精品解析：天津市实验中学2026届高三下学期考前热身训练数学试题

2026届高三年级热身训练数学学科试卷 第Ⅰ卷（选择题） 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出全集U，再求出，最后求出其与B的并集． 【详解】因为，，则， 又因为，则. 故选：C. 2. 已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】，，， 设， 则，解得， 则“”是“A，B，C，M四点共面”的充要条件. 3. 已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性可排除AD；根据轴右侧两零点间的距离可确定C正确. 【详解】由图象可知：为奇函数； 对于A，，为偶函数，A错误； 对于D，，为偶函数，D错误； 对于BC，不妨设，， 令，解得：；令，解得：或； 则在轴右侧接近的两个零点依次为和；在轴右侧接近的两个零点依次为和， ，， 由图象可知：B错误，C正确. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B. 随机变量，，且，，则 C. 一组数据47，48，49，53，54，56，58，59的上四分位数为57 D. 根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5% 【答案】B 【解析】 【分析】分别结合线性回归方程性质、正态分布与二项分布的期望公式、百分位数计算规则、独立性检验的意义逐一判断各选项正误. 【详解】对于A选项，线性回归方程必过样本点中心，将样本中心代入，得，解得，故A表述正确； 对于B选项，正态分布关于对称，故， 由得，即，二项分布的期望为，因为，所以， 由得，解得，所以B表述错误； 对于C选项，该组数据共8个，上四分位数即分位数，， 所以上四分位数为排序后第6个和第7个数据的平均值，即，所以C表述正确； 对于D选项，独立性检验中，当时，对应， 因此拒绝“两个分类变量独立”的原假设，该推断犯错误的概率不超过，所以D表述正确. 5. 某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，，，.已知，，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（ ） （参考数据：，，） A. 120 B. 130 C. 140 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查指数型函数模型的应用，以及利用对数运算求解方程，先根据已知初始值确定模型中的参数，再利用衰减规律建立方程，通过取对数将指数方程转化为线性方程，代入参考数据计算得出结果. 【详解】由，得，解得， 由，得，解得，所以， 当循环为次时电池健康度为60，可得， 所以，两边取对数得，所以， 所以，解得， 电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加 6. 设是数列的前n项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据之间的关系，结合指数的运算性质、等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】由， ，得， 所以 . 7. 已知函数满足对任意的，均有，且在上单调，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据得出的关系式，再根据单调性确定的范围，最后求出最大值即可. 【详解】由于对任意的，均有， 所以在处取得最小值，点是图象的一个对称中心， 所以，两式相减得，即． 因为在上单调，所以，即， ，因此当时，取得最大值． 故选:C. 8. 现有两个完全相同的四棱柱材料（如图一所示）.某课外手工小组的同学将其中一个切掉一个三棱柱后拼接成如图二所示的“型”几何体（正方形与正方形在同一平面内，，，，四点在一条直线上），，，，，则图二所示的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，分别求出两个棱柱体积即可. 【详解】由正方形可知， ， ， ，平面， 平面，则三棱柱为直三棱柱 ， ，同理可知 为边长为2的等边三角形， ， . 9. 已知抛物线的准线与坐标轴的交点为，为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，当最大时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由抛物线定义和两点间的距离公式，结合基本不等式可求得的最大值，以及点的坐标，再由双曲线的定义和离心率公式，可得所求值. 【详解】过点作准线的垂线交准线于点，则，由可得，设，则. 令，则， 当，即时，取到最大值，此时. 不妨设，因为双曲线的焦点坐标为， 所以可设双曲线的方程为，将代入上式，求得. 设该双曲线的离心率为，则，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及双曲线的定义和性质，考查方程思想和运算能力. 第Ⅱ卷（非选择题） 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 已知i是虚数单位，复数，满足，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和复数的模即可求出结果. 【详解】因为，故，，故，故. 故答案为：. 11. 的展开式中，的系数是____________（用数字作答） 【答案】10 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式可求出指定项的系数. 【详解】由展开式得，再由展开式得， 所以展开式中含项是：，即它的系数是： 故答案为: . 12. 若圆与圆相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是_____. 【答案】 【解析】 【分析】结合图象知，从而求得的值.易知是线段的垂直平分线，所以可由等面积法求得. 【详解】由题意知，圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为. ∵两圆在点处的切线互相垂直，， ，即. 易知是线段的垂直平分线， 所以，所以， 解得. 故答案为：. 13. 为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人.现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书：2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书.两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试.若第一次抽取到有效馆藏图书，则第二次也抽取到有效馆藏图书的概率为__________，记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为，则的数学期望__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①利用条件概率公式计算所求概率；②根据超几何分布的性质或分布列求解数学期望. 【详解】记事件为“第一次抽取到有效馆藏图书”，事件为“第二次抽取到有效馆藏图书”， 由古典概型得，两次均抽取到有效馆藏图书的概率， 根据条件概率公式，代入得. 随机变量表示抽取的2本图书中有效馆藏图书的数量，可能取值为， 服从参数为总体容量、总体中有效图书数、抽取样本量的超几何分布， 方法1：由超几何分布期望公式，代入得； 方法2：先计算分布列： ，，， 故. 14. 在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，且，则的最小值为_____；若是正方形的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，则的最大值为_____. 【答案】 ①. 16 ②. ##0.25 【解析】 【分析】根据平面向量共线的性质以及基本不等式即可求得的最小值；结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】根据题意由为线段上的动点，可知，，三点共线， 又，可得， 因此，且，， 所以 ； 当且仅当时，等号成立，即的最小值为16； 取内切圆的圆心为，连接，如图所示： 易知弦的长度最大时，为直径，此时； 又 ； 显然当最大时，即在点处时，此时，取得最大值， 即. 15. 已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】，当时，变形为，令，则，画出函数图象，结合图象列出不等式即可求解. 【详解】， 即， 当，，，所以不是交点横坐标； 当时，，即， 令，则， 所以的图象与有3个交点， 即函数与的图象有3个交点， 函数恒过点， 当，即， ，即， 解得或， 当，解得或， 所以函数与相切时的最小值为或， 由图象可知当（1）时，即； （2），即时函数与的图象有3个交点， 综上：当时，的图象与有3个交点， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将式子变形，使得两个函数有其中一个图象是确定的，通过平移另一个图象来找到符合题意的条件. 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，，． （1）求的值； （2）已知的面积为，求的周长． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和同角三角函数关系得到，从而得到； （2）根据三角形面积公式可得，由余弦定理可得，得到三角形周长. 【小问1详解】 ，， 两式相除得，由正弦定理得， 即，又，故，所以， 又，解得， ，故； 【小问2详解】 的面积为，即， 又，所以， 由（1）知， 由余弦定理得， 解得， 故的周长为. 17. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，然后利用点到平面的距离向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，所以到平面的距离， 因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即. 【小问3详解】 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 18. 已知椭圆的上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为的面积为1. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与交于两点，过点作轴于点，过点作轴于点与交于点. ①求证：点在定直线上， ②求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） ①由题意，当直线斜率为0时，不符合题意； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得， 易知. 设，则， 因为轴，轴，所以， 所以直线 (1)， 直线 (2)， 联立(1)(2)解得， 所以点在定直线上 ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程，可求得答案; （2）①当直线斜率不为0时，设直线方程为，并联立椭圆方程，得到根于系数的关系式，求得相关点的坐标，进而得到证明；②利用三角形面积之间的关系得到，将换元，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题知，因为的面积为1，所以. 又直线的方程，即， 因为点到直线的距离为，所以， 解得，所以陏圆的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②因为与直线平行， 所以 因为所以 ， 令所以 当且仅当是等号成立所以的面积的最大值为. 19. 已知表示数列中最大的项，按照以下方法：，，，…，得到数列，则称数列为数列的“数列”． （1）若，写出； （2）若数列满足，且． （i）求； （ii）求的前项和． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）求出数列的前4项，并判断单调性，再利用“数列”求得答案. （2）（i）利用给定的递推公式变形，借助等差数列求出，分奇偶讨论项的正负，并探讨数列的单调性，进而求出；（ii）由（i）中信息分奇偶求和，并结合分组求和及错位相减法求和即得. 【小问1详解】 依题意，，且当时，数列单调递减， 所以. 【小问2详解】 （i）由两边同时乘以整理得：， 则数列为等差数列，由，得数列的公差为2， 因此，即，当为奇数时，， 当为偶数时，，当且为偶数时，， 因此数列单调递减，由“数列”定义得：. （ii）由（i）可知，当为偶数时， ， ，， 两式相减得： ，因此， 当为奇数时，为偶数，， 所以． 【点睛】方法点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 20. 已知函数． （1）试判断在区间内零点的个数并说明理由； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值集合； （3）证明：对任意都有不等式成立． 【答案】（1）恰有一个零点；理由如下： ，， 又，，函数在内单调递增， 又， 由函数零点存在性定理知函数在内恰有一个零点. （2）； （3） 要证对任意都有， 只需证明， 由（2）知，所以有， 即（当且仅当时等号成立），所以只需证明， 即证 记，则, 当时，，当时，， ，即， 对任意都有（当且仅当时等号成立）. 【解析】 【分析】（1）求导得，分析其单调性，再结合零点存在性定理即可得到其零点个数； （2）设，求导后分，和讨论即可； （3）等价转化为证明，再设新函数求导得其最小值即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 设，则， 当时，此时，则， 当时，此时，则， 显然对成立，在内单调递增， 若，则，必存在使得时，， 则此时在内单调递增，从而有，与已知矛盾. 若，则，必存在使得时，， 此时在内单调递减，从而有，与已知矛盾. 当时，， 显然当，，，则，在内单调递减， 当时，，则恒成立（不恒为零）， 则即在上单调递增，且，则在上恒成立， 在内单调递增， ，即，亦即对任意恒成立. 综上所述，实数的取值集合为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级热身训练数学学科试卷 第Ⅰ卷（选择题） 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B. 随机变量，，且，，则 C. 一组数据47，48，49，53，54，56，58，59的上四分位数为57 D. 根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5% 5. 某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，，，.已知，，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（ ） （参考数据：，，） A. 120 B. 130 C. 140 D. 150 6. 设是数列的前n项和，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足对任意的，均有，且在上单调，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 现有两个完全相同的四棱柱材料（如图一所示）.某课外手工小组的同学将其中一个切掉一个三棱柱后拼接成如图二所示的“型”几何体（正方形与正方形在同一平面内，，，，四点在一条直线上），，，，，则图二所示的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线的准线与坐标轴的交点为，为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，当最大时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 已知i是虚数单位，复数，满足，，则______. 11. 的展开式中，的系数是____________（用数字作答） 12. 若圆与圆相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是_____. 13. 为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人.现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书：2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书.两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试.若第一次抽取到有效馆藏图书，则第二次也抽取到有效馆藏图书的概率为__________，记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为，则的数学期望__________. 14. 在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，且，则的最小值为_____；若是正方形的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，则的最大值为_____. 15. 已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是_____． 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，，． （1）求的值； （2）已知的面积为，求的周长． 17. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知椭圆的上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为的面积为1. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与交于两点，过点作轴于点，过点作轴于点与交于点. ①求证：点在定直线上， ②求的面积的最大值. 19. 已知表示数列中最大的项，按照以下方法：，，，…，得到数列，则称数列为数列的“数列”． （1）若，写出； （2）若数列满足，且． （i）求； （ii）求的前项和． 20. 已知函数． （1）试判断在区间内零点的个数并说明理由； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值集合； （3）证明：对任意都有不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $