四川省成都市2025-2026学年九年级数学下学期期末测试

**基本信息** 成都九年级数学期末卷立足核心素养，以原创情境题（如高空作业车高度计算、AI满意度调查）融合代数、几何与统计，梯度设计适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|分式、三视图、三角函数、二次函数|结合《九章算术》古题，考查数学文化| |填空题|10/40|因式分解、位似、多边形镶嵌、尺规作图|融入正多边形镶嵌情境，发展空间观念| |解答题|8/78|统计应用、解直角三角形、圆的切线、二次函数综合|原创高空作业车高度计算（数学眼光）、AI满意度数据分析（数据意识），梯度设计从基础到综合|

应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/ 四川省成都市 九年级数学下册期末测试 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D D B C C B 第一部分（A卷 共100分） 1、 选择题：本题共8个小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．【答案】C 【解析】∵|﹣1|＝1，∴|m|＝1，∴m＝±1，故选：C． 2．【答案】C 【解析】根据俯视图的意义，底面边长可以看见，都是实线. 3．【答案】D 【解析】：A、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意； B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意； C、﹣3a2b﹣2a2b＝﹣5a2b，原计算错误，故此选项不符合题意； D、﹣a2b÷a2＝﹣b，原计算正确，故此选项不符合题意； 4.【答案】D 【解析】：∵点B（5，12），BC⊥x轴，垂足为C， ∴OC＝5，BC＝12，∠OCB＝90°由勾股定理得 ，故选项A错误，不符合题意；根据锐角三角函数定义： ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D正确，符合题意． 5.【答案】B 【解析】∵乙组、丙组的平均成绩相同且最高，而乙组的方差比丙组小，∴乙组成绩好且状态稳定， ∴应选择的小组是乙组．故选：B． 6．【答案】C 【解析】：如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，AB'＝6，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，连接AA′， ∴∠ACA′＝90°，AC＝A′C＝4，A′B′＝AB＝2，∴∠AA′C＝45°，在直角三角形AAC中，由勾股定理得：AA′2＝42+42＝32；∵AB′2＝62＝36，A′B′2＝22＝4，∴AB′2＝AA′2+A′B′2，∴∠AA′B′＝90°，∠B′A′C＝135°，故选：C． 7． 【答案】C　 【解析】∵若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50，∴xy＝50；∵若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，∴x+y＝50．∴根据题意可列出方程组． 故选：C． 8．【答案】B 【解析】∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴为直线x1，所以A选项的说法正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴抛物线与x轴的一个交点为（3，0），所以B选项的说法正确；∵抛物线的顶点的纵坐标为﹣4，∴函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，所以C选项的说法正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴方程ax2+bx+c+4＝0（a≠0）有两个相等的实数根，所以D选项的说法错误．故选：B． 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x+2）（x﹣2）；故答案为：2（x+2）（x﹣2）． 10.【答案】x=2 【解析】两边同乘 得：.化简得：.两边消去 ，得 ，所以 .检验： 时，分母 ，，故原方程的解为 .∴ 方程的解是x=2. 11.【答案】 （或2.25） 【解析】 因为△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，根据位似变换性质：对应点到位似中心的距离之比等于位似比，且面积比等于位似比的平方.已知OA:OD = 2:3，所以位似比 .则面积比为 .设△ABC的面积为 ，则 ，所以 . 12.【答案】 12 【解析】 正三角形每个内角为60°，正方形每个内角为90°.题中正三角形与正方形在点O处无空隙、不重叠地铺设，得到∠AOB = 360°-90°-90°-60° = 150°.说明这块正多边形地砖的一个内角恰好等于150°.设正多边形边数为 ，则其内角为 .列方程：，.因此，这块正多边形地砖的边数为12.或者利用一个外角为30°，得到 13.【答案】2 【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，勾股定理得AB=10.∵AF平分∠BAC，N为BC的垂直平分线，所以得到角平分线+AC∥PQ,△APQ为等腰三角形.PQ=AQ=5,GQ为三角形中位线得到GQ=3,根据△∴PG =PQ-GQ=5-3=2.因此，线段PG的长为2. 三．解答题（共5小题） 14．（1）【答案】3（6分） 【解析】原式 = . = . （2）【答案】（6分） 【解析】解第一个不等式：两边同乘6得到化简得. 解第二个不等式：.展开右边：化简得 . 取交集：.不等式组的解集为 . 15．【答案】（1） 　85　 ， 86.5　　 ；（2分） （2）　72°　 ；（3分） （3）144人（3分） 【解析】解：（1）甲的评分的众数，乙的评分在、组人数为（人， 所以其评分的第10、11个数据分别为86、87，则其中位数（分，故答案为：85，86.5； （2）组人数为（人，组对应的圆心角为，故答案为：72； （3）（人，答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为144人． 16．【答案】（1）（）；（2分） （2）1.0米．（6分） 【解析】解：（1）∵∠DCB＝∠β＝90°，BC＝2米，CD＝3米，∴米，∵点D，B，A三点共线，∴米；故答案为：； （2）如图，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过点D作DF⊥CE交CE的延长线于点F， ∴∠BEC＝∠DFC＝90°，由题意可得BG∥CF，α＝40°，∴∠BCE＝∠CBG＝α＝40°，在Rt△BCE中，∠BCE＝40°，∠BEC＝90°，BC＝2米，由，可得CE＝BC•cos∠BCE≈2×0.77＝1.54（米），∵∠BCD＝β＝73°，∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCE＝73°﹣40°＝33°，在Rt△DCF中，CD＝3米，∠CFD＝90°，∠DCF＝33°，由，可得CF＝CD•cos∠DCF≈3×0.84＝2.52（米），∴EF＝CF﹣CE＝2.52﹣1.54＝0.98（米），∴r＝EF＝0.98米≈1.0米．答：抓手D到直线AB的水平距离为1.0米． 17．【答案】（1）见解析；（4分） （2）半径7.5，（6分） 【解答】（1）证明：∵ 是直径，∴ （直径所对的圆周角是直角）.∵ ，∴ .设 ，则 .在 中，.∵ 平分 ，∴ .又 ，∴ .∵ 共线，∴ . · 在等腰 中，，（圆心角是圆周角 的两倍），∴ .于是 .∴ ，即 经过点 且与半径 垂直，故 是 的切线.证毕. （2）解：（利用射影定理与角平分线比例性质）： 第一步：证明 .∵ ，∴ .在 中，. 又 为直径，，∴ .故 （等角的余角相等）. 第二步：利用正切值及射影定理求 与 .由 得 ，解得 .在 中，，由射影定理得 .代入 ，，得 ，∴ .直径 ，半径 . 第三步：证明 平分 .∵ 平分 ，∴ .又 ，∴ ，且 .故 ，即 平分 . 第四步：利用角平分线分线段成比例（内角平分线定理）与勾股定理求 . 在 中， 平分 ，∴ 已知 ，，设 ，则 .在 中，由勾股定理： 其中 .代入： 解得 或 （负值舍去）.∴ . 故所求： 的半径为 （或 7.5），. 18. 【答案】（1）直线 .反比例函数: ；（3分） （2）① 坐标为 或 ；（3分） ②.（4分） 【解析】（1）由 ，设 ，，，解得 ，即 .设直线 ，代入 ，： ⇒ .∴ 直线 .将 代入得 ，即 .代入反比例函数 得 ⇒ .∴ 反比例函数: . （2）①问：（平行线转化面积）： ∵ ，∴ 点 和点 到直线 的距离相等. 与 同底等高，故 . 由∵ ∴ . 与 同底AE.设 ， 代入得 ，化简得 ，即 .因此 或 .将 代入反比例函数 得：若 ，则 ；若 ，则 .故点 坐标为 或 . （2）②问： 解法一（两点间距离公式） 由 得 ：.代入 ，展开得 ，因 ，故 ，即 .代入双曲线 ： ⇒ ⇒ .解得 （舍）或 .由 （对应向右平移）得 ⇒ . 解法二（A 在 DF 的中垂线上） 由 知点 (A) 在线段 (DF) 的垂直平分线上.设，则 (D) 同时满足：线段 (DF) 的中点 (M) 坐标为. 垂直平分线过点 且斜率为 ，其方程为：中点 (M) 在此直线上，代入得：将代入整理得： 将代入双曲线方程得（对应平移距离为0，舍去）或 .由平移关系 ，得：∴ 所求平移距离 . B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．【答案】4 【解析】由根与系数的关系得： ，. 由 得 . 代入得：.再将 ， 代入：.∴ 答案为4. 20.【答案】 【解析】由点坐标代入得方程：：.：.：. ：.利用 和 纵坐标相同得对称轴方程： ⇒ ⇒ ⇒ .将 及 代入 ： ⇒ ⇒ ，.代入 得：.∴ ，即 .∴ 答案为 . 21.【答案】 【解析】连接OC、AB交于点D，设⊙O半径为1，∵AC＝OC＝CB，OA、OB、OC为半径，∴△OAC、△OBC为等边三角形，∵AB为弦，OC为半径，∴OC垂直平分AB，在Rt△OAD中，OA＝1，∠AOD＝60°，∴，，，∴， ∴，∴， 22.【答案】 【解析】解法一（延长EF与AB交于点M，设未知数勾股求解） · 由折叠知：，，.延长 交 于点 .由 得 ，且 .设 ，则 .在 中，由勾股定理得关系式解得x=.利用相似：，对应边成比例 ,得出 . · 解法二（过E作平行线交BG于N，延长EF交BC于H，等腰三角形及相似求解） · 由折叠及正方形性质，通过等角的余角相等可推出 为等腰三角形， 为等腰三角形，从而 .由 得 .，EG=5-2=3,代入比例式解得 . 23.【答案】，且 【解析】由点坐标代入得：，.两式相加得 ⇒ .两式相减得 ⇒ .故函数解析式为： . 闭函数条件： 当 时，.顶点横坐标 .需分 和 讨论， 时，≤1，当时，≥-1.最终得出：，且 . 24． 【答案】（1） A辣椒每千克 元/千克，B辣椒每千克 元/千克;（4分） （2）最低销售单价 元/千克.（4分） 【解析】解：（1）：设： A种辣椒每千克 元，则B种辣椒每千克 元.  .解得.经检验x=5为分式方程的解，则 . 答： A种辣椒每千克 元/千克，B种辣椒每千克 元/千克. （2）：已知： A种辣椒总价10000元，单价5元/千克，故A种辣椒总重量为 千克. 制作过程中质量损失4%，实际产出豆瓣酱： 千克. 每千克辣椒需配料费5元，总配料费： 元. 总成本 元. 设销售单价为 元/千克，则销售额为 元. 利润率不低于20%： . 解得 . 答： A种辣椒制作的豆瓣酱最低销售单价为 元/千克. 25． （1）1；（3分） （2） 见解析；（3分） （3） （3）.（4分） 【解答】(1)解：∵，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△ABP∽△EDP，∴，∴，∴； (2)证明：∵∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∵将△ADP沿AB方向平移到△BCM，∴AP∥CM，AP＝CM， ∴四边形ABMP是平行四边形，∵AB＝AP，∴四边形ABMP是菱形，∴∠ABP＝∠MBP，AB＝MB， 在△ABD和△MBD中， ，∴△ABD≌△MBD（SAS），∴∠ADB＝∠MDB； (3)解：如图3，取CE的中点G，连接MG， 设CE＝2t，则CG＝t，∵，∴CD＝8t，∴DG＝CD﹣CG＝7t，DE＝DC﹣CE＝6t，∵M是P的中点，G是CE的中点，∴MG是△PCE的中位线，∴MG∥EC，∴，延长DM至Q点，使MQ＝DM，连接PQ，CQ，∵PM＝CM，∴四边形PQCD是平行四边形，∴PQ∥DC，PQ＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴PQ∥AB，PQ＝AB，∴∠ABP＝∠BPQ，∵∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∠APB＝∠BPQ，∴AP＝PQ，∠APD＝∠QPD，在△APD和△QPD中， ，∴△APD≌△QPD（SAS），∴AD＝QD，∵，∴，∴． 26． 【答案】（1）y＝x2 ；（3分） （2）；（4分） （3）定点（1，3）.（5分） 【解析】（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝x2． （2）设，且 P 不与A、B 重合.，B(2,4).分别考虑直角顶点在 A、B、P 处. ①当时，AB ⊥ AP..∴.. 方程：.若，.得. ②当时，AB ⊥BP.，∴..方程：. 若， .得. ③当时，PA ⊥ PB，利用勾股定理：.. ，.方程：.化简得.因式分解，解得 或.舍去 （对应点 A）和 （对应点 B），得 和 .，. 综上，所有符合条件的点 P 为：. （3）由题意，当x＝1时，y＝x2＝1，即点C（1，1）， 则直线l的表达式为：y＝k（x﹣1）+1＝kx﹣k+1，设m：y＝（r﹣1）x+r，n:y=（s+2）x﹣2s ∵直线l与抛物线有且只有一个公共点，则联立上述两个函数表达式得：x2＝kx﹣k+1， 则Δ＝k2﹣4k+4＝0，解得：k＝2，则直线l的表达式为：y＝2x﹣1． 由题意，直线DE过定点（1，3），直线l向下平移2个单位得到直线l′，则直线l′为：y＝2x﹣3， 设m：y＝（r﹣1）x+r，n:y=（s+2）x﹣2s，联立直线m：y＝（r﹣1）x+r与抛物线的表达式得：（r﹣1）x+r＝x2，即x2﹣（r﹣1）x﹣r＝0，而x1x2＝﹣r，xA＝﹣1＝x1，则x2＝r＝xD，即点D（r，r2），同理可得，点E（s，s2）．联立直线m、n的表达式得：（r﹣1）x+r＝（s+2）x﹣2s，解得：xP， 则点P的坐标为：（，r）．∵点P在直线y＝2x﹣3上， 则r＝23，整理得：﹣sr+s+r＝3， 设直线DE的表达式为：y＝ax+b，则，解得，∴a+b＝3． 则直线DE的表达式y＝ax+b＝a（x﹣1）+3．∴当x＝1时，y＝3．即直线DE过定点（1，3）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 4 绝对值的概念 0.85 2 单选题 4 简单几何体的三视图（俯视图） 0.8 3 单选题 4 整式的运算（幂的乘方、完全平方、合并同类项、整式除法） 0.75 4 单选题 4 锐角三角函数的定义（坐标与三角函数） 0.75 5 单选题 4 数据的分析（平均数、方差的应用，选择稳定小组） 0.8 6 单选题 4 旋转性质、勾股定理逆定理、角度计算 0.7 7 单选题 4 二元一次方程组的应用（古代问题） 0.75 8 单选题 4 二次函数图象与系数的关系（对称轴、交点、最值、判别式） 0.65 9 填空题 4 因式分解（提公因式、平方差） 0.85 10 填空题 4 分式方程的解法 0.8 11 填空题 4 位似变换、面积比 0.75 12 填空题 4 多边形内角和、平面镶嵌（正多边形密铺） 0.7 13 填空题 4 尺规作图（角平分线、垂直平分线）、勾股定理、中位线 0.65 14 解答题 12 实数运算（特殊角三角函数、绝对值、零指数幂、二次根式）；解一元一次不等式组 0.75 15 解答题 8 统计图表的应用（频数分布、扇形统计图、中位数、众数、样本估计总体） 0.7 16 解答题 8 解直角三角形的应用（实际测量，锐角三角函数） 0.7 17 解答题 10 圆的综合：圆周角定理、切线的判定、射影定理、角平分线分线段成比例 0.65 18 解答题 10 一次函数与反比例函数综合：解析式、面积法求交点、平移、距离相等求参数 0.6 19 填空题 4 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）及整体求值 0.8 20 填空题 4 二次函数图象过点，待定系数法求系数关系 0.75 21 填空题 4 圆中阴影部分面积：扇形面积、等边三角形面积 0.7 22 填空题 4 正方形折叠问题：折叠性质、勾股定理、相似三角形求线段长 0.65 23 填空题 4 新定义“闭函数”，二次函数在闭区间上的最值及参数范围讨论 0.55 24 解答题 8 分式方程应用（单价问题）；一元一次不等式（利润问题） 0.6 25 解答题 10 二次函数综合：解析式、直角三角形存在性（勾股/垂直）、抛物线的切线、直线过定点探究 0.5 26 解答题 12 向量新定义（仿射坐标系）、充要条件证明、恒成立与最值 0.45 $ 应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/（如以上均不符合则自行添加） 四川省成都市 九年级数学下册期末测试 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（A卷 共100分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则的值为（ ） A．1 B． C． D．无法确定 2．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 4. 在平面直角坐标系中有一点B（5，12），过点B作x轴的垂线，垂足为C，连接OB，设射线OB与x轴正半轴的夹角为θ，则下列说法正确的是（　　） A．OB＝12 B． C． D． 甲 乙 丙 丁 平均数 90 94 94 93 方差 1.6 0.8 1.5 1.5 5．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加全区中小学科技创新竞赛，如表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，连接AB'，并且AB'＝6，则∠A'的度数为（　　） A．125° B．130° C．135° D．140° 7．《九章算术》有这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？为解决这个问题，设甲原有钱，乙原有钱，可以得到方程组（　　） A． B． C． D． 8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（﹣1，0），顶点的纵坐标为﹣4，2a+b＝0，下列说法错误的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x＝1 B．抛物线与x轴的另一个交点为（3，0） C．y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4 D．方程ax2+bx+c+4＝0（a≠0）有两个不相等的实数根 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．分解因式：2x2﹣8＝　 　 ． 10．方程的解是　 　． 11．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OD＝2：3，△ABC的面积是1，△DEF的面积是　 ． 12．如图，用正三角形地砖与正方形地砖在点处进行无空隙、不重叠地铺设．若一块边长相同的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数为　 　． 13．如图，在Rt△ABC中，．按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF； ③分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于M，N两点； ④作直线MN交射线AF于点P，交CB于点G，交AB于点Q．若AC=6，BC=8，则PG的长为　 ． 11题图 12题图 13题图 三．解答题（共5小题） 14．（12分）（1）计算：；（2）解不等式组：． 15．(8分）随着人工智能持续进步，不同公司推出AI聊天机器人．有关人员调查“文心一言” （简称甲款）和“豆包”（简称乙款）的用户满意度，分别随机抽取20份评分数据，评分分数用表示，分为四个等级：，，，． 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 乙 86 87 （1）上述图表中 　　 ， 　　 ； （2）扇形统计图中组对应的圆心角为 　　 ； （3）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分，请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天天机器人非常满意的用户总人数． 16．原创（8分）如图，工人正在高空作业车上维修路灯，工人站在D点，基座米，大臂米，小臂米。大臂与水平线的夹角为，小臂与大臂的夹角为，图中点、线在同一个平面内． 图1 图2 （1）如图1，取最大值，且，，三点共线时，工人距离地面的高度最大： 　　 米（保留根号）； （2）如图2，工人维修路灯时，，，求此时工人与基座AB之间的距离.（结果精确到0.1，参考数据：，） 17.（10分）如图，DE为⊙O的直径，A为⊙O上一点，AC⊥DE交DE于C点.B为OD的延长线上一点，连接BA并延长至点M，AE为∠CAM的角平分线． （1）求证：BM为⊙O的切线； （2）DC＝3，，求⊙O的半径及BD的长． 18.原创（10分）在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A(-2,0),与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2，n），=4. （1）求直线AB的解析式和反比例函数的解析式； （2）将直线AB向右平移个单位后与该双曲线的一个交点为D，与x轴，y轴分别交于点E和F. ①若，求此时点D的坐标； ②连接AD、AF,若AD=AF,求t的值. B卷（50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　 　 ． 20. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，-m），B（1，m），C（-2，n），D（3，m），其中m，n为常数，则的值为 　 　 ． 21.如图，A，B，C为⊙O上的三个点，C为的中点，连接OA，OB，AC，BC，以C为圆心，AC长为半径的弧恰好经过点O，求阴影部分的面积 　 　 ． 22．正方形边长为5，点E在上，，将沿折叠得，连接并延长交于点G，则_________. 23． 对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是 　 　 ． 21题图 22题图 24．“郫县豆瓣酱”是成都的一张美食名片，辣椒是制作“郫县豆瓣酱的关键原料之一。豆瓣酱厂用10000元从农科院购进种辣椒，用6000元B种辣椒制作两种豆瓣酱。其中种辣椒的单价比B种辣椒的单价便宜1元，但种辣椒重量是种辣椒的两倍。 （1）、两种辣椒每千克多少元？ （2）将所有的种辣椒制作豆瓣酱，豆瓣酱每千克辣椒所需配料费用约5元.制作过程中辣椒质量损失，辣椒可以制出 “郫县豆瓣酱），若种辣椒制作的豆瓣酱售出后至少要获得的利润，不计其他费用，求种辣椒制作的“郫县豆瓣酱最低销售单价.（利润率 25．如图1，点P是▱ABCD（AD＞AB）对角线BD上的一点（BP＞PD），且使得∠ABP＝∠APB，连接AP并延长，交CD于点E． (1)若，求的值． (2)如图2，将△ADP沿AB方向平移到△BCM，求证：∠ADB＝∠MDB． (3)如图3，连接PC，取PC的中点M，连接DM交AE于点F，若，求的值． 26．如图，抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣1，1），B（2，4）两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线上存在点P，使得△ABP为直角三角形，求出所有符合条件的点P； （3）若直线l与抛物线有且只有一个公共点C（1，c）,将直线l向下平移2个单位得到直线l’,过点A的直线m与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线n与抛物线另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线l′上时，探究直线DE是否过定点？若是求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $