专题一 抛物线两点弦通法与核心模型讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦抛物线两点弦通法及焦点弦、原点张直角、角平分线等核心模型，覆盖弦长、面积、定点证明、最值等高考常规考点。知识点按设点方式推导、性质证明、模型梳理、真题演练的逻辑递进，通过通法讲解、模型归纳、分层训练帮助学生构建解题框架，突破运算难点，体现复习的系统性和针对性。 资料创新采用横纵坐标两点弦设点法，避开传统联立运算，所得弦方程天然包含韦达定理要素，培养学生数学思维与模型观念。例如用该方法高效证明焦点弦常用结论，推导原点张直角模型定点规律，搭配分题型真题演练和由浅入深习题，确保复习效率，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题一抛物线两点弦通法与核心模型精讲 本讲义优化抛物线解题思路，避开传统联立运算的繁杂步骤，讲解横坐标、 纵坐标两种两点弦设点方式。依托抛物线方程完成消元推导，所得弦方程天然包 含两根之和、两根之积，既能帮助理解韦达定理内在本质，也可快速拆解题意、 转化几何条件。 该方法优势突出，面对多条线段相交类题型，能够高效梳理坐标间等量关系。 本讲运用两点弦法证明焦点弦常用二级结论，梳理原点张直角、角平分线等经典 几何模型，并搭配具体的真题进行实操演练，直观展现模型与通法的实战用法。 习题由浅入深编排，先以小题巩固基础结论，再通过大题练习弦长、面积、 定点证明、最值及多线问题等常规考点。内容适配课堂教学使用，也可供学习者 夯实基础，为后续培优问题求解做好铺垫。 一、 两点弦直线方程 1.焦点在x轴上，y2=2px 0 (斜率存在) y1+y2 2p2p 直线1m方程：y-5=2p（-→0y+,y=2pr+%, 片+y2p 若lB斜率不存在，（y+y2)y=2Px+yy,亦满足 抛物线y=2pr两点弦通用直线方程1：(+y)y=2px+2 这个直线方程直接包含了y+y,(两根之和)与yy,(两根之积)，能快速处理 抛物线弦的相关问题 x2x22 A k0=2p22-5+5 x1-X2 2p 直线l方程：y- 足=x+(x-x)→(G+,)x=2py+ 2p2p 抛物线x2=2py两点弦通用直线方程1：(：+x)x=2py+xx, 二、焦点弦直线性质（以焦点在x轴上为例) 225 是过抛物线y2=2Px(p>0)焦点F的弦，M是AB的中 点，1是抛物线的准线，MN⊥1，N为垂足. 1)=g;,=-p 112 (2) AFBF P 2 (3)FN⊥AB(以AB的直径的圆与准线相切，切点为投影的中点)，FA⊥FB (4)设BD11,D为垂足，则A、O、D三点在一条直线 证明：1B:0y+)y=2px+y2过焦点F(号，0)，=-p2, (1)4=-p,x。=.坠-2 2p2D4 1 1 2p 2丽+g+p, 12p 2p2 BF y22+p2 1,12P(y22+y,2+2p2)2p(y22+y2+2p2)2 则MB丽+p0+)+pp0+)+2pp y+'2 (3)由题意(-号，4%)，由于ka=2p，km=2-当+丝， 22 +y2 -卫p 2p 22 所以kB·kN=-1,则FN⊥AB 片当+上 因为子如% y22+p 2p2 k4km=P0-2,p0s-2=-p02+2-2y) y2+p222+p2p20y2+y22)+y2y22+p =-p0++2p)=-1,则FALFB p0y2+y22)+p+p4 ④0号，kw==2业，=是-22-2=2业=m -卫p 2-pp 2 2p 2 则A、O、D三点在一条直线上 三、原点张直角模型（以焦点在x轴上为例） 已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，若0A⊥0B,则 直线AB过定点(2p,0)。反之亦成立 ,,1s0+为y=2px+ 由于0A10B,则O40丽=+=0，所以=-4p2 4p2 则14B:(y+y2)y=2px-4p2，直线AB过定点(2p,0) 四、角平分线模型（以焦点在x轴上为例》 1.（角的顶点在曲线上)己知A,B,C是抛物线y2=2x(p>0)上两点，若 kB+kAC=O,则直线BC斜率为定值 yo+y yo+y2 2p y1+y2 由于a+kc=0→+%=-2，所以kc=2P=-卫 -2yo Yo 2.(角的顶点在x轴上)己知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，M(-m,0), 若kM4+kB=0,则直线AB过定点N(m,O)。反之亦成立 由于64=”=2，同理kw= 2Py2 ymy+2pm y22+2pm 2P 由于k4+kB=0,则(y+y20y2+2pm)=0,所以y2=-2pm 14B:(y+y2)y=2px-2pm,则直线AB过定点N(m,0) 五、 例题讲解 【题型一】选填 【例1-1】(2026年卷2T11)(多选题)己知抛物线E:y2=8x,斜率为 k(k>O)的直线I过点(-1，O),△ABC为等边三角形，A在y轴上，B、C在I上， 则(). A.抛物线准线方程x=-2 B.当直线I与抛物线没有交点，k>√2 C.若直线I与抛物线交于唯一点B,则抛物线焦点在直线AB上 D.k=2时，△1BC面积最小值为5 15 【答案】ABD 【解析】 选项A.抛物线准线方程x=-2 选项B.1:y=kx+),抛物线x=上代入y=kx+), 8 得到k片+=y→女y-y+k=0,△<0与k>2(合k<-5) 8 8 选项C.若直线1与抛物线交于唯一点B,由B知，k=√2→B(L,2√2) 设H(-1,O),若AB过焦点，则cos∠HBF=HB+BF2-HF2=V3 2|HB|●|BF|3 所以∠HBF≠行，则△MBC不能为等边三角形 选项D.I:y=2(x+1),设BC的中点为M,SA4Bc最小，则|AM|最小，且AM⊥1 ,则A到直线I最小，所以过A的切线与1平行。设A(x,y),切线 yo =4(x+xo) 去-2时4w学8后写2酒 4 15 【例1-2】(2026年天津T15)在平面内，0为坐标原点，抛物线y2=2x上有A、B 、C、D四个点，A、B、C、D的纵坐标分别为y4、yg、yc、yD,直线AB与直线 CD交x轴于点P,直线AC交x轴于点M,直线BD交x轴于点N,以下说法正确的有 ①若P与抛物线焦点重合，则y4yg=一2； ②yyB=ycyD ③OM ON=2op2: ④y4-ycOP=yB-yoOM: ⑤Sce O SARDP ON 【答案】②④ 【解析】 6 设学a些a学X 2y), LaB (ya+yB)y=2x+yay8 IcD:(Yc+yp)y=2x+ycyp 则xp=-y=-n，所以P-y,0) ，同理 2 2 2 M(-y,0,N(-yn,0) 2 2 ①若P与抛物线焦点（行，0）重合，则yyg=-1;①错误 ②yyB=ycyD;②正确 ®OMION|=ycnl opr=-ly，所以 4 4 4 OMON=OP,③错误 ④ya-oM=。-yn'=yae-y4ea= yAYBYc-yAyAYB 2 2 2 yy.-y ,-oP=, ,则④正确 国5分小-ww空学非会 1 2 5=2。-%w-x小而w-x-'+卡1e-y 1 22 2 所以S△心=少4-e·y S△pyB-yo·ynl 由④知 y-Ye OM] 所以 YB-YDOP SAa=lOM小ya=yAe·yAl=yAdl_lOM ⑤错误 S△BDP OP·yp lyayalyo Iypyal lOp > D 【例1-3】(2025新高考I卷·T10)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F, 过点F的直线交C于A,B两点，过F且垂直于AB的直线交准线：x=-号于E,过 点A作准线1的垂线，垂足为D,则() A.AD=AR B.AE=AB C.AB26 D.AlB可≥18 【答案】ACD D 选项A,由定义知AD=AF|,故A正确： 选项B,由题可知：AD⊥1，EF⊥AB,则∠ADE=∠AFE=90°， 因为Ad=AH,|ABI=|AE引，所以△ADE兰△AFE,所以∠AED=∠AEF, 同理可得：∠BEP=∠BEF,又因为∠AED+∠AEP+∠BEP+∠BEF=180°， 所以∠BEF+∠AEF=90°，所以∠AEB=90,显然|AB>|AE,故B错误； 选项C,设 管a装线0+少=6c+过直g 6h) 则y=9 1HBF+?++3++3≥2+3=6，当且仅当1H时，等 62626 6 号成立，故C正确 选项D,在Rt△AEB,Rt△AFE中，∠BAE=∠EAF,则Rt△ABE~Rt△AEF, 即唱=铝.即AB2=1AB1-AP,1BE2=AB-1B, 由定义4F=若+号F=名+号设”若之所以 6 14a哈+管号-g-+-2-子9，r 1AB=+22+3=6d2+6 6 所以|AE2·BE P=BF|AF|·|ABP=324(t2+1)3 |AE●BE=18(t2+1)2≥18（当且仅当t=0时），故D正确. 【例1-4】已知抛物线y=4x的弦AB的中点横坐标为5，则4B的最大值为() A.12 B.11 C.10 D.9 【答案】A. 【解析】 4当，B 设4 学，军+=10 44 则a=+1BF=年+1，ABJAFI+BF=+1+冬+1=12 4 4 4 (当且仅当F,A,B共线时取等号)如图所示，即AB的最大值为12. 故选： A. 【例1-5】(2020新高考II卷（海南卷）·第14题)斜率为√3直线过抛物线C: y2=4x的焦点，且与C交于A,B两点，则AB= 【答案】 16 【解析】1B0+y)y=4r+ :抛物线的方程为y2=4x,.抛物线的焦点F坐标为F(1,0),所以⅓=4 又：直线斜率为5，车5八+为=有 4 y+》2 10 |AB=+1+公+1=+2+2=+-2+2=16 4 4 4 4 3 【例1-6】已知抛物线y2=2x的焦点为F,过点F的直线1与抛物线交于A,B两点， 若△AOF的面积是△BOF的面积的两倍，则AB=() A.2 5 B. c.3 D.4 山 【答案】C 【解析】解析：1知：O+为y=2x+%过点F0),所以%=-1 S40r= -2%=29为=分=2 S.BOF BF 1221_9 A8到=上++ 十一 22224 【例1-7】（多选题）(2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题)设0为坐标原点，直 线y=-V3(x-1)过抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点，且与C交于M,N两点，1为C 的准线，则(). 11 A.p=2 B. C.以MN为直径的圆与1相切 D.△OMN为等腰三角形 【答案】AC 【解析】A选项：直线y=-3(x-1)过点(1,0)，所以抛物线C:y2=2x(p>0)的焦 点P1,0，所以号=lp=2,2p=4,则A选项正确，且抛物线C的方程为)广=4， B选项：w:O+y=4r+,过点FL,0,且斜率为5 4=5→%+%=54=4 4 y +yz N-V+(91m9 C选项：设MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d,d,d, 因为d-=4+d)=Mr+NF=MN, 即A到直线I的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线I相切，C选项 正确。 D选项：%2=4，片+=- 4 +51-4=0得两根为 4 为=39 所以三角形OMN不是等腰三角形， D选项错误， 故选：AC. 12 M y=-√3(x-1) 【例1-8】（多选）经过抛物线”=2px(p>0的焦点F的直线交抛物线于A,B两 点，设4(x,),B(,则下列说法中正确的是() A.当AB与轴垂直时，AB最小B.丽B丽P 1.12 C.以弦AB为直径的圆与直线x=-相离D.,=-p2 2 【答案】ABD A 【解析】 M 设写小9器小+=2+过点，=F 8-分号5片+-2-p. 2p 2p 故当y+y2=0时，AB取得最小值2p,此时直线AB与x轴垂直，故A正确， 3 1 1 、 2p F足+2+p， 1 2p 2p2 BF 22+p2 1 1 2p(y22+y,2+2p2)_2p(y22+y2+2p2)_2 则丽+B丽为+p0+)+pp0++2pp =二，故B正确， 设AB的中点为M,则以弦AB为直径的圆的圆心为M,半径为B 分别过A,B,M作抛物线的垂线，垂足分别为P,Q,S, 由抛物线的定义知AP=AF,BF=BS, 则Mg=AP+Bs列=AF+lBFl=AB, 故以弦AB为直径的圆与直线x=一子相切，C错误， 故选：ABD 【例19】（多选）己知抛物线C:y2=8x的焦点为F,其准线与x轴相交于点M, 经过点M且斜率为k的直线1与抛物线相交于点A(x,),B(x2y,)两点，则下列 结论中正确的是() A.Xx2=4 B.yiy2=8 C.k的取值范围是（-1,1) D.k=2时，以B为直径的圆经过点F 2 【答案】AD 【解析】 反答小可答小a0*加-8+过Me20%=16,故 B错误：，=4，故A正确： 88 14 =8 yi+y2 ，y+y2=乃 +16∈8，+o)U(-m,-8) K4B= 8_e-1,0)u0, )故C错误； 乃+y2 因为-袋2小(答-2小 以-骨x答2-g,学4 8 2 代入k=58+为-85，=16 2y+y2 得到：FAFB=0,此时∠AFB为直角，即以AB为直径的圆经过点F,故D正确. 故选：AD. y个 B x=-2 2=8x 【例1-10】（多选）(2022新高考全国I卷·第11题)已知0为坐标原点，点 A(1,1)在抛物线 C:x2=2y(p>0)上，过点B(0,-1)的直线交C于PQ两点，则() A.C的准线为y=-1 B.直线AB与C相切 15 c.JoPogl >104 D.IBP|·BQBA2 【答案】BCD 解析：将点A的代入抛物线方程得1=2p，所以抛物线方程为x=y,故准线方 程为y=子，A错误：太。-1二-2，所以直线AB的方程为y=2x-, 1-0 y=2x-1 联立 2=y，可得x2-2x+1=0,解得x=1,故B正确； 设 x),0k,）'e:+5x=y+过80，-)？5=l 又OP=V+x=x|Vx+1,|00Hx|V1+x号 10P00月,)2+x2+x2+1=Vx2+x22+2>V21xx2+2=20AP, 故C正确： 因为BP=V1+(x+x)21x,1BQ=V1+(x+x2)》2|x2, 所|BP1B0=[1+(x+x2)2]1xx2=1+x2+x22+2x2=3+x2+x2>3+2xx2=5, 而|BAP=5,故D正确.故选：BCD 【题型二】弦长 【例2-1】己知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0). (1)求P; (2)过抛物线焦点的直线与抛物线交于A,B两点，若AB=16求直线方程. 16 【详解】(1)解：根据题意，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0), 可得=2，所以p=4. (2)解：由(1)知，抛物线方程为y2=8x, k6==、8（若斜率存在） 上2_22y+2 88 省我方形：y-男-专以+为加=8+ 8 若1B斜率不存在，y+2)y=8x+y2亦满足 直线L过点F(2,0),则y2=-16 M8-+安2y4-⅓-+安2+广-4 所以+（凸专2PV+广+64=16，解得当2=山 8 所以所求直线方程为x+y-2=0或x-y-2=0. 【例22】已知一个半径为多的圆的圆心在抛物线C:-2p(p>0)上，该圆经 过坐标原点且与C的准线1相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A,B两 点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线，与直线OA,OB,1分别相交于P,Q ,N三点 (1)求抛物线C的方程； (2)当|PO=MN时，求直线AB的方程. 【核心思路】(1)设圆的圆心坐标为(x,%),由题意可得=2px, 17 苦+坊二5+2，飞+号=9，从而可求出P,进而可得抛物线方程 C2)设直线AB的方程为1B:O+,)y=4x+y,'直线1n过点F(L,0,则 =4。目标转化求？+⅓。AB的中点M的坐标用坐标表示，表示MW的长 度，直线OA和0B的方程，表示出P四，由Pg=MN列方程求出y+,从而 可求出直线AB的方程. 【详解】(1)设圆的圆心坐标为%，可得6=2px,. 易知抛物线的焦点为号0， 准线方程为x=-号， 由题意得+后=戈+2m,=(+号 =4 解得p=2（负值舍去)，则抛物线C的方程为y2=4x. (2)由(1)知F1,0),直线AB斜率存在，设 4等小军 4 上2_22片+2 44 直线1方程：y-y=手x-空)，0+y=4r+ y+y2 4 若直线1过点F(L,0，则=4 则的中点M的坐标为心空，兰)，易知N-1” 8 2 故MN=12+1=++2 8 8 8 同理 y2(y+y2)y+y2 、8,2 1P@=8+⅓（男-⅓川=g+10+-4四 由于@-N,0g+…0+为r-4-2+2 8 将=4代入，得到y+2=±V2 直线l4B:±V2y=4x-4 即y=2V2x-2√2或y=-2V2x+2V2. 【例2-3】已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线1与C的交点为A ,B,与x轴的交点为P. (1)若AF+BF=4,求1的方程； (2)若AP=3PB,求AB. 【线心思】月。国+加3+，。是所以聚 【详期】资4答小9等小，w=+男=2， y+⅓2 e-号.化可网：0仿+5加=i加+ +=+3 由抛物线定义：A=上+3。 34 10 因为作4，化解可得+受，则=子 4 。2y=3x即：2x-8y-70 (2)由(1)知月+y2=2 由于Ap=3PB,所以=-3y2,则3=-1，片=3y2=-3 则A=+号+P-4=4+12-4国 3 3 【题型三】面积 【例3-1】已知0为坐标原点，直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A,B两点. (1)求证：0A10B; (2)求△A0B的面积S. 【详】0设4答小9答小 1B:0y+)y=2x+yy2 则+，=2，，=-4，所以00丽=0)+=0，则0A108 4 0-0-2-=2 d= (2)点0到直线4B:x-y-2=0的距离P+P 14B=V2+【,+,}°-4x,]=V2x(62-4×4=210 :5=4ld=×2M0×5=25。△40B的面积2W5 【例3-2】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,Q(5,ND在抛物线C上，且 20 (1)求抛物线C的方程及t的值； (2)若过点M(O,t)的直线1与抛物线C相交于A,B两点，N为AB的中点， 0是坐标原点，且S4oB=V3SMow,求直线1的方程. 【详解】 (1)因抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,则其准线为：x= 又Q与A在抛物线C上， 由抛物线定义知：Q个分（分=，解得r2,即抛物线C的方程为24， 将Q5,D的坐标代入y2=4x,得t=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x,t的值是2： (2)由(1)知M(0,2),直线AB斜率存在，设 生小》 AB的中点M的坐标为凸+2，当+必)， 8 2 上2_2+2 44 直线1方程：y-=4（-),1eOy+)y=4r+ y+yz 4 若直线L,过点M(0,2),则5=20y+) 而Soa=V5S,oY,且点A,B,M,N都在直线1上，从而得ABE√5MN 则有y-为卡V5当+业-21，化简0+}-45，=51当+业-21 2 21 将=2(%+⅓)代入，得到y+为=12或者y+为=4，均满足题意， 所以直线1的方程为y=-x+2或y= 3r+2. 【题型四】直线过定点 【例4-1】在平面直角坐标系xOy中，已知动圆P与圆0，：x2-2x+y2=0内切，且 与直线x=-2相切，设动圆圆心P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)曲线C上存在一点S4)(>0),不经过点S的直线1与C交于A,B两点， 若直线AS,BS的斜率之和为2，证明：直线1过定点. 【核心思路】(1)由直线与圆相切，两圆内切的条件可得圆心P到点(1,0的距离 与直线x=-1的距离相等，再由抛物线的定义和方程可得解. (2)由于1：(y+y2)y=4x+y2,求y2定值或者求y2与+关系。 【详解】(1)圆0：x2-2x+y2=0的圆心为(1,0)，半径为1， 由题意可得，动圆的圆心P到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等， 所以点P的轨迹是以(1，O)为焦点，直线x=-1为准线的抛物线， 所以曲线C的方程为y2=4x; (2)将x=4代入抛物线y=4r可得%=4(-4舍去，所以S44), y22y+ 一（斜率存在） 44 线方程：yy4一（-)→0仍+⅓y=4r+h +y2 22 若lB斜率不存在，(y+y)y=4x+yy,亦满足 因为直线4与5的斜率之和为2，且k5=4 y+4 4y+y2+8) 所以4 =2, y+4y2+4 y2+4y1+y2)+16 化简可得y2+2(y+y)=0, 所以直线1的方程为(y+y2)y=4x-2(y+y2),可得直线1恒过定点(0，-2). 【例4-2】己知抛物线E:x=2pp>0)的焦点为F,点P在抛物线E上，点P的 纵坐标为1，且PF=2,A,B是抛物线E上异于0的两点 (1)求抛物线E的标准方程； (②)若直线0M,0B的斜率之积为}，求证：直线AB恒过定点。 【核心思路】(1)由抛物线的定义（或焦半径公式）求得p得抛物线方程； (2)设 X2, 2 直线AB方程为(x+x)x=4y+xx2,由 4 ka。=女=-得到x5=4,然后观察直线方程得定点坐标。 16 4 【详解】 1+2=2 (1)由题意2，p=2,抛物线方程为x=4y; x2x22 kB=44=+五 x1-X2 4 直线方程：上一子-十-x)马G+=4少+ 23 生2 由于6：-手-手者所以os若-寻则码= x41 4 所以直线AB方程为(x+x)x=4y-4,过定点(0,1)； 直线AB恒过定点(O,). 【例4-3】已知抛物线C:y=2pxp>0的焦点为F,点D(2)在抛物线C上， 且DF=2 (1)求抛物线C的标准方程. (2)直线I:x=my+1与抛物线C交于A,B两点，点P(4,O),若LAP0=LBP0 (O为坐标原点)，直线1是否恒过点M？若是，求出定点M的坐标；若不是， 请说明理由， 【核心思路】(1)利用代入法，结合抛物线定义进行求解即可： (2)根据角相等的性质，得到k+k即=0，所以2=-16，则直线'： (0y+)y=4x-16,即M(4,0) 【详解】 (1)因为点D(,2)在抛物线C上，且DF=2, [4-2px 所以有 、-()2→p2,因此抛物线c的标准方程为2=4x； 4(斜率存在) 44 眉线L方程4十2x-40+=4x+y 24 若1s斜率不存在，(y+y2)y=4x+2亦满足 因为LAPO=∠BPO,所以kAP+kBP=0, 0+,(42+4) ”+2 4 +4+4 所以 4+44 =0.y2=-16或者y+乃2=0（舍去） 4 4 直线1：0y+y=4r-16,即M4,0. 综上，直线1过定点M4,0). 【题型五】定值 【例5-1】如图，已知抛物线C:y=2px(p>0)和圆M:(x-4)+广=1，过抛物 线C上一点H(xm,yH(ym≥刂作两条直线与圆M相切于A,B两点，分别交抛物线 17 于E,F两点，圆心M到抛物线准线的距离为4. (1)求抛物线C的方程； (2)当∠AHB的角平分线垂直于x轴时，求直线EF的斜率. 【核心思路】1)根据抛物线定义可得4+号-？求出参数，即可写出抛物线方程： (2)根据已知有H(4,2),kE=-k,设Ey2,y、Fy22,y2应用斜率的两点 25 式求为+2，进而求直线斜率. 【详解】 4+2、17 (1)由题意，M(4,0).:点M到抛物线准线的距离为4+24， ∴p弓，则抛物线C的方程为产=x. (2)当∠AHB的角平分线垂直于x轴时H(4,2),. 设E,小、F(,,k@=及=男+， y-y2 同理kE=y+2,kE=y2+2 由于ke=-k,所以片+为=4，k= 41 k+k,=5.2%+y+业2=2 0y+2) 【例5-2】己知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线1与 抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N. (I)求直线1的斜率的取值范围： (）设0为原点，QW-00,0丽=00，求证：计为定值， 【核心思路】 (1)1B:0y+y2)y=4x+2,1B过点Q(0,1),片+5=2 目标求直线1的斜率的取值范围，即求y+y,)范围。由于A,B是不同的点， 所以，乃是方程’-（仍+⅓少+=0有两个不同的根，根据判别式大于零解 得直线1的斜率的取值范围，最后根据PA,PB与y轴相交，舍去k=3 (②)直线PA的方程为：0+2y=4+2,则M的纵坐标为w=2, y+2 26 2y2 1,1 同理：N的纵坐标为乃+2，直接计算元μ就可。 【详解】(I)因为抛物线y2=2px经过点P(1,2), 所以4=2p,解得D=2,所以抛物线的方程为y2=4x :k= 4 y+y L:y-+ c约：化解可得：(0y+少=4+过点Q(0,D 即y+⅓=，直线1的斜率k=4 ,X+y2=y2 y+y2 由于A,B是不同的点，所以，是方程y-（+2)y+2=0有两个不同的根 故y2-(y+y2)y+y+y2=0有两个不同的根，△=(+2)》2-4(+y2)>0 所以+乃<0或者+2>4，即k<0或者0<k<1 又PA,PB与y轴相交，故直线1不过点L,-2).从而k≠-3 所以直线1斜率的取值范围是(-0，-3)U(-3,0)U(0,1) (Ⅱ)由(1)知 直线PA的方程为：y+2)y=4x+2y, 令x=0,得点M的纵坐标为w= 2y .同理得点N的纵坐标为yw= 2y2 当+2 当+2 由0M=2Q0,QN=u0o得元=1-yM= s-2,μ=1-w25 +2 27 1_2-4)+4=-1+ 4 由于元2-y 2-y ,112+7 所以入μ 4+4=-2+ 4(4-y-2) 2-片2-2(2-)2-) =-2+ 4(4-4-2)一=-2+ 4(4-y-y2) =2 4-2y+y2)+y2 4-2y+y2)+y+y2 所以计女为定位。 【例5-3】如图，已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且经过点 A2p,m(m>0),AF=5. M F (1)求p和m的值； (2)点M,N在C上，且AM⊥AN.过点A作AD⊥MN,D为垂足，证明：存在定 点Q,使得DO为定值. 【核心思路】(1)由抛物线定义有14F=2p+?=5求p,由A在抛物线上求m即 可 (2)直线 lu (y+y2)y=4x+yy +4’w=、4 ’kw4 y2+4 动 根据AM1AN，转化为斜率k·kN=-1,即y2+4(y+y)+32=0 确定MN所过定点B,再由AD⊥MN易知D在以AB为直径的圆上，即可证结论. 【详解】 (1)由抛物线定义知： 1h=2p+号5， ,则p=2,又44m(m>0)在抛物线上， 则m2=4×4,可得m=4. 2) 44 直线l方程：y-= C4(x空30+少=4x+少 y+y2、 同理：kw=4 y+4 kws4 y2+4 因为4M14N,则kM·k4N=-1,即y2+4(y+y2)+32=0 lw:0+)y=4r-40y+)-32,1w过定点B(84刊 所以直线MN过定点B(8,4,又AD1MN,故D在以AB为直径的圆上， 而AB中点为Q6,0,即DQ=1=2V5为定值，得证. 2 【例5-4】设抛物线C:2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点的直线1与（交于 M,N两点. (1)当I与x轴垂直时，求直线BM的方程； (2)证明：∠ABM=∠ABN. 29 【核心思路】(1)由题意M的坐标为(2,2)或(2，-2). (②)要证：BM-=乙Bv,转化为w+kaw=0台当+片=0 +2公+2，转化为 2 2 求y,,的坐标关系。 【详解】(1)当1与x轴垂直时，1的方程为x2,可得M的坐标为(2,2)或(2，-2) ·所以直线aM的方程为)+1或= 21: (2)因为M,N在抛物线上，可设M么 N 25), ku= 2 则若直线lw斜率存在， yy2 y+y2 22 所直线1方程：y-y=2-于，化解可得：1w+)少=2x+ y+y2 2 若直线Lw斜率不存在，直线L:(O+)少=2x+My亦满足 由于1w过点A(2,0),带入直线的得：My2=-4 又 6w+6w=+片=2+239=20++4+42.20+0+9-0 父+2公+2+4⅓+4 0y+402+4) (0y2+40y2+4) 2 2 所以kBM+kBN=O,可知BM、BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN. 【题型六】最值 【例6-1】己知点P(2,m)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，点P到抛物线C的焦点的 % 距离为4. (1)求抛物线C的方程； (2)已知点M,N,Q在抛物线C上，若△MNQ是以NQ为斜边的等腰直角三角形， 求NM.Ng的最小值. 【分析】(1)根据焦半径公式求解得p=4,进而可得答案； (2)i (<y<3),直线MQ的斜率为 k(k>0),进而根据题意，结合弦长公式得 m0-网时-- 再根据基本不等式求解即可. 【详解】1)解：因为点2侧到抛物线C的焦点的距离为，所以，2+号=4， 解得卫=4，所以抛物线C的方程为y=8x (<<》),直线M0的斜率 为k>0) 因为MQLMN,所以直线MN的斜率为-，因为MN=Mg, 所以y-+F=山-1+，化简得为-⅓=(y-为，① k=当当=8 后是⅓，则兴+男至，得%是，回 88 1=y-y2=8 k片竖y+y,则片+2=-8k，即片=-片-8k,③ 88 将3代入0.特50，片5=26-8 k(k+) 今 网0m四网网伪-：收 图为+≥4，皮1上所以F利22 22, 2 即NM.NQ≥128，当且仅当k=1时，等号成立. 故NM.N0的最小值为128. 【例6-2】已知抛物线C:x2=2y(p>0)上的点(t,4到焦点F的距离等于圆 x2+y2-2x+4y-31=0的半径. (1)求抛物线C的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线4与，直线交C于M,N两点，直线Z交C于 P,Q两点，求四边形MPNQ面积的最小值. 【分析】(1)根据圆的半径及抛物线的定义可得方程； (2)直线1方程：(G+x)x=8y+x5,过点F(2,0),则=-16， 设 +2=k P 1MN=V1+k2Vx+x2)2-4xx2=81+k2), ,进而可得面积，结合基本不等式可得最小值， 【详解】(1)由题设知，抛物线的准线方程为=， 由点(t,4)到焦点F的距离等于圆x2+y2-2x+4y-31=0的半径， 的 而x2+y2-2x+4y-31=0可化为(x-12+(y+2)2=36,即该圆的半径为6， 所以4+号=6，解得p=4,所以抛物线C的标准方程为2=8： (2)设M(x,8 )N( 名，kw-83= X1-x2 8 直线®方程：y-片=+(x-x)→（化+5）r=8y+5 88 由于直线n过点F20,则=-16,1N+5-5l 64 设+=k,IMW=+k2VG+)}-4x2=81+k) 8 同理，得P=8+8=+8， 所以四边形AMNQ的面积S=MNPQ=82+8到g+8128+64+4） 128+2,64 =128,(当且仅当k=1时等号成立) 所以四边形MPWQ的面积的最小值是128. 【例6-3】(2021·全国乙卷·高考真题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C的方程： (2)已知0为坐标原点，点P在C上，点Q满足P=9QF,求直线Q斜率的最 大值. 【核心思路】 33 （①)由题意，该抛物线焦点到准线的距离为号（)p=2,抛物线的方程为 y2=4x (2)设0(x,.)，由平面向量的知识可得P10x,-9,10,,进而可得=25+9 10, 再由斜率公式及基本不等式即可得解. 【详解】(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F 准线方程为=号 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为号（p=2, 所以该抛物线的方程为y2=4x (2)设Q(xo,y), 4, 所以P顶=化至，@F=0-w, 由于P0=90F,则10x=9+片，10%=y koo== 9+ 4 当y=0时，ko0=0; 1 当片≠0时， k0=9, 当4 当片>0时，因为9+422,9,4=3，当 yi 4 Vy 4 此时0<e写且仅当。-各→X=6,等号成立： 4 1 当y<0时，k<0;综上，直线C2的斜率的最大值为 34 【题型七】多线问题 【例7-1】(2021·全国·高考真题)抛物线C的顶点为坐标原点0.焦点在x 轴上，直线1：x=l交C于P,Q两点，且OP1O0.已知点M(2,o),且⊙M与1 相切. (1)求C,⊙M的方程； (2)设A,A2,A是C上的三个点，直线A4,AA均与⊙M相切.判断直线A4与 ⊙M的位置关系，并说明理由. 【核心思路】 (1) 由题意PL,,)Q1,-y,),由于0P1O0,所以oP.00=0,2p=1 (2)先考虑A4斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若A42,A4,4,A斜 率存在，由4,4,4三点在抛物线上，将直线44,44,4,4斜率分别用纵坐标表示， 再由A4,44与圆M相切，得出少+八少与八的关系，最后求出M点到直线 44的距离，即可得出结论。 【详解】(1)依题意设抛物线C:y2=2px(p>0,P(1,yo),Q(1,-y), 0P10Q0p.00=1-y6=1-2p=0,2p=1, 所以抛物线的方程为y2=x,M2,0),⊙M与x=1相切，所以半径为1， 所以⊙M的方程为(x-2)2+y2=1; 2》设4（小，4，小45，.k4+四 1 14y-y=-),化解可得：(g+y=x+, +y2 35 由直线AA与⊙M相切得 2+2一=1，化简得 Vy+2)2+1 (0y2-10y22+2y2+3-y2=0, 同理，由直线44与⊙M相切得(0y2-1)y2+2y+3-y2=0. 所以2，是方程(0y2-1)y2+2yy+3-y2=0的两根，故 乃+为= 同理的直线44方程：14：(+y)y=x+y2 3-2 2+ 2+y2y3 y2-1 12+1川 点M到直线A,A距离为 =1 +⅓)}2+1 -2y1 +1V4y2+(y2-1月 V2-1 所以直线AA与⊙M相切. 综上所述，若直线AA,AA与⊙M相切，则直线A,4与⊙M相切. 【例7-2】(2022·全国甲卷·高考真题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F, 点D(p,O),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时，MF=3. (1)求C的方程； (2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别 为a,B.当-B取得最大值时，求直线AB的方程 【核心思路】 MFl-p+2=3 (1)由题意知：M的横坐标为p,此时 23,所以p=2 36 2设[年年答A器小 由两点弦直线方程1B:(y,+4)y=4x+y4’所以目标求为+y4,y4 直线lw:(y+2)y=4x+y2过焦点F(1,0),y2=-4 同理可得y=-8,2y4=-8,从而y4=-16,直线1过(4,0)，即求⅓+y4 ，再直线W,AB的倾斜角分别为a,B转化为y+2,乃+y的关系。 【详解】 (1)抛物线的准线为x=一号，当。与x轴垂直时，点的横坐标为，此时 MFp+号-3，所以p=2,所以抛物线C的方程为y产=4： ②)慢年小答小停年 若直线l斜率存在， 2+y2 44 所直线1方程：y-片=年-子)，化解可得：1o0y+g加=4+ y+y2 4 若直线lMw斜率不存在，直线l(0仍+)y=4x+乃亦满足 由于直线lw过焦点FL,O),则yy=-4 同理：1w:+)y=4x+y,直线1M过D(2,0),所以y=-8 同理：y2y4=-8 同理：1B:(y+y4)y=4x+yy4 37 所以yy2yy4=64,则y4=-16,直线1过(4,0) 由于anB=kB=、4 -tan a=kMN = 44 8 3+y4 +乃8+8⅓+以4，则2kB=kw y3 y4 若要使a-B最大，则Be0引， 设kw=2n=26>0,则aa-p)=an0,1amA女1≤一1 -v 1+tan a tan B1+2k21 +2 2k4 当且仅当2即k=臣时，等号成立， 所以当a-B最大时，k心=5，所以直线4B:x=2v+4. 2 【例7-3】(2019·浙江·高考真题)如图，己知点F10)为抛物线y2=2px(p>0) 的焦点，过点F的直线交抛物线于A,B两点，点（在抛物线上，使得△4ABC的重心 G在x轴上，直线AC交x轴于点，且在点F右侧.记△AFG,△CQG的面积为 S,S2. G (1)求p的值及抛物线的准线方程； (2)求是的最小值及此时点G的坐标， 【核心思路】 38 卫1 (1)由题意可得2，则p=2 (2) 设答小兽小c菩 表示直线方程 1B:(y+2)y=4x+y2,过焦点F(L,0),得到的等量关系y2=-4,同理： 1c:0+)y=4x+⅓，则Q(-必，0)。根据重心结论得到y=0+),则 4 △AFG,△cQG的面积为S,$用表示。由于。表达式比较复杂，利用 》2=-4关系消元y,,所以面积比用，表示。最后结合均值不等式的结论即 可求得登的最小值和点G的坐标。 【详解】 (1)由题意可得=1，则p=2,抛物线方程为y2=4x,准线方程为=-1. 2设答等小c答小w 4x-),化解可得：y+少y=4x+少 1By-y=X+ 4 由于直线lB过焦点FL,0),则y2=-4(不妨设>0) 同理：1：0+⅓y=4x+,则0(-，0)，且-必>1→y<-4 A 由重心坐标公式可得： =+必+以，%=3， 12 3 由于a18C的重心G在轴上，令%=0可得：片=y+),X,=+5-4 6 30 以=-%若兰-%=5g9 6 且--譬产g g4 4 由于y=4→乃=- ,则 y 上21610yy+2210) 2 =)= y2-2)0y2-8) 2 6 12 12y 0、4 4 )y0y- S2= y y (-4)(+4)2-8 4 6 24y 所以、 2y(2-2=2- 4 4 —≥2- 1+ 两斯真。 2 S2y-42+4 8,即广=8+45，月=6+2时等号成立 当且仅当-8=48 时=4=5，无+)=，则点G的坐标为G20 【例7-4】(2021·浙江·统考高考真题)如图，己知F是抛物线y2=2px(p>0)的 焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且MF=2, 40 (1)求抛物线的方程； (2)设过点F的直线交抛物线与A、B两点，斜率为2的直线1与直线 MA,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N,且RN=PNOW,求直线1在x轴 上截距的范围， 【核心思路】 (1)因为M=2,则P=2 (2)利用'4a:a+by=4r+ab,得到b=4,直线MA,MB,AB方程都用字母（表 示，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为 常见函数的范围. 【详解】 (1)因为M=2,则p=2,故抛物线的方程为：y2=4x 由已知直线1。斜率存在，e=0力4 a b2 a+b 44 所直线1e方程：y-a=4-马，化解可得：oa+y=4红+b atb 4 由于直线l过焦点F(1,0),则b=4 所以直线MA的方程为y”全x+1) 4b 直线的方程为y=6+4+)=。 4a(x+) a2+4 直线B的方程为y=40,（x-). a2-4 设直线1的方程为y=2x+m(m≠-2)， 则p=2a2-m） 2a(m-2) -2a(2+m) =a2-2a+4y0=02+2a+4y= a2-2a-4 所以1RwPN1-1QN1s4a2+m 24a2(2-m)2 (a2-2a-42(a2+4}2-4a2 2+m2(a2-2a-42 a-42 故 a -22P-4+4(其 2-m) (a2+4}2-4a2 7,4)2 +12= t2+12 a+- -4 a 4 t=a--∈R). =+40-1y2+4+12y-4=0,方程有解 y= 2+12 420→16-4c-W02-0203y0到 所以 2+m2_（a-2a-4}2 2-m 所以m∈(-o,14-83]U14+8W3,+oo). 因此直线1在x轴上的截距为-？∈(-0，-7-45]U[-7+4N5,)UQ,+0). 42专题一抛物线两点弦通法与核心模型精讲 本讲义优化抛物线解题思路，避开传统联立运算的繁杂步骤，讲解横坐标、 纵坐标两种两点弦设点方式。依托抛物线方程完成消元推导，所得弦方程天然包 含两根之和、两根之积，既能帮助理解韦达定理内在本质，也可快速拆解题意、 转化几何条件。 该方法优势突出，面对多条线段相交类题型，能够高效梳理坐标间等量关系。 本讲运用两点弦法证明焦点弦常用二级结论，梳理原点张直角、角平分线等经典 几何模型，并搭配具体的真题进行实操演练，直观展现模型与通法的实战用法。 习题由浅入深编排，先以小题巩固基础结论，再通过大题练习弦长、面积、 定点证明、最值及多线问题等常规考点。内容适配课堂教学使用，也可供学习者 夯实基础，为后续培优问题求解做好铺垫。 一、 两点弦直线方程 1.焦点在x轴上，y2=2px 0 小小 2p (斜率存在) +y2 2p2p 直线B方程：y-5=2p（K-→0y+,y=2pr+5 +y2p1 若1B斜率不存在，(y+2)y=2x+y2亦满足 抛物线y=2pr两点弦通用直线方程1：(y+y)y=2px+y2 这个直线方程直接包含了y,+,(两根之和)与yy,(两根之积)，能快速处理 抛物线弦的相关问题 2x2 .k2p2 X1-X2 2p 直线lB方程：y- =+五(x-x)→(x+x)x=2py+x, 2p2p 抛物线x2=2py两点弦通用直线方程1B:(:+x)x=2p八+x 二、焦点弦直线性质（以焦点在x轴上为例) 225 是过抛物线y2=2Px(p>0)焦点F的弦，M是AB的中 点，1是抛物线的准线，MN⊥1，N为垂足. (1)xx。= 4；=-p2 1 ，12 (2) AF BFP 2 (3)FN⊥AB(以AB的直径的圆与准线相切，切点为投影的中点)，FA⊥FB (4)设BD11,D为垂足，则A、0、D三点在一条直线 证明：1B:Oy+y2)y=2px+y,过焦点F(号，0)，yy2=-p2, (1)=-p2,x,=.-2 2p2p4 1 1 2p 2)F星+2+p,B丽2+p 312p 2p2 1,12p0y22+y12+2p2) _2p0y22+y2+2p2)2 则丽B丽+p0+)+pp0+)+2pp y+2 3)由题意号”艺)，由于如=，2。=， +y2 2p 22 所以k4B·kFN=-1,则FN⊥AB 片-当+当 因为子学斗，w y22+p 2p'2 k4k=D-.20-2=-p02+2-2) y2+p2y22+p2p2(y2+y22)+y2y22+p :-D++2p)=-1,则FA1FB p'(0y2+y22)+p+p4 ④-号0，km=告=-20，a=点-22-2-2业= _PP yy-p p 2 2p y2 则A、0、D三点在一条直线上 三、原点张直角模型（以焦点在x轴上为例） 已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，若0A10B,则 直线AB过定点(2p,0)。反之亦成立 。2ph0+y=2px+ 由于0A10B,则Oa0B=+=0,所以=4p 4p2 则1B:(y+2)y=2px-4p2,直线AB过定点(2p,0) 四、角平分线模型（以焦点在x轴上为例） 1.（角的顶点在曲线上)己知A,B,C是抛物线y2=2x(p>0)上两点，若 kAB+kAC=O,则直线BC斜率为定值 yo+y2 2p y+y2 由于ka+kc=0→y+%=-2,所以kc=2P=-卫 -2yo Yo 2.(角的顶点在x轴上)己知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，M(-m,0), 若kM4+kMB=0,则直线AB过定点N(m,O)。反之亦成立 )22，B:0y+y)y=2px+y 由于k= 足+m 2p,同理kw= 2py2 片2+2pm y22+2pm 2P 由于kM4+kB=0,则(y+y2)0yy2+2pm)=0,所以y2=-2pm 14B:(y+2)y=2px-2pm,则直线AB过定点N(m,0) 五、 例题讲解 【题型一】选填 【例1-1】(2026年卷2T11)(多选题)已知抛物线E:y2=8x,斜率为 k(k>O)的直线I过点(-1，O),△ABC为等边三角形，A在y轴上，B、C在I上， 则(). A.抛物线准线方程x=-2 B.当直线1与抛物线没有交点，k>√2 C.若直线I与抛物线交于唯一点B,则抛物线焦点在直线AB上 D.k=2时，△1BC面积最小值为 15 【例1-2】(2026年天津T15)在平面内，0为坐标原点，抛物线y2=2x上有A、B 、C、D四个点，A、B、C、D的纵坐标分别为yA、yB、yc、yD,直线AB与直线 CD交x轴于点P,直线AC交x轴于点M,直线BD交x轴于点N,以下说法正确的有 ①若P与抛物线焦点重合，则y,yg=-2; ②y4yB=ycyD ③oM|oW=2OP: ④yA-ycOP=ya-yp OM; ⑤ SABDP ON 【例1-3】(2025新高考I卷·T10)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F, 过点F的直线交C于4，B两点，过F且垂直于AB的直线交准线1：x=号于E,过 点A作准线1的垂线，垂足为D,则() 5 A.AD=AR B.AE=ABI C.AB26 D.AlB可218 【例1-4】已知抛物线y=4x的弦AB的中点横坐标为5，则AB的最大值为() A.12 B.11 C.10 D.9 【例1-5】(2020新高考II卷（海南卷）·第14题)斜率为√3直线过抛物线C: y2=4x的焦点，且与C交于A,B两点，则AB=· 【例1-6】已知抛物线y2=2x的焦点为F,过点F的直线1与抛物线交于A,B两点， 若△AOF的面积是△BOF的面积的两倍，则AB=() A.2 B.2 c. 【例1-7】（多选题)(2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题)设0为坐标原点，直 线y=-5(x-1过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M,N两点，1为C 的准线，则(). A.p=2 B.W C.以MN为直径的圆与1相切 D.aOMN为等腰三角形 【例1-8】（多选）经过抛物线=2xPp>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两 点，设4(，)，B(),则下列说法中正确的是（) A.当AB与轴垂直时，AB副最小B.丽B丽P 112 C.以弦AB为直径的圆与直线x=-号相离D.=-p 6 【例1-9】（多选）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,其准线与x轴相交于点M, 经过点M且斜率为k的直线1与抛物线相交于点A(x,),B(x2,y,)两点，则下列 结论中正确的是() A.XX2=4 B.yiy2=8 C.k的取值范围是（-1,1) D.k=时，以B为直径的圆经过点F 【例1-10】（多选）(2022新高考全国I卷·第11题)已知0为坐标原点，点 A(L,1)在抛物线 C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点，则() A.C的准线为y=-1 B.直线AB与C相切 c.JopJog >lo D.BPBO>BAP 【题型二】弦长 【例2-1】已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0). (1)求p; (2)过抛物线焦点的直线与抛物线交于A,B两点，若AB=16求直线方程. 【例22】已知一个半径为)的圆的圆心在抛物线C:y2=2pxp>0)上，该圆经 过坐标原点且与C的准线1相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A,B两 点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线，与直线OA,OB,1分别相交于P,Q ,N三点 (1)求抛物线C的方程； (2)当PO=MN时，求直线AB的方程. 【例23】已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线1与C的交点为A ,B,与x轴的交点为P. (1)若AF+BF=4,求1的方程； (2)若AP=3PB,求AB. F 【题型三】面积 【例3-1】已知0为坐标原点，直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A,B两点. (1)求证：0A10B; (2)求△A0B的面积S. 【例3-2】已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为R,Q(写v在抛物线C上，且 8 (1)求抛物线C的方程及t的值； (2)若过点M(O,t)的直线1与抛物线C相交于A,B两点，N为AB的中点， 0是坐标原点，且S.4oB=5SMov,求直线1的方程. 9 【题型四】直线过定点 【例4-1】在平面直角坐标系xOy中，已知动圆P与圆0，：x2-2x+y2=0内切，且 与直线x=-2相切，设动圆圆心P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)曲线C上存在一点S(4)(>0),不经过点S的直线1与C交于A,B两点， 若直线AS,BS的斜率之和为2，证明：直线I过定点. 【例4-2】已知抛物线E:r=2pp>0)的焦点为F,点P在抛物线E上，点P的 纵坐标为1，且PF=2,A,B是抛物线E上异于0的两点 (1)求抛物线E的标准方程； ②)若直线0A,0B的斜率之积为4求证：直线4B恒过定点. 10 【例4-3】 已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,点D(x,2)在抛物线C上， 且DF=2 (1)求抛物线C的标准方程 (2)直线I:x=my+t与抛物线C交于A,B两点，点P(-4,0),若∠AP0=∠BP0 (O为坐标原点)，直线l是否恒过点M？若是，求出定点M的坐标；若不是， 请说明理由 【题型五】定值 【例5-1】如图，已知抛物线G:广=2prp>0)和圆M:(x-4+广=1，过抛物 线C上一点H(xHy(H2作两条直线与圆M相切于A,B两点，分别交抛物线 17 于E,F两点，圆心M到抛物线准线的距离为4. y (1)求抛物线C的方程； (2)当∠AHB的角平分线垂直于x轴时，求直线EF的斜率. 【例5-2】已知抛物线C:y2=2px经过点p(1,2).过点Q(0,1)的直线1与 抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N. (I)求直线1的斜率的取值范围； (）设0为5点，07-200，示-00，求证：计为定值， 【例5-3】如图，已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且经过点 A2p,mm>0),AF=5. D N (1)求p和m的值； (2)点M,N在C上，且AM⊥AN.过点A作AD⊥MN,D为垂足，证明：存在定 点Q,使得DQ为定值. g 【例5-4】设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点的直线1与（交于 M,N两点. (1)当I与x轴垂直时，求直线BM的方程； (2)证明：∠ABM=∠ABN. 【题型六】最值 【例6-1】已知点P(2,m)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，点P到抛物线C的焦点的 距离为4. (1)求抛物线C的方程； (2)己知点M,N,Q在抛物线C上，若△MNQ是以NQ为斜边的等腰直角三角形， 求NM.NO的最小值. 6 【例6-2】己知抛物线C:x2=2py(p>0)上的点(t,4到焦点F的距离等于圆 x2+y2-2x+4y-31=0的半径. (1)求抛物线C的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线与，直线交C于M,N两点，直线交C于 P,Q两点，求四边形MPWQ面积的最小值. 【例6-3】(2021·全国乙卷·高考真题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C的方程： (2)已知0为坐标原点，点P在C上，点Q满足Pg=9QF,求直线Q斜率的最 大值. 6 【题型七】多线问题 【例7-1】(2021·全国·高考真题)抛物线C的顶点为坐标原点0.焦点在x 轴上，直线1：x=l交C于P,Q两点，且OP⊥O0.已知点M(2,o),且⊙M与1 相切. (1)求C,⊙M的方程； (2)设A,A2,A是C上的三个点，直线AA,,AA均与⊙M相切.判断直线AA与 ⊙M的位置关系，并说明理由. 【例7-2】(2022·全国甲卷·高考真题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F, 点D(p,O),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时，MF=3. (1)求C的方程： (2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别 为，B.当a-B取得最大值时，求直线AB的方程. 【例7-3】(2019·浙江·高考真题)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0) 17 的焦点，过点F的直线交抛物线于A,B两点，点（在抛物线上，使得△ABC的重心 G在x轴上，直线AC交x轴于点，且在点F右侧.记△AFG,△CQG的面积为 S,S2. A B (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)求受的最小值及此时点G的坐标 【例7-4】(2021·浙江·统考高考真题)如图，已知F是抛物线y2=2px(p>0)的 8 焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且M=2, P (1)求抛物线的方程； (2)设过点F的直线交抛物线与A、B两点，斜率为2的直线1与直线 MA,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N,且RN=PNQW,求直线1在x轴 上截距的范围 19