精品解析：2026年江苏省南京市鼓楼区中考二模考试数学

九年级数学练习卷（二） 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形分别为南京博物院、玄武湖、夫子庙、老城南四个景点的标志，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年4月22日南京地铁宁马线（号线）全线贯通，“五一”假期首日宁马线全天客运量超195800人次，创开通以来客运新高．用科学记数法表示195800是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等边中，点D为边中点，E，F分别是，上的动点，且，点E从点B出发，沿的方向运动，随着的增大，关于的周长的描述，正确的是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先减小后增大 D. 保持不变 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. =_________ 8. 计算的结果是________． 9. 说明命题“若，则”是假命题，写出一个的值，它可以是______． 10. 如图，在等腰直角中，，直线，分别经过，两点，，若．则______． 11. 一组数据为7，8，9，将7改成8，改动前后的方差分别记为，，则______（填“”或“”或“”）． 12. 若关于的方程的两个根为，，且，则______． 13. 如图，正方形的边长为4，经过，两点，且与相切，则的半径为______． 14. 在平面直角坐标系中，点绕轴上点旋转得到点，则点的坐标为______． 15. 已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 16. 如图，在中，，，，是外一点，且，是中点，连接，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知：如图，在中，，，．求证：四边形是菱形． 20. 在纸盒中放有3张除文字外完全相同的卡片，其中1张标一等奖，2张标二等奖．从中随机抽取1张，记下奖项后放回，第二次再从中随机抽取1张． （1）第一次抽取一等奖卡片的概率是 ； （2）求两次抽取都是二等奖卡片的概率． 21. 质检部门对某厂生产的一批次球形零件直径进行检验，以下是从中随机抽取的50个球形零件直径的统计结果： 直径/ 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 频数 2 15 20 12 1 （1）这组数据的平均数为 ，众数为 ，中位数为 ； （2）若标准直径为，与标准直径的差的绝对值不大于的为合格产品，请估计这批球形零件的合格率． 22. 小丽和小明两人从甲地出发，沿同一路线匀速慢跑前往乙地．小明在小丽后出发，慢跑1200米时遇到小丽，小明开始休息，休息了8分钟，再按原速继续慢跑，最后两人同时到达乙地．两人离开甲地的路程y（米）与小丽慢跑的时间x（分）的函数关系如图所示． （1）小丽慢跑的速度为 米/分，C点的坐标为（ ，1200）； （2）求线段所表示的与之间的函数表达式； （3）小明比小丽晚出发 分钟． 23. 某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． （1）求与的函数表达式； （2）若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 24. 如图1，某型号抓草机由基座、动臂和斗杆构成，图2是其侧面结构示意图，矩形为基座，折线为动臂，为斗杆．已知基座的高度为1.2米，动臂的长（与的长度和）为5.1米，动臂伸展角，斗杆与动臂的夹角，斗杆与竖直方向的夹角为，到地面的距离为4.2米． （1）的长度是 米； （2）求到的水平距离的长． （结果精确到0.1，参考数据：，，，） 25. 如图，是的直径，，点E在上，连接并延长交过点A的切线于点F，点D为的中点，连接并延长交过点的切线于点． （1）求证：与相切； （2）若，求的长； （3）设，四边形的面积为y，直接写出y关于x的表达式及y的最小值． 26. 已知二次函数． （1）该函数图像顶点的横坐标为 ； （2）当时，函数的最大值为9，求a的值； （3）若以点，为端点的线段与二次函数图像只有一个公共点，直接写出a的取值范围． 27. 寻找不动点 两张比例尺不同的同一地区地图，将小地图随意放在大地图的上方，一定存在一个点，在两张地图上代表的是同一个地理位置，这个点叫做两地图的不动点． 如图1，矩形代表大地图，矩形代表小地图，两幅地图表示比例尺不同的同一地区，现将矩形随意放在矩形上方，则存在不动点，在两张地图上代表的是同一个地理位置． 【初步理解】 把一条橡皮筋（图2中线段）沿着其所在直线向两端拉伸到线段的位置，此时橡皮筋上存在点在拉伸前后的位置不变，即，则称点是线段和的不动点． （1）如图2，点是线段和的不动点，，，，则 ． （2）如图3，点，在线段上．求作线段和的不动点． （要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【深入探究】 矩形矩形，矩形中任意两点，在矩形中的对应点分别为，，若点满足，则称为矩形和矩形的不动点． （3）如图4，小明利用尺规作图，作法如下： ①作的延长线交于点，延长交的延长线于点； ②先作过，，三点的圆弧，再作过，，三点的圆弧，两弧交于点，点满足，则点即为所求． 试说明小明同学作法的正确性． （4）请再给出一种不同于小明的作法，简要说明思路并在图5中画出示意图． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习卷（二） 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形分别为南京博物院、玄武湖、夫子庙、老城南四个景点的标志，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐个判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，故本选项符合题意； B中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意， 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的相关运算法则和合并同类项的运算法则规则逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，∵与不是同类项，不能合并，∴A错误； 选项B，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得，∴B错误； 选项C，根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，得，∴C正确，符合题意； 选项D，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，得，∴D错误． 3. 2026年4月22日南京地铁宁马线（号线）全线贯通，“五一”假期首日宁马线全天客运量超195800人次，创开通以来客运新高．用科学记数法表示195800是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据科学记数法的定义确定和的值即可． 【详解】 解：对于数，它共有位整数， ，， ． 4. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴的度数 = ． 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式两边同乘负数不等号方向改变的性质，结合正数大于负数的规则排序即可得出结论． 【详解】解：∵ ， ∴ 对不等式两边同乘，可得， 又∵， ∴ 四个数从小到大排序为 ． 因此选项B符合题意． 6. 如图，在等边中，点D为边中点，E，F分别是，上的动点，且，点E从点B出发，沿的方向运动，随着的增大，关于的周长的描述，正确的是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先减小后增大 D. 保持不变 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于，于，证明 ，从而得出，将的周长转化为关于的函数，根据垂线段最短分析的变化情况即可． 【详解】解：过点作于，于 ， 是等边三角形，为中点，  ， ，  在Rt和Rt 中， ， ，  ， 在四边形中，，   ，   ，   ， 即，  在 和中    ，  ，  是等腰三角形 ， 过作于，则    ， 的周长 ，   点从点出发沿方向运动， 在Rt 中，，  ， ，    垂足在线段上，当点从运动到时，逐渐减小；当点从继续向运动时，逐渐增大 ， 的长度先减小后增大 ， 的周长先减小后增大． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. =_________ 【答案】2 【解析】 【详解】解：根据绝对值的定义；数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值， 即，|-2|=2， 故答案为：2． 8. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可解答． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简计算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 9. 说明命题“若，则”是假命题，写出一个的值，它可以是______． 【答案】（答案不唯一，任意小于的数均可） 【解析】 【详解】解：时，，而， 则命题“若，则”是假命题， 故的值可以是（答案不唯一，任意小于的数均可）． 10. 如图，在等腰直角中，，直线，分别经过，两点，，若．则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，进而求出，根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵等腰直角中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 11. 一组数据为7，8，9，将7改成8，改动前后的方差分别记为，，则______（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算改动前后两组数据的平均数，再根据方差公式计算两组数据的方差，最后比较方差的大小即可． 【详解】解：改动前数据为，，，改动前平均数：， ； 改动后数据为，，，改动后平均数：， ， ． 12. 若关于的方程的两个根为，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数关系得到，，再根据已知列方程求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的两个根为，， ∴，， ∵， ∴， 解得，此时，满足方程有两个根的条件， 故． 13. 如图，正方形的边长为4，经过，两点，且与相切，则的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用切线垂直半径、正方形性质证矩形得，垂径定理求，勾股定理列方程求半径． 【详解】解：设与相切于点，连接并延长交于点，连接． 与相切于点， ． 四边形是正方形， ，，， ，四边形为矩形， ， ， 为的中点， ． 设的半径为，则，， ． 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， 的半径为2.5． 14. 在平面直角坐标系中，点绕轴上点旋转得到点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点坐标为，根据旋转的性质，旋转中心到对应点的距离相等，利用两点间距离公式列方程求解即可． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点绕点旋转得到点， ∴， ∴， ∴ 解得： ∴点的坐标为． 15. 已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设二次函数对应一元二次方程的两根为，由抛物线与轴两交点距离为可得，利用恒等式结合韦达定理推导出，再代入顶点纵坐标公式，整体代换求值得到顶点纵坐标． 【详解】解：令，得， 设方程的两个根为， 由根与系数的关系可得 ，， 由题意得二次函数图象与轴两个交点的距离为， 因此， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， 代入得， 整理得，即， 二次函数顶点纵坐标公式为， 将代入得， 将代入得． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，是外一点，且，是中点，连接，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，利用直角三角形斜边中线性质求出长；取中点，连接，利用三角形中位线定理确定点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；根据点与圆的位置关系可知当三点共线时取得最大值；过点作的垂线，利用勾股定理构建方程求出垂足位置，进而计算的长，最终求得的最大值． 【详解】解：取的中点，连接， ，为中点 ，  ， 取的中点，连接，  是中点，是中点，  是的中位线 ，  ， 点在以为圆心，为半径的圆上，  当点在的延长线上时，取得最大值，最大值为，  过点作于点， 设，则， 在和中， 由勾股定理得： ，  即 ， 解得， ， ，  是中点，，   ，  ， 在中，  ， 在中，  ， 的最大值为． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征选择适当解法．解答时，先移项，再提公因式即可． 【详解】解：移项，得 ． 提公因式，得 ∴或 ∴，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 已知：如图，在中，，，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先证明，根据全等三角形的性质可得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论． 【详解】解：证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 是菱形． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形． 20. 在纸盒中放有3张除文字外完全相同的卡片，其中1张标一等奖，2张标二等奖．从中随机抽取1张，记下奖项后放回，第二次再从中随机抽取1张． （1）第一次抽取一等奖卡片的概率是 ； （2）求两次抽取都是二等奖卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抽取卡片的情况求概率即可； （2）画出树状图，利用树状图求概率即可． 【小问1详解】 解：第一次抽取卡片有3种情况，抽到一等奖卡片有１种情况， 故第一次抽取一等奖卡片的概率是； 【小问2详解】 解：设一等奖卡片为，二等奖卡片为， 画树状图如下： 两次抽取卡片的情况有种，其中两次都是二等奖卡片的有种， 答：两次抽取都是二等奖卡片的概率为． 21. 质检部门对某厂生产的一批次球形零件直径进行检验，以下是从中随机抽取的50个球形零件直径的统计结果： 直径/ 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 频数 2 15 20 12 1 （1）这组数据的平均数为 ，众数为 ，中位数为 ； （2）若标准直径为，与标准直径的差的绝对值不大于的为合格产品，请估计这批球形零件的合格率． 【答案】（1） 平均数，众数，中位数 （2） 【解析】 【分析】（1）求平均数：因为是频数分布数据，所以用加权平均数公式，将每个直径乘以对应频数求和后，除以总样本量50即可． 求众数：因为众数是出现次数最多的数值，所以找到频数最大的那一组对应的直径即可． 求中位数：因为总共有50个数据，是偶数个，所以将数据从小到大排序后，取第25和第26个数据的平均值，通过累加频数确定这两个数据所在的直径组即可． （2）求合格率：首先确定合格的直径范围是到，统计该范围内的频数之和，再除以总样本量50得到样本合格率，以此估计总体合格率． 【小问1详解】 解：平均数：根据加权平均数公式计算：  众数：众数是频数最高的数据，直径的频数最大（为20）， ∴众数是． 中位数：50个数据的中位数是排序后第25、26位数据的平均数． 累计频数可知：前两组共17个数据，第三组（直径7.5mm）覆盖第18~37位数据， ∴第25、26位数据都是7.5mm， 中位数为． 【小问2详解】 解：标准直径，误差范围， ∴合格的直径包括和。 合格零件频数为：， 合格率为：， 即估计这批零件合格率为． 22. 小丽和小明两人从甲地出发，沿同一路线匀速慢跑前往乙地．小明在小丽后出发，慢跑1200米时遇到小丽，小明开始休息，休息了8分钟，再按原速继续慢跑，最后两人同时到达乙地．两人离开甲地的路程y（米）与小丽慢跑的时间x（分）的函数关系如图所示． （1）小丽慢跑的速度为 米/分，C点的坐标为（ ，1200）； （2）求线段所表示的与之间的函数表达式； （3）小明比小丽晚出发 分钟． 【答案】（1）100，12 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用路程除以时间可得小丽慢跑的速度，再由相遇时的路程除以速度求得相遇时间，即点C的横坐标； （2）由图象可得，，然后利用待定系数法求解即可； （3）先求出小明慢跑的速度，再求出小明从甲地出发到休息时所用时间，进而可求解． 【小问1详解】 解：由图知，小丽慢跑的速度为（米/分）， ∴慢跑1200米时相遇的时间为（分钟）， ∴C点的坐标为； 【小问2详解】 解：由题意，，， 设线段所表示的与之间的函数表达式为， 则，解得， ∴线段所表示的与之间的函数表达式为； 【小问3详解】 解：小明慢跑的速度为（米/分）， ∴小明从甲地出发到休息时所用时间为（分钟）， ∴小明比小丽晚出发（分钟）． 23. 某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． （1）求与的函数表达式； （2）若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 【答案】（1） （2） 5000个 【解析】 【分析】（1）先根据题意设出函数形式，因为材料成本为常数，加工成本与x成反比例，所以可设，其中b为材料成本，k为反比例系数，将已知的两组x、y对应值代入所设函数，得到关于b和k的二元一次方程组，解方程组求出b和k的值，即可得到y与x的函数表达式． （2）把代入已求出的函数表达式，得到关于x的分式方程，解方程即可求出对应的生产数量． 【小问1详解】 解：根据题意，加工成本与x成反比例，材料成本固定， 因此设函数表达式为： ，其中是单个的加工成本，是固定的材料成本． 将和分别代入得方程组： ， 两式相减消去得：，解得， 再代入得． 因此与的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：把代入函数表达式： ， 整理得，解得． 答：应生产个双肩包． 24. 如图1，某型号抓草机由基座、动臂和斗杆构成，图2是其侧面结构示意图，矩形为基座，折线为动臂，为斗杆．已知基座的高度为1.2米，动臂的长（与的长度和）为5.1米，动臂伸展角，斗杆与动臂的夹角，斗杆与竖直方向的夹角为，到地面的距离为4.2米． （1）的长度是 米； （2）求到的水平距离的长． （结果精确到0.1，参考数据：，，，） 【答案】（1）4.9米 （2）到的水平距离的长为6.3米． 【解析】 【分析】（1）过P作于H，利用正切定义求解即可； （2）过B作于F，延长交于G，过B作于H， 在中，求得米，在中，设米，米，米，则米，在中， 求得米，米，，然后由列方程求得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：过P作于E，则，，米， ∴（米）； 【小问2详解】 解：过B作于F，延长交于G，过B作于H， 则四边形、四边形是矩形， ∴，，， 在中， （米）， 则中， ∴， 设米，米，则（米）， ∵米， ∴米， 在中，，， ∴米，米， ∵米，米，米， ∴，解得， ∴米，米， ∴米， ∴（米）， 答：到的水平距离的长为6.3米． 25. 如图，是的直径，，点E在上，连接并延长交过点A的切线于点F，点D为的中点，连接并延长交过点的切线于点． （1）求证：与相切； （2）若，求的长； （3）设，四边形的面积为y，直接写出y关于x的表达式及y的最小值． 【答案】（1）证明：如图，连接、， ∵是的直径， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2） （3），最小值为18 【解析】 【分析】（1）连接、，利用圆周角定理得到，再利用直角三角形斜边的中线性质得到，进而利用等腰三角形的性质得到，，然后利用切线的性质和判定可证得结论； （2）先得到，，再利用勾股定理求得，分别证明和，利用相似三角形的性质求解即可； （3）仿照（2）中方法求得，再利用梯形的面积公式求得，再利用完全平方公式得，进而可求得y的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵与相切， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）知，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，， 解得， ∴， ∵与相切， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是梯形， ∴， ∵，当即时取等号， ∴， 故y的最小值为18． 26. 已知二次函数． （1）该函数图像顶点的横坐标为 ； （2）当时，函数的最大值为9，求a的值； （3）若以点，为端点的线段与二次函数图像只有一个公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）由二次函数图像的对称轴公式，可得该函数图像顶点的横坐标； （2）根据二次函数的性质，分a大于零，a小于零两种情况，分别列出关于a的方程集合求解； （3）先求出直线的解析式，分类讨论线段与二次函数图像只有一个公共点的情况． 【小问1详解】 解：， 该函数图像顶点的横坐标为2． 【小问2详解】 解∶由（1）知抛物线的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上，在上，，． ， 离对称轴最远，函数取得最大值． ， ， ， ； 当时，抛物线开口向下， ∵， 时，函数取得最大值． ． ， ， ， 综上所述，a的值为或． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 点，， 解得 直线的解析式为． 对于抛物线，当时，可得， ∴该抛物线恒过． 联立直线解析式和抛物线解析式， 可得，整理可得， 解得， 分情况讨论： ①当，即直线与抛物线仅有一个交点时， 此时可得，解得，符合题意； ②当，即直线与抛物线有两个交点时， 若以点，为端点的线段与二次函数图像只有一个公共点， 则或， 当时，由可得，解得， 由可得，解得； 当时，， ∴，符合题意． 综上所述，或或． 27. 寻找不动点 两张比例尺不同的同一地区地图，将小地图随意放在大地图的上方，一定存在一个点，在两张地图上代表的是同一个地理位置，这个点叫做两地图的不动点． 如图1，矩形代表大地图，矩形代表小地图，两幅地图表示比例尺不同的同一地区，现将矩形随意放在矩形上方，则存在不动点，在两张地图上代表的是同一个地理位置． 【初步理解】 把一条橡皮筋（图2中线段）沿着其所在直线向两端拉伸到线段的位置，此时橡皮筋上存在点在拉伸前后的位置不变，即，则称点是线段和的不动点． （1）如图2，点是线段和的不动点，，，，则 ． （2）如图3，点，在线段上．求作线段和的不动点． （要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【深入探究】 矩形矩形，矩形中任意两点，在矩形中的对应点分别为，，若点满足，则称为矩形和矩形的不动点． （3）如图4，小明利用尺规作图，作法如下： ①作的延长线交于点，延长交的延长线于点； ②先作过，，三点的圆弧，再作过，，三点的圆弧，两弧交于点，点满足，则点即为所求． 试说明小明同学作法的正确性． （4）请再给出一种不同于小明的作法，简要说明思路并在图5中画出示意图． 【答案】（1） （2）如图，点即为所求； 文字说明： ①过点作射线； ②在射线截取，； ③连接，作，使得交于点； ④点即为所求． （3）证明：如图，连接，，，，，，，设与交于点， ∵过点，，三点的圆弧与过点，，三点的圆弧，两弧交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点，，，四点共圆， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求； （4）如图，示意图即为所求； 思路：连接，平移到，使得点与点重合，连接，，作，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， 延长至点，连接， 由平移得：， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用比例的性质即可求得结果； （2）过点作射线，在射线截取，，连接，作交于点，点即为所求； （3）利用圆周角定理及相似三角形的判定与性质即可得出结论； （4）先作出示意图，再利用平移的性质，相似三角形的判定与性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵点是线段和的不动点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得． 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点是线段和的不动点． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $