江苏连云港市灌南县第二中学2025-2026学年高二下学期数学期末模拟考试(二)

**基本信息** 灌南县第二中学高二下学期数学期末模拟卷，涵盖复数、空间向量、概率统计等模块，通过传统工艺、农业科研等真实情境，考查数学抽象、运算推理及应用能力，题型梯度合理，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数（纯虚数）、空间向量（距离）、概率（正态分布）|基础概念辨析，如第8题结合脐橙质量正态分布考查数据处理| |多选题|3/18|二项式定理、统计（独立性检验）、立体几何（线面角）|多维度能力考查，如第10题综合判断随机变量独立性与二项式系数| |填空题|3/15|组合数、投影向量、条件概率|空间向量与概率结合，如第14题三袋取球的条件概率计算| |解答题|5/77|概率分布列、数列求和、函数导数、椭圆方程、立体几何证明|情境化综合应用，如15题传统手工艺品制作考独立事件概率，18题椭圆与直线斜率定值证明|

灌南县第二中学2025-2026学年高二下学期数学期末模拟考试(二) 姓名：                                        班级：                                     一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，，则    ． A. B. C. D. 2.若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为(    ) A. B. C. D. 3.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 4.设向量，，若，，则实数的值为   ． A. B. C. 或 D. 或 5.已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是   ． A. B. C. D. 6.为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中．由列联表中的数据计算得参照附表，下列结论正确的是(    ) A. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“药物有效” B. 有以上的把握认为“药物有效” C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“药物无效” D. 有以上的把握认为“药物无效” 7.由，，，，，组成没有重复数字，且，不相邻的六位数的个数是(    ) A. B. C. D. 8.某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量单位：近似服从正态分布，现有该新品种脐橙个，估计单果质量不低于的脐橙个数为(    ) 附：若，则，，． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，则(    ) A. B. C. D. 10.下列说法正确的是(    ) A. 若随机变量，满足：，，则，相互独立 B. 已知随机变量，若，则 C. 若的展开式中二项式系数的和为，则系数最大的项为第项 D. 一组数据，，，，的经验回归方程为，则当时，残差为 11.如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则(    ) A. B. 与平面所成角的余弦值为 C. 三棱柱的外接球的表面积为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若，则的值为          ． 13.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是          ． 14.甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，丙袋中有个白球和个红球先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取个球．求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率是                              ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.分毛猴是老北京的传统手工艺品，制作材料都取自中药材，工序大致分为三步，第一步用蝉蜕做头和四肢；第二步用辛夷做身子：第三步用木通做道具．已知小萌同学在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格时．这件作品才算制作成功， 求小萌同学制作一件作品成功的概率； 若小萌同学制作了件作品，假设每次制作成功与否相互独立．设其中成功的作品数为求的分布列及期望． 16.分已知数列的前项和为， 证明：数列为等比数列，并求数列的前项和； 设，求数列的前项和． 17.分已知函数． 求曲线在点处的切线方程； 已知函数，求的单调区间； 若对于任意，都有为自然对数的底数，求实数的取值范围． 18.分如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线，均不与轴垂直． 求椭圆的方程 若，求的方程 记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 19.分如图，四棱锥中，平面，是的中点． 求证：平面； 求平面与平面所成角的余弦值； 在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查补集及其运算，属于基础题． 化简集合，再由补集的定义即可求解． 【解答】 解：因为，， 所以． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了纯虚数、共轭复数的概念，是基础题． 先利用纯虚数的定义求出的值，求出复数，再利用共轭复数概念即可求解． 【解答】 解：复数为纯虚数， 且， ， ， 复数的共轭复数为， 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间距离的求法，考查计算能力，属于基础题． 先求出向量，，然后求出向量的夹角的正弦值，进而根据，求解即可． 【解答】 解：由题意，可得，， ，， ， ，， 所以点到直线的距离 ，． 故选A． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了空间向量夹角公式，考查了计算能力，属于基础题． 利用空间向量夹角公式即可得出． 【解答】 解：由已知， 所以， 解得或． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量共面定理，考查学生应用基础知识的能力，属于基础题． 根据共面向量定理，且，说明、、、共面，结合选项进行判断即可求解． 【解答】 解：由共面向量定理可得，若， 且，说明、、、共面， 根据选项数据可以判断、、都是错误的，D正确． 故选D． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查独立性检验的定义，属于基础题． 根据已知条件，结合独立性检验的定义，即可求解． 【解答】 解：， 则在犯错误的概率不超过的前提下，认为“药物有效”． 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查排列的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 根据题意，分步进行分析：，将、、、四个数全排列，，四个数排好后，有个空位，在个空位中任选个，安排和，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】 解：根据题意，分步进行分析： ，将、、、四个数全排列，有种排法， ，四个数排好后，有个空位，在个空位中任选个，安排和，有种情况， 则有个符合题意的六位数； 故选：． 8.【答案】  【解析】解：由可知，，， 所以 ， 故单果质量不低于的脐橙个数约为． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：二项式的通项为，，，，， 令，得，故A错误； 令，得， 令，得， 所以，故B正确； 令，得， 所以 ，故C正确； ， 两边对求导，得， 再令，得，故D正确． 故选：． 10.【答案】  【解析】解：选项A：随机变量，满足：，，则， 所以，则，相互独立，故A正确； 选项B：随机变量∽，若，而，所以， 根据正态分布图象的对称性可知，，故 B正确； 选项C：若的展开式中二项式系数的和为，则，解得， 则展开式的通项公式为， 设第项的系数最大，则 由，可得：，即， ，，， 由可得：，即， ，，， 因为，所以，即系数最大的项为第项，故C错误； 选项D：数据，，，，的回归方程为， 则，， 所以，解得，所以， 当时，，所以残差为，故D正确． 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查利用空间向量法求线面角余弦值以及求点面距离问题，考查棱柱的外接球表面积的求解，属于较难题。 由，，可判断，利用空间向量的知识可求，，利用棱柱的外接球半径的求解方法先求半径，再利用表面积公式求外接球表面积可判定． 【解答】 解：对于，连接，，因为，， 所以为等边三角形，则，所以，故A正确； 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 对于，平面的一个法向量为， ，设与平面所成角为， 则，所以与平面所成角的余弦值为， 故B错误； 对于，的外接圆半径，三棱柱的外接球半径， 所以三棱柱的外接球的表面积为，故C正确； 对于，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，则， 点到平面的距离， 故D正确． 12.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了组合数公式的性质，属于基础题． 利用组合数公式性质，可得方程求出结果． 【解答】 解：， 则或， 解得或． 故答案为或． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查投影向量的坐标运算，属于简单题． 求出，，，利用公式即可求解投影向量． 【解答】 解：向量，， 则， ， ， 所以向量在向量上的投影向量为 ． 故答案为：． 14.． 【答案】解：设第一次取出的球为红球为事件，取到甲袋、乙袋、丙袋为事件，， 则，由全概率公式可得： ． 设第二次取出的球是白球为事件，由全概率公式可得： ，由条件概率可得： 所以．  15.【答案】解：根据题意知，由相互独立事件的概率乘法公式得小萌同学制作一作品成功的概率为：． 根据题意知，的可能值为：，，，，显然， 则，，，， 所以的分布列为： 所以的数学期望：．  【解析】利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得出；先确定，写出的可能值，再求出对应的概率即可作答． 本题考查离散型随机变量的期望与方差，属于基础题． 16.【答案】解：证明：由， 可得，解得， 当时，由，可得， 相减可得，化为， 即有， 可得数列是首项为，公比为的等比数列； 即有，即有， 则； ， ， 前项和， ， 相减可得 ， 化为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：由得，，，， 所以在点处的切线方程为． ，， ， 令，解得， 因为时，， 所以在上单调递减， 因为时，， 所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为． 由题可知，， 所以， 设，， 则， 令，解得， 当时，， 所以在单调递减， 当时，， 所以在单调递增， 又，即， 所以．   【解析】本题考查了利用导数求函数的单调区间、利用导数研究恒成立与存在性问题，属于中档题． 根据导数运算及导数的几何意义求解即可； 根据导数的正负求解的单调区间； 根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围． 18.【答案】解：由题意得， 解得． 故椭圆的方程为． 设，，直线的方程为． 由得， 由，得， 则． ， 解得或． 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 则时，此时直线的方程为． 因为直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 为定值．  【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，属于中档题． 根据题意得到，再解方程组即可． 设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，利用根与系数关系以及弦长公式得到或，即可得到答案； 根据过两点的直线的斜率公式表示，再求证为定值即可． 19.【答案】解：证明： 取的中点，连接，， 因为是的中点，所以， 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面平面， 所以平面； 由题意：平面，且， 则两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 又因为，是的中点， 所以点的坐标为，，，， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， ， 由， 可得 令，得， 故平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 设，且，， 则， 设平面的法向量为， 则，可得 令，得， 所以平面的一个法向量为， 因为点到平面的距离为， 所以，解得， 所以存在点，使得点到平面的距离为，此时．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $