根据AB∥CF得出平行四边形ABFC，推出BC＝AF，根据矩形的判定推出即可． 【解答】证明：（1）如图． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC 即 AB∥DF， ∴∠1＝∠2， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE． 在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE（AAS）． （2）∵△ABE≌△FCE， ∴AB＝FC， ∵AB∥FC， ∴四边形ABFC是平行四边形， ∵AD＝BC，AF＝AD， ∴AF＝BC， ∴四边形ABFC是矩形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，本题主要考查学生运用定理进行推理的能力． 25．（10分）某企业进行了一次人事变动，面向本企业全体职工招聘副厂长一名，对竞聘的A、B、C三人进行了三项测试．他们的各项测试成绩如下： 测试项目 测试成绩 A B C 笔试 67 85 72 面试 70 74 50 职工评议 67 45 88 （1）根据三项测试的平均成绩择优录用，谁将被录用？ （2）若将笔试、面试、职工评议三项测试得分按3：2：5的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？ 【分析】（1）根据平均数的定义分别计算甲、乙、丙的平均数，然后比较大小即可； （2）根据加权平均数的计算方法分别计算甲、乙、丙的加权平均数，然后比较大小即可． 【解答】解：（1）∵A的平均成绩68， B的平均成绩68， C的平均成绩70， ∴C的平均数最大， ∴根据三项测试的平均成绩择优录用，那么C将被录用； （2）∵A的测试成绩67.6， B的测试成绩62.8， C的测试成绩75.6， ∴C的测试成绩最高， ∴若将笔试、面试、职工评议三项测试得分按3：2：5的比例确定各人的测试成绩，此时C将被录用． 【点评】本题考查了算术平均数与加权平均数的计算方法，一组数据中所有数据之和再除以数据的个数即为算术平均数；把各数据分别乘以它们的权后相加，再除以数据的总个数即得加权平均数． 26．（12分）如图，直线y＝kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线y＝（m+5）x2m+1交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限． （1）求双曲线的解析式； （2）求B点的坐标； （3）若S△AOB＝2，求A点的坐标； （4）在（3）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据双曲线函数的定义可以确定m的值； （2）利用y＝kx+2k当y＝0时，x＝2就知道B的坐标； （3）根据（1）知道OB＝2，而S△AOB＝2，利用它们可以求出A的坐标； （4）存在点P，使△AOP是等腰三角形．只是确定P坐标时，题目没有说明谁是腰，是底，所以要分类讨论，不要漏解． 【解答】解：（1）∵y＝（m+5）x2m+1是双曲线 ∴． ∴m＝﹣1（2分） ∴（3分） （2）∵直线y＝kx+2k（k≠0）与x轴交于点B ∴当y＝0时，0＝kx+2k ∴x＝﹣2（5分） ∴B（﹣2，0）（6分） （3）∵B（﹣2，0） ∴OB＝2（7分） 过A作AD⊥x轴于点D ∵点A在双曲线y上， ∴设A（a，b） ∴ab＝4，AD＝b（8分） 又∵S△AOBOB•AD2b＝2 ∴b＝2（9分） ∴a＝2， ∴A（2，2）（10分） （4）P1（2，0），P2（4，0），P3（﹣2，0），P4（2，0）． （写对一个得一分）（14分） 【点评】此题考查了反比例函数的定义确定函数的解析式，也考查了利用函数的性质确定点的坐标，最后考查了根据图形变换求点的坐标． 27．（8分）请阅读下列材料： 问题：如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC． 探究：当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形BEFG是正方形？ 小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG是矩形；然后延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题． （1）求证：四边形BEFG是矩形； （2）PG与PC的夹角为　90　 度时，四边形BEFG是正方形． 理由： 【分析】（1）由正方形ABCD，易得∠EBG＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证得四边形BEFG是矩形； （2）首先作辅助线：延长GP交DC于点H，根据正方形与平行四边形的性质，利用AAS易得△DHP≌△FGP，则有HP＝GP，当∠CPG＝90°时，利用SAS易证△CPH≌△CPG，根据全等三角形与正方形的性质，即可得BG＝GF，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱BEFG是菱形，而∠EBG＝90°，即得四边形BEFG是正方形． 【解答】解：（1）∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，（1分） ∴∠EBG＝90°，（2分） ∴▱BEFG是矩形（3分） （2）90°；（4分） 理由：延长GP交DC于点H， ∵正方形ABCD和平行四边形BEFG中，AB∥DC，BE∥GF， ∴DC∥GF， ∴∠HDP＝∠GFP，∠DHP＝∠FGP，（5分） ∵P是线段DF的中点， ∴DP＝FP， ∴△DHP≌△FGP， ∴HP＝GP，（6分） 当∠CPG＝90°时，∠CPH＝∠CPG， ∵CP＝CP， ∴△CPH≌△CPG， ∴CH＝CG，（7分） ∵正方形ABCD中，DC＝BC， ∴DH＝BG，（8分） ∵△DHP≌△FGP， ∴DH＝GF， ∴BG＝GF， ∴▱BEFG是菱形，（9分） 由（1）知四边形BEFG是矩形， ∴四边形BEFG是正方形．（10分） 【点评】此题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性比较强，解题时要注意数形结合思想的应用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $