19.1 常量和变量 课件 2025-2026学年冀教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“常量和变量”核心知识点，通过“复兴号”飞驰、铁丝折长方形等生活情景导入，引导学生从具体变化现象中抽象出常量与变量概念，构建从生活实例到数学定义再到关系式建立的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实世界，通过“票房收入”“梯形面积”等实例培养抽象能力和模型意识，结合跟踪训练与即学即练发展推理思维。采用情景探究与问题驱动教学，学生能深化对概念的理解，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第十九章 函数 19.1 常量和变量 学习目标 1.了解常量和变量的概念.(重点) 2.在实际问题中，会区分常量与变量，能够建立变量之间的关系式.(难点) 情景导入 从生活到数学——认识 “变” 与 “不变” 同学们，我们生活在一个不断变化的世界里：高铁在飞驰，时间在流逝，气温在升降。在这些变化的过程中，有些量始终保持不变，有些量却在不断改变。今天我们就从教材中的复兴号开始，一起走进‘常量与变量’的数学世界。 问题1　在实际生活中一个量随着另一个量的变化而变化的现象大量存在. (1)“高处不胜寒”说明　　 　　随　 　　　的变化而变化；  (2)一辆匀速行驶中的汽车的　　　　随　　　　的变化而变化.  高山气温 海拔高度 里程 时间 知识梳理 在一个变化过程中，数值_________的量叫作常量，而可以取________的量叫作变量. 保持不变 不同数值 新知探究 中国标准动车组“复兴号”是由我国自主研发、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的新一代高速列车，也是我国科技创新的又一重大成果，已知某高速列车在一运行区间内匀速行驶，速度为 探究 1：“复兴号” 的飞驰之旅 (1)填写下表 (2)在这个问题中，哪些量是不变的，哪些量是变化的?变化的量之间存在着怎样的关系? 175 350 525 700 在这个问题中，共有个量，速度是不变的量； 路程和时间都是变化的量； 变化的量之间的关系为 新知探究 探究 2：一根铁丝的“变形记” 用一根长为 20 cm 的细铁丝任意折出一个长方形。在长方形的长、宽、周长和面积这四个量中，哪些量是不变的，哪些量是变化的？ 在这个问题中，共有个量，长方形周长为不变的量，长度为； 长、宽、面积都是变化的量； 如果用表示长方形的长，宽为， 面积用来表示，. 获取新知 一起探究 问题1.小明在上学途中，骑自行车的平均速度为300 m/min. 时间t/min 5 10 20 55 ... 路程s/m ... (1)填写下表： (2)在这个问题中，哪些量是不变的，哪些量是变化的？变化的量之间存在着怎样的关系？ 1500 3000 6000 16500 平均速度300 m/min是不变的量，路程和时间都是变化的量. 满足的关系是：s=300t 知识点 常量和变量 1 问题2.桃园村办企业去年的总收入是25000万元，计划从今年逐年增加收入3500万元. 在这个问题中，一共有几个量?其中哪些量是不变的，哪些量是变化的？ 25000 28500 32000 35500 39000 42000 49500 46000 53000 全品初中 在问题2中，共有四个量，即去年的总收入、从今年起每年增加的收入、第几年和第几年的总收入. 其中，去年的总收入25000万元和以后每年增加的收入3500万元是不变的量，第几年和第几年的总收入是变化的量. 第几年的总收入=25000+3500×年数 满足的关系是：W=25000+35n 全品文教初中 跟踪训练1　(1)小磊复印一批文件，他每分钟可复印10张，x分钟可以复印y张.下列说法正确的是 A.10，x，y都是常量 B.10，x，y都是变量 C.10是常量，x，y是变量 D.10是变量，x，y是常量 √ (2)在s＝中，常量和变量分别是 A.常量是4；变量是v B.常量是；变量是v C.常量是3；变量是s，v D.常量是；变量是s，v √ (3)指出下列问题中的变量与常量： ①y＝－2πx＋4； ②v＝v0t＋at(其中v0，a为定值)； ③n边形的对角线的条数l与边数n的关系是l＝. 解　①∵在y＝－2πx＋4中，发生变化的是x和y，始终不变的是－2π，4， ∴变量是x和y，常量是－2π，4. ②∵在v＝v0t＋at中，发生变化的是v和t，始终不变的是v0，a和， ∴变量是v和t，常量是v0，a和. ③∵在l＝中，发生变化的是l和n，始终不变的是和－， ∴变量是l和n，常量是和－. 新知探究 数值发生变化的量 变量 数值保持不变的量 常量 　　上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？ 类似地，请再举出两个实际问题的例子，并分别说明它们各含有几个不同的量，其中哪些量是变量，哪些量是常量. 新知探究 变量与常量 在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持不变的量叫做常量. 1.判断一个量是常量还是变量，应先看它是否在一个变化过程中，若在，则看它在这个变化过程中数值是否发生改变 . 2.指出一个变化过程中的常量时，应连同它前面的符号 . 例如，影院播放电影《你好，李焕英》票价70元/张，填写下表： 售出的票数x/张 10 100 200 ... 票房收入y/元 ... 700 7000 14000 在这个问题中,哪些量是不变的,哪些量是变化的? 票价 70元/张是不变的量 x，y是变化的量 满足的关系是：y=70x 问题3 类似地，请你在举出两个实际问题的例子，并分别说明它们各含有几个不同的量，其中哪些量是不变的，哪些量是变化的. 在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，而数值保持不变的量叫做常量. 注意： 1.对于变量还是常量的判定，要看本质，即取值是否不变 2.不要根据常识就认定字母是变量，如字母π就是常量 概念学习 “乌鸦喝水”中，水量是常量，水的高度是变量； “电影票价”中，票价是常量，售出票数、票房收入是变量. 知识梳理 常量和变量是相对的，在同一变化过程中，不同条件下，常量可以转化为变量，变量也可以转化为常量. 跟踪训练2　等腰三角形顶角的度数为y°，底角度数为x°(0<x<90)，则y与x之间的关系式为 A.y＝2x B.y＝180－x C.y＝180－2x D.y＝x √ 即学即练 方法技巧 判断一个量是常量还是变量的方法： 看在这个量所在的变化过程中，该量的值是否发生改变 (或者说是否会取不同的数值)，其中在变化过程中不变的量是常量, 可以取不同数值的量是 变量． 1.已知数a比数b的平方大1 (1)填写下表 10 5 1.25 1 2 4 10 26 10001 (2)请指出问题中的常量和变量，并写出a与b之间的关系式 这个问题中a,b都是变量， 即学即练 方法技巧 列关系式时要弄清问题涉及的实际过程，确定变量之间的因果逻辑或关联逻辑，寻求等量关系或变化规律，最后简化表达式，减少不必要的变量 2.已知一个梯形的高为10，下底长是上底长的2倍，设这个梯形的上底长为，面积为.请指出问题中的常量和变量，并写出与之间的关系式 这个问题中共有个量，其中高为常量； 上底长、下底长、面积为变量； 与之间的关系式为： 在下列各问题中，分别各有几个量，其中哪些量是常量，哪些量是变量？这些量之间具有怎样的关系？ (1)每张电影票的售价为10元.某日共售出x张票，票房收入为y元. 电影票的单价为10元是常量； 售出票的数量x张是变量，票房收入y元是变量 数量间的关系满足：y=10x 通过具体的实际问题过程，把变量、常量以及变量之间的影响关系通俗易懂的跃然于纸上，这样对于后续概念的引出和理解就轻车熟路了。所以理论和实践是有机的统一体 (2)一台小型台秤最大称重为6 kg，每添加0.1 kg重物，指针就转 动6°的角.添加重物质量为m kg时，指针转动的角度为α. 最大称重6kg，平均每千克转60°的角都是常量； 添加重物质量m kg是变量，转动的角度α是变量 数量间的关系满足：α=60m 绳子的长10 m是常量； 长方形的长x m和面积S m2都是变量 数量间的关系满足：S=x（10-x） (3)用10 m长的绳子围成一个长方形.小明发现不断改变长方形的 长x(m)的大小，长方形的面积S(m2)就随之有规律地发生变化. 课堂练习 1. 已知圆的周长公式为C＝2πr，则下列说法正确的是（　B　） A. 2是常量，C，π，r是变量 B. 2，π是常量，C，r是变量 C. C，2是常量，r是变量 D. 2，r是常量，C是变量 B 解析：2，π数值不变为常量，C，r数值会发生变化为变量，故选B 课堂练习 2.司机王师傅到加油站加油，如图所示为加油机上的数据 显示牌，其中的常量是（　C　） A. 金额 B. 油量 C. 单价 D. 金额和油量 C 解析：金额和油量数值会发生变化，为变量，单价数值不变，为常量 课堂小结 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 抽象与建模 函数与对应 Sheet2 Sheet2 25000 0 25000 3500 25000 7000 25000 10500 25000 14000 25000 17500 25000 21000 25000 24500 25000 28000 Sheet1 系列 1 系列 2 系列 3 去年 25000 0 2 今年 25000 3500 2 第2年 25000 7000 3 第3年 25000 10500 5 第4年 25000 14000 第5年 25000 17500 第6年 25000 21000 第7年 25000 24500 第8年 25000 28000 $