精品解析：上海市格致中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

格致中学 二〇二五学年度第二学期期中考试 高一年级 数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 一、填空题：（本大题共12小题，其中第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分，满分42分） 1. 已知，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质求出集合，然后根据交集的定义即可求解. 【详解】当为奇数时，；当为偶数时，， 所以，又因为，所以. 2. 函数的定义域为____________. 【答案】 【解析】 【详解】由可得. 3. 已知角为第三象限角，且，则_______. 【答案】 【解析】 【详解】因为角为第三象限角，且， 可得， 所以. 4. 已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r＝2，l＝4，再由扇形面积公式可得扇形的面积S． 【详解】设扇形的半径为r，弧长为l， 则解得r＝2，l＝4 由扇形面积公式可得扇形面积Slr2×4＝4 故答案为4 【点睛】本题给出扇形的周长和圆心角的大小，求扇形的面积，着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等知识，属于基础题． 5. 已知是等差数列，若，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，可得， 所以. 6. 已知，若，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由，则. 7. 已知，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【详解】，. 由于，，则， 当且仅当时取等号. 8. 已知（，），函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将代入求出，再将代入，结合部分图象即可求出，进而即可求出最小正周期． 【详解】将代入可得，则， 又，解得， 将代入，可得， 则，即，， 又结合的部分图象可知，其最小正周期， 即，，又，解得， 则最小正周期为． 9. 已知定义在上的偶函数在上是严格增函数，若，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数在上是严格增函数，将不等式转化为求解. 【详解】因为为偶函数，故即为， ∵偶函数在上是严格增函数，故， 平方得，即， 解得， 故答案为： 10. 已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出公比的范围及与的关系，进而求出范围. 【详解】等比数列的公比为，由，得，且， 则，，所以. 11. 如图，某公园划出一块平整的三角形草地，在边上设置一个观景点，点到顶点的距离为3百米，平分，边和的长度都为4百米．现需要沿着三角形草地的边安装一圈灯带，则该灯带的长度为________百米（精确到百米） 【答案】 【解析】 【分析】设百米，百米，结合已知条件，利用正弦定理得出，利用余弦定理构造方程求出，从而求出的值，进而求解． 【详解】设百米，百米，， 由正弦定理可得：，， 因，则，， 可得，因，代入可得，即（*）， 由余弦定理， 化简得，将（*）代入整理得， 解得，（舍）或（舍）， 当时，， 则该灯带的长度约为百米． 12. 已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和.若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为________. 【答案】2560 【解析】 【分析】利用A集合的所有子集中，每个元素出现的次数为，计算出集合中所有非空子集的“变项和”的总和. 【详解】A集合的所有非空子集中，每个元素出现的次数都是， 则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为 . 二、选择题：（本大题共4小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分） 13. 下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，，其定义域为， 且，所以为奇函数，且在上是严格增函数，故A正确； 对于B，为奇函数，但在上是先增后减的，单调性不满足，故B错误； 对于C，易知在上是单调递减函数，故C错误； 对于D，因为，且为偶函数而非奇函数，故D错误. 14. 已知，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 15. 已知数列，（为正整数）分别为各项不等且首项是1的等差数列和等比数列，下列两个命题： ①：存在数列，，使关于的方程的解有无穷多个； ②：存在数列，，使有无穷多个元素. 则下列说法正确的是（ ） A. ①、②都是真命题； B. ①是真命题，②是假命题； C. ①是假命题，②是真命题； D. ①、②都是假命题. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和一次函数的图象和性质，判断①；利用构造法，判断②. 【详解】①由函数的性质可得指数型函数与一次函数至多有两个交点， 当时结论仍成立，故方程，至多有两个解，故①错误； ②构造数列，，此时数列的值域为正整数集， 数列的值域为集合， 这两个集合的交集为，是无穷集，故存在满足条件的数列，， 使有无穷多个元素，②正确. 16. 如图，，，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，，，计划沿直线开通隧道，设，，的长度分别为，，. 为了测出隧道的长度，现给出下列四种方案： ①测出和； ②测出和； ③测出和； ④测出，，三者. 则能够测出隧道的长度的方案是（ ） A. ①、④ B. ②、④ C. ③、④ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据正余弦定理解三角形. 【详解】先要测出，则可利用正弦定理求出，再利用正弦定理求出，最后由余弦定理求出，则需测出，才能求出，即测出，，三者. 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 17. 已知函数的表达式为，. （1）若，求的值； （2）若，，依次成等比数列，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式以及余弦的和角公式即可求解； （2）首先根据诱导公式化简，然后根据等比数列的性质列出方程，最后根据辅助角公式以及正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 ，， ，， ，，，. 18. 已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为，数列满足（为正整数）. （1）依次写出数列的前6项； （2）设，判断是否存在最大值和最小值，若存在，求出最大值和最小值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1），，，，， （2）当时，取到最小值，无最大值 【解析】 【分析】（1）由题意写出数列和的通项公式，进而求出数列的前6项； （2）首先分组求和求出，然后利用确定单调性，确定的最值. 【小问1详解】 等差数列的首项，公差为2， 等比数列的首项，公比为， 根据等差数列和等比数列的通项公式可得 ，， 又数列满足（为正整数）， 所以，，，，，， 所以数列的前6项依次为，，，，7，. 【小问2详解】 ， ， ， ，则单调递增， 则当时，取到最小值，无最大值. 19. 在中，角、、所对边的边长分别为、、，其中． （1）若，且，求边长的值； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合已知条件得出，进而求出，进而求出，再利用正弦定理求出； （2）根据已知条件求出，进而求出，利用正弦定理求出，进而利用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 由正弦定理可得，已知，则， 由，得， 即，则，可得， 由于，故，则，， 故， ． 【小问2详解】 由题意知，故， 由于，故，结合，可知为锐角，则， 故，， ， 故，得， ． 20. 若函数，，其值域为.若，则称函数在区间上为封闭函数. （1）已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； （2）已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的值： （3）已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立.若数列满足（为正整数），证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有. 【答案】（1）是，理由如下： 函数在上单调递增，当时， 函数的值域为，所以函数在区间上为封闭函数. （2）4； （3）由函数在上连续且为封闭函数，令，则函数在上连续， 由函数在上为封闭函数，得，，即有， 由函数在上连续，且，得存在，使得，即， 假设存在，且，使得，，则， 又任意的，都有成立， 则，矛盾，因此存在唯一的常数，使得， 数列满足，且， 由，得，则， ， 数列中的，且，由，得， ，由，得， 即，于是， 所以存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数单调性求出函数的值域即可判断. （2）二次函数在闭区间的最值在顶点或端点取得，只需保证即可； （3）可先利用零点存在性定理证明存在性，再用反证法证明唯一性，最后根据证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数，， 函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 由题意在区间上不为单调函数，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 由函数在区间上为封闭函数，得， 由及，得，而函数在上单调递减， 则，又，因此，解得，， 所以的值为4. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 格致中学 二〇二五学年度第二学期期中考试 高一年级 数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 一、填空题：（本大题共12小题，其中第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分，满分42分） 1. 已知，，则___________. 2. 函数的定义域为____________. 3. 已知角为第三象限角，且，则_______. 4. 已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为_____. 5. 已知是等差数列，若，，则________. 6. 已知，若，则________. 7. 已知，则的最小值为________. 8. 已知（，），函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为________． 9. 已知定义在上的偶函数在上是严格增函数，若，则的取值范围为_________. 10. 已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是________. 11. 如图，某公园划出一块平整的三角形草地，在边上设置一个观景点，点到顶点的距离为3百米，平分，边和的长度都为4百米．现需要沿着三角形草地的边安装一圈灯带，则该灯带的长度为________百米（精确到百米） 12. 已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和.若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为________. 二、选择题：（本大题共4小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分） 13. 下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知数列，（为正整数）分别为各项不等且首项是1的等差数列和等比数列，下列两个命题： ①：存在数列，，使关于的方程的解有无穷多个； ②：存在数列，，使有无穷多个元素. 则下列说法正确的是（ ） A. ①、②都是真命题； B. ①是真命题，②是假命题； C. ①是假命题，②是真命题； D. ①、②都是假命题. 16. 如图，，，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，，，计划沿直线开通隧道，设，，的长度分别为，，. 为了测出隧道的长度，现给出下列四种方案： ①测出和； ②测出和； ③测出和； ④测出，，三者. 则能够测出隧道的长度的方案是（ ） A. ①、④ B. ②、④ C. ③、④ D. ④ 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 17. 已知函数的表达式为，. （1）若，求的值； （2）若，，依次成等比数列，求的值. 18. 已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为，数列满足（为正整数）. （1）依次写出数列的前6项； （2）设，判断是否存在最大值和最小值，若存在，求出最大值和最小值，若不存在，请说明理由. 19. 在中，角、、所对边的边长分别为、、，其中． （1）若，且，求边长的值； （2）若，，求的面积． 20. 若函数，，其值域为.若，则称函数在区间上为封闭函数. （1）已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； （2）已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的值： （3）已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立.若数列满足（为正整数），证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $