命卷大赛 天津市2026届高三数学自编模拟试题

**基本信息** 高三数学天津卷模拟试题，含新情景题（如色盲概率统计）和原创题（四边形向量问题），覆盖函数、几何、数列等核心知识，注重数学眼光、思维与语言的综合考查，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/45|集合、充要条件、函数图像、等比数列、立体几何|基础概念辨析，如第6题结合统计与独立性检验考查数学思维| |填空题|6/30|复数、二项式定理、抛物线、统计新情景、向量原创题|第13题以医学统计为背景，体现数学语言表达现实世界；第14题原创向量问题，考查空间观念| |解答题|5/75|解三角形、立体几何、椭圆、二阶等差数列、导数|第19题引入二阶等差数列新定义，第20题导数结合不等式证明，发展创新意识与逻辑推理|

高三模拟试题（天津卷）---答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D B A C D A C A 1．B 【分析】根据题意结合集合的并集和补集运算求解即可. 【详解】因为全集，集合，则， 且，所以. 2．D 【分析】根据不等式性质以及反例，结合充分条件与必要条件的概念，可得答案. 【详解】由，则，当时，成立，故“”是“”的不充分条件； 由当，显然，但，即不成立，故“”是“”的不必要条件. 综上所述“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．B 【分析】根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD. 【详解】定义域为，， 则是偶函数，排除A选项； 当时，，则， 当时，，则； 当时，，则，排除CD选项. 4．A 【详解】由题可得：，， ，故. 5．C 【分析】根据已知条件求得数列的首项和公比，从而得到其通项公式，求得. 【详解】设数列的公比为. 由题可得，即，即. 因为，所以，所以， 所以，所以. 所以. 故选：C. 6．D 【分析】利用百分位数的定义求解选项A即可，利用残差图与回归方程的关系求解选项B即可，利用正态分布的定义求解选项C即可，利用独立性检验的定义求解选项D即可. 【详解】将这一组数据2，3，8，3，10，18，7，4按照从小到大排序得：2，3，3，4，7，8，10，18. 因则50百分位数为第4位和第5位的平均数，即，故A错误. 在残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，故B错误. 因，则故C错误. 因故判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故D正确. 7．A 【详解】对于A：若，，则的法向量都与平行，即的法向量平行，所以，故正确； 对于B：若，，则或者与相交，故错误； 对于C：若，，则，或者与相交，或者与异面，故错误； 对于D：若且，则，或者，或者与相交，故错误. 8．C 【分析】由题意知，，再根据得，在上的投影向量为，进而求得，再根据建立的方程求解即可得答案. 【详解】因为为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，所以，， 因为，垂足为,所以， 所以，即①， 因为，所以在上的投影向量为 因为， 所以，即， 所以②， 由①②知， 所以． 9．A 【分析】对于AB，代入选项的的值并依据正弦函数的图象性质判断即可，对于C，由图象变换结合辅助角公式即可求解，对于D，使用整体代入法结合图象的交点个数即可求解. 【详解】由题意得，最小正周期满足，即， 则，即， 代入得，即， 由此可得，解得， 因为，令，则， 综上，， 对于①，若为对称轴，则或， 代入得， 因为或，故①错误； 对于②，若的图象关于点对称，则， 代入得， 因为，故②错误； 对于③，设， 则，故③错误； 对于④，若，则，设，， ，即， 则与在上有两个交点， 即，解得，故④错误. 所以有0个命题正确. 10． 【详解】结合复数的运算法则有：. 11． 【分析】，将其整理得到的次数为，解出的值，将代入中求解即可得到答案. 【详解】， 则，解得， 则，故的系数为. 故答案为：. 12．4 【详解】 已知抛物线的准线为，则的方程为：， 已知点在上，则， 以为圆心的圆与相切，设圆的半径为，则， 又圆与相切且截轴所得的弦长为， ，解得，即， ，解得． 13．(1)27 (2) 【详解】（1）由题意，要使限报医学、生物类等专业的学生人数最少， 则男生患色盲的概率为，女生患色盲的概率为， 因此，估计该学校高三年级因色盲限报医学、生物类等专业的学生有 名. （2）设选出一名男生为事件，设选出一名女生为事件，选出一名患色盲的学生为事件， 由题意，得， 由全概率公式，得. 14． 【答案】；最小值为 ①由题可知，，代入公式得： ②已知，对等式展开化简： 将各向量模长平方展开： 完全平方展开： 消去全部同类项，整理得： 因式分解：，即 解法一：由，以交点O为原点，AC为x轴，BD为y轴建系 ，，，， M为AB中点：，N为BC中点： 两点纵坐标恒定，因此直线MN轨迹为： 设动点（） ， 模长： ，当且仅当时取最小 解法二：M、N分别为AB、BC中点，由三角形中位线定理， 结合，可得：，且直线MN到AC的垂直距离为定值 对目标向量变形： 因为，P在MN上，所以P点在平行于AC的定直线上，沿AC方向的分量可抵消，向量垂直分解：将分解为平行AC方向和垂直AC方向 平行AC方向为变量，可取0；垂直AC方向为固定定值，由可得垂直分量恒为 解法三：MN为中位线，，且MN到顶点B的垂直距离为，到AC的垂直距离固定，在的前提下，竖直方向（BD方向）距离恒定，水平方向（AC方向）可任意滑动的几何意义：向量合成后的线段长度，其水平投影可消去，竖直投影为固定值，P在直线上，所有动点中，当水平偏移量为0时，线段长度最小，竖直方向固定差值为，因此最小值为。 15． 【分析】先借助偶函数对称性，将全定义域零点问题转化为单侧（如）分析，把变形为“参数=函数”，转化为直线与构造函数的交点问题，再求构造函数的导数，分析其单调性、极值、极限趋势，最后结合构造函数的图像走势，确定参数使单侧有对应交点数，得到范围. 【详解】，， 故关于轴对称，又，且恰有4个零点， 所以当时，恰有2个零点，当时，恰有2个零点， 当时，，， 时，，当且时，即有2个解， 令且，， 则，解得或， 所以或时，，单调递减， 时，，单调递增，，， 故函数图象如下： 故时，有2个交点， 若恰有4个零点，则实数k的取值范围是． 16.【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可得求解， （2）根据余弦定理求解，即可由面积公式求解， （3）根据正弦定理求解，进而根据同角关系以及二倍角公式，最后由余弦的差角公式求解. 【小问1详解】 已知，由正弦定理，………………1分 得………………2分 所以，………………3分 因为得，由，故；………………4分 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理，………………5分 则，即 解得（舍去），故………………6分 ………………8分 【小问3详解】 由正弦定理，且，，， 得，且，则B为锐角，故，………………9分 故，………………11分 且；………………13分 故．…………14分 17．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证得∥，利用线面平行的判定定理，即可证得∥平面； （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.求得平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得平面与平面夹角的余弦值，由同角三角函数关系式得到其正弦值； （3）求出点的坐标，根据点到平面距离的向量求法求得到平面的距离． 【详解】（1）连接，由，，得∥. 因为，所以四边形是平行四边形. ………………1分 由点，分别为，的中点，得∥，且. 由，，点为的中点，得，∥.………………2分 所以，∥.所以四边形为平行四边形，所以∥.………3分 因为平面，平面，所以∥平面.………………5分 （2）因为平面，，所以两两垂直. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图空间直角坐标系. 则. 所以.………………6分 设平面的法向量为， 则，所以. 令，则，所以平面的一个法向量为，………………8分 设平面的法向量为， 则，所以. 令，则，所以平面的一个法向量为.………………10分 ，所以. 平面与平面夹角的正弦值为.………………12分 （3）由（2）知平面的一个法向量为. 且.………………13分 所以到平面的距离．………………15分 18．(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意结合离心率可得，，即可得和椭圆方程； （2）设直线，，，与椭圆方程联立可得韦达定理，根据斜率关系结合韦达定理可得或，进而分析证明. 【详解】（1）由题意可得：，，………………1分 可得，，………………2分 所以椭圆的标准方程为.………………3分 （2）由题意可知：，直线的斜率存在， 设直线，，，………………4分 联立方程，消去y可得，………………5分 则，可得，………………6分 则，，………………7分 因为，………………9分 整理可得， 即，………………10分 整理可得，解得或，………………11分 若，则直线过定点，不合题意；…………12分 若，则直线过定点，符合题意；………………13分 综上所述：直线过定点.………………15分 19．(1)证明见解析； (2)①，②证明见解析. 【分析】（1）根据定义计算，结合等差数列定义判断即可； （2）①：结合等差数列定义求出的通项公式，再利用累加法结合等差数列求和公式求出的通项公式； ②：结合求解的表达式，再利用裂项相消法求出的表达式；分析的单调性，结合单调性确定其取值范围. 【详解】（1）已知，根据定义得： ………………1分 则，………………2分 因此是首项为、公差为的等差数列，………………3分 故是二阶等差数列. ………………4分 （2）（2）① 由题意，，， 因为是等差数列，所以公差，………………5分 得的通项为：，………………6分 ，，， ，，，………………7分 由累加法得，当时：， 代入得：，………………8分 验证时，满足上式，故.………………9分 ②证明：将， 代入得：，………………11分 （裂项验证：，成立） 前项和用裂项相消： ， 所以.………………12分 因为，所以；………………13分 又，故是递增数列，最小值为，因此.………………15分 20．(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由不等式恒成立，分离参数构造函数，再求出函数的最大值即得. （3）结合（2）的结论得，，再利用不等式的性质推理即得. 【详解】（1）当时，函数，求导得，………………1分 则，………………2分 而，………………3分 所以曲线在点处的切线方程为.………………4分 （2）函数的定义域为，………………5分 ，令， 依题意，，恒成立，………………6分 求导得，………………7分 由，得；………………8分 由，得，………………9分 则函数在上单调递增，在上单调递减，，………10分 所以.………………11分 （3）由（2）知，，即，当且仅当时取等号，………………13分 则当时，，，…，，………………14分 因此，………………16分 所以原不等式成立. 答案第12页，共13页 答案第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学模拟试题（天津卷）知识点与难度统计 高三数学模拟试题（天津卷）命题双向细目表 题号 题型 设计知识点 预估难度系数 1 选择题 集合的运算（全集、交集、补集） 0.85 2 选择题 充分必要条件的判断 0.80 3 选择题 函数的图象判断（函数的奇偶性、单调性、极限） 0.65 4 选择题 指数、对数、幂函数的大小比较 0.70 5 选择题 等比数列的通项与前n项和 0.75 6 选择题 统计与概率（百分位数、残差图、不等式、独立性检验） 0.60 7 选择题 空间直线与平面的位置关系（线面平行、垂直，面面平行、垂直） 0.65 8 选择题 双曲线的几何性质（离心率、渐近线、焦点） 0.35 9 选择题 三角函数的图象与性质（平移、对称性、方程的根） 0.30 10 填空题 复数的运算 0.90 11 填空题 二项式定理（展开式的系数） 0.80 12 填空题 抛物线的几何性质（准线、圆的弦长） 0.65 13 填空题 概率的计算（全概率公式、古典概型） 0.70 14 填空题 平面向量的运算、向量的模、最值问题 0.35 15 填空题 函数的零点、导数的应用、函数图象的交点 0.25 16 解答题 解三角形（正弦定理、余弦定理、面积公式、三角恒等变换） 0.75 17 解答题 空间立体几何（线面平行的证明、二面角、点到平面的距离） 0.60 18 解答题 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、定点问题 0.35 19 解答题 数列的新定义问题、等差数列的通项、数列求和、不等式证明 0.30 20 解答题 导数的应用（切线方程、不等式恒成立、利用导数证明不等式） 0.25 $ 高三模拟试题（天津卷） 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件与事件互斥，那么． ·如果事件与事件相互独立，那么． ·球的表面积公式，其中表示球的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的部分图象大致是（    ） A．B．C． D． 4．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．已知是等比数列，是数列的前n项和，，则的值为（       ） A．3 B．18 C．54 D．152 6．下列说法正确的是（   ） A．一组数据2，3，8，3，10，18，7，4的第50百分位数为4 B．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C．设且，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 7．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，为坐标原点，，垂足为，若，且，则离心率为（   ）A． B． C．2 D． 9．已知函数，的部分图象如图所示，给出下列命题： ①的图象关于直线对称； ②的图象关于点对称； ③将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象； ④若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 则上述命题中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．已知是虚数单位，则复数__________． 11．在的展开式中，的系数为___________.（用数字作答） 12．在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切且截轴所得的弦长为，则__________． （新情景题）13．据医学统计，某地区男生患色盲的概率为5% 8%，女生患色盲的概率为0.5% 1%，患色盲的学生在高考志愿填报时限报医学、生物类等专业．已知该地区某学校高三年级有男生500人，女生400人． (1)依据医学统计，按照志愿填报规定，估计该学校高三年级至少有 名学生因色盲限报医学、生物类等专业； (2)从该学校高三年级中随机选出一名学生（设男生患色盲的概率为，女生患色盲的概率为），则这个学生患色盲的概率是 。 （原创题）14.在四边形中，对角线与相交于点，，，，用表示___________；若，分别为的中点，为直线上的动点，则的最小值为___________. 15．已知函数，若恰有4个零点，则实数k的取值范围是______ 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求A的值； （2）求ABC的面积； （3）求的值． 17．如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若为线段上靠近点的三等分点，求到平面的距离． 18．已知椭圆的离心率为，以椭圆的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为2的菱形. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为椭圆的左顶点，，为椭圆上两个不同的动点（均不与点重合），且满足直线与直线的斜率之积为.求证：直线过定点. 19．在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式；②若，记的前项和为，证明：． 20．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)利用（2）的结论证明：． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 答案第12页，共13页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $