期末考试必考题型（三）——相交线与平行线+平面直角坐标系综合压轴（3大考点6大题型）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

期末考试必考题型（三）——相交线与平行线+平面直角坐标系综合压轴（3大考点6类题型） 目录 一.必考点知识梳理 1 【考点一】相交线与平行线 1 【考点二】平面直角坐标系 1 【考点三】两大模块综合压轴核心命题点 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】平行线“折线模型”与坐标系基础结合 2 【题型 2】平移性质与坐标系综合证明题 10 【题型 3】坐标系中的平行线判定与含参数问题 16 【题型 4】坐标系中的动态点与平行线综合 20 【题型 5】平行线模型与坐标系面积探究题 31 【题型 6】坐标系中的平行线与分类讨论问题 42 一.必考点知识梳理 【考点一】相交线与平行线 基础性质：对顶角、邻补角的性质；垂线性质：垂线段最短、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 平行线的判定与性质：同位角、内错角、同旁内角的识别；平行线的判定定理的综合应用； 平行线的拓展模型：“铅笔头” 模型、“猪蹄” 模型、“折线角” 模型，利用辅助线构造平行线解决多拐点角度问题。 平移的性质：平移前后图形的形状、大小不变，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等；平移的坐标变化规律。 【考点二】平面直角坐标系 坐标基础：各象限及坐标轴上点的坐标特征；对称点的坐标规律，点到坐标轴的距离计算； 坐标与平移：点的平移与坐标变化的关系；图形的平移与坐标变化的关系； 坐标与几何：利用坐标求线段长度、图形面积；根据坐标判定线段平行或垂直关系； 含参数的坐标问题：根据点的位置、图形面积、平或垂直关系，求参数的值或取值范围。 【考点三】两大模块综合压轴核心命题点 平行线模型与坐标系结合：在坐标系中设置多拐点折线，利用平行线性质求角度，或利用坐标构造平行线解决角度问题； 平移与坐标系综合：图形平移前后的坐标变化、对应线段的平行关系、图形面积的不变性； 坐标与平行线的判定：通过点的坐标计算，判定直线平行或垂直，进而解决角度问题； 坐标系中的动态几何：点的运动、图形的平移 / 旋转，结合平行线性质、角度关系探究动点坐标、图形面积变化规律。 二.必考题型精析 【题型 1】平行线“折线模型”与坐标系基础结合 考法说明：利用 “铅笔头”“猪蹄” 模型，结合平行线的判定与性质，求解角度。 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点分别向左作，根据两直线平行同旁内角互补求解即可． 解：过点分别向左作， ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴ 2．（2026·河北石家庄·一模）滑雪运动近年来备受青睐，成为大众喜爱的冬季休闲方式．图1为滑雪运动中的精彩瞬间，抽象为如图2所示的图形、已知滑雪杖和滑雪板平行，根据图中所示数据，可得的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作，得到，推导出，得到，则，即可解答． 解：过点C作，如图 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）已知． （1）如图1，判断，，之间的数量关系为______． （2）如图2，设，，．请直接写出的大小______（用含、、的式子表示）． 【答案】 【分析】（1）过拐点作平行线，利用内错角相等，将大角拆成两个分别等于和的小角，得到数量关系； （2）过两个拐点分别作平行线，利用平行线的同旁内角互补和内错角相等，将目标角拆分为两部分，再用含，，的式子表示． 解：（1）解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作，过点作， ，，， ， ，，， ，，， ，， ， ． 4．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知：，点C在点D的右侧，B是AG上一动点，连接平分，DE平分，所在直线交于点E，，．则的度数是______． 【答案】/47度 【分析】根据角平分线的定义求出和的度数，过点作，利用平行公理推论得到，再根据两直线平行内错角相等，将转化为与的和即可求解． 解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， 过点作（在点左侧），如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，已知，且，点在的延长线上，且平分． （1）求证：； （2）写出之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析；（3） 【分析】（1）根据题意得到，得出，即可得到结论； （2）过点作，得到，根据平行线的性质即可得到结论； （3）先求出，过点作，得到，，进而求出，再根据平分，得到，再求出，根据平行线的性质即可得到答案． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，过点作， ∴， ∴，， ∴，即； （3）解：∵，， ∴， 如图，过点作， 由（2）知，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·山东威海·期中）综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． （1）观察发现如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． （2）探究迁移：（Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． （3）如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）（Ⅰ），理由见分析；（Ⅱ）；（3） 【分析】（1）过点作直线，由平行线的性质容易得到； （2）（Ⅰ）过点作直线，利用平行线的性质可得，，由可得； （Ⅱ）由（1）可得，则，结合角平分线的性质可得，由（1）可得； （3）过点作直线，由平行线的性质可得，．设，则，，由角平分线的性质可得，，结合（2）的模型可知，将条件代入并化简即可得到结果． 解：（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（Ⅰ），理由如下： 如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）如图， 由（1）可得，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 化简，得． 【题型 2】平移性质与坐标系综合证明题 考法说明：考查图形平移前后的坐标变化、对应线段的平行关系，结合平行线的判定与性质进行多步推理，是期末解答题高频考法。 1．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图所示，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，则图中阴影部分的面积为（    ） A．64 B．48 C．54 D．50 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质得到对应线段相等，及阴影部分面积梯形的面积，利用梯形面积公式计算即可． 解：沿方向平移得到， ，， 阴影部分面积梯形的面积， ， ， 阴影部分面积． 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移得到线段，使点平移到点处，若，两点都在坐标轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了平移的性质，利用平移性质求解是解题关键．平移线段后，点，两点都在坐标轴上，根据平移性质，平移向量相同，分在轴或轴两种情况讨论，求出对应的点坐标． 解：当在轴上时， 设点坐标为， 点，使点的对应点为点， 点向右平移个单位，再向下平移个单位得到点， ， 此时点坐标为，即， 在轴上， 则， 解得， 此时，； 当在轴上时， 设点坐标为， 点，使点的对应点为点， 点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ， 此时点坐标为，即， 在轴上， 则， 解得：， 此时为，为， 综上，点坐标为或， 故选：D． 3．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移若干个单位得到线段，点的对应点为，点B在x轴上，线段所在的直线与y轴交于点P，连接，，则线段平移了________个单位，的面积为________． 【答案】 4 8 【分析】本题考查点的平移的坐标变化，平移的性质，平行线间三角形等积变换，掌握平移的性质是解题的关键． 由点A与点的坐标可得线段平移了4个单位长度．连接，由平移的性质得到，．过点作轴于点N，则，进而得到． 解：∵，， ∴线段平移了4个单位长度． 连接， ∵平移4个单位长度得到， ∴，． 过点作轴于点N，则， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4；8． 4．（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，的边在轴的正半轴上，点的坐标为，把沿轴向右平移个单位长度，得到，连接，，若的面积为，则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，三角形的面积等知识，解题的关键是求出点的纵坐标．设，利用三角形面积公式求出的值，再求出，可得结论． 解：设， ， ， 由平移的性质可知，， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）三角形和三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：_____，_____． （2）三角形是由三角形经过怎样的平移得到？ （3）若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是_____． 【答案】（1），；；（2）先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到；（3） 【分析】本题主要考查坐标与图形的特点，掌握平面直角坐标系的特点，图形平移的性质是关键． （1）根据坐标与图形的特点即可求解； （2）根据图形平移的特点即可求解； （3）结合（2），根据平移规律得到点的坐标． 解：（1）解：由图可得：，； （2）根据图可知：先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到； （3）∵先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到， 则先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， ∴内部的对应点的坐标是． 6．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． （1）依题意在图1中补全图形，并证明：； （2）过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】（1）见分析；（2）或 【分析】本题考查了平行线的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可，根据平移的性质可知，，过点作，则，由平行线的性质可得，，由此即可得证； （2）分两种情况：当在的外部时；当在的内部时；分别求解即可． 解：（1）解：补全图形如图所示： 证明：根据平移的性质可知，，             如图，过点作， 则， ，， ， ； （2）解：如图，当在的外部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在的内部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 【题型 3】坐标系中的平行线判定与含参数问题 考法说明：以平面直角坐标系为背景，通过点的坐标构造平行或垂直关系，结合平行线的判定定理求解参数，是期末压轴题的高频难点。 1．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）已知点，将线段平移至，点和点的对应点分别为点和点，若点，，则的值（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据平移前后对应点的坐标平移量相同，据此计算出和的值，再计算即可． 解：∵线段平移得到，的对应点为， ∴横坐标的平移量为，纵坐标的平移量为， ∵的对应点为， ∴，， 解得，， ∴． 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，其中点的对应点为点．若，，则的值为（   ）． A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中平移的性质，平移后所有点的横纵坐标变化量相同，根据平移规律得到和的表达式，即可计算的值． 解：∵线段平移得到线段，平移过程中所有点的横纵坐标变化量相同， 由的对应点为，可得横坐标变化量为：， 由的对应点为，可得纵坐标变化量为：， ∴对点横坐标，有，得， 对点纵坐标，有，得， ∴． 3．（25-26七年级下·天津·期中）（1）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为______． （2）在平面直角坐标系中，点，若轴，则线段的最小值为______． 【答案】 4 【分析】（1）根据点到坐标轴的距离定义得到横纵坐标的绝对值，结合第四象限内点的坐标符号特征，即可得到点的坐标； （2）根据平行于轴的直线上点的横坐标相等，得到点的横坐标，再根据垂线段最短确定的最短长度． 解：（1）设点的坐标为， 因为点到轴的距离为，到轴的距离为，可得，， 因为点在第四象限，第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负， 因此，，即点的坐标为； （2）因为轴，平行于轴的直线上所有点的横坐标相等， 已知， 可得点的横坐标，即点在直线上， 根据垂线段最短可知，当直线时，最短， 此时点的纵坐标与点的纵坐标相等，即， 此时， 因此的最小值为． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）点在平面直角坐标系的轴上，轴，且，点坐标为______． 【答案】或 【分析】先根据点在y轴上，得出，求出，得出点P的坐标为，然后根据轴，求出点Q的坐标即可． 解：∵点在y轴上， ∴， 解得：， ∴， 即点P的坐标为， ∵轴， ∴点Q的纵坐标等于点P的纵坐标，即为5， 设点Q的横坐标为x， ∵， ∴， 解得或， ∴点Q的坐标为或． 5．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知点，解答下列各题： （1）若，且轴，则点P的坐标为_______． （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用平行于轴的点横坐标相等列方程求出，再得到点坐标； （2）先根据第二象限点的特征确定横纵坐标符号，结合距离相等求出，再代入代数式计算即可． 解：（1）解：∵轴，， ∴ 解得 将代入纵坐标得 ∴点的坐标为 （2）解：∵点到轴、轴的距离相等 ∴ ∵点在第二象限 ∴， ∴ 解得 将代入得 6．（25-26七年级下·河南漯河·期中）已知平面直角坐标系中有一点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）点，且轴时，求点的坐标； （3）若点到轴的距离为时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征进行计算即可； （2）根据平行于轴的直线上点的坐标特征进行计算即可； （3）根据题意，得出关于的方程，据此进行计算即可． 解：（1）解：∵点在轴上， ∴，解得， 则， ∴点的坐标为． （2）解：∵点且轴， ∴，解得， 则， ∴点的坐标为． （3）解：∵点到轴的距离为， ∴， ∴或， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【题型 4】坐标系中的动态点与平行线综合 考法说明：设置坐标系中的动点，结合平行线的性质、角度关系探究动点的坐标、运动时间或图形面积变化，考查数形结合与分类讨论思想。 1．（24-25七年级下·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线l上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意画出示意图及熟知垂线段最短是解题的关键．根据题意画出示意图，结合所画图形即可解决问题． 解：如图所示， 过点B作直线l的垂线，垂足为M， 根据垂线段最短可知， 当点C在点M处时，线段长度最小， 此时点C的坐标为． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点，点平分交于点，且． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由； （2）如图2，点是射线上一动点（不与点重合），连结平分交于点，过点作，设． ①当点在点的右侧时，若，求的度数； ②当点在运动过程中，求和满足的数量关系． 【答案】（1），理由见分析；（2）①，② 【分析】本题考查由平行线判定与性质综合，涉及角平分线定义、邻补角等知识，数形结合，熟记平行线的判定与性质，掌握分类讨论是解决问题的关键． （1）根据角平分线的性质及等量代换证明即可得证； （2）①根据邻补角定义得出，再根据角平分线的概念即可求解； ②分为当点在的右侧时及当点在的左侧时，这两种情况进行讨论即可求解． 解：（1）证明：， 理由如下： 平分交于点， ， ， ， ； （2）解：①平分交于点， ， ， ， ， 又， ， ； ②根据题意，分两种情况： 当点在点的右侧时，设， 则，， ， ， ， ， ； 当点点的左侧时，设， 则，， ， ， ， ， ； 综上所述，当点在运动过程中，和满足的数量关系为． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）综合与实践 【问题情境】 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． 【问题探索】 （1）如图①，，，则与的关系为______． （2）如图②，，，则与的关系为_______． （3）由（1）（2）你得出的结论为______； 【问题迁移】 （4）若与的两边分别平行，且比的2倍少，求与的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；（4），或， 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的几何应用，解题关键是掌握平行线的性质． （1）如图①，根据，，即可得与有的关系； （2）如图②，根据，，即可得与的关系； （3）由（1）（2）即可得出结论； （4）设为，根据以上结论和比的2倍少，列出方程即可求出与的度数． 解：（1）解：． 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） ． 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． （4）设“另一个角”的度数为， 当这两个角相等时， ∵比的2倍少， ∴，解得：， ∴这两个角的度数分别为，； 当这两个角互补时， ∵比的2倍少， ∴，解得：， ∴， ∴这两个角的度数分别为，； 故这两个角的度数分别为，或，． 4．（25-26七年级下·河南新乡·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． （1）【问题初探】如图1，，，求证：； （2）【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架交于点，顶部支架与灯杆交于点，求与，之间的关系． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可； （2）根据平行线的性质，平角的定义解答即可； （3）先过点作，过点作，再利用平行线的性质，等式的性质解答即可． 解：（1）证明：， ， ． ， ， ． （2）解：，理由如下： ， ，． ， ． （3）解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，． ，，， ，， ， ． 5．（24-25七年级下·天津河西·期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为，长方形，点，，．线段交轴于点，点是长方形边上的两个动点．点从点出发以每秒1个单位长度沿的路线做匀速运动，同时点也从点出发以每秒2个单位长度沿的路线做匀速运动．当点运动到点时，两动点均停止运动．设运动的时间为秒，三角形的面积记为，三角形的面积记为，四边形的面积记为． （1）当时，求的值； （2）当为何值时，? （3）若，求的取值范围．（直接写出答案即可） 【答案】（1）5；（2）；（3）或 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形、不规则四边形的面积，确定点，的位置是解决第问的关键；正确进行分类，考虑到所有可能的情况是解决第问的关键． （1）当时，可得点，，过点作轴于点根据三角形的面积公式分别求出，，进而得出的值； （2）根据点、运动过程中，三角形不同的形状计算面积列出方程即可解答； （3）设点运动的路程为，则点运动的路程为分五种情况进行讨论：；；；；针对每一种情况，首先确定出对应范围内点，的位置，再根据三角形的面积公式求解即可． 解：（1）解：当时，点，， 如图：过点作轴于点．    ，， ； （2）当 时，点在线段上，点在线段上， ，， 此时， ∴， 当 时，点在线段上，点在线段上， ，， 此时， ∴， 当 时，点在线段上，点在线段上， 此时， ∴，即，解得， 时，点在线段上，点在线段上，此时. 综上所述：当时，。 （3）解：设点运动的路程为，则点运动的路程为． 当 时，点在线段上，点在线段上， 此时四边形不存在，不合题意，舍去． 当时，点在线段上，点在线段上． ， ， ，解得． 此时； 当时，点在线段上，点在线段上． ， ， ，解得，不符合题意． 当时，点在线段上，点在线段上． ， ， ，解得． 此时． 当时，点是线段的中点，点与重合，两动点均停止运动． 此时四边形不存在，不合题意，舍去． 综上所述，当时，或． 6．（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，， 其中， 点A在第一象限， 且满足，． （1）请在图1的平面直角坐标系中标出点B 和点C的大致位置，并写出点A，B， C的坐标分别为 A ， B ， C ． （2）动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线的方向运动，连接，设点P的运动时间为t秒，三角形的面积为，请用含t的式子表示S （写出相应的t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，在动点P从点B出发的同时，动点Q 从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿射线的方向运动．分别过点O，Q作直线的垂线，垂足分别为点 G，H．当时，求t的值． 【答案】（1）图见分析，；（2）；（3）或 【分析】本题考查坐标与图形，两点间得距离，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）由题意，易得：轴，进而标出点B 和点C的大致位置，得到，根据，，求出的值，进而写出三个点的坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可． （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 解：（1）∵，，，点A在第一象限， ∴轴，标出点B 和点C的大致位置如图： ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∵动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线的方向运动， ∴当点运动到点时，， ∴当时，， ； 当时，， ∴； 综上： （3）①当时，则：，由（1）知：， ∴， 由（2）知：， ∵，，，轴， ∴相当于把扩大倍得到的， ∴， ∴，解得：； 当时， 同理：，解得：； 综上：或． 【题型 5】平行线模型与坐标系面积探究题 考法说明：以平面直角坐标系为背景，结合平行线模型构造图形，通过割补法、底乘高法计算图形面积，探究面积与点的坐标之间的关系，是试卷压轴解答题主流形式。 1．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． （1）填空：______，_____； （2）若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； （3）在（2）条件下，线段BM与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点P的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）或； 【分析】（1） 利用算术平方根和平方的非负性，由求出的值． （2） 点在第三象限，，以为底，为高，利用三角形面积公式表示的面积． （3）先求出的面积，再根据的面积是面积的倍列出方程，利用坐标面积公式求解点的坐标． 解：（1）解：， 又，， ，， 解得：，． （2）解：，， ， 点在第三象限， ， ． （3）解：， ， ， 设点的坐标为， ，， ， 由题意：， ， 或， 解得：或， 点的坐标为或． 2．（25-26七年级下·四川南充·期中）在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． （1）填空：点的坐标为______，点的坐标为______； （2）若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 【答案】（1），；（2）①，理由见分析；② 【分析】（1）根据长方形的性质，结合坐标系，即可求解； （2）①先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可得出结论； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合，连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则，根据①得出，则，设，则，得出，解方程，即可求解． 解：（1）解：∵已知长方形，其中点，点． ∴ ∴，； （2）①，理由如下： 如图1，过点作于， 由平移知，轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴，即：； ②如图，∵四边形是长方形， ∴当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合， 连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则， ∵ 设 ∴ 由①可得 ∴ ∴即 解得： ∴ 3．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图：点以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，问： （1）若同时点以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，何时点A、B与原点的距离相等？ （2）若点A仍从以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，同时点与点形成的线段以每秒3个单位的速度水平移动（每次移动的方向固定），何时线段水平移动所扫过的平行四边形的面积为的面积的2倍？ 【答案】（1）4秒或秒；（2）2秒 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，点的平移的坐标变化，坐标与图形，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）当运动t秒时，则，，根据列出方程，求解即可； （2）设运动t秒，点A，B，C分别运动至点，，．则，，，表示出和平行四边形的面积，进而列出方程，求解即可． 解：（1）解：当运动t秒时， 点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴当运动4秒或秒时，点A、B与原点的距离相等． （2）解：设运动t秒，点A，B，C分别运动至点，，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 解得（舍去）或． ∴当运动2秒时，线段水平移动所扫过的平行四边形的面积为的面积的2倍． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，，，其中，满足． （1）如图1，已知点，求的面积； （2）如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）40；（2）存在，或 【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性可得，，如图，作梯形，其中，，，进一步利用割补法求解面积即可； （2）由题意可得：必在和之间，由，，，轴，可得：， ，再分两种情况：如图，当在四边形内时，且在右侧，如图，当在四边形左侧时，进一步求解即可. 解：（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴，， 如图，作梯形，其中，，， ∴ . （2）解：由题意可得：必在和之间， ∵，，，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ， 如图，当在四边形内时，且在右侧， ∴，， ∴ ， ∵的面积是面积的3倍， ∴，解得； ∴， 如图，当在四边形左侧时， ∴， ， 同理：， 解得； ∴， 综上或． 5．（23-24七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，．将点A向下平移个单位，B点先向右平移4个单位，再向下平移个单位，分别得到点，． （1）若与坐标轴平行，则m与n的数量关系是 ； （2）分别过，作y轴的垂线，垂足分别为M，N，且． ①求四边形的面积； ②连接，，，线段交x轴于点C，若OC将三角形的面积分成的两部分，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）①四边形的面积；②点C的坐标为或 【分析】本题考查了坐标的平移，两点间的距离，三角形面积等知识， （1）先表示出，，根据与坐标轴平行可知，的横坐标相等或者纵坐标相等，据此作答即可； （2）①结合，表示出，，画出图形，可知四边形是梯形，则面积可求；②，，分若和若两种情况讨论，解答即可． 解：（1）根据题意可得：，， ∵与坐标轴平行，且， ∴， 即：， 故答案为：； （2）①∵， ∴， 由平移得，， ∴四边形的面积． ②，， 分两种情况： 若，则，解得：． ∴,， ∴， 解得：， ∴． 若，则，解得：， ∴，． ∴， 解得：， ∴． 综上所述：点C的坐标为或． 6．（24-25七年级下·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且 （1）请直接写出点的坐标； （2）若动点P从原点O出发，沿x轴以每秒2个长度单位的速度向右运动，在运动过程中形成的的面积是长方形面积的时，点P停止运动，求点P的运动时间； （3）在（2）的条件下，点P停止运动后，在y轴上是否存在一点Q，连接，使的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或 【分析】（1）由算术平方根的性质求出，，得出，，即可得出答案； （2）设点的运动时间为，则，由面积关系得出，得出即可； （3）由（2）得，①当点在点的上方时，由面积关系得出，求出，则，得出；②当点在点的下方时，由面积关系得出，求出，则，得出即可． 解：（1）， ，， ， ， 轴，轴， ，， ； （2）设点的运动时间为，则，如图1所示： ，， ， ， 解得：， 点的运动时间为； （3）存在；理由如下： 由（2）得：， ①当点在点的上方时，如图2所示： ， ， ， ， ； ②当点在点的下方时，如图3所示： ， ， ， ， ； 综上所述，点的坐标为：或． 【点拨】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角形面积、算术平方根的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和面积关系是解题的关键． 【题型 6】坐标系中的平行线与分类讨论问题 考法说明：结合平面直角坐标系的多象限特征，对动点位置、直线平行 / 垂直关系进行分类讨论，考查逻辑推理与几何直观能力。 1．（25-26七年级下·山东日照·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中，满足． （1）求A、B两点的坐标； （2）将平移到，点A对应点，若三角形的面积等于13，求点D的坐标； （3）如图2，若平移到，点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点不包含点A，点B，连接平分，，试探究与的数量关系． 【答案】（1）点，点；（2）；（3） 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b,得到答案； （2）如图1中，分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点M，过点C作于N．根据构建方程求解即可． （3）如图2中，延长交的延长线于M．首先证明，再利用结论，求解即可． 解：（1）解：∵ ，且 ， ∴， 解得， ∴点，点； （2）解：如图1中，分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点M，过点C作于N． ∵， ∴， 解得：， 则点C的坐标为， ∵， 由点平移到点，平移方式为向左平移2个单位，再向下平移5个单位， 根据平移规律，点D的坐标为； （3）解：如图2中，延长，交的延长线于M． ∵由平移可得， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 2．（25-26七年级下·天津和平·期中）在平面直角坐标系中，点，，，且满足，过点C作轴，D是上一动点． （1）求的面积； （2）如图1，若点C向左平移3个单位得到D点，则D点的坐标为_____，三角形与三角形的面积大小有什么关系_____（填“大于”，“小于”，“相等”或“不相等”）； （3）如图2，若，P是上的点，Q是射线上的点，射线平分，射线平分，，请你补全图形，并求的值． 【答案】（1）9；（2）；相等；（3）补全图形见分析；的值为或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、非负数的性质、平移的性质、平行线的性质、角平分线的定义及三角形面积计算； （1）利用绝对值、算术平方根的非负性求出、、的值，得到点、、的坐标，再以为底、为高，即可求出的面积； （2）根据平移的性质求出点的坐标，再结合轴，判断与等底等高，从而得出面积关系； （3）先补全图形，设，利用平行线的性质和角平分线的定义表示出相关角的度数，再结合，通过角度的和差关系求出，当点在上方时，，当点在下方时，，最后计算的值． 解：（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴． （2）解： 点向左平移个单位，横坐标减，纵坐标不变， ∴ ， 轴，点在直线上， 点C，D到的距离相等， ∴． （3）解：补全图形如下： 设，过点作轴， ∵轴， ∴，， ∴， 射线平分，射线平分， ，， ， ， 如图1所示，当射线与射线在直线同侧时， ， ∵轴， ∴， ， 如图2所示，当射线与射线在直线异侧时， ， ， 综上：的值为或． 3．（25-26七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将线段向右平移个单位长度得到线段，点为线段上一动点，连接． （1）证明：； （2）过点作直线，在直线上取点． ①当，且点恰好运动到与原点重合，点在点下方，此时三角形的面积为14，求点的坐标； ②若，探索与的数量关系． 【答案】（1）见分析；（2）①；②或 【分析】（1）过点P作，可证明，得到，再由角的和差关系可证明结论； （2）①设直线交x轴于点K，根据题意可得，，轴，则；根据，求出，据此可得答案；②分点Q在点D上方和点Q在点D下方这两种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 解：（1）证明：如图所示，过点P作， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，设直线交x轴于点K， ∵， ∴，； ∵，点P与原点重合， ∴，即轴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图3-1所示，当点Q在点D上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点Q在点D下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 4．（25-26七年级下·吉林·期中）如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． （1）________，________，与关系为________，四边形的面积为________； （2）如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则________秒； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，，；（2）；；，理由见分析． 【分析】（）由非负数的性质得出，，故，，所以，，由平移性质可知，，，然后通过面积公式即可求解； （）由点在上运动，，则的纵坐标为，根据点的横坐标与纵坐标相等，得出，求出的值即可； 当点在上运动，则点的横坐标为，由（）得，，最后列代数式即可； 当时，点在上运动，则过作，则有，然后根据平行线的性质即可求解． 解：（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 由平移性质可知，，，，，， ∴四边形的面积为 ； （2）解：∵点在上运动，， ∴点的纵坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴， 解得：； 由平移性质可知，， ∵点在上运动， ∴点的横坐标为， 由（）得，，， ∴，即点的纵坐标为， ∴点的坐标为； ，理由如下： 当时，点在上运动，则过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴． 5．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图1，点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接、． （1）请直接写出点C的坐标是_______，点D的坐标_______； （2）连接交于点E，若点G在线段上，且三角形面积为3，求G点坐标； （3）如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）的值是定值，定值为3． 【分析】（1）利用平移的性质即可解决问题． （2）利用面积法求解，可得；设，则，进一步再求解即可． （3）结论：的值是定值．分两种情形：当点N在线段上时，连接．当点N在的延长线上时，连接．分别说明即可解决问题． 解：（1）解：∵点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D， ∴，； （2）解：如图， 由题意得，，，，，， ∴， ∴， 即， 解得 ∴； 设，则， ∵三角形面积为3， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∴； （3）解：结论：的值是定值．理由：如图，当点N在线段上时，连接． 设运动时间为t秒， 由题意：，， ，， ， ， ； 如图，当点N在的延长线上时，连接． 同理可得：， ， 综上所述，的值是定值，定值为3． 6．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴的负半轴上，且． （1）写出点C的坐标（_______，_______）； （2）点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的，写出点的坐标； （3）如图把点往上平移个单位得到点，画射线，连接，点在射线上运动（不与点、重合），写出点的坐标；并探究，，之间的数量关系． 【答案】（1）；0；（2）或；（3）；或． 【分析】本题考查了坐标与图形、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，求出，即可得解； （2）先求出面积，设点，根据三角形面积公式列出方程计算即可得解； （3）分类讨论：点在点下方，点在点上方，利用平行线的性质求解即可． 解：（1）解：∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴的负半轴， ∴． （2）解：∵点B的坐标是，， ∴ ∵点在轴上， ∴设点， ∴， ∵三角形的面积是三角形面积的， ∴ 解得：． ∴点或． （3）解：点往上平移个单位得到点， ∴点， 当点在射线上（、）不重合，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 当点在的上方，设于交于， ∵ ∴， ∵ ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（三）——相交线与平行线+平面直角坐标系综合压轴（3大考点6类题型） 目录 一.必考点知识梳理 1 【考点一】相交线与平行线 1 【考点二】平面直角坐标系 1 【考点三】两大模块综合压轴核心命题点 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】平行线“折线模型”与坐标系基础结合 2 【题型 2】平移性质与坐标系综合证明题 4 【题型 3】坐标系中的平行线判定与含参数问题 6 【题型 4】坐标系中的动态点与平行线综合 7 【题型 5】平行线模型与坐标系面积探究题 9 【题型 6】坐标系中的平行线与分类讨论问题 12 一.必考点知识梳理 【考点一】相交线与平行线 基础性质：对顶角、邻补角的性质；垂线性质：垂线段最短、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 平行线的判定与性质：同位角、内错角、同旁内角的识别；平行线的判定定理的综合应用； 平行线的拓展模型：“铅笔头” 模型、“猪蹄” 模型、“折线角” 模型，利用辅助线构造平行线解决多拐点角度问题。 平移的性质：平移前后图形的形状、大小不变，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等；平移的坐标变化规律。 【考点二】平面直角坐标系 坐标基础：各象限及坐标轴上点的坐标特征；对称点的坐标规律，点到坐标轴的距离计算； 坐标与平移：点的平移与坐标变化的关系；图形的平移与坐标变化的关系； 坐标与几何：利用坐标求线段长度、图形面积；根据坐标判定线段平行或垂直关系； 含参数的坐标问题：根据点的位置、图形面积、平或垂直关系，求参数的值或取值范围。 【考点三】两大模块综合压轴核心命题点 平行线模型与坐标系结合：在坐标系中设置多拐点折线，利用平行线性质求角度，或利用坐标构造平行线解决角度问题； 平移与坐标系综合：图形平移前后的坐标变化、对应线段的平行关系、图形面积的不变性； 坐标与平行线的判定：通过点的坐标计算，判定直线平行或垂直，进而解决角度问题； 坐标系中的动态几何：点的运动、图形的平移 / 旋转，结合平行线性质、角度关系探究动点坐标、图形面积变化规律。 二.必考题型精析 【题型 1】平行线“折线模型”与坐标系基础结合 考法说明：利用 “铅笔头”“猪蹄” 模型，结合平行线的判定与性质，求解角度。 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北石家庄·一模）滑雪运动近年来备受青睐，成为大众喜爱的冬季休闲方式．图1为滑雪运动中的精彩瞬间，抽象为如图2所示的图形、已知滑雪杖和滑雪板平行，根据图中所示数据，可得的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）已知． （1）如图1，判断，，之间的数量关系为______． （2）如图2，设，，．请直接写出的大小______（用含、、的式子表示）． 4．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知：，点C在点D的右侧，B是AG上一动点，连接平分，DE平分，所在直线交于点E，，．则的度数是______． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，已知，且，点在的延长线上，且平分． （1）求证：； （2）写出之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，求的度数． 6．（25-26七年级下·山东威海·期中）综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． （1）观察发现如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． （2）探究迁移：（Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． （3）如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 【题型 2】平移性质与坐标系综合证明题 考法说明：考查图形平移前后的坐标变化、对应线段的平行关系，结合平行线的判定与性质进行多步推理，是期末解答题高频考法。 1．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图所示，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，则图中阴影部分的面积为（    ） A．64 B．48 C．54 D．50 2．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移得到线段，使点平移到点处，若，两点都在坐标轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移若干个单位得到线段，点的对应点为，点B在x轴上，线段所在的直线与y轴交于点P，连接，，则线段平移了________个单位，的面积为________． 4．（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，的边在轴的正半轴上，点的坐标为，把沿轴向右平移个单位长度，得到，连接，，若的面积为，则的面积为______． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）三角形和三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：_____，_____． （2）三角形是由三角形经过怎样的平移得到？ （3）若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是_____． 6．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． （1）依题意在图1中补全图形，并证明：； （2）过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 【题型 3】坐标系中的平行线判定与含参数问题 考法说明：以平面直角坐标系为背景，通过点的坐标构造平行或垂直关系，结合平行线的判定定理求解参数，是期末压轴题的高频难点。 1．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）已知点，将线段平移至，点和点的对应点分别为点和点，若点，，则的值（   ） A． B．2 C． D．3 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，其中点的对应点为点．若，，则的值为（   ）． A． B． C．2 D．4 3．（25-26七年级下·天津·期中）（1）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为______． （2）在平面直角坐标系中，点，若轴，则线段的最小值为______． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）点在平面直角坐标系的轴上，轴，且，点坐标为______． 5．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知点，解答下列各题： （1）若，且轴，则点P的坐标为_______． （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 6．（25-26七年级下·河南漯河·期中）已知平面直角坐标系中有一点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）点，且轴时，求点的坐标； （3）若点到轴的距离为时，求点的坐标． 【题型 4】坐标系中的动态点与平行线综合 考法说明：设置坐标系中的动点，结合平行线的性质、角度关系探究动点的坐标、运动时间或图形面积变化，考查数形结合与分类讨论思想。 1．（24-25七年级下·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线l上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标为______． 2．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点，点平分交于点，且． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由； （2）如图2，点是射线上一动点（不与点重合），连结平分交于点，过点作，设． ①当点在点的右侧时，若，求的度数； ②当点在运动过程中，求和满足的数量关系． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）综合与实践 【问题情境】 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． 【问题探索】 （1）如图①，，，则与的关系为______． （2）如图②，，，则与的关系为_______． （3）由（1）（2）你得出的结论为______； 【问题迁移】 （4）若与的两边分别平行，且比的2倍少，求与的度数． 4．（25-26七年级下·河南新乡·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． （1）【问题初探】如图1，，，求证：； （2）【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架交于点，顶部支架与灯杆交于点，求与，之间的关系． 5．（24-25七年级下·天津河西·期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为，长方形，点，，．线段交轴于点，点是长方形边上的两个动点．点从点出发以每秒1个单位长度沿的路线做匀速运动，同时点也从点出发以每秒2个单位长度沿的路线做匀速运动．当点运动到点时，两动点均停止运动．设运动的时间为秒，三角形的面积记为，三角形的面积记为，四边形的面积记为． （1）当时，求的值； （2）当为何值时，? （3）若，求的取值范围．（直接写出答案即可） 6．（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，， 其中， 点A在第一象限， 且满足，． （1）请在图1的平面直角坐标系中标出点B 和点C的大致位置，并写出点A，B， C的坐标分别为 A ， B ， C ． （2）动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线的方向运动，连接，设点P的运动时间为t秒，三角形的面积为，请用含t的式子表示S （写出相应的t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，在动点P从点B出发的同时，动点Q 从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿射线的方向运动．分别过点O，Q作直线的垂线，垂足分别为点 G，H．当时，求t的值． 【题型 5】平行线模型与坐标系面积探究题 考法说明：以平面直角坐标系为背景，结合平行线模型构造图形，通过割补法、底乘高法计算图形面积，探究面积与点的坐标之间的关系，是试卷压轴解答题主流形式。 1．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． （1）填空：______，_____； （2）若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； （3）在（2）条件下，线段BM与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点P的坐标． 2．（25-26七年级下·四川南充·期中）在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． （1）填空：点的坐标为______，点的坐标为______； （2）若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 3．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图：点以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，问： （1）若同时点以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，何时点A、B与原点的距离相等？ （2）若点A仍从以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，同时点与点形成的线段以每秒3个单位的速度水平移动（每次移动的方向固定），何时线段水平移动所扫过的平行四边形的面积为的面积的2倍？ 4．（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，，，其中，满足． （1）如图1，已知点，求的面积； （2）如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 5．（23-24七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，．将点A向下平移个单位，B点先向右平移4个单位，再向下平移个单位，分别得到点，． （1）若与坐标轴平行，则m与n的数量关系是 ； （2）分别过，作y轴的垂线，垂足分别为M，N，且． ①求四边形的面积； ②连接，，，线段交x轴于点C，若OC将三角形的面积分成的两部分，求点C的坐标． 6．（24-25七年级下·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且 （1）请直接写出点的坐标； （2）若动点P从原点O出发，沿x轴以每秒2个长度单位的速度向右运动，在运动过程中形成的的面积是长方形面积的时，点P停止运动，求点P的运动时间； （3）在（2）的条件下，点P停止运动后，在y轴上是否存在一点Q，连接，使的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型 6】坐标系中的平行线与分类讨论问题 考法说明：结合平面直角坐标系的多象限特征，对动点位置、直线平行 / 垂直关系进行分类讨论，考查逻辑推理与几何直观能力。 1．（25-26七年级下·山东日照·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中，满足． （1）求A、B两点的坐标； （2）将平移到，点A对应点，若三角形的面积等于13，求点D的坐标； （3）如图2，若平移到，点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点不包含点A，点B，连接平分，，试探究与的数量关系． 2．（25-26七年级下·天津和平·期中）在平面直角坐标系中，点，，，且满足，过点C作轴，D是上一动点． （1）求的面积； （2）如图1，若点C向左平移3个单位得到D点，则D点的坐标为_____，三角形与三角形的面积大小有什么关系_____（填“大于”，“小于”，“相等”或“不相等”）； （3）如图2，若，P是上的点，Q是射线上的点，射线平分，射线平分，，请你补全图形，并求的值． 3．（25-26七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将线段向右平移个单位长度得到线段，点为线段上一动点，连接． （1）证明：； （2）过点作直线，在直线上取点． ①当，且点恰好运动到与原点重合，点在点下方，此时三角形的面积为14，求点的坐标； ②若，探索与的数量关系． 4．（25-26七年级下·吉林·期中）如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． （1）________，________，与关系为________，四边形的面积为________； （2）如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则________秒； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 5．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图1，点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接、． （1）请直接写出点C的坐标是_______，点D的坐标_______； （2）连接交于点E，若点G在线段上，且三角形面积为3，求G点坐标； （3）如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 6．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴的负半轴上，且． （1）写出点C的坐标（_______，_______）； （2）点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的，写出点的坐标； （3）如图把点往上平移个单位得到点，画射线，连接，点在射线上运动（不与点、重合），写出点的坐标；并探究，，之间的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $