精品解析：天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高三年级下学期第二次热身练数学试卷

2026春季学期高三年级第二次热身练 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 总分150分，考试时间120分钟 第I卷（满分45分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分． 1. 设全集 是小于的正整数，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集与补集的运算即可求出结果. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 2. 已知命题，命题，则命题p是命题q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数以及指数的单调性化简，即可求解. 【详解】由可得， 由可得， 因此，但， 因此命题p是命题q的充分不必要条件， 故选：A 3. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数，正弦函数的性质判断，，的范围，比较，，的大小即可. 【详解】由指数函数性质得，由对数函数性质得， 由正弦函数性质得，则，故B正确. 故选：B. 4. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、函数值等进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设， 的定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，所以D选项错误. 当时，，所以BC选项错误. 综上所述，A选项正确. 5. 已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直、线面平行、线线平行、线线垂直的判定定理和性质定理，逐一分析选项，进行判断即可. 【详解】对于A选项，若，，则的位置存在两种可能：或，并不一定平行于，故A错误； 对于B选项，平行于同一平面的两条直线位置关系不唯一，可能平行、相交或异面，无法推出，故B错误； 对于C选项，若，，则与的位置关系可能为平行、相交或，并非一定垂直于，故C错误； 对于D选项，根据线面垂直的性质定理，若一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内的所有直线，故D正确. 6. 下列关于统计概率知识的结论中，正确的个数是（ ） ①若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的标准差为4； ②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1； ③若事件，满足，则事件与事件相互独立； ④某医院8位患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用方差的运算性质得①正确，利用相关系数的性质得②错误，利用条件概率公式和相互独立事件的判断方法可得③正确，利用百分位数的求法可得④错误，即可求解． 【详解】对于命题①，因为样本数据，，…，的方差为4， 则数据，，…，的方差为，标准差为，所以命题①正确； 对于命题②，相关关系越强，相关系数的绝对值越接近于1，所以命题②错误； 对于命题③，因为，得到，则事件与事件相互独立，所以命题③正确； 对于命题④，将数据从小到大排序为， 因为，所以该样本数据的第百分位数为，故命题④错误. 7. 定义新运算：，已知数列满足，，则（ ） A. 239 B. 225 C. 211 D. 261 【答案】C 【解析】 【分析】根据题可得，即可利用累加法求解通项得解. 【详解】由可得， 故 累加可得， 故， 故选：C 8. 已知函数，若对任意实数x都成立，且函数在区间上单调，则的值为（ ） A. B. C. D. － 【答案】C 【解析】 【分析】根据对任意实数x都成立结合周期确定出的表达式，再根据函数在区间上单调确定周期的取值范围，进而表示出的取值范围，结合与表示出的表表达式，对进行取值，从而求得． 【详解】因为对任意实数x都成立，且，故， 即，因此， 又函数在区间上单调，故，即，因此， 由，可得，解得 由，可得，解得， 当时，，满足题意． 故选：C． 9. 已知，是双曲线：上的两点，是双曲线的左焦点，满足，，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性求得，利用向量数量积求出，再设出点的坐标，利用双曲线方程及给定面积建立方程求出离心率. 【详解】由，得双曲线上的两点关于原点对称， 令该双曲线的右焦点为，则四边形是平行四边形，， 由，，得， 令双曲线半焦距为， 由，，得， 即，解得， 设，则， 消去得，由，得， 因此，整理得，即， 所以双曲线C的离心率. 第Ⅱ卷（满分105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. ___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法、除法及复数的模求解即可. 【详解】， 所以. 11. 在的展开式中，的系数为_____.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数为. 12. 抛物线（），过焦点的所有弦中，最短弦长为2，过作倾斜角的直线交圆：于、两点，则弦长____________________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据通径最短的已知条件求出，再求出直线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后根据弦长公式求出弦长. 【详解】解：由通径是抛物线中最短的弦，则，所以，焦点为， 因此，圆的方程为，圆心，半径. 因为倾斜角为，则斜率， 所以过焦点的直线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以弦长. 13. 现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球， （i）若随机抽取一个罐子，则从罐中抽到红球的概率为____________________； （ii）若从两个罐子中各摸出1个球后进行交换，交换2次后，白球还在A罐的概率是____________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（i）根据全概率公式，分别计算从A罐和B罐中抽到红球的概率，再结合抽取罐子的概率进行求解； （ii）通过分析交换过程中白球的位置变化情况，分别计算不同情况下白球还在A罐中的概率，再根据概率的加法原理求解. 【详解】（i）设事件为随机抽取A罐，事件随机抽取B罐，事件为取到一个红球，则，，，， 所以 ； （ii）根据第一次交换后，白球在B罐还是在A罐，分两种情况讨论： 情况一：第一次交换后，白球在B罐 第一次交换时，从A罐中摸出白球的概率为，从B罐中摸出红球的概率为，此时白球在B罐中，概率为；第二次交换时，需从B罐中摸出白球（此时B罐中有1个白球，2个红球），概率为，从A罐中摸出红球（此时A罐中有3个红球），概率为，所以第二次交换白球回到A罐中的概率为；所以，在这种情况下，两次交换后，白球还在A罐中的概率为； 情况二：第一次交换后，白球在A罐 第一次交换时，从A罐中摸出红球的概率为，从B罐中摸出红球的概率为，此时白球在A罐中，概率为；第二次交换时，需从A罐中摸出红球（此时A罐中有1个白球，2个红球），概率为，从B罐中摸出红球（此时B罐中有3个红球），概率为，所以第二次交换白球还在A罐中的概率为；所以，在这种情况下，两次交换后，白球还在A罐中的概率为； 综上所述，根据概率加法原理，两次交换后，白球还在A罐中的概率为. 14. 在中，，，，点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数）， （ⅰ）若，则___________； （ⅱ）线段的长度为____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立如图平面直角坐标系，根据题意得，由得解得，此时，的直线方程为，的直线方程为，联立得，，即可解决. 【详解】 如图，以为坐标原点建系如图，则, 所以 由得, 整理得， 由得解得或， 当时，，此时重合，由可得，此时， 因为点不与端点重合， 所以不满足题意，舍去， 当时，，的直线方程为， 的直线方程为， 联立解得，所以， 所以， 若，则解得， 此时， 故答案为: ; . 15. 已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的概念，化简不等式，根据恒成立的条件，列出不等式，对不等式的参数进行分类讨论，进而求出参数范围. 【详解】由可得， 即， 对于是关于的一次函数，因为，，所以， 对于，恒成立，等价于恒成立， 即， 对于，当时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知，则此时函数在上单调递减， 所以时，得，解得，即取值范围为； 对于，可知时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知对称轴，则此时函数在上单调递增， 所以时，得，解得，即取值范围为； 综上所述，取值范围为. 三、解答题（共75分） 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，为的中点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设结合正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）先在中利用余弦定理求得，再在中，由余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得，， 则， 在中，，则， 又，则. 【小问2详解】 由，为的中点，则， 在中，由余弦定理得， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 则. 17. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，且且，是的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明: 连接， 因为，为线段的中点，， ，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，, 因为是的中点，所以， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 又因为平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据即可证明平面； （2）由点到平面距离的向量表示公式，代入数据即可求解； （3）由直线与底面所成角的正弦值为可求出，然后根据两平面的法向量求所成角的余弦值即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知，，，所以， 且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离； 【小问3详解】 由题意知，底面的法向量为， 因为，， 且，，所以， 所以由题意知：， 解得：，所以， 因为，设平面的一个法向量为， 则，即，取， 所以， 又平面与平面夹角为锐角， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆：（）的离心率为，，，分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于，的一个动点，面积的最大值为． （1）求的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】（1）； （2）证明：由（1）可知， 设直线， 由， 得， 设， 则， 不妨设， 则， 又因为， 所以线段的中点， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，再结合求解即可； （2）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理及图形，可得，分别求出的坐标，利用过两点的斜率公式，表示出，再化简，代入化简即可. 【小问1详解】 因为当与椭圆短轴顶点重合时，的面积最大， 此时最大值为， 所以， 又因为椭圆的离心率为，即， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以的方程：; 【小问2详解】 略 19. 对于数列（），记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． （1）分别求出数列，的二阶差分数列，并判断是否为2阶等差数列； （2）已知数列满足，对，且，恒成立． （ⅰ）求证：数列为二阶等差数列； （ⅱ）令，求证：数列的前项和． 【答案】（1）数列不是2阶等差数列；数列是2阶等差数列； （2）（ⅰ）证明：取，则有， 又因为， 所以，， 所以， 所以， 所以数列为二阶等差数列； （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知， 令， 则， 所以是等差数列，首项为，公差， 所以， 即， 当时，， ， ， 将以上个式子相加，得， 所以， 所以， 在中，取， 得，所以 即，解得， 所以， 所以， 设数列的前项和为， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以, 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）根据二阶差分数列及2阶等差数列的定义逐一判断即可； （2）（ⅰ）取，根据二阶等差数列的定义证明即可； （ⅱ）由（ⅰ）可知，利用累加法可得，中，，可求得，从而得，代入，利用放缩法可得，利用错位相减即可得证. 【小问1详解】 由数列的阶差分数列可得： 数列的一阶差分数列为， 二阶差分数列为， 此差不是不为0的常数， 故数列不是2阶等差数列； 数列的一阶差分数列为 二阶差分数列为， 故数列是2阶等差数列； 【小问2详解】 略 20. 已知函数 （1）若在点处的切线斜率为1，求实数的值； （2）若在上的极大值大于1，求实数的取值范围； （3）当时，记，，求证：． 【答案】（1） （2） （3）由，令，则， 所以 故， ①先证明当，，， 令，， 令，，所以，， 令，，则恒成立， 所以在上单调递增，所以， 即在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即，， 所以，. ②证明因为在上恒成立，即在上恒成立， 所以，当时，，又因为， 故当时，，，， 所以，即， 所以，所以，证毕； ③再证明：， 因为和在上恒成立， 所以，当时，， 即，，， 所以， 所以， 所以，证毕. 综上，. 【解析】 【分析】（1）由条件结合导数的几何意义可得，列方程求； （2）讨论，利用导数求函数的极大值，结合条件列不等式求其解集即可； （3）令，进而得，结合得，，进而得到即可证明；再结合不等式和结论得，最后结合等比数列求和即可证明结论. 【小问1详解】 函数的导函数， 由题意得，所以， 解得； 【小问2详解】 由（1）， 由余弦函数性质可得在上单调递减， 因为，所以， 若，由可得，，在上单调递减，无极值，舍去； 若，由可得，，在上单调递增，无极值，舍去； 若，则， 所以存在使得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取极大值，极大值为， 因为在上的极大值大于1，所以， 令，，则， 所以函数在上单调递增，又， 所以，又， 所以， 综上，的取值范围为； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春季学期高三年级第二次热身练 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 总分150分，考试时间120分钟 第I卷（满分45分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分． 1. 设全集 是小于的正整数，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，命题，则命题p是命题q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 下列关于统计概率知识的结论中，正确的个数是（ ） ①若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的标准差为4； ②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1； ③若事件，满足，则事件与事件相互独立； ④某医院8位患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 定义新运算：，已知数列满足，，则（ ） A. 239 B. 225 C. 211 D. 261 8. 已知函数，若对任意实数x都成立，且函数在区间上单调，则的值为（ ） A. B. C. D. － 9. 已知，是双曲线：上的两点，是双曲线的左焦点，满足，，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（满分105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. ___________. 11. 在的展开式中，的系数为_____.（用数字作答） 12. 抛物线（），过焦点的所有弦中，最短弦长为2，过作倾斜角的直线交圆：于、两点，则弦长____________________． 13. 现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球， （i）若随机抽取一个罐子，则从罐中抽到红球的概率为____________________； （ii）若从两个罐子中各摸出1个球后进行交换，交换2次后，白球还在A罐的概率是____________________． 14. 在中，，，，点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数）， （ⅰ）若，则___________； （ⅱ）线段的长度为____________. 15. 已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 三、解答题（共75分） 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，为的中点，且，求的值． 17. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，且且，是的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆：（）的离心率为，，，分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于，的一个动点，面积的最大值为． （1）求的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 19. 对于数列（），记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． （1）分别求出数列，的二阶差分数列，并判断是否为2阶等差数列； （2）已知数列满足，对，且，恒成立． （ⅰ）求证：数列为二阶等差数列； （ⅱ）令，求证：数列的前项和． 20. 已知函数 （1）若在点处的切线斜率为1，求实数的值； （2）若在上的极大值大于1，求实数的取值范围； （3）当时，记，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $