精品解析：2025年江苏省南京市鼓楼区二模数学试题

九年级数学试卷 注意事项： 本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上） 1. 下列计算结果比小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减乘除，有理数的大小比较，有理数的加减乘除，有理数的大小比较法则即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 为调查长江现有鱼的种类，采用普查的方式 B. 为了解某校1200名学生的课外阅读情况，随机调查了100名女生课外阅读情况 C. 为反映某区初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，适合用扇形统计图 D. 为了解某校九年级学生睡眠时长，抽取该年级50名学生调查，样本是这50名学生 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查调查方式，统计图的选择，样本，熟练掌握相关知识点，是解题的关键，根据普查和抽样调查的选择，统计图的特点以及样本的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、为调查长江现有鱼的种类，适合采用抽样调查的方式，原说法错误，不符合题意； B、为了解某校1200名学生的课外阅读情况，随机调查了100名女生课外阅读情况，不具有广泛性和代表性，原说法错误，不符合题意； C、为反映某区初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，适合用扇形统计图，原说法正确，符合题意； D、为了解某校九年级学生睡眠时长，抽取该年级50名学生调查，样本是这50名学生的睡眠时长，原说法错误，不符合题意； 故选C． 3. 下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（ ） A. 6，9 B. 9，15 C. 10，16 D. 15，18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可判断，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：B． 4. 小明买了每袋250克的食品若干袋，营养成分如下表所示．通常情况下，人体每日摄入膳食纤维的适宜量是克．若小明今天仅依靠此食品来获取膳食纤维，他需要吃（ ） 营养成分 项 目 每100克 营养量参考值 能量 2092千焦 蛋白质 克 脂肪 24.0克 碳水化合物 克 膳食纤维 克 钠 250毫克 A. 1袋 B. 2袋 C. 3袋 D. 4袋 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等组的应用，先求出每袋食品中膳食纤维的含量，设需要吃 袋，则总膳食纤维量为克，依题意列出不等式组，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：每袋食品中膳食纤维的含量为： （克）， 设需要吃 袋，则总膳食纤维量为克，依题意得： ， 解得：， ∴小明需要吃袋， 故选：B． 5. 格点 在平面直角坐标系中的位置如图所示．和 关于x轴对称，将 向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转 后得． 下列说法：① 绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形，旋转图形，根据轴对称图形，旋转图形的意义进行判断即可． 【详解】解：如图： ① 绕点逆时针旋转90度可得到，故①正确； ②绕某点旋转一定的角度不能得到，故原说法错误； ③与关于直线对称，故③正确． 所以，正确的说法是①③， 故选：C． 6. “粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据三棱柱的特征即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：“三棱柱”的平面展开图可能是 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 的相反数是________；的绝对值是________． 【答案】 ①. 3 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义和绝对值的性质，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键；根据相反数的定义和绝对值的性质求解即可． 【详解】解：的相反数是3，的绝对值是3， 故答案为：3，3． 8. 计算的结果是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方等于乘方的积进行运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方．解题的关键在于正确的运算． 9. 如果实数a、b满足______，那么a、b互为倒数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查倒数，根据倒数的定义（两个数乘积为1，则这两个数互为倒数）解答即可． 【详解】解：∵a、b互为倒数， ∴， 故答案为：． 10. 因式分解： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式即可． 【详解】解：， 故答案为： 11. 要说明命题“若，则”是假命题，写一个c的值，它可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，不等式的性质等知识点，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【详解】解：证明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：， 故答案为：． 12. 如图，将一张宽为的矩形纸片折叠，若，则折痕的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了根据正弦值求边长，根据平行线的性质求角的度数，折叠的性质，过点F作矩形纸片的一边与H，则，由平行线的性质得出，由折叠的性质和平角的定义得出，再根据正弦的定义即可求出． 【详解】解：过点F作矩形纸片的另一边于H，如下图： 则， ∵矩形纸片两边平行， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， 故答案为：2 13. 已知点与点在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，由于反比例函数的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出结论即可求解． 【详解】解：∵反比例函数， ∴图象位于一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小． ∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴点，在第一象限， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在正多边形中，若，则______． 【答案】108 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，三角形内角和定理应用，根据求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：∵所对的边有3条，所对的边有5条， ∴， ∴． 故答案为：108． 15. 如图，平面直角坐标系中，已知点，点，则的重心坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形重心的定义，一次函数的应用，取 的中点F，的中点D，连线 ， 交于点G，点G即为所求．根据中点坐标得出，，利用待定系数法分别求出直线 和 的解析式，联立两直线的解析式求出其交点G即可． 【详解】解：取 的中点F，的中点D，连线 ， 交于点G，点G即为所求． ∵，点， ∴， 即，， 设 的解析式为：， 的解析式为：， 根据题意：，， 解得：，， ∴ 的解析式为：， 的解析式为：， 联立：， 解得： 即， 故答案为： 16. 如图，，与间的距离为2，A、B是上两个定点，P是上的一个动点，连接并延长至点C，使得．若D是上方一点，且四边形是平行四边形，则的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】作，作，作，交于点F，并延长交于点H，先说明，可得，再证明，，当时，取最小值，求出最小值即可． 【详解】解：如图所示，过点C作，交于点E，过点B作，交于点G，过点D作，交于点F，并延长交于点H， ∴，且， 根据题意可知，且， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 由， 当时，取最小值，即的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，平行线间的距离，确定最小值是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据立方根的算术平方根的意义化简各项后再进行加减运算即可； （2）原式根据平方差公式和完全平方公式把括号展开后再合并即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）解方程：； （2）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】（1）；（2）2 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的无解问题，熟练掌握解分式方程是关键． （1）去分母化为整式方程，解方程并检验即可； （2）根据分式方程无解的情况进行分析即可． 【详解】解：（1） 去分母得到， 解得， 当时，， ∴是分式方程的解； （2）∵， 方程两边同时乘以，得 ， ∴； 当时，无解，即关于 的方程无解， 当时，， ∵原分式方程无解， ∴， 此时无解， ∴a的值是 故答案为： 19. 为了购买一台洗衣机，某市场研究小组收集了甲、乙两种功能类似的洗衣机近5周的销售量和用户评分情况，统计结果如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1） 种洗衣机销售量比较稳定， 种洗衣机用户评分中位数较高（填“甲”或“乙”）； （2）你推荐选择哪种洗衣机？请说明理由． 【答案】（1）甲；乙 （2） 选择甲，理由： 因为甲种洗衣机的销售量比较稳定，且用户评分逐渐升高，说明用户比较认可，所以选择甲种． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和折线统计图，中位数， 对于（1），分别观察两个统计图比较数据，再根据中位数的定义解答即可； 对于（2），根据（1）的结论判断即可． 【小问1详解】 解：根据条形统计图可知 甲的销售量第1周为10台，第2周为10台，第3周为15台，第4周20台，第5周为15台； 乙的销售量第1周为5台，第2周为20台，第3周为15台，第4周15台，第5周为15台； 所以甲种洗衣液销售量比较稳定； 根据折线统计图可知甲的用户评分为6分，7分，7分，8分，9分，中位数是7分； 乙的用户评分为5分，6分，8分，8分，8分，中位数是8分， 所以乙种洗衣机用户评分中位数较高． 故答案为：甲，乙； 【小问2详解】 略 20. 如图，在菱形 中，E、F、G、H分别是、 、、的中点． （1）求证：四边形为矩形； （2）菱形 满足 时，四边形为正方形． 【答案】（1） 证明：连接 ，， ∵E、F、G、H分别是、 、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形 是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，菱形的性质，正方形的判定等知识，解题的关键是： （1）根据三角形中位线定理得出，，可证得四边形为平行四边形，根据菱形的性质得出，然后根据平行线的性质可得出，即可证明平行四边形是矩形； （2）当时，可证菱形 是正方形，得出，根据三角形中位线定理得出，，则，然后根据正方形的判定即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，四边形为正方形． 理由：∵， ∴菱形 是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是、 、、的中点， ∴，， ∴， ∴矩形为正方形． 21. （1）如图，是两个可以自由转动的转盘，指针位置固定．转盘①被分成4个大小相同的扇形，颜色分别为红、黑、蓝、黄四种颜色；转盘②被分成两个不同的扇形，颜色分别为红、黄两种颜色．同时转动两个转盘，停止后，求指针恰好都落在黄色区域的概率． （2）现有一个不透明的袋子和红、黄两种颜色小球若干个（除颜色外其它均相同），请设计一个与（1）中概率相等的摸球游戏，写出你的设计方案． 【答案】（1）； （2）游戏可以设计为：在一个不透明的袋子中装入除颜色外均相同的六个小球，其中五个红球、一个黄球，每次随机摸出一个球，恰为黄球． 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解； （2）根据(1)中的概率设计合理的方案即可． 【详解】解：（1）列表如下： 转盘① 转盘② 黄 红 蓝 黑 黄 （黄，黄） （红，黄） （蓝，黄） （黑，黄） 黄 （黄，黄） （红，黄） （蓝，黄） （黑，黄） 红 （黄，红） （红，红） （蓝，红） （黑，红） 共有12种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“都落在黄色区域”（记为事件A）的结果有3种，即（黄，黄）、（黄，黄）， 所以． （2）略 22. 根据图中三角形区域顶点的位置及边长，计算 的长．（精确到） （参考数据：，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，矩形的判定和性质，构造矩形，设，由等腰直角三角形的性质得出，解，求出，得出，，再由勾股定理，代入解出x，最后再根据求解即可． 【详解】解：构造如图所示矩形， 设， 在中， ∵， ∴； 在中， ∵， ∴，； ∴， ， 在中，， ∴， 解得，（舍）； ∴． 23. 如图，在 中，，以为直径作 交 交于点D，过点D作 的垂线交 于点E． （1）求证： 是 的切线； （2）若，，求 的半径． 【答案】（1） 证明：连接 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点D在圆上， ∴ 是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，根据等边对等角推出，可知，可得，即可证明 是 的切线； （2）连接 ，可得 ，证明，可得，计算，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ， ∵为直径， ∴ ， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ∴或（删去）， ∴， ∴ 的半径为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键. 24. 命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）． （1）当，，时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由． （2）判断命题的真假，并说明理由． 【答案】（1）成立，矩形B的两边长为，， （2）成立， 理由：若矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为，面积为，设矩形B的长为x，则宽为． 根据题意列方程，得：， 即， 根据求根公式得：， ∵， ∴ 又， ∴， ∴存在矩形B， ∴此命题成立． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及其解法． （1）根据矩形的长和宽表示出新矩形的长和宽，再根据面积的关系列出一元二次方程，进一步求解即可； （2）设矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为，面积为，设矩形B的长为x，则宽为．再根据面积的关系列出一元二次方程，利用根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：当，，时， 此时矩形B的周长为18，面积为6， 设矩形B的长为x，则宽为． 根据题意列方程，得：， ∴， 解之得：，； ∴此时命题成立． 【小问2详解】 略 25. 如图①所示，沪宁高速公路可近似看作一条直线．一辆货车以的速度从南京出发匀速驶往上海；同时，一列轿车以的速度从苏州出发匀速驶往上海，停留后，按照原速度继续开往南京，最终两车同时到达目的地．设货车行驶的时间为，货车与南京的距离，轿车与南京的距离． （1）在图2中，分别画出和补全关于t的函数图象； （2）分别求苏州到上海的距离，南京到上海的距离； （3）若镇江距离南京90 km，直接写出货车和轿车经过镇江的时间间隔． 【答案】（1） 关于t的函数图象如图： （2）南京到上海距离，苏州到上海距离； （3）h． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据两车都匀速行驶，到达终点的时间相同，即可画出一次函数的图象； （2）先求出苏州到上海的距离，设南京到上海的距离为，依题意列出方程求解即可； （3）分别求出货车从南京到镇江所用的时间和轿车从上海到镇江所用的时间，即可求解． 【小问1详解】 解：两车都匀速行驶，到达终点的时间相同， 【小问2详解】 解：苏州到上海的距离为： ， 设南京到上海的距离为，依题意得： ， 解得：， 答：南京到上海距离，苏州到上海距离； 【小问3详解】 解：镇江到上海的距离为：， 货车从南京到镇江所用的时间为：， 轿车从上海到镇江所用的时间为：， ∴货车和轿车经过镇江的时间间隔为： ． 26. 已知二次函数的图象对称轴为直线，点都在该二次函数图象上． （1）用含a的代数式表示b； （2）当时，比较与的大小，并说明理由； （3）当时，都有，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2） ，理由如下： ∵对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随着 增大而减小， ∵，， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）根据对称轴公式求解即可； （2）求出点关于直线的对称点为，然后根据二次函数的增减性求解即可； （3）分、 都在对称轴直线的右侧；、 在对称轴直线的两侧；、 都在对称轴直线的左侧，三种情况讨论，画出对应的草图，数形结合，根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象对称轴为直线， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， ∵， ∴在的右侧， 当、 都在对称轴直线的右侧时，如图， ∵， ∴，解得； 当、 在对称轴直线的两侧时， 即关于直线的对称点为 关于直线的对称点为 ∵， ∴， 解得 当、 都在对称轴直线的左侧时， ∵， ∴开口向下，在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 与相矛盾， ∴此种情况不存在， 综上，或． 27. 【提出问题】 过平面内一点P画直线l平分已知 的面积． 【发现问题】 根据点P与 的位置不同，可以分成点P在 边上、在 内部、在 外部三种情况． （1）当点P在 边上 ①若点P与顶点A重合，如图①，画出直线l，并简述画法； ②若点P在 的边上，如图②，小明取 的中点D，连接，…… 请根据小明的思路画出直线l，并简述画法． 【分析问题】 （2）当点P在 的内部，如图③，如何画出直线l呢？ 小红的画法： 第一步 取 的中点D； 第二步 画； 第三步 过点P画，交于点I； 第四步 过P、I、H三点的圆交于点J； 第五步 过点P作直线，交 于点K． 则就是所求的直线l． 请说明小红画图的正确性． 【解决问题】 （3）当点P在 的外部如图④，画出直线l，并简述画法． 【答案】 （1）如图①，画法：取 中点D，画直线 ， 就是所求的直线l； 如图②，画法：过点A画直线，交 于点M，画直线，就是所求的直线l； （2）连接、， ∵， ∴，， ∵， ∴． 而， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又点D是中点，， ∴，即直线平分 面积． （3）如图④ 第一步 取的中点D； 第二步 画； 第三步 过点P画，交的延长线于点I； 第四步 过P、I、H三点的圆交 于点J； 第五步 过点P作直线，交于点K． 则就是所求的直线l． 【解析】 【分析】（1）①根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分进行画图即可； ②过点A画直线，交 于点M，画直线，就是所求的直线l； （2）连接、，证明，得出，证明，得出，证明，得出，即可得出答案． （3）第一步 取的中点D；第二步 画；第三步 过点P画，交的延长线于点I；第四步 过P、I、H三点的圆交 于点J；第五步 过点P作直线，交于点K，则就是所求的直线l． 【详解】解：（1）连接 ， ∵点D为 的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）连接，，，， ∵， ∴，， ∵P、I、H、J四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴平分 ． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆内接四边形，圆周角定理，三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 注意事项： 本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上） 1. 下列计算结果比小的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 为调查长江现有鱼的种类，采用普查的方式 B. 为了解某校1200名学生的课外阅读情况，随机调查了100名女生课外阅读情况 C. 为反映某区初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，适合用扇形统计图 D. 为了解某校九年级学生睡眠时长，抽取该年级50名学生调查，样本是这50名学生 3. 下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（ ） A. 6，9 B. 9，15 C. 10，16 D. 15，18 4. 小明买了每袋250克的食品若干袋，营养成分如下表所示．通常情况下，人体每日摄入膳食纤维的适宜量是克．若小明今天仅依靠此食品来获取膳食纤维，他需要吃（ ） 营养成分 项 目 每100克 营养量参考值 能量 2092千焦 蛋白质 克 脂肪 24.0克 碳水化合物 克 膳食纤维 克 钠 250毫克 A. 1袋 B. 2袋 C. 3袋 D. 4袋 5. 格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转 后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 6. “粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 的相反数是________；的绝对值是________． 8. 计算的结果是 _____． 9. 如果实数a、b满足______，那么a、b互为倒数． 10. 因式分解： ______． 11. 要说明命题“若，则”是假命题，写一个c的值，它可以是_____． 12. 如图，将一张宽为的矩形纸片折叠，若，则折痕 的长为_____． 13. 已知点与点在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是_____． 14. 如图，在正多边形中，若，则______． 15. 如图，平面直角坐标系中，已知点，点，则的重心坐标为_______． 16. 如图，，与间的距离为2，A、B是上两个定点，P是上的一个动点，连接并延长至点C，使得．若D是上方一点，且四边形是平行四边形，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 18. （1）解方程：； （2）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 19. 为了购买一台洗衣机，某市场研究小组收集了甲、乙两种功能类似的洗衣机近5周的销售量和用户评分情况，统计结果如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1） 种洗衣机销售量比较稳定， 种洗衣机用户评分中位数较高（填“甲”或“乙”）； （2）你推荐选择哪种洗衣机？请说明理由． 20. 如图，在菱形 中，E、F、G、H分别是 、 、 、的中点． （1）求证：四边形为矩形； （2）菱形 满足 时，四边形为正方形． 21. （1）如图，是两个可以自由转动的转盘，指针位置固定．转盘①被分成4个大小相同的扇形，颜色分别为红、黑、蓝、黄四种颜色；转盘②被分成两个不同的扇形，颜色分别为红、黄两种颜色．同时转动两个转盘，停止后，求指针恰好都落在黄色区域的概率． （2）现有一个不透明的袋子和红、黄两种颜色小球若干个（除颜色外其它均相同），请设计一个与（1）中概率相等的摸球游戏，写出你的设计方案． 22. 根据图中三角形区域顶点的位置及边长，计算 的长．（精确到） （参考数据：，，，，） 23. 如图，在中，，以 为直径作交 交于点D，过点D作 的垂线交 于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 24. 命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）． （1）当，，时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由． （2）判断命题的真假，并说明理由． 25. 如图①所示，沪宁高速公路可近似看作一条直线．一辆货车以的速度从南京出发匀速驶往上海；同时，一列轿车以的速度从苏州出发匀速驶往上海，停留后，按照原速度继续开往南京，最终两车同时到达目的地．设货车行驶的时间为，货车与南京的距离，轿车与南京的距离． （1）在图2中，分别画出和补全关于t的函数图象； （2）分别求苏州到上海的距离，南京到上海的距离； （3）若镇江距离南京90 km，直接写出货车和轿车经过镇江的时间间隔． 26. 已知二次函数的图象对称轴为直线，点都在该二次函数图象上． （1）用含a的代数式表示b； （2）当时，比较与的大小，并说明理由； （3）当时，都有，直接写出t的取值范围． 27. 【提出问题】 过平面内一点P画直线l平分已知的面积． 【发现问题】 根据点P与的位置不同，可以分成点P在边上、在内部、在外部三种情况． （1）当点P在边上 ①若点P与顶点A重合，如图①，画出直线l，并简述画法； ②若点P在的边 上，如图②，小明取 的中点D，连接，…… 请根据小明的思路画出直线l，并简述画法． 【分析问题】 （2）当点P在的内部，如图③，如何画出直线l呢？ 小红的画法： 第一步 取 的中点D； 第二步 画； 第三步 过点P画，交于点I； 第四步 过P、I、H三点的圆交 于点J； 第五步 过点P作直线，交 于点K． 则就是所求的直线l． 请说明小红画图的正确性． 【解决问题】 （3）当点P在的外部如图④，画出直线l，并简述画法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $