第七章 相交线与平行线（11种题型）期末复习讲义 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 1、 相交 （一）邻补角与对顶角 1.邻补角 · 定义：两条直线相交，有 、 ，另一边互为 的两个角. · 性质：邻补角 （和为180°）. 2.对顶角 · 定义：有公共顶点，两边分别互为 的两个角. · 性质：对顶角 （核心性质，证明常用）. · 模型：两直线相交→2对对顶角、4对邻补角. （二）垂线（相交的特殊情况） 1.定义：两条直线相交成 ，互相垂直；一条叫另一条的 ，交点叫 . 2.垂线性质 · 性质 1：过一点（直线上/外）， 一条直线与已知直线垂直（唯一性）; · 性质 2：垂线段 （连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短）. 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 （是长度，不是线段本身）. （三）三线八角（两条直线被第三条直线所截） · 同位角：截线同旁、被截两直线同侧（F型）. · 内错角：截线两侧、被截两直线之间（Z型）. · 同旁内角：截线同旁、被截两直线之间（U型）. 关键：先找截线（公共边），再判断角的位置. 二、平行线及其判定 （一）平行线定义与基本事实 1.平行线：同一平面内， 的两条直线，记作：a∥b; 前提：同一平面内（空间中存在异面直线）. 2.平行公理（基本事实）：经过 ，有且只有一条直线与这条直线平行（唯一性）. 3.平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 （平行传递性：若a∥b，b∥c，则a∥c）. （二）平行线的判定（由角的关系→线平行） · 同位角 ，两直线平行; · 内错角 ，两直线平行; · 同旁内角互补，两直线平行. · 推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 三、平行线的性质 （一）核心性质（由线平行→角的关系） · 两直线平行，同位角 ; · 两直线平行，内错角 ; · 两直线平行，同旁内角 . 判定与性质互逆：判定是“角→线”，性质是“线→角”，不可混用. （二）命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，由 + 组成；可写成“如果… 那么…”形式. · 真命题：题设成立，结论一定成立； · 假命题：题设成立，结论不一定成立（举反例可证假）. 2.定理：经过推理证实的真命题（可作为推理依据）. 3.证明：从已知出发，依据定义、公理、定理，一步步推导出结论的过程. （三）平行线间的距离 · 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 ；处处相等. 四、平移 1.定义：把一个图形整体沿 移动 ，得到新图形，这种移动叫平移（平移不改变图形形状、大小，只改变位置）. 2.平移性质 · 平移后，新图形与原图形形状、大小完全相同（全等）; · 对应点所连线段 且 ; · 对应线段 且 ，对应角 . 3.平移作图步骤 · 确定平移方向、距离； · 找出图形关键点； · 按方向、距离平移各关键点； · 顺次连接对应点，得到平移后图形. 1.对顶角/邻补角：必须是两条直线相交形成，有公共顶点；邻补角既要相邻又要互补; 2.点到直线的距离：是垂线段长度，不是垂线段本身; 3.平行公理：必须是直线外一点（直线上一点无平行线）; 4.判定/性质混淆：角相等/互补→平行（判定）；平行→角相等/互补（性质）; 5.线段关系：包含位置关系和数量关系. 1.角度计算：利用对顶角相等、邻补角互补、垂线90°、平行线性质综合计算; 2.平行证明：找三线八角，用判定定理；或用平行传递、垂直于同一直线; 3.拐点模型（铅笔头、猪蹄、锯齿）：过拐点作平行线，转化为内错角/同旁内角求解. 题型一 判断命题真假 1．（25-26七年级下·重庆开州·期中）下列四个命题中，是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离 C．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列命题是真命题的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 3．（25-26七年级下·青海西宁·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 4．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）下列命题是假命题的是（   ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等 ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ③相等的角是对顶角 ④互补的角是邻补角 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 题型二 同位角、内错角、同旁内角的识别 5．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）下列图中，与是同位角的是（   ） A．B．C． D． 7．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是邻补角 8．（25-26七年级下·江西上饶·期中）下列各图中，与不是同旁内角的是（    ） A． B． C． D． 题型三 探究角的数量关系 9．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏南京·二模）如图，若，，则和的关系是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，，则、、、数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型四 根据平行线的判断与性质求角度 13．（2026·四川广元·三模）如图，在中，已知，，，则的度数是（     ） A．135° B．125° C．115° D．75° 14．（2026·山东临沂·二模）如图1是某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一条腿直立于地面，另一条腿的小腿刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点B，，于点A．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．若，那么（     ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）完成下面的推理和计算． 如图，和相交于点，，，求的度数（写出重要依据）． 16．（25-26七年级下·山西太原·期中）如图，已知，，，求的度数． 解：（已知） （两直线平行，同位角相等） 又（已知） ________ （____________________） ________（____________） （已知） ________． 题型五 根据平行线的判断与性质证明 17．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，已知，求证：． 18．（25-26七年级下·重庆永川·期中）如图，已知，，可证．理由如下： ∵（               ） 且（　　　　　   　） ∴ （              ） ∴ （　　　　      　　） ∴　　　　　　 （                ） 又∵ ∴ （                ） ∴ （                     ） 19．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，已知，，，则．请说明理由（补全解答过程）． 证明：因为（已知）， 所以（________）． 所以________（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知），所以（等量代换）． 所以________（同位角相等，两直线平行）． 所以（________）． 又因为（已知）， 所以．所以（________）． 20．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，在三角形中，点、点分别是边上的点，点、点是边上的点，连接和，若． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若是的角平分线，，求的度数； 题型六 平行线的应用 21．（2026·广东梅州·一模）如图是一个物理实验的截面示意图，其中与表示互相平行的板面，绳子的一端与木杆的一端相连，另一端点固定在上．若，则（   ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相反，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 23．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）武汉市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是共享单车示意图，．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若， ，则的度数是(     ) A． B． C． D． 题型七 图形的平移 25．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）2026年，教育部深入实施学生体质强健计划，着力提升学生体质健康水平．下列各组由体育运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（     ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级下·云南昭通·期中）在下列四个图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26七年级下·山西吕梁·期中）科技是第一生产力，下列是各科技公司的图标，其中不能用“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（   ） A． B． C． D． 题型八 利用平移的性质求解 29．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，将沿射线平移至（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F）处，使得点E为的中点，连接．若，则的长为（     ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 30．（25-26七年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，，，将沿方向向右平移得到，交于，已知，，则阴影部分的面积为_______． 31．（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，将周长为的沿方向向右平移个单位得到，则四边形的周长为________________． 32．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，，，将沿方向平移得到，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为_______． 题型九 利用平移解决实际问题 33．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，某小区计划在一块长方形的空地上铺设草皮，其中阴影部分为预留的宽度相等的走道，则需要铺设草皮的面积为______平方米． 34．（25-26七年级下·云南昆明·期中）如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某宾馆准备在大厅的楼梯上铺上红色地毯，已知这种地毯每平方米售价40元，楼梯道宽2米．楼梯侧面如图所示，则购买地毯需要________元． 36．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图是某公园里一处矩形草地，长，宽，为方便游人行走，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为，那么这块草地青草覆盖的面积（图中阴影部分）还有（    ） A． B． C． D． 题型十 平移作图 37．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，三角形摆放的位置如图所示，现将三角形平移，使点对应点，点对应点，点对应点． (1)画出平移后的三角形； (2)直接写出三角形的面积________． 38．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是点、． (1)作出平移后的； (2)连接、，线段、的数量关系是　 ； (3)画格点，使得直线． 39．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．在图中画出三角形，并求三角形的面积． (3)过B画y轴的平行线交线段于点D，直接写出点D的坐标_____________ 40．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）． (1)在图中画出三角形； (2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是______； (3)在平移过程中，求线段扫过的图形的面积． 题型十一 平行线的综合应用 41．（25-26七年级下·山东济南·期中）【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： (1)如图1，若，写出与的数量关系：______； 【深入探究】： (2)如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系． 42．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知：，，E，G是上的点，F，H是上的点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，点M在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点E逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点E顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为t．当时，求的度数； (3)如图③，作，的角平分线交于点N，交于点P，作的角平分线交于点Q，当，求的值． 43．（25-26七年级下·贵州黔南·期中）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒，在旋转过程中，若边，求的值； 44．（25-26七年级下·陕西延安·期中）已知直线，直线分别交于点． 【问题提出】 (1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______； 【问题迁移】 (2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 相交线与平行线 1、 相交 （一）邻补角与对顶角 1.邻补角 · 定义：两条直线相交，有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角. · 性质：邻补角互补（和为180°）. 2.对顶角 · 定义：有公共顶点，两边分别互为反向延长线的两个角. · 性质：对顶角相等（核心性质，证明常用）. · 模型：两直线相交→2对对顶角、4对邻补角. （二）垂线（相交的特殊情况） 1.定义：两条直线相交成直角（90°），互相垂直；一条叫另一条的垂线，交点叫垂足. 2.垂线性质 · 性质 1：过一点（直线上/外），有且只有一条直线与已知直线垂直（唯一性）; · 性质 2：垂线段最短（连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短）. 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段本身）. （三）三线八角（两条直线被第三条直线所截） · 同位角：截线同旁、被截两直线同侧（F型）. · 内错角：截线两侧、被截两直线之间（Z型）. · 同旁内角：截线同旁、被截两直线之间（U型）. 关键：先找截线（公共边），再判断角的位置. 二、平行线及其判定 （一）平行线定义与基本事实 1.平行线：同一平面内，不相交的两条直线，记作：a∥b; 前提：同一平面内（空间中存在异面直线）. 2.平行公理（基本事实）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（唯一性）. 3.平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行传递性：若a∥b，b∥c，则a∥c）. （二）平行线的判定（由角的关系→线平行） · 同位角相等，两直线平行; · 内错角相等，两直线平行; · 同旁内角互补，两直线平行. · 推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 三、平行线的性质 （一）核心性质（由线平行→角的关系） · 两直线平行，同位角相等; · 两直线平行，内错角相等; · 两直线平行，同旁内角互补. 判定与性质互逆：判定是“角→线”，性质是“线→角”，不可混用. （二）命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，由题设（条件）+结论组成；可写成“如果… 那么…”形式. · 真命题：题设成立，结论一定成立； · 假命题：题设成立，结论不一定成立（举反例可证假）. 2.定理：经过推理证实的真命题（可作为推理依据）. 3.证明：从已知出发，依据定义、公理、定理，一步步推导出结论的过程. （三）平行线间的距离 · 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度；处处相等. 四、平移 1.定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动一定距离，得到新图形，这种移动叫平移（平移不改变图形形状、大小，只改变位置）. 2.平移性质 · 平移后，新图形与原图形形状、大小完全相同（全等）; · 对应点所连线段平行（或共线）且相等; · 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等. 3.平移作图步骤 · 确定平移方向、距离； · 找出图形关键点； · 按方向、距离平移各关键点； · 顺次连接对应点，得到平移后图形. 1.对顶角/邻补角：必须是两条直线相交形成，有公共顶点；邻补角既要相邻又要互补; 2.点到直线的距离：是垂线段长度，不是垂线段本身; 3.平行公理：必须是直线外一点（直线上一点无平行线）; 4.判定/性质混淆：角相等/互补→平行（判定）；平行→角相等/互补（性质）; 5.线段关系：包含位置关系和数量关系. 1.角度计算：利用对顶角相等、邻补角互补、垂线90°、平行线性质综合计算; 2.平行证明：找三线八角，用判定定理；或用平行传递、垂直于同一直线; 3.拐点模型（铅笔头、猪蹄、锯齿）：过拐点作平行线，转化为内错角/同旁内角求解. 题型一 判断命题真假 1．（25-26七年级下·重庆开州·期中）下列四个命题中，是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离 C．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【答案】C 【分析】本题考查真假命题的判断，牢记初中几何相关定义与定理即可解题，根据相关概念逐项判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，因此A是假命题，不符合要求； B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度才叫作点到直线的距离，原命题描述错误，因此B是假命题，不符合要求； C、平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，因此C是真命题，符合要求； D、只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，原命题缺少前提条件，因此D是假命题，不符合要求． 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列命题是真命题的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】利用平行线的性质和平行公理以及垂线的性质和定义等，逐项进行判断． 【详解】解：选项A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂直的基本性质，是真命题； 选项B：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，这两个角相等或互补，原命题错误，是假命题； 选项C：只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，原命题未说明两条直线平行，错误，是假命题； 选项D：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，则不存在符合要求的直线，原命题错误，是假命题． 3．（25-26七年级下·青海西宁·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【详解】解：对于选项A：对顶角相等，是真命题，不符合题意； 对于选项B：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，不符合题意； 对于选项C：只有平行的两条直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，原命题缺少“两直线平行”的条件，是假命题，符合题意； 对于选项D：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题，不符合题意． 4．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）下列命题是假命题的是（   ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等 ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ③相等的角是对顶角 ④互补的角是邻补角 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据错误的命题是假命题，平行线的性质与判定，对顶角，邻补角的定义，逐一判断各命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，命题未说明两直线平行，①是假命题； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线形成的同位角均为，根据平行线的判定定理可得两条直线互相平行， ②是真命题； 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，任意两个度数相等的角都不一定是对顶角， ③是假命题； 互补的角仅满足度数和为，邻补角还需要满足有公共顶点和公共边的位置要求， 因此互补的角不一定是邻补角， ④是假命题； 综上，假命题为①③④． 题型二 同位角、内错角、同旁内角的识别 5．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角． 【详解】解：根据内错角的定义可知的内错角是． 6．（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）下列图中，与是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，叫做同位角，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A． 与在截线的同旁，且在被截两直线之间，是同旁内角，故本选项不符合题意； B． 与在截线的同旁，且都在被截直线的同侧，是同位角，故本选项符合题意； C．与在截线的两侧，不是同位角，故本选项不符合题意； D．与的两条边所在的直线没有公共截线，不构成同位角，故本选项不符合题意． 7．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是邻补角 【答案】B 【详解】解：A. 与是内错角，而与不是内错角，本选项错误，不符合题意； B. 与是同旁内角，本选项正确，符合题意； C. 与不是同位角，本选项错误，不符合题意； D. 与不是邻补角，本选项错误，不符合题意． 8．（25-26七年级下·江西上饶·期中）下列各图中，与不是同旁内角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：与不是同旁内角的是 题型三 探究角的数量关系 9．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作，由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（2026·江苏南京·二模）如图，若，，则和的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ，， ，即， ， 故选：A． 11．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，，则、、、数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的顶点为，分别过作，，根据平行线的性质可得，，，进而得出，即可求解． 【详解】如图，设的顶点为，分别过作， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 12．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点分别向左作，根据两直线平行同旁内角互补求解即可． 【详解】解：过点分别向左作， ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴ 题型四 根据平行线的判断与性质求角度 13．（2026·四川广元·三模）如图，在中，已知，，，则的度数是（     ） A．135° B．125° C．115° D．75° 【答案】B 【分析】由内错角相等，两直线平行可得，即，再利用等量代换可得，易证，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图：设的延长线交于H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·山东临沂·二模）如图1是某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一条腿直立于地面，另一条腿的小腿刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点B，，于点A．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．若，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）完成下面的推理和计算． 如图，和相交于点，，，求的度数（写出重要依据）． 【答案】 依据：（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， ， （邻补角的定义）． 【分析】根据证明，得出，再根据邻补角的性质即可求解． 【详解】略 16．（25-26七年级下·山西太原·期中）如图，已知，，，求的度数． 解：（已知） （两直线平行，同位角相等） 又（已知） ________ （____________________） ________（____________） （已知） ________． 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】由与平行，利用两直线平行同位角相等得到，再由，利用等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，利用两直线平行同旁内角互补即可求出度数． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）． 题型五 根据平行线的判断与性质证明 17．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，已知，求证：． 【答案】见详解 【分析】先结合内错角相等，两直线平行得，再根据平行线的性质以及，得出，根据内错角相等，两直线平行得，即可得出． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26七年级下·重庆永川·期中）如图，已知，，可证．理由如下： ∵（               ） 且（　　　　　   　） ∴ （              ） ∴ （　　　　      　　） ∴　　　　　　 （                ） 又∵ ∴ （                ） ∴ （                     ） 【答案】已知；对顶角相等；；等量代换；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【分析】根据平行线的判定和性质补全理由即可． 【详解】解：∵（已知），   且（对顶角相等），   ∴（等量代换），   ∴（同位角相等，两直线平行），   ∴（两直线平行，同位角相等），   又∵（已知），   ∴（等量代换），   ∴（内错角相等，两直线平行）． 19．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，已知，，，则．请说明理由（补全解答过程）． 证明：因为（已知）， 所以（________）． 所以________（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知），所以（等量代换）． 所以________（同位角相等，两直线平行）． 所以（________）． 又因为（已知）， 所以．所以（________）． 【答案】同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义 【分析】根据平行线的判定与性质、垂直的定义，进行分析求证即可． 【详解】证明：因为（已知）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知），所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 又因为（已知）， 所以．所以（垂直的定义）． 20．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，在三角形中，点、点分别是边上的点，点、点是边上的点，连接和，若． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若是的角平分线，，求的度数； 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质得出，等量代换可得出，进而可得出． （2）先求出，在根据角平分线的定义得出，然后利用平行线的性质得出． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ． （2）解：， ， 是的角平分线， ， ， ． 题型六 平行线的应用 21．（2026·广东梅州·一模）如图是一个物理实验的截面示意图，其中与表示互相平行的板面，绳子的一端与木杆的一端相连，另一端点固定在上．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点N作，得出，求出，即可得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点N作， ， ， ，， ∴， ∴，， ． 22．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相反，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】C 【分析】本题考查平行线的实际应用，两次拐弯后行驶方向与原方向相反，说明最终路线与原路线平行且方向相反，结合角度关系分析即可得到答案． 【详解】解：∵两次拐弯后行驶方向与原来方向相反，∴最终行驶路线与原路线平行，且方向相反． 选项A，第一次向左拐，第二次向右拐，最终方向与原方向相同，不符合题意； 选项B，第一次向右拐，第二次向左拐，最终方向与原方向不平行，不符合题意； 选项C，第一次向左拐，第二次向左拐，总拐弯角度和为，最终方向与原方向相反，符合题意； 选项D，第一次向左拐，第二次向右拐，最终方向与原方向不相反，不符合题意． 故选C． 23．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）武汉市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是共享单车示意图，．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， （两直线平行，内错角相等）． ， ． 24．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若， ，则的度数是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和得到同旁内角互补，过点作得出，结合 得出，即可求解． 【详解】解：， ，即 ， ， ， ，， ， 如图，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ， ． 题型七 图形的平移 25．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）2026年，教育部深入实施学生体质强健计划，着力提升学生体质健康水平．下列各组由体育运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平移不改变图形的形状、大小和方向，根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、B、D中的图案不能通过平移得到，故不符合题意； C、图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到，故此选项符合题意． 26．（25-26七年级下·云南昭通·期中）在下列四个图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离组成的图形就是经过平移得到的图形． 【详解】解：A、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意； B、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意； C、是由“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意； D、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意； 27．（25-26七年级下·山西吕梁·期中）科技是第一生产力，下列是各科技公司的图标，其中不能用“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：A、图标是四个相同的图形组成，可以由其中一个平移得到，不合题意； B、图标是四个相同的图形组成，可以由其中一个平移得到，不合题意； C、图标是四个相同的图形组成，可以由其中一个平移得到，不合题意； D、图标是一大一小两个缩放的图形组成，不能用“基本图形”平移得到，符合题意． 28．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质：平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，平移不改变图形的形状和大小，结合各选项图形特征进行判断即可． 【详解】A．该图形属于旋转对称图形，是由基本图形绕中心旋转得到的，故本选项不符合题意； B．该图形中的三个小图形的形状大小相同、方向一致，可以看作是由一个基本图形通过平移得到的，故本选项符合题意； C．该图形属于轴对称图形，是沿对称轴折叠重合，故本选项不符合题意； D．该图形主要由扇形和线条组成，不具备通过平移一个基本图形得到整体的特征，故本选项不符合题意． 题型八 利用平移的性质求解 29．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，将沿射线平移至（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F）处，使得点E为的中点，连接．若，则的长为（     ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】B 【详解】解：由平移的性质可得：，， ∵点为的中点， ∴， ∴． 30．（25-26七年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，，，将沿方向向右平移得到，交于，已知，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】14 【分析】由平移得，于是阴影部分面积等于梯形的面积，求得梯形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵沿着点A到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 31．（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，将周长为的沿方向向右平移个单位得到，则四边形的周长为________________． 【答案】 【分析】将四边形的周长分为、、、、，结合的周长和平移的性质进行计算即可． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵沿方向向右平移个单位得到， ∴，， ∴， ∴四边形的周长为． 32．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，，，将沿方向平移得到，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为_______． 【答案】 【分析】由平移性质得，，，则有，从而求出阴影部分的周长． 【详解】解：由平移性质得，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为． 题型九 利用平移解决实际问题 33．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，某小区计划在一块长方形的空地上铺设草皮，其中阴影部分为预留的宽度相等的走道，则需要铺设草皮的面积为______平方米． 【答案】171 【分析】利用平移的性质，将分散的草皮区域通过平移拼凑成一个完整的长方形，确定新长方形的长和宽，利用长方形面积公式求解． 【详解】解：利用平移的性质，将图中的阴影部分走道分别向右和向下平移至长方形的边缘，则剩余铺设草皮的部分可拼成一个新的长方形． 该新长方形的长为米，宽为米. 根据长方形的面积公式，得： ． 34．（25-26七年级下·云南昆明·期中）如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移性质得到绿化区的总长是，根据长方形的面积公式计算即得． 【详解】解：绿化区的面积是：． 35．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某宾馆准备在大厅的楼梯上铺上红色地毯，已知这种地毯每平方米售价40元，楼梯道宽2米．楼梯侧面如图所示，则购买地毯需要________元． 【答案】640 【详解】解：由平移的性质得，地毯的长度为（米）， ∴地毯的面积为（平方米）， ∴（元） ∴购买地毯需要640元． 36．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图是某公园里一处矩形草地，长，宽，为方便游人行走，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为，那么这块草地青草覆盖的面积（图中阴影部分）还有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平移的性质，得出阴影部分为长为，宽为的长方形，然后根据长方形面积公式进行计算即可． 【详解】解：根据平移得出图中阴影部分可以看作一个长为，宽为， ∴图中阴影部分的面积为： ． 题型十 平移作图 37．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，三角形摆放的位置如图所示，现将三角形平移，使点对应点，点对应点，点对应点． (1)画出平移后的三角形； (2)直接写出三角形的面积________． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）点A的对应点为点D，先向左移2格，再向上移1格，同理可得点E，F，连接即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）如（1）图，． 38．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是点、． (1)作出平移后的； (2)连接、，线段、的数量关系是　 ； (3)画格点，使得直线． 【答案】(1)如图，即为所求． (2) 相等 (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）结合平移的性质可得答案． （3）结合平行线的判定利用网格作图即可． 【详解】（1）略 （2）由平移得，线段、的数量关系是相等． （3）略 39．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．在图中画出三角形，并求三角形的面积． (3)过B画y轴的平行线交线段于点D，直接写出点D的坐标_____________ 【答案】(1)，， (2)作图见详解，三角形的面积为7 (3)作图见详解， 【分析】（1）根据题中的图形利用平面直角坐标系特征分别找出对应的点A，B，C的坐标即可； （2）根据题中平移的方式找出平移后点A、B、C的对应点，，，并依次连接即可画出，利用割补法求出的面积即可； （3）先作出对应的图形，利用平行线的性质结合图形求出点D的横坐标，再观察点A，C的坐标，找出对应规律后，从而求得点D的纵坐标，进而得出点D的坐标． 【详解】（1）解：根据图象可知， ，，． （2）解：如图所示，即为所求： ∴． （3）解：如图所示，点D为所求： ∵轴，， ∴， ∵点D为线段的交点，，， 从点A到点C，横坐标增加了，纵坐标减少了， ∴横坐标每增加1，则纵坐标减少， ∵，点D的横坐标比点A的横坐标增加了1， 由横坐标每增加1，则纵坐标减少可知， ∵， ∴， ∴． 40．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）． (1)在图中画出三角形； (2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是______； (3)在平移过程中，求线段扫过的图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)18 【分析】（1）根据平移的规律先确定，，，进而作出即可； （2）根据垂线段最短求解即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据点到直线的距离中，垂线段最短，可得当轴时，线段长度最小， ∴点P的坐标是； （3）解：在平移过程中，线段扫过的图形的面积为． 题型十一 平行线的综合应用 41．（25-26七年级下·山东济南·期中）【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： (1)如图1，若，写出与的数量关系：______； 【深入探究】： (2)如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系． 【答案】(1) (2)与之间的数量关系为，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点F作平行于的直线，利用平行线的内错角相等，将和转化为同一个角的两部分． （2）利用推出，再利用平行线的性质即可求证． （3）过点M作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】（1）解：过点F作， ， ， ，， ． （2）解：设， 与是对顶角， ， ， ， ， 又， ， ， ． （3）∵， ∴设， 过点M作， ， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 42．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知：，，E，G是上的点，F，H是上的点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，点M在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点E逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点E顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为t．当时，求的度数； (3)如图③，作，的角平分线交于点N，交于点P，作的角平分线交于点Q，当，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）由题意得：，当时，运动停止．由得，然后分两种情况，根据角的和差列方程求解即可； （3）由题意设，则，根据角平分线和平行线的性质得到，则，则，过点作，则，由平行线的传递性可得，则，则，即可求解比值． 【详解】（1）证明：如图①， ， ， ， ， ； （2）解：由题意得：，当时，运动停止． 由得， ①当时，， 解得， ， ， ②当时，， 解得， ， ， 综上所述，的度数为或； （3）解：， 设，则， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， 过点作， ， ， ， ， ， ， ． 43．（25-26七年级下·贵州黔南·期中）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒，在旋转过程中，若边，求的值； 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】（1）根据平角的定义，求出，由角平分线求出，平行求出，再利用角的和差关系即可得解； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图①中，， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）如图2中，Ⅰ，当时，， ， ， ， ， ； Ⅱ如图3，当时，延长至点，则， ， ， ， ， 综上所述，在旋转过程中，若，的值为或． 44．（25-26七年级下·陕西延安·期中）已知直线，直线分别交于点． 【问题提出】 (1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______； 【问题迁移】 (2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出，可得，可证明，从而可证明； （2）求出，由可得，由平分平分，求出，再根据三角形外角的性质可得结论； （3）分类讨论，过拐点作平行线：过R作，过Q作，然后设参，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （3）解：设， 过R作，过Q作， 则，， 第一种情况：如图，当点Q在线段上时， 则，， 则， ∴，， ∴， ∴， ∴； 第二种情况：如图，当点Q在点E上方时， 此时， 则， ∴， ∵， ∴； 第三种情况：如图，当点Q在点F下方时， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $