命题大赛 广东省罗定市高三数学下学期高考备考练习卷2025-2026学年（人教A版）

**基本信息** 含原创题、新定义与新背景题，覆盖复数、导数、概率等知识，通过分层设计适配高三周测备考，培养数学抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|复数、双曲线、集合、统计|原创题占比高，如复数运算、双曲线离心率| |多项选择题|3/18|平面向量、圆的轨迹、立体几何|注重多维度辨析，如向量平行垂直判断| |填空题|3/15|抛物线、二项式定理、等比数列|考查基础公式应用，如抛物线焦点距离| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、概率、椭圆、导数证明|新背景题（罗尔定理）与综合应用，如概率递推数列、椭圆定点证明|

广东省罗定市高三数学下学期高考备考练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （原创题）1．如果，那么复数为（    ） A． B． C． D． （原创题）2．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． （原创题）3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D 4．一组数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9，，，若该组数据的第百分位数、中位数、平均数分别是a，b，c，则（   ） A． B． C． D． 5.若曲线在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 7．某校高一年级有甲､乙､丙三名学生报名参加数学､物理､化学三门学科的竞赛选拔，每人限报且必报一科，每名学生选择各门学科的可能性相同.已知事件：甲､乙两人所报学科不同；事件：乙､丙两人所报学科相同，则（    ） A． B． C． D． （新定义）8．已知等差数列的前项和为，，．若表示不超过的最大整数，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ） A．向量与互相平行 B．与互相垂直 C．，可以作为平面内的一组基底 D．向量在上的投影向量为 10．已知点，圆，点在圆上运动，点满足，其中为坐标原点．则下列说法正确的是（   ） A． B．点的轨迹方程为 C．的取值范围是 D．点到直线距离的最小值为 11．已知四棱锥的底面为矩形，底面，以为直径的圆交线段于点，若，则（    ） A．平面 B．二面角的平面角为 C．的面积的最小值为 D．存在某个位置，使得点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 13．在的展开式中，的项的系数为_____． 14．已知1，，，…，，100构成正项等比数列，该数列的前项的积为，，则数列的通项公式为______. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （原创题）15.（13分）在 中，是边上的点，且满足 。已知 ， . (1) 若 是 的角平分线，求实数的值及的长（用表示）； (2) 在 (1) 的条件下，若 在方向上的投影向量的模长为1，求的面积。 16．（15分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 17．（15分）某社区有甲､乙两个垃圾投放点.据观察，该社区居民选择垃圾投放点有以下规律：居民每天都会去投放垃圾，前一天选择投放点甲的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为；前一天选择投放点乙的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为.从观察日起，居民第一天选择甲的概率为，选择乙的概率为，且不同居民的选择相互独立. (1)若有5位居民连续两天去投放垃圾，记第二天选择投放点甲的人数为，求的数学期望和方差； (2)记第天选择投放点甲的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）求数列的通项公式. 18．（17分）已知椭圆：的离心率为，过点． (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点． （ⅰ）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ⅱ）证明：直线过定点． （新背景）19．（17分）定理：如果函数在闭区间，上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点，使得，这是以法国数学家米歇尔罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用. (1)设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间； (2)如果在闭区间，上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点，使得； (3)利用（2）中的结论，证明：当时，.（为自然对数的底数） 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学双向细目表 广东省罗定市高三数学下学期高考备考练习卷双向细目表 题号 题型 分值 考查模块 核心知识点 能力层级 核心素养 试题属性 难度 难度系数 1 单选 5 复数 复数的运算、共轭复数 理解 数学运算 原创 易 0.92 2 单选 5 解析几何 双曲线的标准方程、离心率 理解 数学运算 原创 易 0.85 3 单选 5 集合 集合的交集、补集运算，不等式解集 应用 逻辑推理、数学运算 原创 易 0.78 4 单选 5 统计 百分位数、中位数、平均数的计算与比较 理解 数据分析、数学运算 常规 易 0.75 5 单选 5 导数 导数的几何意义、切线方程 应用 数学运算、直观想象 常规 易 0.75 6 单选 5 三角函数 正弦函数的周期性、对称中心 理解 数学运算、逻辑推理 常规 易 0.72 7 单选 5 概率 条件概率、古典概型 应用 数学建模、数学运算 常规 中 0.68 8 单选 5 数列 等差数列求和、取整函数（新定义） 综合 数学抽象、逻辑推理 新定义 难 0.42 9 多选 6 平面向量 向量的平行、垂直、基底、投影向量 理解 数学运算、逻辑推理 常规 易 0.82 10 多选 6 解析几何 圆的方程、向量线性运算、轨迹、距离最值 综合 直观想象、数学运算 常规 中 0.68 11 多选 6 立体几何 线面垂直判定、二面角、面积最值、点到面距离 综合 直观想象、逻辑推理 常规 难 0.4 12 填空 5 解析几何 抛物线的定义、顶点与焦点距离 理解 数学运算 常规 易 0.92 13 填空 5 代数 二项式定理、通项公式 理解 数学运算 常规 易 0.75 14 填空 5 数列 等比数列性质、对数运算、数列通项 应用 数学运算、逻辑推理 常规 中 0.65 15 解答 13 平面向量/解三角形 向量共线定理、角平分线性质、投影、面积公式 应用 数学运算、逻辑推理 原创 易 0.58 16 解答 15 立体几何 线面垂直证明、空间距离计算（建系或几何法） 综合 直观想象、数学运算 常规 易 0.55 17 解答 15 概率与统计 全概率公式、期望与方差、数列递推与通项 综合 数学建模、数学运算 常规 中档 0.5 18 解答 17 解析几何 椭圆方程、直线与椭圆位置关系、斜率定值、定点问题 综合 数学运算、逻辑推理 常规 偏难 0.32 19 解答 17 函数与导数 罗尔定理应用、导数证明不等式、构造函数 创新 数学抽象、逻辑推理 新背景 偏难 0.28 平均 0.648 $ 广东省罗定市高三数学下学期高考备考练习卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C D A D B ABC ABD 题号 11 答案 ABD 1．C【详解】，故. 2．A【详解】双曲线，即，实半轴长，半焦距， 故所求离心率． 3．A【详解】由题意可得，集合A中的元素中，属于B的有-3,-． 故. 4．C【详解】数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9，，， 第百分位数位置，为第2和第3项的平均值， 故； 中位数的位置，为第4和第5项的平均值， 故； 平均数， ． 5．D【详解】点在曲线上，所以当时，， 代入可得，即函数， 求导可得， 因为曲线在点处的切线方程是，即切线的斜率为， 所以， 所以，. 6．B【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 所以，所以. 令，化简得. 所以，所以是图象的对称中心. 7． D【详解】每人有3种学科选择，所以基本事件总和为， 事件，甲有3种学科选择，乙有2种学科选择，丙无限制，有3种学科选择， 所以事件包含的可能事件为，则， 事件：甲、乙两人所报学科不同，乙、丙两人所报学科相同， 故事件，甲有3种学科选择，乙有2种学科选择，丙与乙相同，只有1种学科选择， 所以事件包含的可能事件为，则， 所以. 8．B【详解】设的公差为，由得，解得. 所以，，， 故当时，，当时，， 所以． 9．ABC 【详解】A：满足数乘关系，两向量平行，正确； B：，故，正确； C：不共线的两个非零向量才可作为平面内的一组基底，因为，垂直，故不共线，所以可作为一组基底，正确； D：投影向量公式：因为，所以向量在上的投影向量为，不是，错误. 10．ABD 【详解】因为，所以，即，故A正确； 设，由已知且， 所以. 又点在圆上，得， 所以，故点轨迹为以为圆心，半径的圆，故B正确； 设，所以，     又，所以，故C错误； 因为圆心到直线距离为， 所以点到直线距离的最小值为，故D正确. 11．ABD 【详解】对于A，连接，可得，底面， 面，所以， 因为，平面，所以平面，故A正确； 对于B，二面角的平面角即为平面与平面所成的平面角， 因为底面，面，所以，， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以即为所求， 因为，所以，， 可得二面角的平面角为，故B正确； 对于C，设，， ，， 因为，所以，可得， 因为平面，平面，所以， 所以的面积为 ， 当且仅当即等号成立，故C错误； 对于D，假设存在某个位置，使得点到平面的距离为， 做交于，因为平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 所以，可得， 由得， 所以， 所以存在点，且，使得点到平面的距离为，故D正确. 12．【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 13．【详解】因为六个因式中五个提供，剩余一个因式提供常数，可得出含的项， 合并同类项即可得出展开式中项的系数为. 14．【详解】设该正项等比数列的公比为，由题意可知数列共有项， 首项为1，第项为100，根据等比数列通项公式得：， ， 将 代入上式：， 所以. 15.解：(1) 且在上， 三点共线 又 平分 ， .............................2 .......................4 ， ....................................5 又 代入及 . ....................................8 (2) 在 方向上的投影向量的模长为 1， ， ....................................10 又Aϵ（0，π） ,.................................11 ....................................13 16．解：（1）因为，，故，故.............2 因为平面平面，平面平面，平面故平面，而平面， 故..............5 （2）由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，..............7 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为，..............10 则即，取，.............12 故到平面的距离为...........................15 17．解：（1）任意1位居民第二天选择投放点甲的概率为，.................................................2 由题意可得，，............................................3 所以.................................................4 ............................................5 （2）（i）第天选择投放点甲的概率为， 整理得....................................................8 （ii）因为， 所以，...............11 又因为，................................................12 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，....................13 所以，解得.............................15 18．解：（1）由题可知：，解得， 所以椭圆的方程为........................5 （2）（i） 不为定值..............................................6 理由如下. 设点， 设 ， 由 得，..................................7 由 ，得 ，解得 或 ， 又点 , 在 轴下方，则 ， 由韦达定理得 ..............................8 得 ，即 ， 因为 ， 所以 ......................10 ，所以 不是定值............................12 （ⅱ）..................................13 由（i）得 .........................14 则直线 的方程为 ，.........................15 即 ， 当 时，得 ，...........................................16 所以必过定点.............................................17 19．解：（1）注意到，则由罗尔定理， 在内存在，使；...............................1 在内存在，使；................................2 在内存在，使...................................3 综上，的根有3个，且分别位于，，这三个区间内；...............5 （2）证明：构造函数，......................7 则.注意到，.............................8 由罗尔定理，则在上至少存在一点，使 ，即在开区间内至少存在一点， 使得；..............................................10 （3）证明：当时， . 由（2），因函数为R上连续函数，. 又， 则在上存在， 使； 又，则在上存在 使.................13 又令，当时，， 则在上单调递增，...........................................15 又. 则..........................17 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $