精品解析：上海市彭浦中学2025-2026学年高一第二学期期中数学试卷

上海市彭浦中学2025学年第二学期 高一数学期中考试 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、填空题：（满分54分，1~6每小题4分，7~12每小题5分） 1. 在复数范围内，的所有平方根为______. 【答案】或 【解析】 【分析】设，求出，根据复数相等的条件得出方程组，求解即可得出答案. 【详解】设，则. 由可得，. 由可得，或. 当时，有，解得，； 当时，有，显然不成立. 综上所述，. 故答案为：或. 2. 若z（1+）=2，则复数z的虚部为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则，求出z，然后由虚部的定义求解即可. 【详解】解：因为z（1+）=2， 则， 所以复数z的虚部为1. 故答案为：1. 3. 已知向量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标形式可求的值. 【详解】，故， 故答案为：. 4. 与向量同方向的单位向量是________. 【答案】 【解析】 【详解】因，则与向量同方向的单位向量为. 5. 若，若，则实数=__________. 【答案】或 【解析】 【详解】由已知可得,即,解得或. 6. 函数的最小正周期为___________ . 【答案】## 【解析】 【详解】函数的最小正周期为. 7. 在中，，则 ________. 【答案】 【解析】 【详解】∵ 在中，， 由正弦定理， ， ∵ ，∴ ， 又∵ 由余弦定理可得， 将代入上式， ∴ . 8. 若是以为周期的奇函数，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的性质以及周期性求解即可. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用以及周期性的应用，属于基础题. 9. 如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】设，其中，根据，求得，得到，得到函数，结合，即可求解． 【详解】由函数的部分图象，设，其中， 因为，可得，解得， 即，所以，可得，所以， 又由，可得，因为，所以． 故答案为：. 10. 已知直角三角形ABC的顶点坐标分别为，若虚数是实系数一元二次方程的根，则实数__________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用韦达定理求出的值，再分类讨论，利用向量的数量积，分别求出实数的值即可. 【详解】由题意可知的两个根为和()， 由韦达定理可得，，即, 解得，，则，， 于是，，. 当时，有， 则，解得； 当时，有， 则，即，解得； 当时，有， 则，解得. 综上所述，的所有可能取值为. 11. 已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的平方式以及函数性质，求得动点轨迹，结合题意，作图，利用图形的组成，可得答案. 【详解】由，则，即，， 由，则如图： 点在劣弧上，即线段扫过的部分为图中的阴影部分，设其面积为， 易知，，在四边形中对角线， 则四边形的面积， 在中，，解得， 扇形的面积， 故. 故答案为：. 12. 正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆与分别交于于两点，若为劣弧上的动点，则的最小值为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】结合图形，可引入坐标运算，或者极化恒等式对待求表达式进行化简处理后即可求解. 【详解】解法1：建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设， 则，， ， 其中为某确定的锐角，， 故当时， 取得最小值为. 解法2：设中点为，由极化恒等式，， 由图可知， 所以. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，13，14每题4分，15，16每题5分，满分18分） 13. 若复数是纯虚数，则实数的值为 A. 1 B. 2 C. 1或2 D. -1 【答案】B 【解析】 【详解】由得，且，． 14. 设是复数，则下列命题中的假命题是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：对（A），若，则，所以为真； 对（B）若，则和互为共轭复数，所以为真； 对（C）设，若，则， ，所以为真； 对（D）若，则为真，而，所以为假． 故选D． 考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用． 15. 已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质求出的取值，即可判断. 【详解】因为函数的图像关于点中心对称， 所以，，所以，， 所以当时，当时，时， 所以的最小值为. 故选：C 16. 对于函数,下列命题 ①函数图象关于直线对称; ②函数图象关于点(,0)对称; ③函数图象可看作是把的图象向左平移个单位而得到; ④函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍 (纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是( ▲ ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】考点：正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：综合题． 分析：①把x=-代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误； ②把x= ，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误； ③函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个 单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定； ④函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误． 解答：解：①把x=-代入函数f（x）=sin（2x+）=0，所以，①不正确； ②把x=，代入函数f（x）=sin（2x+）=0，函数值为0，所以②正确； ③函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数为f（x）=sin（2x+），所以不正确； ④函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数f（x）=sin（2x+），正确； 故选C． 点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型． 三、解答题（本大题满分78分） 17. 已知向量与的夹角，且 （1）求； （2）求在方向上的数量投影； （3）求在方向上的投影向量. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ∵ 向量与的夹角，且，， ∴ . ， 代入数值可得. 【小问2详解】 根据向量数量投影的定义： 在方向上的数量投影为， 由（1）知. 先计算， 又∵ ， ∴ 所求数量投影为. 【小问3详解】 由（1）知. 根据投影向量的定义： 在方向上的投影向量为， 代入数值可得所求投影向量为. 18. 已知一元二次方程． （1）在复数范围内解该方程； （2）设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）由（1）可得，，再根据夹角公式求出，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以方程有一对虚数根，设为、， 又， 解得，． 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以， 所以与夹角的大小为． 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． （1）若，且的面积，求a，b的值； （2）若，判断的形状． 【答案】（1）； （2）是直角三角形或等腰三角形. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可得，由三角形面积得到，进而即得； （2）根据题中条件及两角和与差的正弦公式，得到，求出或，进而可得出结果. 【小问1详解】 因为，又余弦定理可得：， 即， 又的面积， 所以，因此，； 解得：； 【小问2详解】 因为， 所以， 即， 所以或， 因此或， 所以是直角三角形或等腰三角形. 20. 已知，令函数 （1）求函数的表达式、周期、严格增区间及值域； （2）函数，求函数在区间内所有零点之和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】(1)利用向量点积展开后通过二倍角公式和辅助角公式化简为标准的正弦型函数，再套用正弦函数周期、单调性、值域结论直接求解； (2)将零点问题转化为在区间内有解问题，利用正弦函数的对称性求解所有解的和，再反推变量的和. 【小问1详解】 由题，， 即，周期， 令，解得， 则严格增区间为， 值域. 【小问2详解】 令，即，设，方程在内有四个解， 设解为满足（关于对称），， 所以， 又，所以所有零点之和为. 21. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为的“相伴向量”（其中为坐标原点） （1）设，写出函数的相伴向量； （2）若的相伴向量为，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）已知的内角的对边分别为，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据三角函数恒等变换化简，结合相伴向量的定义得到结果； （2）根据三角函数的有界性求解参数的取值范围； （3）根据三角函数的范围、正弦定理和三角形边角关系计算得到结果. 【小问1详解】 因为 根据题中相伴向量的定义可得； 【小问2详解】 若的相伴向量为， 故， 存在，使得不等式成立，等价于，， 因为，所以，， 因此故实数的取值范围为； 【小问3详解】 因为向量的相伴函数为，则， 由得， 因，则，故，解得， 由正弦定理，得，故， 因 则 因为，所以，故 因此，即的取值范围.为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市彭浦中学2025学年第二学期 高一数学期中考试 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、填空题：（满分54分，1~6每小题4分，7~12每小题5分） 1. 在复数范围内，的所有平方根为______. 2. 若z（1+）=2，则复数z的虚部为___________. 3. 已知向量，则______． 4. 与向量同方向的单位向量是________. 5. 若，若，则实数=__________. 6. 函数的最小正周期为___________ . 7. 在中，，则 ________. 8. 若是以为周期的奇函数，且，则______. 9. 如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为_________________． 10. 已知直角三角形ABC的顶点坐标分别为，若虚数是实系数一元二次方程的根，则实数__________ 11. 已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是______. 12. 正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆与分别交于于两点，若为劣弧上的动点，则的最小值为_______. 二、选择题（本大题共有4题，13，14每题4分，15，16每题5分，满分18分） 13. 若复数是纯虚数，则实数的值为 A. 1 B. 2 C. 1或2 D. -1 14. 设是复数，则下列命题中的假命题是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 16. 对于函数,下列命题 ①函数图象关于直线对称; ②函数图象关于点(,0)对称; ③函数图象可看作是把的图象向左平移个单位而得到; ④函数图象可看作是把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍 (纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是( ▲ ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题满分78分） 17. 已知向量与的夹角，且 （1）求； （2）求在方向上的数量投影； （3）求在方向上的投影向量. 18. 已知一元二次方程． （1）复数范围内解该方程； （2）设这个方程两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示） 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． （1）若，且的面积，求a，b的值； （2）若，判断的形状． 20. 已知，令函数 （1）求函数的表达式、周期、严格增区间及值域； （2）函数，求函数区间内所有零点之和. 21. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为的“相伴向量”（其中为坐标原点） （1）设，写出函数的相伴向量； （2）若的相伴向量为，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）已知内角的对边分别为，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $