2026年四川省达州市通川区初中数学中考练习题（北师大版）

**基本信息** 立足中考练习，融合华为芯片、对称美、汤圆销售等科技与文化情境，覆盖代数、几何、统计核心知识，梯度设计适配中考要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数比较、轴对称、幂运算等|以“天有日月”传统文化考轴对称，华为芯片题考科学记数法，体现数学眼光| |填空题|5/20|因式分解、几何最值等|原创题以AC为斜边作等腰直角三角形求BD最大值，考查空间观念| |解答题|9/90|统计应用、二次函数综合等|统计调查报告题培养数据观念，台灯调整角度题用解直角三角形解决实际问题，二次函数与菱形存在性题发展模型意识|

命题双向细目表 四川初中数学中考练习题（北师大版）命题双向细目表 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 实数的大小 选择题 4 0.92 基础题 2 轴对称 选择题 4 0.88 基础题 3 式的计算 选择题 4 0.85 基础题 4 展开图 选择题 4 0.88 基础题 5 平行线的性质 选择题 4 0.85 基础题 6 科学记数法 选择题 4 0.82 基础题 7 众数中位数 选择题 4 0.82 基础题 8 物理综合图象 选择题 4 0.65 中等题 9 反比例函数综合 选择题 4 0.55 中等题 10 二次函数图象 选择题 4 0.35 拓展题 11 分解因式 填空题 4 0.88 基础题 12 韦达定理 填空题 4 0.85 基础题 13 降次求值 填空题 4 0.88 基础题 14 一次函数 填空题 4 0.78 基础题 15 线段的最值 填空题 4 0.34 拓展题 16 计算、解不等式组 解答题 8 0.88 基础题 17 分式的化简求值 解答题 6 0.82 基础题 18 作图 解答题 8 0.78 基础题 19 统计概率 解答题 8 0.86 基础题 20 全等证明 解答题 8 0.74 基础题 21 解直角三角形 解答题 9 0.65 基础题 22 应用题 解答题 10 0.58 中等题 23 圆 解答题 10 0.56 中等题 24 二次函数 解答题 11 0.52 中等题 25 几何综合 解答题 12 0.38 拓展题 合计 150 0.70 基础题：91分（61%） 中等题：39分（26%） 拓展题：20分（13%） 整体难度系数：0.70 测评时间：120分钟 满分：150分 $ 应用场景：中考练习 初中数学中考练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第I卷（选择题 共40分） 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1．在0，1，﹣1，π中最小的实数是（ ） A.0 B. 1 C. ﹣1 D.π 2．“天有日月，道分阴阳”，从古至今，中国人一直都在追求对称美．中国传统图形比较注重于对称，其集中体现在文字和建筑、绘画上，下列图形、文字为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3．下列运算正确的是（ ） A.3a+b＝3ab B. a3•a2＝a5 C. a8÷a2＝a4（a≠0） D.（a﹣b）2＝a2﹣b2 4． 将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A.校 B. 安 C. 平 D.园 5． 如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1＝40°，则∠2的大小为（ ） A.70° B. 60° C. 50° D.40° 6．华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是0.000 000 007米．数据0.000 000 007用科学记数法表示为（ ）   A.7×10﹣7 B. 0.7×10﹣8 C. 7×10﹣8 D.7×10﹣9 7．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考查所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取10株水稻苗，测得苗高（单位：cm）统计结果如下表所示：则这组数据的众数和中位数分别是（ ） 苗高（单位：cm） 23 24 25 26 株数 2 3 4 1 A.24，24.5 B. 24，24 C. 25，25 D.25，24.5 A.　 B.　 C.　 D. 8． （新情境题）巴小虎乘坐的文旅街区智能观光车做匀速直线运动，行驶路程S（m）随时间 t（s）变化规律为一次函数，下列表达式符合匀速运动路程公式的是（ ） A.S= t 2 B. S=5t C.S= D.S=10 9． 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则的值为（ ） A. B. C. D. 10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①ac＞0；②2a+b＝0；③4a+c＜0；④4a；⑤．其中含所有正确结论的选项是（ ） A.①③⑤ B. ②③④ C. ②④⑤ D.③④⑤ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．分解因式：a3﹣9a＝　 　． 12．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，AD、DB的长是方程的两根，则n＝　 　． 13．已知，那么代数式的值是　 　． 14．（改编）如图，平面直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3，分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最小的值等于　 　． 15．（原创）如图，已知AB=2，BC=1，以AC为斜边在ΔABC外作等腰直角三角形ACD，则线段BD的最大值为 ． 三、解笞题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16（8分）(1) 计算： (2) 解不等式组： 17（6分）先化简，再从﹣2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 18（8分）图①、图②都是6×6的网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍； （2）在图②中，在线段AC上作点D，使得AD：CD＝2：3． 19（8分）如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，BE＝BF，求证：∠DEF＝∠DFE． 20（8分）（改编）项目调研 DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模型设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模型设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模型设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：8，D：． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了 名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ． （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数． 21（9分）小明书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时（图1），灯带的直射宽DE（BD⊥BC，CE⊥BC）为35cm，但此时灯的直射宽度不够；当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时（图2），直射宽度刚合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．（结果保留1位小数）（sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16） 22（10分）元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜、烧火龙等习俗．某超市节前购进了甲、乙两种口味的汤圆．已知购进甲种汤圆的金额是1200元，购进乙种汤圆的金额是800元，购进的甲、乙两种汤圆共180袋，甲种汤圆每袋的进价比乙种汤圆每袋进价多2元．如果甲种汤圆以每袋24元的价格出售，每天可售出40袋，通过调查发现，甲种汤圆每袋的售价每降低0.5元，每天可多售出10袋． （1）求甲种汤圆每袋的进价是多少元； （2）当甲种汤圆销售单价多少元时，甲种汤圆每天销售利润最大，并求出最大利润． 23（10分）22．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是上一点，＝，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA． （1）求证：AD是⊙O的切线． （2）若BE＝4，AD＝2，求⊙O的半径长． 24（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 25（12分）[问题背景]在△ABC中，AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE，把AB，AC，2AD集中在△ABE中． （1）利用上述方法求出AD的取值范围是　 　； （2）[探究]如图2，在△ABC中，CE为AB边上的中线，点D在CB的延长线上，且BC＝2BD，AD与CE相交于点O，若四边形ODBE的面积为20，求△ABC的面积； （3）[拓展]如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，点E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝4，，∠GEF＝90°，求GF的长． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中数学中考练习卷 答案及解析 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A A D D B B C 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11． 12．4 13．-2024 14． 15． . 3、 解笞题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16.解：（1）原式＝4﹣3+2×﹣1 ＝4﹣3+﹣1 ＝3﹣2； （2）解不等式①得x＞﹣1， 解不等式②得x≤5， 所以不等式组的解集为﹣1＜x≤5． 17.解：原式＝（﹣）• ＝• ＝， 由题意得：a≠1且a≠﹣2， 当a＝0时，原式＝＝﹣1， 当a＝2时，原式＝＝0． 18.解：（1）如图①，△A'B'C即为所求． （2）如图②，取格点M，N，使AM∥CN，且AM：CN＝2：3， 连接MN，交AC于点D， 此时△ADM∽△CDN， 则， 则点D即为所求． 19.证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C， ∵BE＝BF， ∴AE＝CF， 在△DAE和△DCF 中， ， ∴△DAE≌△DCF（SAS）， ∴DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DCF． 20.解：解：（1）本次共抽取了（名）学生的模型设计成绩． 将50名学生的模型设计成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26名的成绩分别为83，84， ∴成绩的中位数是（分）． 在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为． 故答案为：50；83.5；144°． （2）B组的人数为（人）．　 补全频数分布直方图如图所示． （3）（人）． ∴估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数约720人． 21.解：如图2中，过点C作CK⊥AE′于点K，交BM于点J． 如图1中，∵DB⊥BC，EC⊥BC， ∴BD∥EC， ∵BM∥DE， ∴四边形BDEM是平行四边形， ∴BM＝DE＝35cm， ∴BC＝BM•cos9°＝35×0.99≈34.65（cm）， 如图2中，∵BM∥AE′，CK⊥AE′， ∴CJ⊥BM， ∴CJ＝BC•sin30°≈17.32（cm）， ∵AB⊥AE′， ∴BA＝JK＝30cm， ∴CK＝CJ+JK＝17.32+30≈57.3（cm）． 答：台灯最高点C到桌面的距离约为57.3cm． 22.解：（1）设甲种汤圆每袋的进价是x元，则乙种汤圆每袋的进价是（x﹣2）元． 180． 整理得：9x2﹣118x+120＝0． （x﹣12）（9x﹣10）＝0 解得：x1＝12，x2（不合题意，舍去）． 经检验：x＝12是原方程的解． 答：甲种汤圆每袋的进价是12元； （2）设甲种汤圆销售单价为m元/袋，甲种汤圆的利润为y元． y＝（m﹣12）[40（24﹣m）] ＝（m﹣12）（520﹣20m） ＝﹣20m2+760m﹣6240． ∵﹣20＜0， ∴当m19时，利润最大，最大利润＝（19﹣12）（520﹣20×19）＝980元． 答：甲种汤圆销售单价19元/袋时，甲种汤圆每天销售利润最大，最大利润为980元． 23.（1）证明：∵＝， ∴∠ABF＝∠BAE， ∵∠CAD+∠BAE+∠CDA+∠ABF＝180°，且∠CAD＝∠CDA， ∴∠CAD+∠BAE+∠CAD+∠BAE＝180°， ∴∠OAD＝∠CAD+∠BAE＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA， ∴AD是⊙O的切线． （2）解：连接AF， ∵＝，BE＝4，AD＝2， ∴AF＝BE＝4， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFD＝∠AFB＝90°， ∴DF＝＝＝2， ∵∠BAD＝∠AFD＝90°， ∴＝＝tanD＝＝2， ∴AD＝AB， ∴OA＝AB＝AD＝2， ∴⊙O的半径长为2． 24.解：（1）A（3，0），抛物线的对称轴为x＝1，则抛物线和x轴的另一个交点为（﹣1，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2+bx+3， 解得：a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）当﹣1≤x≤t时， x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0，取得最小值， 则x＝t（t小于3）时，y取得最大值， 而抛物线的顶点处取得最大值， 抛物线的顶点坐标为：（1，4）， 即2t﹣1＝4， 解得：t＝2.5； （3）存在，理由： 由抛物线的表达式知，点B（0，3）， 当BC是边时，对应菱形为BDCE′， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3， 设点C（x，﹣x2+2x+3），点D（x，﹣x+3）， 则CD＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝BC＝x， 解得：x＝3﹣， 则BC＝x＝3﹣2， 即菱形的边长为：3﹣2． 当BC为边时， 同理可得：BC＝CD，则x2+（﹣x2+2x）2＝（﹣x2+3x）2， 解得：x＝2（不合题意的值已舍去）， 则CD＝﹣22+6＝2， 菱形的边长为：2． 综上，菱形的边长为：3﹣2或2． 25.解：（1）延长AD到点E，使DE＝AD，再连接BE， ∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝BD， 在△DAC和△DEB中， ， ∴△DAC≌△DEB（SAS）， ∴AC＝EB＝4， ∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，AB＝8， ∴4＜AE＜12， ∴2＜AD＜6， 故答案为：2＜AD＜6； （2）连接OB．过点A作AT∥CD交CO的延长线于点T． ∴∠T＝∠ECB，∠EBC＝∠EAT， ∵CE为AB边上的中线， ∴AE＝BE， ∴△AET≌△BEC（AAS）， ∴AT＝BC， ∵CB＝2BD， ∴CD：AT＝3：2， ∵AT∥CD， ∴， 设△ABC的面积为x， ∵BC＝2BD， ∴△ADB的面积为x， ∵OD：OA＝3：2， ∴△OBD的面积为x，△AOB的面积为x， ∵AE＝EB， ∴△AOE的面积＝△BOE的面积x， ∴四边形ODBE的面积＝△ODB的面积+△OBE的面积x20， ∴x＝50． ∴△ABC的面积为50； （3）如图4，延长GE至点M，使得EM＝EG，连接MD，MF，过点M作MN⊥CD，交CD的延长线于点N， ∵E为AD中点， ∴EA＝ED， 在△AEG和△DEM中， ， ∴△AEG≌△DEM（SAS）， ∴∠EDM＝∠EAG＝105°，MD＝AG＝4， ∵∠EDF＝120°， ∴∠MDF＝135°， ∴∠MDN＝45°， ∴△MDN为等腰直角三角形， ∴MN＝DNDM＝2， ∴NF＝ND+FD＝224， ∴MF2， ∵GE＝EM，∠GEF＝90°， ∴EF垂直平分GH， ∴MF＝GF， ∴GF＝2． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $