第七章　相交线与平行线　期末复习专题讲义-2024—2025学年人教版数学七年级下册

期末复习专题讲义：相交线与平行线 （考点梳理+例题讲解+培优练习） 专题预览 考点梳理 2 一、相交线 2 二、平行线及其判定 2 三、平行线的性质 3 四、命题、定理、证明 3 五、平移 3 六、核心图形：三线八角模型 3 例题讲解 4 一、对顶角及其性质 4 二、邻补角及其性质 5 三、垂线段最短及其应用 6 四、同位角、内错角与同旁内角 7 五、平行公理及推论 8 六、平行线的判定与性质 9 七、定义、命题、定理 15 八、真命题与假命题 16 九、生活中的平移现象 17 十、平移的性质 18 培优练习 19 一、选择题 19 二、填空题 23 三、解答题 26 考点梳理 一、相交线 1.邻补角： （1）定义：两条直线相交，具有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角。 （2）性质：邻补角互补（和为180°）。 2.对顶角： （1）定义：两条直线相交，一个角的两边是另一个角两边的反向延长线时，这两个角互为对顶角。 （2）性质（定理）：对顶角相等。 3.垂线： （1）定义：当两条相交直线所成的角中有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 （2）基本性质： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（存在性与唯一性） ②垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。这个距离是最短距离。 二、平行线及其判定 1.平行线： （1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。用符号“//”表示平行。 （2）平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。（存在性与唯一性） 2.平行线的判定（如何证明两条直线平行？）： （1）判定方法1（基本事实）：同位角相等，两直线平行。 关键：找出一对同位角并证明它们相等。 （2）判定方法2（定理）：内错角相等，两直线平行。 关键：找出一对内错角并证明它们相等。 （3）判定方法3（定理）：同旁内角互补，两直线平行。 关键：找出一对同旁内角并证明它们的和等于180°。 （4）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（a//b, b//c => a//c） 三、平行线的性质 1.性质1（定理）：两直线平行，同位角相等。 关键：由平行出发，推出角相等。 2.性质2（定理）：两直线平行，内错角相等。 关键：由平行出发，推出角相等。 3.性质3（定理）：两直线平行，同旁内角互补。 关键：由平行出发，推出角互补（和为180°）。 4.平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离。 （2）性质：平行线间的距离处处相等。 四、命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句。 （1）结构：由题设（已知条件）和结论（由题设推出的结论）两部分组成。形式通常是“如果……那么……”。 （2）真命题与假命题：正确的命题是真命题；错误的命题是假命题。 2.定理：经过推理证实为正确的命题叫做定理。 3.证明：根据题设、定理、公理、定义等，通过推理来判断命题正确性的过程。 五、平移 1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。 2.特点：平移是全等变换（不改变图形的形状和大小）。平移只改变图形的位置。对应点连线平行（或在同一直线上）且相等。 六、核心图形：三线八角模型 这是本章的核心模型，关系到平行线的判定和性质的应用。必须清晰理解并能识别： 1.同位角：在截线同侧，在被截两线同方的角。位置像字母“F”（正或倒）。 2.内错角：在截线两侧，在被截两线之间的角。位置像字母“Z”（正或倒）。 3.同旁内角：在截线同侧，在被截两线之间的角。位置像字母“U”（正或倒）。 例题讲解 一、对顶角及其性质 【例题1】如图所示，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【例题2】如图是一把剪刀示意图，当剪刀口增加时，（　　） A．增加 B．不变 C．减少 D．增加 【例题3】如图，直线、、相交于点，则的度数等于　 　． 二、邻补角及其性质 【例题1】下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是(　　) A． B． C． D． 【例题2】如图，直线a，b相交，，则　 　． 三、垂线段最短及其应用 【例题1】如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点作已知直线的垂线有且只有一条 D．两点之间，线段最短 【例题2】如图，这是小涛同学在体育课上某一次跳远后留下的脚印．通过测量得到如下数据：米，米，米，米，其中AC，DE分别垂直起跳线于C，E．小涛这次跳远成绩是　 　米． 四、同位角、内错角与同旁内角 【例题1】如图，直线AB，CD被CE所截，则∠EFB与∠ECD是（　　） A．对顶角 B．同旁内角 C．内错角 D．同位角 【例题2】如图所示，下列说法错误的是(　　) A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 五、平行公理及推论 【例题1】在同一个平面内的直线a，b，c，若，，则b与c的关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定 【例题2】如图，在直线外任取一点，过点画直线的平行线，可画出的平行线有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【例题3】如图，，，则点B、P、A在同一条直线的理由：　 　． 六、平行线的判定与性质 【例题1】如图，已知四条直线，下列不能判断的是（　　） A． B． C． D． 【例题2】如图，已知AB∥CD，∠CEF＝110°，则∠A的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【例题3】如图，直线，将含有角的三角形板的直角顶点C放在直线m上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【例题4】如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【例题5】如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，如果第一次拐的角是（即），那么第二次拐的角（）是　 　度． 【例题6】如图，已知，，，则的度数为　 　． 【例题7】如图，，，试判断与的大小关系，并证明你的结论 解：与相等，理由如下： （已知） ∴___________=___________（___________） （内错角相等，两直线平行） ∴___________=___________（___________） 又（已知） ___________（　　） （ ） （ ）． 【例题8】当我们想要放松身心，享受阳光和清风时，一把舒适的躺椅就成为了必不可少的伴侣，如图是某种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支果分别与交于点G，D，与靠背交于点N，于点D． （1）若于点O，与平行吗？说说你的理由． （2）若，求的度数． 七、定义、命题、定理 【例题1】下列语句中，是定义的是（　　） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 C．对顶角相等 D．同角的余角相等 【例题2】下列语句中，是命题的是（　　） ①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等． A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤ 八、真命题与假命题 【例题1】下列命题中的真命题是(　　) A．相等的角是对顶角 B．若两个角的和为，则这两个角互补 C．若，满足，则 D．同位角相等 【例题2】对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝2，b＝﹣3 D．a＝﹣3，b＝2 【例题3】命题“已知，，是直线，若，，则”是　 　.（填写“真命题”或“假命题”） 九、生活中的平移现象 【例题1】下列生活现象中，属于平移的是（　　） A．足球在草地上滚动 B．拉开抽屉 C．投影片的文字经投影转换到屏幕上 D．钟摆的摆动 【例题2】将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（　　） A． B． C． D． 十、平移的性质 【例题1】如图，将周长为8的沿方向平移1个单位得到，则四边形的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【例题2】如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为　 　． 培优练习 一、选择题 1．下列四幅汽车标志设计中能用平移得到的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短 3．如图，直线相交于点O．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．下列命题中，假命题是(　　) A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两直线平行，内错角相等 5．如图，两条直线被第三条直线所截，在所标注的角中，下列说法不正确的是（　　） A．与是同旁内角 B．与是邻补角 C．与是内错角 D．与是对顶角 6．如图，这是电子屏幕上显示的数字“9”，其中，．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．如图，以下条件不能判断的是（　　） A． B． C． D． 8．绿色出行，健康出行，你我同行，某县为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中 都与地面平行，，，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，某地进行城市规划，在一条新修的公路旁有一家超市，现要在公路上建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，应建在处，其依据是　 　． 10．如图，，若，则的度数为　 　． 11．如图，将两个三角尺的斜边重合放在同一平面内，若直角边与平行，，则　 　． 12．如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，，若进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线是互相平行的，当，则　 　°． 13．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为，求阴影部分的面积为　 　． 三、解答题 14．如图，已知，，试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由，请你将下列证明过程补充完整． 结论：． 证明：∵（已知）， _________________（_______________）， ∴__________________（两直线平行，同位角相等）． 又∵(已知)， ∴__________________（等量代换）， ∴（___________）． 15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．把三角形进行平移，得到三角形，使点与对应． （1）请在网格中画出三角形； （2）将三角形向右平移5格，再向上平移________格可以得到三角形； （3）连结，，．请任意写出图中的两组平行线段（不再额外添加字母）：________． 16．已知：如图，，，，， （1）求证：； （2）求的度数． 17．如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，已知，． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，求的度数． 18．问题情景：如图1，． （1）观察猜想：若，．则的度数为__________． （2）探究问题：在图1中探究，、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习专题讲义：相交线与平行线 （考点梳理+例题讲解+培优练习） 专题预览 考点梳理 2 一、相交线 2 二、平行线及其判定 2 三、平行线的性质 3 四、命题、定理、证明 3 五、平移 3 六、核心图形：三线八角模型 3 例题讲解 4 一、对顶角及其性质 4 二、邻补角及其性质 5 三、垂线段最短及其应用 6 四、同位角、内错角与同旁内角 7 五、平行公理及推论 8 六、平行线的判定与性质 9 七、定义、命题、定理 15 八、真命题与假命题 16 九、生活中的平移现象 17 十、平移的性质 18 培优练习 19 一、选择题 19 二、填空题 23 三、解答题 26 考点梳理 一、相交线 1.邻补角： （1）定义：两条直线相交，具有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角。 （2）性质：邻补角互补（和为180°）。 2.对顶角： （1）定义：两条直线相交，一个角的两边是另一个角两边的反向延长线时，这两个角互为对顶角。 （2）性质（定理）：对顶角相等。 3.垂线： （1）定义：当两条相交直线所成的角中有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 （2）基本性质： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（存在性与唯一性） ②垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。这个距离是最短距离。 二、平行线及其判定 1.平行线： （1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。用符号“//”表示平行。 （2）平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。（存在性与唯一性） 2.平行线的判定（如何证明两条直线平行？）： （1）判定方法1（基本事实）：同位角相等，两直线平行。 关键：找出一对同位角并证明它们相等。 （2）判定方法2（定理）：内错角相等，两直线平行。 关键：找出一对内错角并证明它们相等。 （3）判定方法3（定理）：同旁内角互补，两直线平行。 关键：找出一对同旁内角并证明它们的和等于180°。 （4）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（a//b, b//c => a//c） 三、平行线的性质 1.性质1（定理）：两直线平行，同位角相等。 关键：由平行出发，推出角相等。 2.性质2（定理）：两直线平行，内错角相等。 关键：由平行出发，推出角相等。 3.性质3（定理）：两直线平行，同旁内角互补。 关键：由平行出发，推出角互补（和为180°）。 4.平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离。 （2）性质：平行线间的距离处处相等。 四、命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句。 （1）结构：由题设（已知条件）和结论（由题设推出的结论）两部分组成。形式通常是“如果……那么……”。 （2）真命题与假命题：正确的命题是真命题；错误的命题是假命题。 2.定理：经过推理证实为正确的命题叫做定理。 3.证明：根据题设、定理、公理、定义等，通过推理来判断命题正确性的过程。 五、平移 1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。 2.特点：平移是全等变换（不改变图形的形状和大小）。平移只改变图形的位置。对应点连线平行（或在同一直线上）且相等。 六、核心图形：三线八角模型 这是本章的核心模型，关系到平行线的判定和性质的应用。必须清晰理解并能识别： 1.同位角：在截线同侧，在被截两线同方的角。位置像字母“F”（正或倒）。 2.内错角：在截线两侧，在被截两线之间的角。位置像字母“Z”（正或倒）。 3.同旁内角：在截线同侧，在被截两线之间的角。位置像字母“U”（正或倒）。 例题讲解 一、对顶角及其性质 【例题1】如图所示，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】【解答】解：A.是邻补角，不是对顶角，此项错误，故不符合题意； B.不共顶点，其中有一条边不是互为反向延长线，故不符合题意；； C.其中有一条边不是互为反向延长线，故不符合题意； D.符合定义，故此项正确； 故答案为：D． 【分析】利用对顶角的定义（两条直线相交后形成的两个角，它们有公共的顶点且没有公共边）及特征分析求解即可. 【例题2】如图是一把剪刀示意图，当剪刀口增加时，（　　） A．增加 B．不变 C．减少 D．增加 【答案】D 【详解】【解答】解：∵， ∴增加时，增加， 故选：D． 【分析】利用对顶角相等解答即可． 【例题3】如图，直线、、相交于点，则的度数等于　 　． 【答案】 【详解】【解答】解：∵ 直线、、相交于点，∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【分析】本题根据对顶角相等的性质可以得出，然后根据平角的定义列式并进行替换即可求出答案。 二、邻补角及其性质 【例题1】下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】【解答】解：根据邻补角的定义，即 ∠1+∠2=180°。观察四个选项，只有D图中的是邻补角，A、B、C都不是。 故答案为：D． 【分析】由邻补角的定义，一边重合另一边互为反向延长线，即 ∠1+∠2=180°。A选项两个角没有相关关系；B选项两个角是对顶角；选项C，∠1+∠2=90°，因此 ∠1与∠2互为余角。 【例题2】如图，直线a，b相交，，则　 　． 【答案】140° 【详解】【解答】解：，（对顶角相等）， ， ． 故答案为：． 【分析】根据对顶角相等求出的度数，再根据补角即可求出答案. 三、垂线段最短及其应用 【例题1】如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点作已知直线的垂线有且只有一条 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【详解】【解答】解：要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是垂线段最短； 故答案为：A． 【分析】利用垂线段最短的性质及生活常识分析求解即可. 【例题2】如图，这是小涛同学在体育课上某一次跳远后留下的脚印．通过测量得到如下数据：米，米，米，米，其中AC，DE分别垂直起跳线于C，E．小涛这次跳远成绩是　 　米． 【答案】 【详解】【解答】解：由题意可得：小涛同学这次跳远的成绩应该是的长米．故答案为：． 【分析】根据垂线段最短即可求出答案. 四、同位角、内错角与同旁内角 【例题1】如图，直线AB，CD被CE所截，则∠EFB与∠ECD是（　　） A．对顶角 B．同旁内角 C．内错角 D．同位角 【答案】D 【详解】【解答】解：∵ ∠EFB与∠ECD都在被截直线AB、CD的上方，且都在截线EF的同旁， ∴ ∠EFB与∠ECD是一对同位角. 故答案为：D. 【分析】两条直线被第三条直线所截，形成的一对在截线同侧，被截直线同方向的角就是同位角；两条直线被第三条直线所截，形成的一对在截线两侧，被截直线内部的角就是内错角；两条直线被第三条直线所截，形成的一对在截线同侧，被截直线内部的角就是同旁内角，据此逐一判断即可. 【例题2】如图所示，下列说法错误的是(　　) A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】B 【详解】【解答】解：A、与是同位角，故A正确，不符合题意； B、与是同旁内角，故B错误，符合题意； C、与是内错角，故C正确，不符合题意； D、与是同旁内角，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可． 五、平行公理及推论 【例题1】在同一个平面内的直线a，b，c，若，，则b与c的关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【详解】【解答】解：根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”可知， 在同一个平面内的直线a，b，c，若，， 则. 故答案为：A. 【分析】根据平行公理及推论进行解答. 【例题2】如图，在直线外任取一点，过点画直线的平行线，可画出的平行线有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【详解】【解答】解：过直线外一点画直线的平行线，只能画一条， 故答案为：B． 【分析】利用过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行解题即可． 【例题3】如图，，，则点B、P、A在同一条直线的理由：　 　． 【答案】经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【详解】【解答】解：理由为：经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【分析】根据平行公理作出判断． 六、平行线的判定与性质 【例题1】如图，已知四条直线，下列不能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】【解答】解：A选项．因为∠2和∠3是直线a，b被直线d所截形成的同位角.根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，当∠2=∠3时，可以判定a//b.不符合题意，故A错. B选项．∠4和∠5是直线a，b被直线c所截形成的内错角.依据“内错角相等，两直线平行”的判定定理，当∠4=∠5时，可以判定a//b.不符合题意，故A错. C选项．由，∠1与∠4并不是直线a，b被第三条直线所截形成的同旁内角；所以根据∠1+∠4=180°不能判断直线.符合题意，故C正确. D选项．∠3的对顶角与∠1是直线a，b被直线d所截形成的同旁内角；由，，可得，根据同位角相等，两直线平行，能判断直线；不符合题意，故A错. 故选：C． 【分析】本题考查了平行线的判定， 需要对同位角、内错角和同旁内角的概念有清晰的理解，同位角相等，内错角相等，两直线平行 ，即可解答. 【例题2】如图，已知AB∥CD，∠CEF＝110°，则∠A的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【详解】【解答】解：∵∠CEF=110°， ∴∠AEC=180°-∠CEF=180°-110°=70°， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠AEC=70°， 故答案为：C． 【分析】由邻补角求出∠AEC=70°，然后根据两直线平行，内错角相等得∠A=∠AEC=70°. 【例题3】如图，直线，将含有角的三角形板的直角顶点C放在直线m上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】【解答】 解：过B作，则， ∵，， 由平行线的传递性， 可知BH∥m ∴， ∵， 又∵， ∴=45° ∴， 故选：C． 【分析】过B作，根据平行线的传递性，可推断，进而，，，从而得到∠2的值． 【例题4】如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】【解答】解： ∵把矩形ABCD沿EF折叠， ∴，即， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：B． 【分析】先利用折叠的性质及可求出，再利用平行线的性质求出． 【例题5】如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，如果第一次拐的角是（即），那么第二次拐的角（）是　 　度． 【答案】136 【详解】【解答】解：根据题意 ， ∴第二次拐的角是136度， 故答案为：136． 【分析】利用平行线的性质可得，从而可得第二次拐的角是136度. 【例题6】如图，已知，，，则的度数为　 　． 【答案】 【详解】【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【分析】根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可求得的度数，由角的和差可求得的度数，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠2+∠CEF=180°可求解. 【例题7】如图，，，试判断与的大小关系，并证明你的结论 解：与相等，理由如下： （已知） ∴___________=___________（___________） （内错角相等，两直线平行） ∴___________=___________（___________） 又（已知） ___________（　　） （ ） （ ）． 【答案】解：与相等，理由如下： （已知）， （同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；；同角的补角相等；；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【详解】【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据题意，先求出，得到，得出，根据，得到，即可得到，即可得出答案． 【例题8】当我们想要放松身心，享受阳光和清风时，一把舒适的躺椅就成为了必不可少的伴侣，如图是某种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支果分别与交于点G，D，与靠背交于点N，于点D． （1）若于点O，与平行吗？说说你的理由． （2）若，求的度数． 【答案】（1）解：与平行， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【详解】【分析】（1）先利用垂直的定义可得，再证出即可； （2）先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得，再结合，利用角的运算求出即可． （1）解：与平行，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 七、定义、命题、定理 【例题1】下列语句中，是定义的是（　　） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 C．对顶角相等 D．同角的余角相等 【答案】B 【详解】【解答】解：A．两点确定一条直线是性质不是定义，故A不符合题意； B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线是定义，故B符合题意； C．对顶角相等是性质，不是定义，故C不符合题意； D．同角的余角相等是性质，不是定义，故D不符合题意． 故选：B． 【分析】根据课本中的定义与性质、公理的异同等对每个选项逐一判断求解即可。 【例题2】下列语句中，是命题的是（　　） ①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等． A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【详解】【解答】解：①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2，是命题，故①符合题意； ②对顶角相等吗？不是命题，故②不符合题意； ③画线段AB＝CD，不是命题，故③不符合题意； ④如果a＞b，b＞c，那么a＞c，是命题，故④符合题意； ⑤直角都相等，是命题，故⑤符合题意． 故答案为：A． 【分析】 可以判断真假的陈述句叫做命题，判断命题主要有两点：①能判断真假；②是陈述句. 八、真命题与假命题 【例题1】下列命题中的真命题是(　　) A．相等的角是对顶角 B．若两个角的和为，则这两个角互补 C．若，满足，则 D．同位角相等 【答案】B 【详解】【解答】A、∵相等的角不一定是对顶角，∴原命题不是真命题，∴A不符合题意； B、∵两个角的和为，则这两个角互补，∴∴原命题是真命题，∴B符合题意； C、∵若，满足，则或a=-b，∴原命题不是真命题，∴C不符合题意； D、∵两直线平行，同位角相等，∴原命题不是真命题，∴D不符合题意； 【分析】利用真命题的定义、对顶角的性质、补角的定义、同位角的定义及绝对值的性质逐项分析判断即可. 【例题2】对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝2，b＝﹣3 D．a＝﹣3，b＝2 【答案】D 【详解】【解答】解：在A中，a2＝9，b2＝4，且3＞﹣2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在B中，a2＝4，b2＝9，且﹣2＜3，此时不但不满足a2＞b2，也不满足a＞b不成立，故B选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在C中，a2＝4，b2＝9，且2＞﹣3，此时不但不满足a2＞b2，也不满足a＞b不成立，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在D中，a2＝9，b2＝4，且﹣3＜2，此时满足a2＞b2，但不能满足a＞b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”不能成立，故D选项中a、b的值能说明命题为假命题； 故答案为：D． 【分析】将各选线的数据代入命题，再根据假命题的定义逐项判断即可。 【例题3】命题“已知，，是直线，若，，则”是　 　.（填写“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【详解】【解答】解： 命题“已知，，是直线，若，，则”是 假命题， 故答案为：假命题. 【分析】根据同一平面内，， 可得a∥c，即可求解. 九、生活中的平移现象 【例题1】下列生活现象中，属于平移的是（　　） A．足球在草地上滚动 B．拉开抽屉 C．投影片的文字经投影转换到屏幕上 D．钟摆的摆动 【答案】B 【详解】【解答】解：A.足球在草地上滚动方向变化，不符合平移的定义，不属于平移 B.拉开抽屉符合平移的定义，属于平移； C.投影片的文字经投影转换到屏幕上，大小发生了变化，不符合平移的定义，不属于平移； D.钟摆的摆动是旋转运动，不属于平移； 故答案为：B. 【分析】根据平移的定义逐一判断即可. 【例题2】将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】【解答】根据平移的性质，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向（角度），符合条件的只有D． 故选D． 【分析】 平移前后，对应点在连线平行或在同一条直线上，且对应点之间的距离相等． 十、平移的性质 【例题1】如图，将周长为8的沿方向平移1个单位得到，则四边形的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】【解答】解：由平移的性质可知，，，，， 的周长为8，即， 四边形的周长为， 故选：D． 【分析】本题考查平移的性质，经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向；图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，根据平移的性质，得到，，，，结合的周长为8，进而求得四边形的周长，得到答案. 【例题2】如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为　 　． 【答案】 【详解】【解答】解：对小路进行平移后可得： ∴绿化部分的长为：，宽为：， 绿化的面积， 故答案为：． 【分析】用平移对图中的小路进行平移，然后用长方形的面积公式计算即可求解． 培优练习 一、选择题 1．下列四幅汽车标志设计中能用平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】【解答】解：A可以利用平移的方式得到，BCD不能用平移的方式得到， 故答案为：A． 【分析】根据平移的定义：一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移，据此直接得到答案. 2．如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【详解】【解答】根据题意可知：这种铺设方法蕴含的数学原理是垂线段最短． 故选D． 【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短可得答案． 3．如图，直线相交于点O．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】【解答】解：， ． 故答案为：B． 【分析】利用角的运算和对顶角的性质可得，再利用角的运算求出∠COM的度数即可. 4．下列命题中，假命题是(　　) A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【详解】【解答】解：A、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是真命题，不合题意； B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角才互补，是假命题，符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，不合题意， D、两直线平行，内错角相等，是真命题，不合题意； 故答案为：B． 【分析】根据平行线的判定定理与性质逐项进行分判断即可求出答案. 5．如图，两条直线被第三条直线所截，在所标注的角中，下列说法不正确的是（　　） A．与是同旁内角 B．与是邻补角 C．与是内错角 D．与是对顶角 【答案】C 【详解】【解答】解：A中，由与是同旁内角，说法正确； B中，由与是邻补角，说法正确； C中，由与不是内错角，与是内错角，故说法错误； D中，由与是对顶角，说法正确； 故选：C． 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义及判定，根据“三线八角”的意义，以及同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义，逐项分析判断，即可求解． 6．如图，这是电子屏幕上显示的数字“9”，其中，．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：D． 【分析】先利用平行线的性质可得，，再利用角的运算求出即可. 7．如图，以下条件不能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】【解答】解：A中，由，同位角相等，两直线平行，可得，故A不符合题意； B中，由，对角相等，不能得，故B不合题意； C中，由，内错角相等，两直线平行，可得，故C不符合题意； D中，由，同旁内角互补，两直线平行，可得，故D不符合题意； 故选：B． 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案． 8．绿色出行，健康出行，你我同行，某县为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中 都与地面平行，，，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】【解答】解：∵，， ∴， ， ∴， 故答案为：A． 【分析】先利用平角的定义求出∠CAM，再利用平行线的性质求出． 二、填空题 9．如图，某地进行城市规划，在一条新修的公路旁有一家超市，现要在公路上建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，应建在处，其依据是　 　． 【答案】垂线段最短 【详解】【解答】解：， 又直线外一点与直线上所有的点连接的线段中，垂线段最短， 为了使超市距离车站最近，应建在处． 故答案为：垂线段最短． 【分析】利用垂线段最短的性质分析求解即可. 10．如图，，若，则的度数为　 　． 【答案】 【详解】【解答】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠2=∠3， ∵∠1=40°， ∠1+∠3= 180°， .·.∠2=180°-40°=140° 故答案为：140° 【分析】根据平行线的性质，AB∥ CD，得出∠2=∠3，由于∠1=40°，进而即可得出答案. 11．如图，将两个三角尺的斜边重合放在同一平面内，若直角边与平行，，则　 　． 【答案】 【详解】【解答】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【分析】利用两直线平行，内错角相等的性质分析求解即可. 12．如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，，若进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线是互相平行的，当，则　 　°． 【答案】69 【详解】【解答】解：∵潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：69． 【分析】先利用平行线的性质可得，再根据，，利用等量代换可得． 13．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为，求阴影部分的面积为　 　． 【答案】18 【详解】【解答】解：由题意可得S△ABC=S△DEF， ∴S△ABC-S△HEC=S△DEF-S△HEC，即S阴影=S四边形ABEH， 由平移性质得BE=3，DE=AB=7，∠B=∠DEF=90°，AB∥DE， ∴四边形ABEH是直角梯形， ∵DH=2， ∴EH=AB - DH=7-2=5， ∴S阴影=S梯形ABEH=. 故答案为：18. 【分析】根据平移的性质及割补法可推出S阴影=S四边形ABEH，由平行得性质得BE=3，DE=AB=7，∠B=∠DEF=90°，AB∥DE，则四边形ABEH是直角梯形，进而根据直角梯形面积计算公式列式计算即可. 三、解答题 14．如图，已知，，试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由，请你将下列证明过程补充完整． 结论：． 证明：∵（已知）， _________________（_______________）， ∴__________________（两直线平行，同位角相等）． 又∵(已知)， ∴__________________（等量代换）， ∴（___________）． 【答案】证明：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵(已知)， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，，同旁内角互补，两直线平行；，；，；内错角相等，两直线平行． 【详解】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理方法分析求解即可. 15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．把三角形进行平移，得到三角形，使点与对应． （1）请在网格中画出三角形； （2）将三角形向右平移5格，再向上平移________格可以得到三角形； （3）连结，，．请任意写出图中的两组平行线段（不再额外添加字母）：________． 【答案】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求； （2）4 （3），（答案不唯一） 【详解】【解答】（2）解：根据图形知，将三角形ABC向右平移4格，再向上平移4格可以得到三角形A'B'C'； 故答案为：4； （3）解：根据图形知，，，． 故答案为：，． 【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，观察A与A'的位置得出平移方向及距离：将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度，据此作出点B、C向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后的对应点B'、C'，再顺次连接A'、B'、C'即可； （2）由（1）可得将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到△A'B'C'； （3）根据平移的性质“平移前后图形上对应点所连线段互相平行（或同一直线上）”可得答案. 16．已知：如图，，，，， （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）解：解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【详解】【分析】（1）先证出，再利用平行线的性质可得，再结合，利用等量代换可得，从而可证出； （2）先利用平行线的性质可得，，再结合，求出，从而得解. 17．如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，已知，． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【详解】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案. （2）根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理可得，则，即可求出答案. （3）根据角之间的关系及直线平行性质即可求出答案. 18．问题情景：如图1，． （1）观察猜想：若，．则的度数为__________． （2）探究问题：在图1中探究，、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【详解】【解答】解：（1）如图所示，过点P作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【分析】（1）过点P作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PQ∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等得到，则； （2）同（1）求解即可； （3）过点P作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PQ∥AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等（同旁内角互补）得到，再根据角的和差及等量代换得到，最后再整体代入得到． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$