2025-2026学年人教版数学八年级下册期末自编练习卷

**基本信息** 这份人教版八年级下册数学期末卷，以二次根式、平行四边形、一次函数等核心知识为载体，通过“秤的应用”“立表测影”等情境设计，考查学生几何直观、推理能力与模型意识，体现数学与现实的联系。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|二次根式化简、平行四边形判定、一次函数图像|基础概念辨析，如最简二次根式判断| |填空题|4题|黄金分割、一次函数应用、正六边形性质|结合传统文化（黄金分割作图）与生活实际（秤的函数关系）| |解答题|10题|统计分析、几何证明（菱形）、函数应用（行程）、探究题（动态平移）|分层设计，如统计题考查箱线图分析，探究题通过菱形平移培养创新意识|

2025-2026学年第二学期人教版新教材八年级下册数学期末考试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，与相交于点E，，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如果，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与的交点为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 6．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与轴交于负半轴 C．当时， D．图象过点，若，则 7．如图，在矩形中，是的中点，是边上一点，连接、、，且，，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．下列条件不能判定为直角三角形的是（     ） A． B． C．，， D． 10．有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 11．如图，将一个等腰直角三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为16 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 12．在平行四边形中，分别以，为圆心，任意长为半径画弧，交，，于，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接，并延长相交于点，点恰好在上，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 评卷人 得分 二、填空题 13．采用如下方法可以得到线段的黄金分割点：如图，设是已知线段，经过点作，使；连接，在上取，在上截取．点即为线段的黄金分割点，若，则的长为________． 14．我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．其中有一对数据记录错误，请排除后利用正确的数据确定当水平距离x为12厘米时，对应的物体重量y为________斤． x（厘米） 1 3 4 6 y（斤） 0.8 1.2 1.6 1.8 15．如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点，，且．当时，________． 16．如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于______． 评卷人 得分 三、解答题 17．计算 (1) (2) 18．甲、乙两车分别从相距的、两地同时出发相向而行，甲车到达地后立即以原速倍的速度原路返回．甲、乙两车离各自出发地的距离（）与行驶时间（）之间的函数关系图象如图所示． (1)乙车的速度为__，甲车返回时的速度为，的值为______； (2)求甲车从地返回过程中，与之间的函数关系式； (3)直接写出甲、乙两车在行驶过程中相遇的时间． 19．为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (3)根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 20．“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，D为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)若“表”，，求的长； (3)若，判断的形状，并说明理由． 21．如图直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)如果在轴上存在一点，使是以为底边的等腰三角形，则点的坐标是_____； (3)点在线段上，使的面积等于5，求点的坐标． 22．如图，在四边形中，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 23．奶茶店旺季要到了，某奶茶店预测芋泥会大卖，打算提前采购芋泥原料．根据采购计划：每千克芋泥原料旺季前的进价比旺季后贵2元；旺季前用480元采购的芋泥重量，是旺季后用200元采购重量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： (1)该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是多少元？ (2)若该奶茶店在旺季前和旺季后一共采购了400千克芋泥原料，旺季前采购了千克（），旺季前做奶茶卖每千克能赚20元，旺季后做奶茶卖每千克能赚16元．那么该奶茶店旺季前采购多少千克芋泥，能让总利润最大？最大利润是多少？ 24．综合与实践 在菱形中，，点M是菱形内一点，平分，作射线，连接，过点D作于点N，． (1)【初步探究】如图1，若，，则的度数为________；与的数量关系是________ (2)【类比探究】如图2，若，，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，将沿直线平移得到，连接．若，，请直接写出的长． 试卷第4页，共8页 试卷第3页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期人教版新教材八年级下册数学期末考试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：最简二次根式需要满足，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式： 选项，，被开方数含能开得尽方因数，不是最简二次根式． 选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 选项，，被开方数含能开得尽方因数，不是最简二次根式． 选项，，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 2．如图，在四边形中，与相交于点E，，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题中的条件，根据平行四边形的判定方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：由题意可得，， A、，则四边形是平行四边形，选项正确，符合题意； B、，得不出四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意； C、，得不出四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意； D、，得不出四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义，平方根的定义和二次根式有意义的条件，逐一计算判断选项． 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算正确； C、，故本选项计算错误； D、被开方数，无意义，故本选项错误． 4．如果，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质由得出，进而判断出一次函数中与的符号，从而确定图象经过的象限． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴一次函数的图象过一、二、四象限． 故选：C． 5．已知直线与的交点为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征求出交点坐标，即可得到方程组的解． 【详解】∵直线与的交点为， ∴把代入，得 ， 解得， ∴两直线的交点坐标为， ∵二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标， ∴方程组的解是． 6．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与轴交于负半轴 C．当时， D．图象过点，若，则 【答案】C 【分析】根据一次函数的图像与性质，判断象限、交点位置和增减性，再通过解不等式判断选项正误，即可得到错误结论． 【详解】解：Ａ、对于一次函数， ∵，， ∴函数图象经过第二、三、四象限，A结论正确，不符合题意； B、 ∵一次函数与轴交点为， ∴图象与轴交于负半轴，B结论正确，不符合题意； C、若，可得不等式， 解得， 即当时， 因此C结论错误，符合题意； D、∵，随的增大而减小， ∴若，则，因此D选项正确，不符合题意． 7．如图，在矩形中，是的中点，是边上一点，连接、、，且，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质得，，得到，即得到，即得，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴． 8．如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形的性质得出，，由勾股定理求出，根据等腰三角形的判定和性质得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案. 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．下列条件不能判定为直角三角形的是（     ） A． B． C．，， D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，用到三角形内角和定理与勾股定理逆定理，分别对各选项验证即可得到结果. 【详解】解：对于选项A，∵ ，移项得 ，符合勾股定理逆定理，∴ 是直角三角形，故A不符合题意； 对于选项B，∵ 三角形内角和为 ，，∴ ，得 ，∴ 是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C，∵ ，，，且 ，即 ，符合勾股定理逆定理，∴ 是直角三角形，故C不符合题意； 对于选项D，∵ ，三角形内角和为 ，∴ ，，，没有直角，∴ 不能判定为直角三角形，故D符合题意. 10．有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 【答案】B 【详解】解：A、箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的第一四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B、箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法错误，故该选项符合题意； C、箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的第三四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； D、箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法正确，故该选项不符合题意． 11．如图，将一个等腰直角三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为16 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 【答案】D 【分析】先求出直线与轴交于点，由图2可得：当时，开始大于，即此时直线开始与相交，直线向左平移了两个单位长度，故点的坐标为，即可判断A选项错误；当时，该直线被的边截得的线段最大，结合图1可得，此时经过点，平移了秒，从而可得点的坐标为，进而得出，求出，，的面积为，即可判断B选项错误；待定系数法求出直线的解析式为，即可判断C选项错误；当时，该直线被的边截得的线段最大，且过点，此时截得的线段长度，即可判断D选项正确． 【详解】解：在直线中，令，则， 解得， ∴直线与轴交于点， 由图2可得：当时，开始大于，即此时直线开始与相交，直线向左平移了两个单位长度， 故点的坐标为，即，故A选项错误，不符合题意； 当时，该直线被的边截得的线段最大，结合图1可得，此时经过点，平移了秒， ∴点的坐标为，即， ∴， ∴，，的面积为，故B选项错误； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为，故C选项错误； 当时，该直线被的边截得的线段最大，且过点，此时截得的线段长度，即D点坐标为，故D选项正确． 12．在平行四边形中，分别以，为圆心，任意长为半径画弧，交，，于，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接，并延长相交于点，点恰好在上，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据作图可得，根据平行四边形的性质可得，，进而结合平行线的性质可得出，根据等角对等边可得，即可求解． 【详解】解：根据作图可得分别平分 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ 评卷人 得分 二、填空题 13．采用如下方法可以得到线段的黄金分割点：如图，设是已知线段，经过点作，使；连接，在上取，在上截取．点即为线段的黄金分割点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，进而通过求出的长，再由，，计算求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵ ， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． 14．我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．其中有一对数据记录错误，请排除后利用正确的数据确定当水平距离x为12厘米时，对应的物体重量y为________斤． x（厘米） 1 3 4 6 y（斤） 0.8 1.2 1.6 1.8 【答案】3 【分析】熟练掌握数据用比例查错纠错，函数的三种表示方法，由表格数据求函数解析式，是解决此类问题的关键．根据，，发现1.6记录错误，更正为1.4，设，将代入，求得，得到，把代入， 得到结果． 【详解】解：∵，， ∴1.6记录错误，应为1.4． 设，将代入，得， ∴， ∴， 当时，， ∴当水平距离x为12厘米时，对应的物体重量y为3斤． 15．如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点，，且．当时，________． 【答案】/96度 【分析】先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 由题意得，正六边形内角和为：， ， ， ， ， ， ． 16．如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于______． 【答案】 【分析】证四边形是菱形，得，连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，， ， 连接，如图所示： ， ， 即， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 评卷人 得分 三、解答题 17．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．甲、乙两车分别从相距的、两地同时出发相向而行，甲车到达地后立即以原速倍的速度原路返回．甲、乙两车离各自出发地的距离（）与行驶时间（）之间的函数关系图象如图所示． (1)乙车的速度为__，甲车返回时的速度为，的值为______； (2)求甲车从地返回过程中，与之间的函数关系式； (3)直接写出甲、乙两车在行驶过程中相遇的时间． 【答案】(1)，， (2) (3)相遇时间为或 【分析】（1）根据总路程和图象得到甲乙行驶的对应时间，结合速度公式计算乙车速度、甲车返回速度和总时间； （2）利用待定系数法，根据返回过程两个端点坐标求函数解析式，并标注自变量取值范围； （3）分甲到达地前、甲到达地返回后两种情况，根据相遇时的路程关系列方程求解． 【详解】（1）解：由题意和图象可得，，两地相距 ，甲车从到用时，乙车走完全程用时 乙车速度为： 甲车原速度为： 甲车返回速度为： 甲车返回地用时： 则 （2）甲车从地返回过程中，自变量的范围是， 设与的函数关系式为 当时，甲车到达地，离出发地的距离； 当时，甲车回到地， 代入得 解得 因此函数关系式为 （3）解：依题意， 当时， 当时， 分两种情况计算： ① 甲到达地前相遇：此时 ，即 解得： ② 甲到达地返回后相遇：此时 ，即 解得： 综上，相遇时间为或 19．为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (3)根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】(1)90；92 (2)70；96；补图见解析 (3)乙组竞赛成绩较好．理由：平均分更高，成绩更稳定．（答案不唯一） 【分析】（）根据众数，中位数的定义即可求解． （）根据数值计算前后各个数的中位数即可求出上四分为数和下四分位数即可． （）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【详解】（1）解：甲组个数，排序后第五和第六位分别是89 和91， ∴中位数 ， 众数是出现次数最多的，乙组排序后最多， ∴众数． （2）解：前半部分为前个数（, , , , ），中位数是第个为，则下四分位数为，后半部分数据为（, , , , ），中位数是第个为，则上四分位数为， 所以，箱线图为： （3）解：乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好． 20．“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，D为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)若“表”，，求的长； (3)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质即可得出结论； （2）证明得，根据勾股定理求出，则，在中，由勾股定理求； （3）根据角平分线定义及等边对等角得，证明，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴是等边三角形． 21．如图直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)如果在轴上存在一点，使是以为底边的等腰三角形，则点的坐标是_____； (3)点在线段上，使的面积等于5，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将直线和联立求解； （2）设P点坐标是，根据题意得到，然后利用勾股定理列方程求解即可； （3）首先，设点Q的坐标是，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：联立直线和得， 解得： ∴A点坐标是； （2）解：设P点坐标是， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，即， ∴， 解得， ∴P点坐标是； （3）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点C、B， ∴当时， ∴，即 设点Q的坐标是 ∵的面积等于5， ∴ ∴ ∴ ∴点Q的坐标是． 22．如图，在四边形中，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ∵AC平分， ， ， ， ， ， ， ∴四边形ABCD是平行四边形； ， ∴平行四边形ABCD是菱形； (2)6.5． 【分析】（1）利用角平分线和平行线的性质，证得 ，根据等量代换得到菱形的判定条件； （2）利用菱形的性质求出的长度，再根据“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 23．奶茶店旺季要到了，某奶茶店预测芋泥会大卖，打算提前采购芋泥原料．根据采购计划：每千克芋泥原料旺季前的进价比旺季后贵2元；旺季前用480元采购的芋泥重量，是旺季后用200元采购重量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： (1)该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是多少元？ (2)若该奶茶店在旺季前和旺季后一共采购了400千克芋泥原料，旺季前采购了千克（），旺季前做奶茶卖每千克能赚20元，旺季后做奶茶卖每千克能赚16元．那么该奶茶店旺季前采购多少千克芋泥，能让总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) 10元 (2) 旺季前采购300千克时总利润最大，最大利润为7600元 【分析】（1）设该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是元，则旺季前每千克芋泥原料的进价是元，利用数量=总价÷单价，结合旺季前用480元采购的芋泥重量，是旺季后用200元采购重量的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设可获得的总利润为元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是元，则旺季前每千克芋泥原料的进价是元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是10元． （2）解：设可获得的总利润为元， ， ， 随的增大而增大． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为元． 答：旺季前采购300千克时总利润最大，最大利润为7600元． 24．综合与实践 在菱形中，，点M是菱形内一点，平分，作射线，连接，过点D作于点N，． (1)【初步探究】如图1，若，，则的度数为________；与的数量关系是________ (2)【类比探究】如图2，若，，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，将沿直线平移得到，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)不成立； 理由：∵在菱形中，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵平分， ， 又， ， ，， ∵． ∴， ， ， ∴在中，， ，， ∵， ，． (3)的长为或 【分析】（1）根据角平分线的定义即可求的度数；证明，得，，由三角形内角和定理得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质得，即可得出结论； （2）由题意得：四边形是正方形，，证明，则，，，即可得与的数量关系，则可得出结论； （3）过点B作于点O，则，，进而可求出、，分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在射线上时，分别根据勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ， ∵平分， ， 又， ， ，， ∴， ， ， 在中，，， ； （2）略 （3）解：如图，过点B作于点O， 则， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 解得， 由（2）可知，， ，， 分两种情况： ①如图，当点在线段上时， ， ∴由平移的性质可知，点与点N重合，则， 在中，； ②如图，当点在射线上时， ， ， 在中，． 综上所述，的长为或． 试卷第2页，共24页 试卷第1页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $