江苏连云港市灌南县第二中学2025-2026学年高二下学期数学期末模拟考试(一)

**基本信息** 高二下学期数学模拟卷以“礼让行人”统计、三棱柱几何、随机变量期望为载体，考查数学抽象、空间观念与数据分析素养，基础与能力梯度清晰。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、集合、向量夹角|基础概念辨析，如向量夹角公式应用| |多选题|3/18|向量性质、随机变量方差|多维度能力考查，如正方体中点线面关系判断| |填空题|3/15|排列组合、二项式定理|情境化设计，如志愿者分配问题| |解答题|5/77|回归分析、立体几何、椭圆|综合应用，如“礼让行人”统计回归与独立性检验，三棱柱二面角计算|

灌南县第二中学2025-2026学年高二下学期数学模拟考试（一） 姓名：                                                  班级：                                               一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1.若，则(    ) A. B. C. D. 2.设集合，，，则(    ) A. B. C. D. 3.已知向量，向量，则与的夹角为(    ) A. B. C. D. 4.在中，为边上的中线，为的中点，则  ． A. B. C. D. 5.如果随机变量，且，则(    ) A. B. C. D. 6.已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则(    ) A. B. C. D. 7.抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数之和为奇数”，为“至少出现一个点”，则(    ) A. B. C. D. 8.在空间四边形中，，点，分别在上，且，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量，，则下列结论中正确的有(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 10.下列命题中正确的有(    ) A. 已知随机变量，则 B. 已知随机变量，则 C. 若离散型随机变量的数学期望，则 D. 已知为离散型随机变量，则 11.在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，为与的交点，则下列结论正确的有(    ) A. B. 直线与直线是异面直线 C. 在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为 D. 平面截该正方体的内切球所得截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.将名志愿者安排到个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去个小区，每个小区至少安排名志愿者，则不同的安排方法共有          种． 13.的展开式中的系数为          用数字作答． 14.已知编号为，的两只小球和编号为的三个盒子，将两个小球逐个随机的放入三个盒子中，每只球的放置相互独立，记录至少有一只球的盒子，随机变量表示这些盒子编号的最大值，则的数学期望为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分已知公比大于的等比数列满足，． Ⅰ求的通项公式 Ⅱ设为的前项和，，求的前项和． 16.本小题分机动车行经人行横道时，应减速慢行，遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据： 月份 违章驾驶员人数 请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程 预测该路口月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数 交警从这个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表： 不礼让行人 礼让行人 驾龄不超过年 驾龄年以上 能否据此判断有的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关 附：，． 其中． 17.本小题分已知函数． 当时，求曲线在处的切线方程； 当时，证明：，． 18.本小题分如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，． 求证：平面 求二面角的余弦值 证明：在线段上存在点，使得，并求的值． 19.本小题分已知椭圆过点，焦距为． 求椭圆的标准方程 设，为椭圆上异于上、下顶点的两个不同的动点，，若直线、的斜率之积为，求证：直线过定点． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查复数代数形式的乘法和除法法则，属于基础题．利用复数的运算法则求解即可． 解：由，得： ． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查交集、并集及其运算，属于基础题． 直接利用交集、并集运算得答案． 【解答】解：，， ， 又， ． 故选：． 3.【答案】  【解析】【详解】由，，得， 又均不为，所以与的夹角为． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量的线性运算，属于基础题． 根据向量的线性运算求解即可． 【解答】 解：根据向量的运算法则， 可得   ， 所以． 故选A． 5.【答案】  【解析】【详解】由，则． 6.【答案】  【解析】【详解】因为，所以， 则，解得． 7.【答案】  【解析】【分析】利用古典概型概率公式可计算出、，再利用条件概率公式计算即可得解． 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种不同情况， 若两个点数之和为奇数，则第一个数为奇数，第二个为偶数， 或第一个为偶数，第二个为奇数，共有种不同情况， 故； 两个点数之和为奇数且至少出现一个点的情况有、、、 、、，共种不同情况，故； 故． 8.【答案】  【解析】【详解】 由，得， 由，得， 所以， 因为， 所以 即 9.【答案】  【解析】【详解】对于，，解得， A错误； 对于，由，得，解得， B正确； 对于，假设存在实数，使得，则 由第一个式子得，代入第二个式子得，很显然不满足， C正确； 对于，，解得， 所以，，所以， D正确． 10.【答案】  【解析】【详解】由二项分布，方差公式为， 则，故 A错误； 由超几何分布，期望公式为， 则，故 B正确； 根据期望的性质：， 已知，代入得：，故 C正确； 根据方差的性质：，常数不改变方差，  左边：； 右边：；因此，故 D正确． 11.【答案】  【解析】【分析】由向量的线性运算法则，用表示，判断；建立空间直角坐标系，由向量判断是否共线，判断；假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，求出参数，判断；利用向量求出正方体的内切球球心到平面的距离，由几何法求得截面半径，从而得截面面积，判断． 【详解】对于，由为与的交点，得是、的中点． 所以，所以 A正确； 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，． 对于，，， 所以四点共面，所以 B错误； 对于，假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为． 设，则，，． 设平面的法向量为， 则 令，则， 所以平面的一个法向量为． 所以． 所以，即， 所以，解得． 所以当时，直线与平面所成的角为，所以 C正确； 对于，记正方体内切球球心为，则，内切球半径为， ， 设平面的法向量为， 则 令，则． 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 所以平面截该正方体的内切球所得截面半径， 所以截面面积为，所以 D正确． 12.【答案】  【解析】解：先将名志愿者看作一组，选法有种， 再将组志愿者分配到个小区，分法有种，故不同的安排方法有种． 故答案为： 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题． 结合展开式的通项公式求解即可． 【解答】 解：因为展开式的通项公式 ，， 令，则的系数为； 令，则的系数为， 故的展开式中的系数为． 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】由条件确定随机变量的可能取值，再求其取各值的概率，根据期望公式求结论． 【详解】为有球盒子编号的最大值，因此的可能取值为， 两个小球独立放入三个盒子，总共有种等可能的方法， 表示两个球都放入号盒，仅种方法，因此， 表示两个球都不放入号盒，且至少一个放入号盒，总放法为种， 因此， 表示至少一个球放入号盒，因此， 所以． 15.【答案】解：Ⅰ由题意可知：， 结合公比大于，得， 解得 设的公比为，则，得， Ⅱ由Ⅰ可知， ， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】由表中数据知，，， ，， 所以， 所以， 故所求回归直线方程为． 由知，令，得人， 故预测该路口月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数是． 由表中数据，得， 所以没有的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关．   【解析】略 17.【答案】解：当时，，， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为； 证明：当时，， 则，令，则， 所以在上单调递减，又， 则当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，即．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：证明：因为四边形为正方形，所以． 因为平面平面，且垂直于这两个平面的交线， 所以平面． 由知，． 由题意知，，，所以． 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，． 所以，，，． 设平面的法向量为， 则即取，则，， 所以平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则即 取，则，， 故平面的一个法向量为． 所以． 所以二面角的余弦值为． 假设是线段上一点，且， 所以． 解得，，， 所以 由，得，解得． 因为，所以在线段上存在点，使得B. 此时．   【解析】略 19.【答案】解：由题意可知得． 椭圆方程为：． 设直线方程为，，， 联立可得． ，， ， 则， 化简得， 或舍， 直线方程为 即直线过定点  【解析】本题考查了椭圆的标准方程，几何性质以及直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中定点，定值问题． 由题意列方程组求出，，的值，从而得到椭圆的标准方程； 根据条件，可设直线方程为，与椭圆方程联立方程组，结合根与系数的关系，由直线、的斜率之积为这个条件进行转化，求出与的关系，从而确定直线所过的定点． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $