-2025-2026学年北师大版数学八年级下册期末培优卷

**基本信息** 聚焦八年级下册数学核心知识，以重庆机车制造、休闲座椅设计等真实情境为载体，通过几何综合、代数推理与实际应用问题，考查抽象能力、推理意识和应用意识，实现基础巩固与创新思维的梯度提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|命题逆命题、多边形内角和、一次函数性质|第1题结合逆命题真假判断，考查逻辑推理；第4题以座椅抽象几何模型，体现几何直观| |填空题|6/18|不等式整数解、三角形全等、坐标旋转|第13题动态三角形全等，考查空间观念；第15题含参数方程组整数解，培养运算能力| |解答题|8/72|多边形计算、尺规作图、不等式组、应用题、几何综合|第20题重庆机车生产问题，融合方程与实际应用；第24题旋转与角平分线综合，发展创新意识与推理能力|

2025-2026学年八年级下学期数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列命题： ①线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等； ②全等三角形的周长相等； ③在同一个三角形中，大边对大角； ④同旁内角互补，两直线平行； 其逆命题为真命题的是（     ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】先写出每个命题的逆命题，再根据初中几何定理判断逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：①原命题：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；逆命题：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；该逆命题为真命题； ②原命题：全等三角形的周长相等；逆命题：周长相等的三角形是全等三角形；举例：边长为，，的三角形和边长为，，的三角形周长都是，但二者不全等，因此该逆命题为假命题； ③原命题：在同一个三角形中，大边对大角；逆命题：在同一个三角形中，大角对大边；该逆命题为真命题； ④原命题：同旁内角互补，两直线平行；逆命题：两直线平行，同旁内角互补；该逆命题为真命题； 综上，逆命题为真命题的是①③④， 故选：A． 2．如图，在五边形中，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，结合，求出的度数，再利用即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 3．已知数满足：，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知等式判断的取值范围，再根据绝对值的性质去绝对值符号计算结果． 【详解】解：∵若，则，，可得，与已知等式矛盾， ∴ ∵若，则， 可得，与已知等式矛盾， ∴ 综上可得 ∴． 4．如图是一把休闲座椅，底座的长度为，椅背与底座的夹角为，抽象为平面图形如图，，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的外角性质求出 的度数，过点 作 的垂线构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点 作 于点 ， 椅背与底座的夹角为 ，即 的外角为 ，且 ， ， 在 中，，， ，， 在 中，， 是等腰直角三角形， ， ． 5．一次函数的图象如图所示，当时，．对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象过点 B．图象过点 C．函数表达式为 D．当时， 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质结合图象即可得出结论． 【详解】解：∵当时，， ∴当时，， ∴图象过点，故选项A正确，但不符合题意； 由图象知：图象过点，故选项B正确，但不符合题意； 把，代入， 得， 解得， ∴函数表达式为，故选项C正确，但不符合题意； 由图象知：当时，，故选项D错误，不符合题意． 6．若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则满足条件的整数a的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有2个整数解求出a的取值范围，即可得到满足条件的整数a的个数． 【详解】解：解得：， 解得：， ∴， ∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解， ∴， 解得：， 即满足条件的整数a有2、3、4、5、6、7共6个． 7．在平面直角坐标系中，点，，且，满足，将线段平移得到线段，使得点的对应点在轴上，点的对应点在轴上，则四边形的面积为（    ） A．12 B．24 C．25 D．48 【答案】B 【分析】先解二元一次方程组得到a，b的值，确定A，B坐标，再根据平移性质得到C，D坐标，最后利用对角线垂直的四边形面积公式计算面积． 【详解】解：解方程组得， ∴，． ∵点的对应点在轴，点的对应点在轴， ∴线段向左平移个单位，向下平移个单位，得，． ∵四边形的对角线在轴上，长度为，对角线在轴上，长度为，且， ∴面积． 8．如图，在中，是的中位线，的外角平分线交的延长线于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中位线的性质得出，，，根据平行线的性质，结合角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，进而得出，根据中位线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴，，， ∴， ∵的外角平分线交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．20 B．16 C．14 D．10 【答案】B 【分析】先解不等式组结合无解得到的取值范围，再解分式方程结合非负数解得到的限制条件，找出所有符合条件的整数求和即可． 【详解】解：解不等式组， 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组无解， ∴，解得：； 将原分式方程化为， 方程两边同乘得， 整理得， ∵分式方程有非负数解， ∴，且，分母不为零，， 解得且； 综上所述，且， 为整数， ∴符合条件的为，则． 10．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，且．已知点在内部或边界上，若，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】过点作，由坐标及等腰直角三角形的判定与性质求出点，再由一次函数图象与性质得到图象过点时，有最小值，此时取到最小值，将代入函数表达式求解即可． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ， ， 则， ，即点， ， ， 由于一次函数中可知，图象过点时，有最小值，此时取到最小值， 将代入一次函数得，， 解得． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．化简：_______． 【答案】 【详解】解： ． 12．如果关于的不等式的正整数解有3个，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先解出不等式的解集，再根据正整数解的个数确定关于的不等式，进而求出的取值范围． 【详解】解：， 移项得， ∵关于的不等式的正整数解有个， ∴不等式的正整数解为，，， ∴ 解得． 13．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【答案】或/12或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 14．在平面直角坐标系中，，，点是线段的中点，若将线段绕着原点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【分析】先根据中点坐标公式求出点的坐标，再将点绕原点逆时针旋转，利用旋转的性质结合勾股定理计算对应点坐标即可． 【详解】解：，，点是线段的中点， ，即，轴， 轴， 如图，设与轴的交点为，连接，则， 是等腰直角三角形，，， 将线段绕着原点逆时针旋转，，此时旋转至位置， 在轴上， ，即点的对应点的坐标为． 15．若关于x，y的方程组的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为_________． 【答案】 【分析】先由原方程组解得，，再根据方程组的解为整数求出a的值即可． 【详解】解：由原方程组解得，． ∵关于x，y的方程组的解为整数， ∴为整数， ∴是偶数， ∵y为整数， ∴的值为或， 的值可以取，1，，3， a的值为，0，，2， 所有整数a的和为． 16．如图，在中，，对角线，，，连接，的平分线与交于点F，与交于点G，则的长为________． 【答案】 【分析】如图，过作于，作于，求出，，根据即可求出答案． 【详解】解：如图，过作于，作于， ∵在中，，，， ∴，，，，，，，， ∵的平分线与交于点F， ∴， 设, ∴，， ∴， 解得：, ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．按要求解答问题： (1)若多边形的内角和为，求此多边形的边数； (2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 【答案】(1)此多边形的边数为8； (2)n的值是8． 【分析】（1）先设此多边形的边数为n，再根据多边形内角和定理得，求出解即可； （2）设多边形的一个内角为度，则一个外角为x度，再根据内角和相邻外角的和为得出方程，求出解，然后用除以一个外角的度数可得边数． 【详解】（1）解：设此多边形的边数为n，则 ， 解得． 所以此多边形的边数为8； （2）解：设多边形的一个内角为度，则一个外角为x度，依题意得， 解得． ， 故n的值是8． 18．如图，在中，E是的中点． (1)尺规作图：作，交于点D，连接； (2)在（1）的情况下，若，的周长为13，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂线段的作法作图即可； （2）根据题意得出是线段的垂直平分线，确定，再由三角形的周长进行等量代换求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：E是的中点，， 是线段的垂直平分线， ． ， ． 的周长为13， ． 的周长为． 19．按要求完成下列各题： (1)解不等式组，并把解集表示在数轴上：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) (3) 【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出解集即可； （2）先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可求出答案； （3）利用平方差公式分解后，提取公因式，化简即可得到结果． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为：， 把解集在数轴上表示出来如图： （2）解： （3）解： 20．列方程解下列问题． 重庆作为“世界摩托之都”，摩托车产业享誉全球，张雪机车更是以领先第二名近4秒的成绩勇夺中量级冠军，彰显重庆制造的品质．某机车制造厂生产标准机车和高速机车两种车型，已知该厂每天生产高速机车的数量比生产标准机车的数量多44台，3天生产标准机车的数量和1天生产高速机车的数量一样多． (1)求该厂每天生产标准机车、高速机车数量分别是多少台？ (2)由于市场需求量增加，工厂升级了生产线，升级后每天只生产一种机车，日产量提高．每天生产高速机车的增加数量是生产标准机车的增加数量的3倍．已知生产240台标准机车、360台高速机车共用时8天．求每天生产标准机车的增加数量． 【答案】(1)该厂每天生产标准机车22台，高速机车66台 (2)每天生产标准机车的增加数量为23台 【分析】（1）设该厂每天生产标准机车x台，则生产高速机车台，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设每天生产标准机车的增加数量为m台，则每天生产高速机车的增加数量为台，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设该厂每天生产标准机车x台，则生产高速机车台， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：该厂每天生产标准机车22台，高速机车66台. （2）解：设每天生产标准机车的增加数量为m台，则每天生产高速机车的增加数量为台， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解， 答：每天生产标准机车的增加数量为23台． 21．某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表： 运力（箱/辆） 租金（元/辆） 大货车 45 400 小货车 35 320 (1)若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式； (2)在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用． 【答案】(1)（，且为整数） (2)最节省费用的租车方案是租用大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元 【分析】（1）租用大货车x辆，则小货车辆，结合两种货车的租金，即可列出函数关系式； （2）根据“8辆货车可一次将购进的340箱水果全部运回”列出不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴y与x的函数关系式为（，且为整数）． （2）解：根据题意，得， 解得， ∵，且为整数， ∴， ∵对于函数，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值，为， 此时， ∴最节省费用的租车方案是租用大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元． 22．【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将拆分为 “”）． 【解决问题】 (1)根据上述方法对多项式进行因式分解； (2)已知、为等腰三角形的边，且满足，求该等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法将原式凑成完全平方式，再用平方差公式分解因式； （2）先对等式配方，根据平方的非负性求出的值，再分情况结合三角形三边关系判断，计算出符合条件的周长． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 即 若等腰三角形腰长为，底边长为，三边长为 ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去 若等腰三角形腰长为，底边长为，三边长为 ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形此时周长为 答：该等腰三角形的周长为． 23．如图，E、F是的对角线上两点，且，，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． ，， ，， 在和中，， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2)10 【分析】（1）先证明，得到，再利用一组对边平行且相等即可证明四边形是平行四边形； （2）利用平行四边形的性质得到，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，四边形为平行四边形， ，． ， ， ， ． 24．已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)或或 【分析】（1）①由旋转的性质可得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，，根据三角形的内角和定理即可得的度数； ②在上截取，连接，证明，可得，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质可得出的度数． 【详解】（1）解：①∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∴； 综上，∠AEC的度数为或或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用所学知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列命题： ①线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等； ②全等三角形的周长相等； ③在同一个三角形中，大边对大角； ④同旁内角互补，两直线平行； 其逆命题为真命题的是（     ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 2．如图，在五边形中，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．已知数满足：，则（    ） A．1 B． C． D． 4．如图是一把休闲座椅，底座的长度为，椅背与底座的夹角为，抽象为平面图形如图，，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 5．一次函数的图象如图所示，当时，．对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象过点 B．图象过点 C．函数表达式为 D．当时， 6．若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则满足条件的整数a的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．在平面直角坐标系中，点，，且，满足，将线段平移得到线段，使得点的对应点在轴上，点的对应点在轴上，则四边形的面积为（    ） A．12 B．24 C．25 D．48 8．如图，在中，是的中位线，的外角平分线交的延长线于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．20 B．16 C．14 D．10 10．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，且．已知点在内部或边界上，若，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．3 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．化简：_______． 12．如果关于的不等式的正整数解有3个，那么的取值范围是_____． 13．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 14．在平面直角坐标系中，，，点是线段的中点，若将线段绕着原点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为___________． 15．若关于x，y的方程组的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为_________． 16．如图，在中，，对角线，，，连接，的平分线与交于点F，与交于点G，则的长为________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．按要求解答问题： (1)若多边形的内角和为，求此多边形的边数； (2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 18．如图，在中，E是的中点． (1)尺规作图：作，交于点D，连接； (2)在（1）的情况下，若，的周长为13，求的周长． 19．按要求完成下列各题： (1)解不等式组，并把解集表示在数轴上：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 20．列方程解下列问题． 重庆作为“世界摩托之都”，摩托车产业享誉全球，张雪机车更是以领先第二名近4秒的成绩勇夺中量级冠军，彰显重庆制造的品质．某机车制造厂生产标准机车和高速机车两种车型，已知该厂每天生产高速机车的数量比生产标准机车的数量多44台，3天生产标准机车的数量和1天生产高速机车的数量一样多． (1)求该厂每天生产标准机车、高速机车数量分别是多少台？ (2)由于市场需求量增加，工厂升级了生产线，升级后每天只生产一种机车，日产量提高．每天生产高速机车的增加数量是生产标准机车的增加数量的3倍．已知生产240台标准机车、360台高速机车共用时8天．求每天生产标准机车的增加数量． 21．某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表： 运力（箱/辆） 租金（元/辆） 大货车 45 400 小货车 35 320 (1)若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式； (2)在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用． 22．【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将拆分为 “”）． 【解决问题】 (1)根据上述方法对多项式进行因式分解； (2)已知、为等腰三角形的边，且满足，求该等腰三角形的周长． 23．如图，E、F是的对角线上两点，且，，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 24．已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $