第6讲 函数的概念 综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦函数概念核心，通过多题型覆盖定义辨析、性质应用及综合拓展，构建从概念生成到原理推导再到实践应用的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-3、填空12|函数定义辨析、同一函数判断、映射个数|从函数定义本质出发，强化定义域、对应关系的核心地位| |性质应用|选择4-8、填空13、解答15-17|定义域值域求解、分段函数求值、解析式推导|以定义域值域为基础，延伸至函数性质的应用与参数问题| |综合拓展|多选9-11、填空14、解答18-19|新定义函数、抽象函数、最值与对称性|结合创新情境，深化函数概念与性质的综合迁移，发展模型意识|

第6讲 函数的概念·综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 A D B B B 6 7 8 9 10 B B D ACD ABD 11 12 13 14 15 BCD 41 、 见详解 16 17 18 19 或或或 1.（2024·重庆·二模）任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据函数的定义，对任意，按，在的范围中必有唯一的值与之对应，因为，则，则的范围要包含，结合选项可知A符合题意. 【点拨】本题考查函数的定义，理解函数关系中值域是对应域的子集是解题关键. 2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ 　　） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 【答案】D 【解析】对于A：的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数； 对于B：，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数； 对于C：的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数； 对于D：对应点的坐标为，对应点的坐标为，两个函数对应坐标相同，是同一函数. 【点拨】判断两函数是否为同一函数，需严格检验定义域与对应法则是否完全一致，离散点函数可直接比对坐标集合. 3.函数的图象与直线的交点个数（ 　　） A. 至少1个 B. 至多1个 C. 仅有1个 D. 有0个、1个或多个 【答案】B 【解析】若不在函数的定义域内，的图象与直线没有交点；若在函数的定义域内，根据函数的定义，对于定义域内的每一个值，都有唯一的值与之对应，所以的图象与直线有个交点. 故交点个数为0或1，即至多1个. 【点拨】函数图象与垂直于轴的直线最多只有一个交点，这是函数单值性（一对一或多对一）的直观体现. 4.（2026·福州·3月检测）已知函数的定义域为，且，，则（ 　　） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 【答案】B 【解析】在中，且， 令，得； 令，得； 令，得. 【点拨】处理抽象函数求值问题时，利用赋值法逐步递推是常用策略，注意寻找已知值与目标值之间的过渡跳板. 5.（2026·南通·一模）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确 是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设，则定义域， 因为，所以，值域， 所以，，集合之间关系不能用表示， 所以A、C、D错，B对. 【点拨】求解对数与根式复合的函数定义域时，需同时满足真数大于零及被开方数非负.集合间的包含关系应使用子集符号而非元素从属符号. 6.（2026·茂名·一模）已知函数则（ 　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 16 【答案】B 【解析】因为，所以， 又因为，所以. 【点拨】求解分段函数复合求值问题，必须由内向外逐层判断自变量所在的区间，进而选择对应的解析式. 7.（2026·精诚联盟·二模）已知函数若，则实数（ 　　） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】当时，，即，解得或（舍去）； 当时，，即，，方程无实数解. 综上可得. 【点拨】解分段函数方程时，需分段建立方程求解，并务必检验求得的根是否满足该段的自变量范围限制. 8.（2026·南昌·一模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当时，，当且仅当时等号成立，即时，的最小值为； 当时，， 因为函数在定义域内有最小值，所以必有，即实数的取值范围是. 【点拨】分段函数存在最小值，意味着各段的下确界中存在最小值且能取到.利用基本不等式求出段的最小值后，需保证段的值不小于该最小值. 9.（2026·随州六校·一模）下列四个函数，定义域和值域相同的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】对A，函数的定义域和值域都是，符合题意； 对B，易得函数的定义域为，当时，；当时，，故函数的值域为，符合题意； 对C，函数的定义域为，值域为，不符合题意； 对D，因为函数，所以函数的定义域为，值域为，符合题意. 【点拨】分别求出各选项中函数的定义域与值域进行比对.对于分式函数，常采用分离常数法求值域. 10.（2026·湘豫名校·5月预测）已知且，函数则下列说法正确的是（ 　　） A. 若，则为增函数 B. 若，则的解集为 C. 若，则的图象关于直线对称 D. ，，恒为常数 【答案】ABD 【解析】对于 A,B，当 时， 的图象如图，可知 A,B 正确；对于 C，，，可得点 ， 连线的斜率并不恒为 ，C 错误；结合图象可知，无论 还是 ， 的图象总与直线 有交点 ，所以满足 ，，，，D 正确. 故选 ABD. 【点拨】判断分段函数的单调性，不仅要看各段的单调性，还要比较分界点处的函数值大小.判断是否存在不动点，可转化为方程是否有解. 11.已知函数，则使的可以是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】①当时，由，可得， 若时，则，此时无解， 若时，由，解得； ②当时，由，可得或. 若时，则，由可得，方程无解， 若时，由可得或，由可得或. 综上所述，满足的的取值集合为. 【点拨】解嵌套函数方程时，采用换元法由外向内逐层求解，每次求解都需根据外层函数的分段条件进行分类讨论. 12.（2026·南京鼓楼·二模）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为＿＿＿＿＿＿. 【答案】41 【解析】由可知，函数的值域中的任何元素都满足. 因为值域非空，所以必在值域中，即. 若仅有，则对任意，有. 此时对于，令，则. 而，这与仅有的假设矛盾. 故中至少有一个元素的函数值为. 具体分类如下： 1、若个函数值都为，此时共有种情况； 2、若仅有个函数值为，又，则另外个中应有个函数值为有种，如，依题意只能从中取值，有种情况，此时共有种； 3、若仅有个函数值为，又，则另外个中应有个函数值为有种，如，依题意只能从中取值，有种情况，此时共有种； 4、若仅有个函数值为，又，则另外个中应有个函数值为有种，如，依题意都只能取，有种情况，此时有种情况； 综上所述，这样的函数的个数共有个. 【点拨】处理抽象映射满足的复合条件时，通过分析值域元素的性质缩小范围，再根据映射到1的元素个数进行分类讨论. 13.（2025·创新联盟·三模）函数的定义域为＿＿＿＿＿＿，值域为＿＿＿＿＿＿. 【答案】、 【解析】因为，所以恒成立. 由，得. . 故的值域为. 【点拨】求对数型复合函数的定义域需保证真数大于零，求值域时可将真数部分化为关于的二次函数，利用配方法求出真数的范围. 14.（2026·名校联盟·5月评估）定义若函数，且在区间上的值域为，则的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】令，. 由，即. 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得或（舍去）. 故两函数图象交点横坐标为和. 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时. 综上，. 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 要使在上的值域为，则区间内不能包含使的值. 解得或或，所以的解集为. 因为是区间，所以. 在上，在上单调递增，从增到；在上单调递减，从减到. 要使值域为，必须包含最大值点，且在两端的最小值至少有一个为. 显然当，时，取得最大值. 【点拨】利用新定义写出分段函数的解析式，画出图象或分析单调性，根据值域反推定义域区间的最大长度. 15.（13分）求下列函数的解析式： （1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知是一次函数且，求的解析式； （4）已知满足，求的解析式. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】（1）设，因为，所以，则. 因为， 所以，. 即，. 3 分 （2）因为， 由对勾函数的性质可得，其值域为， 所以，. 6 分 （3）由是一次函数，可设， 所以，即， 所以，解得， 所以的解析式是. 9 分 （4）因为 ①， 将用替换，得 ②， 由①②联立方程组，消去，解得. 13 分 【点拨】求函数解析式常用换元法、配凑法、待定系数法和方程组法，使用换元法和配凑法时务必注意新变量的取值范围. 16.（15分）求函数的值域. 【答案】 【解析】由有意义可得，解得， 所以函数的定义域为. 3 分 因为，将函数两边平方得： 6 分 . 9 分 因为，所以当时，取得最大值， 当或时，取得最小值. 12 分 所以， 则， 所以，又，所以. 故函数的值域为. 15 分 【点拨】求形如的无理函数值域，通常采用平方化归法，将其转化为二次函数求最值问题. 17.（15分）若函数的定义域是，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】由函数的定义域为， 得对任意恒成立， 4 分 即恒成立. 7 分 因为指数函数在上单调递增， 所以对任意恒成立， 10 分 化简得恒成立. 所以， 13 分 即，解得. 故实数的取值范围为. 15 分 【点拨】已知定义域为求参数范围，本质上是转化为不等式恒成立问题，结合指数函数的单调性和二次函数的判别式求解. 18.（17分）已知函数，若，求实数的值. 【答案】或或或 【解析】当时，. 2 分 若，即时，. 令，解得，满足； 6 分 若，即时，. 令，解得或， 即或，均满足. 10 分 当时，. 因为，所以， 12 分 此时. 令，解得或. 若，解得，满足； 若，即，，无实数解. 16 分 综上所述，实数的值为或或或. 17 分 【点拨】求解分段函数的复合方程，关键是“由内向外”或“由外向内”分类讨论，每次求得结果后必须检验是否满足所在分支的条件. 19.（17分）已知定义在上的单调函数，若对任意都有，求方程的解集. 【答案】 【解析】因为定义在上的单调函数，对任意都有， 令（为常数），则. 3 分 在上式中令，则，即， 6 分 显然是该方程的一个解. 又在上单调递减，在上单调递增， 所以方程至多有一个解，故. 9 分 所以，即. 12 分 由得，，即. 显然和是该方程的解. 15 分 在同一坐标系中作出函数和的图象，可知这两个图象只有个交点， 则方程的解集为. 17 分 【点拨】利用抽象函数恒等式求解析式时，常通过换元将内层函数整体视为常数，再利用单调性确定该常数的唯一值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 函数的概念·综合测试 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2024·重庆·二模）任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（ 　　） A. B. C. D. 2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ 　　） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 3.函数的图象与直线的交点个数（ 　　） A. 至少1个 B. 至多1个 C. 仅有1个 D. 有0个、1个或多个 4.（2026·福州·3月检测）已知函数的定义域为，且，，则（ 　　） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 5.（2026·南通·一模）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确 是（ 　　） A. B. C. D. 6.（2026·茂名·一模）已知函数则（ 　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 16 7.（2026·精诚联盟·二模）已知函数若，则实数（ 　　） A. B. 2 C. D. 8.（2026·南昌·一模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·随州六校·一模）下列四个函数，定义域和值域相同的是（ 　　） A. B. C. D. 10.（2026·湘豫名校·5月预测）已知且，函数则下列说法正确的是（ 　　） A. 若，则为增函数 B. 若，则的解集为 C. 若，则的图象关于直线对称 D. ，，恒为常数 11.已知函数，则使的可以是（ 　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2026·南京鼓楼·二模）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为＿＿＿＿＿＿. 13.（2025·创新联盟·三模）函数的定义域为＿＿＿＿＿＿，值域为＿＿＿＿＿＿. 14.（2026·名校联盟·5月评估）定义若函数，且在区间上的值域为，则的最大值为＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）求下列函数的解析式： （1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知是一次函数且，求的解析式； （4）已知满足，求的解析式. 16.（15分）求函数的值域. 17.（15分）若函数的定义域是，求实数的取值范围. 18.（17分）已知函数，若，求实数的值. 19.（17分）已知定义在上的单调函数，若对任意都有，求方程的解集. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $