命题大赛 2026年广东省新高考数学模拟卷

**基本信息** 2026年高考数学模拟卷以原创情境与核心素养为导向，融合神经网络激活函数、新能源汽车调查、鱼类生态系统等现实与科技素材，通过分层设问实现对数学抽象、逻辑推理、数学建模等能力的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、向量、立体几何、双曲线等|第6题结合AI激活函数考查函数性质，体现科技前沿| |填空题|3题/15分|数列递推、椭圆最值、函数零点|第12题原创数列题，考查转化与化归能力| |解答题|5题/77分|数列证明与求和、统计与概率、立体几何翻折、椭圆切线、生态模型分析|第19题以鱼类生态系统为背景，通过连续化模型考查导数应用与数学建模；第16题结合独立性检验与分布列，强化数据意识|

2026年高考数学模拟卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知全集 ， 则 A. B. C. D. 2. 已知复数 为纯虚数，则 = A. -6 B. C. D. 6 3. 已知 上的投影向量为（） A. B. C. D. 4. 若 展开式的各项系数和为32，则该展开式中 的系数是（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 5. 设 , m 是两条不同的直线，是两个不同的平面，以下说法正确的是（） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 6.人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型。神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出。 是最常用的激活函数，下面关于 表述错误的是（） A. B. C. D. 7. 已知双曲线 的左顶点为 A，右焦点为 F，以 F 为圆心的圆与 C 的一条渐近线相切于点 G，若 ，则 C 的离心率为 A. B. 2 C. D. 8. 已知函数 ，若任意斜率为 -1 的直线与曲线 都有且仅有一个公共点，则 在下列区间中一定不存在零点的是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是： A. 若随机变量 X, Y 满足 ，则 B. 数据 8,11, 13,14,17,20,21,25 的 75% 分位数为 20.5 C. 在经验回归方程中，若样本相关系数 r 越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 根据分类变量 X 与 Y 的成对样本数据，计算得到。根据小概率值 的独立性检验 ，可判断 X 与 Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.05 10. 已知函数 的部分图像如图所示，则 A. B. 在区间上单调递减 C. 的图像关于直线对称 D. 将的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则 为奇函数 11.在棱长为1的正方体 中，M为正方体内（含表面）的动点，N为线段 上的动点，若直线AM与AB的夹角为 ，则 A. 的最小值为 B. 点 M 的轨迹形成图形的面积为 C. 点 M 的轨迹与正方体表面交线的长度为 D. 当点 M 在侧面上时， 的最小值为 1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. （原创）已知数列 满足 ，则 ___. 13. 已知 P 为椭圆 上一动点。 设点 ， ，则 的最小值为 ___. 14. 已知函数 在区间 上恰有 3 个零点，则 a 的取值范围是 ___。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分） 已知数列 的首项 ，且 （1）证明：数列 是等差数列。 （2）令 ，求数列 的前n项和 16.为了解南、北方消费者对新能源汽车的认可度，随机对南、北方共500位消费者进行问卷调查，得到如下列联表： 对新能源汽车的认可度 合计 认可 不认可 南方消费者 150 150 300 北方消费者 75 125 s 合计 225 t 500 (1) 求 s, t; (2) 根据小概率值 的独立性检验，能否认为南、北方消费者对新能源汽车的认可度有差异？ (3) 记南、北方消费者对新能源汽车认可的概率分别为， ，给出 ，的估计值，并根据 ，求4位消费者（2位南方消费者和2位北方消费者）中认可新能源汽车的人数 X 的分布列与期望。 0.005 0.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828 17.如图1，平面五边形PABCD由等边三角形PAD与矩形ABCD拼接而成，且BC=2CD=2，现沿AD进行翻折，使得平面PAD⊥平面ABCD，得到如图2所示的四棱锥P-ABCD，其中O为棱AD的中点，点E,F分别在棱PB,PD上（含端点），且OE∥平面PCD. （1）求 的值； （2）若平面OEF与平面PAB所成角的余弦值为 ，求PF的长。 18.已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，过的直线 l（斜率存在且不为 0）与椭圆 C 相交于 A, B 两点， 的周长为 . （1） 求椭圆 C 的方程： （2） 过 A, B 两点分别作椭圆 C 的切线 ，设与交点为 M. （i） 求点 M 的轨迹方程： （ⅱ）记直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值。 19.（原创）某湿地公园引入鱼类生态平衡系统，经过长期观测，其种群数量 满足递推关系 ，其中 k > 0，a > 0。我们将该离散模型的连续化函数定义为 。 （1） 当 a = 2 时，求函数 的单调递增区间； （2） 定义 “生态稳定拐点”：若方程 在区间 内存在实数解，则称该解为生态稳定拐点。求函数 存在生态稳定拐点时，参数 a 的取值范围； （3）为防止种群崩溃或过度繁殖，要求种群数量始终维持在特定安全范围内，即 对任意 恒成立。试探究参数 k 和 a 应满足的条件。 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 考察知识点 难度系数 1 单项选择题 5 集合的补集运算 0.95 2 单项选择题 5 复数的概念与运算（纯虚数） 0.9 3 单项选择题 5 平面向量的投影向量 0.85 4 单项选择题 5 二项式定理（系数和与特定项系数） 0.8 5 单项选择题 5 空间直线与平面的位置关系判定 0.75 6 单项选择题 5 函数的性质（Sigmoid激活函数） 0.7 7 单项选择题 5 双曲线的几何性质与离心率 0.65 8 单项选择题 5 导数的几何意义与函数零点分布 0.55 9 多项选择题 6 统计与概率（方差、分位数、相关性、独立性检验） 0.8 10 多项选择题 6 三角函数的图像与性质（正弦型函数） 0.65 11 多项选择题 6 立体几何中的动点轨迹与最值问题 0.45 12 填空题 5 数列的递推关系与求和 0.85 13 填空题 5 椭圆的定义与几何性质（最值问题） 0.7 14 填空题 5 三角函数的零点分布与参数范围 0.5 15 解答题 13 数列的通项公式证明与裂项/错位相消求和 0.75 16 解答题 15 独立性检验与离散型随机变量的分布列及期望 0.8 17 解答题 15 立体几何翻折问题、空间垂直关系证明及空间角计算 0.65 18 解答题 17 解三角形（正弦/余弦定理）与平面几何综合 0.7 19 解答题 17 概率统计综合（条件概率、全概率公式或复杂分布） 0.55 $ 2026年高考数学模拟卷解析 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B A D D B C 2、 多项选择题 9 10 11 ABD AC ACD 一、单选题解析： 1. 已知全集 ，其中N表示自然数集。满足 的自然数有0, 1, 2, 3, 4, 5, 6，所以 已知集合 ，根据补集的定义，在全集U中，除去集合M中的元素1，3，5，6，剩下的元素0，2，4组成的集合就是 ，即 ，则此题选择B选项 2. 根据复数乘法法则 (m, n, p, q为实数， ），对 进行化简： ∵ ∴ .因为z为纯虚数，根据纯虚数的定义，实部为0，虚部不为0，则可得方程组解第一个方程 ，移项可得a=-6。把a = -6代入第二个方程2a - 3中， -3 = -12 - 3 = -15 ≠ 0，满足条件。因此，a的值为-6，答案选A。 3.因为 ，已知 ，则 。根据向量数量积的坐标运算公式：若 对于 可得 .根据向量模长公式：若 。对于 根据向量投影向量的计算公 代入可得，综上，答案是B选项。 4. 对于多项式 ，令x = 1，此时得到的结果就是展开式的各项系数和。即 ，也就是 。因为 ，所以 ，解得a=1。展开式的通项公式，则其展开式的通项公式为 。则 展开式中 的系数 情况一：2与 展开式中 项相乘。在 的通项公式 中，令5-r=4，解得r=1。此时该项为 ， ，所以这部分的系数为 。 情况二： 与 展开式中x项相乘。在 的通项公式 中，令5-r=1，解得r=4。此时该项为 ， ，所以这部分的系数为 。将两种情况的系数相加，可得 展开式中 的系数为 。 综上，答案是A选项。 5.A选项：已知 ， ，此时直线l与平面 的位置关系有多种可能。 直线l可能与平面 相交、平行或 ，所以不能得出 ，该选项错误。 B选项：已知 ， ，直线l与平面 的位置关系同样不确定。 直线l可能与平面 相交、平行或 ，所以不能得出 ，该选项错误。 C选项：已知 ， ， ，直线l与平面 的位置关系还是不确定。直线l可能与平面 相交、平行或 ，所以不能得出 ，该选项错误。 D选项：因为 ， ，根据“垂直于同一个平面的两条直线平行”，可得l // m。又因为 ，根据“如果一条直线与另一条直线平行，其中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面”，所以 ，该选项正确。综上，答案是D选项。 6.A选项：已知 ，将 代入函数可得： 。根据对数运算法则 （a>0且 ，N>0），可得 ，则 ，所以选项A正确。 B选项：那么 ，即 ，所以选项B正确。 C选项：对求导，根据除法求导公式（其中），可得：。对 求导，根据求导公式 （a > 0且 ），可得 ，则 。 又因为 ，所以 ，C选项正确 D选项：计算 的值： 。比较 与 的大小，通分可得 ， 。因为 ，所以 ，则 59.12, ，因为59.12 > 58.73，所以 ，即 2) > ，选项D错误。综上答案为D 7.设O为坐标原点，连接OG。 。 由双曲线的性质可知，双曲线 的渐近线方程为 ，焦点到渐近线的距离为b，所以 。 。 根据两角分别相等的两个三角形相似，可得 ∴。设c为双曲线C的半焦距，则 ，所以 ，即 又因为在双曲线中有 ，所以 。将 展开并整理得： ，移项可得 。等式两边同时除以 （因为a > 0），得到 。设双曲线的离心率 （e>1），则方程变为 。 对于一元二次方程 ，因式分解为 ，解得e=2或e=-1。因为e>1，所以舍去e=-1，得到e=2。答案选B 8.设直线与联立， 得，令，则，当单调时，无论为何值，有且仅有一个零点，此时任意斜率为-1的直线与曲线都有且仅有一个公共点，故应满足，即，故；设，故，此时可看作关于的一元二次方程，若该方程无解，则，解得，因此若在区间上存在零点，则方程有解，这与时方程无解矛盾，又，且不是的零点，故在区间上一定不存在零点。故选：C. 二、多选题解析： 9.A选项：已知随机变量X，Y满足 ，根据方差的性质 （其中a，b为常数），这里 ，所以 ，故选项A正确。 B选择：计算 ，根据分位数的计算方法，当 （n为数据个数， 为分位百分数）为整数时， 分位数是第i项与第 项数据的平均值。 •数据8, 11, 13, 14, 17, 20, 21, 25共8个，75%分位数是第6项和第7项数据的平均值，即 ，故选项B正确。 C选项： 在经验回归方程中，样本相关系数r的取值范围是[-1, 1]，且 越接近1，两个变量的线性相关性越强； 越接近0，两个变量的线性相关性越弱。 - 当r为负数时，r越大， 越小，线性相关性越弱，所以不能简单地说样本相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，故选项C错误。 D选项：已知 ，小概率值 对应的 ，因为 ，根据独立性检验的结论，可以判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故选项D正确。则选择ABD 10.解：A中，由函数的图像可得 所以 ，所以 A 正确； B 中， ，可得 所以函数不单调，所以 B 不正确； C 中，因为 ，所以 是函数的一条对称轴，所以 C 正确； D 中，将 的图像向右平移 个单位长度后得到函数 的图像，可得 为偶函数，所以 D 不正确。故选：AC. 11.选项A：设A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA_{1}为z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0），C(1,1,0），D(0,1,0），C(1,1,1）。线段A上的点N可表示为N(t,t,t），其中t∈[0,1]。 当t=0.5时， ，故 ，为最小值，选项A正确。 选项B：确定点M的轨迹 ，化简得 ，即M的轨迹为顶点在A、轴为AB、半顶角为 的圆锥面在正方体内（含表面）的部分。 圆锥面在正方体内的部分侧面积为 ，与 不符，选项B错误。 选项C ：线段AC: 长度为 线段AB₁: 长度为 平面x=1上的四分之一圆弧：半径为1，长度为 总长度为 ，选项C 正确。 选项D： 与平面 的夹角正弦值为 ，故的最小值为点M到平面的最小距离，M在侧面上，故最小值为1，选项D正确。 选择ACD 3． 填空题解析 12. 答案：-4n-2 解析：∵，设+x=2(+x），结合原式得x=4，则数列{+4}为以2为公比首项为+4=2的等比数列，则+4=2=,∴=-4，则-4+-4+-4++-4=++-4×n=-48=-4n-2 13. 答案： 解析：椭圆标准方程为 ，可得 ， ，由 计算得： 即a=2, c=1，因此椭圆右焦点为 ，与点A重合，左焦点F的坐标为 。根据椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a，因此椭圆上的点P有：变形得 。将代入 ，可得 根据三角形三边关系，对任意三点P、B、F，有 ，因此 ，当且仅当P为BF延长线与椭圆的交点时，等号成立。 已知 ， ，由两点间距离公式： 将 代入表达式，得：，因此 的最小值为 14.答案： 解析：令 =0，则 或 。当时，即，根据余弦函数的性质可知，时，，所以。 因为 ，所以只有当k = 0时， ，即 ，解得 。当时，即，根据正弦函数的性质可知，时，，所以。因为 ，所以只有当k = 0时， ，此方程无解。 由 ， ，当n=0时，x=0；当n=1时， ；当n=2时， ；当n=3时， 。因为函数 在区间 上恰有3个零点，这3个零点为0， ， ，所以 。综上，实数a的取值范围是 4． 解答题解析 15.答案：（1）见解析 （2） 解析：（1）已知数列 的首项 ，且 ， 两边同时除以 可得： ， （2分） 两边再同时乘以 可得： ，又 ， （2分） 所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列； （1分） (2）由（1）可得： ，则 ， （2分） 即 ， （2分） 所以数列 的前n项和 . （4分） 16.答案：（1）根据小概率值 的独立性检验，认为南、北方消费者对新能源汽车的认可度有差异。 （2）X 的期望为： 解析：（1）由列联表数据可得：7.692，因为 7.692 > 6.635, （4分） 所以根据小概率值 的独立性检验，认为南、北方消费者对新能源汽车的认可度有差异。 （1分） （2） 由题意得，南方消费者认可的概率 的估计值为 , （1分） 北方消费者认可的概率的估计值为 。 （1分） 随机变量 X 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3。 （1分） （1分） （1分） （1分） （1分） 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P X 的期望为： （3分） 17.答案：（1）见解析 （2） 解析：（1）由题意，AD = BC = 2，CD = AB = 1，△PAD为等边三角形，O为AD中点，故 ，又平面 平面ABCD，平面 平面ABCD = AD，所以 底面ABCD. （2分） 以O为原点，OA所在直线为x轴，过O平行AB的直线为y轴，PO所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ，所以 ， ，设 ， （2分） 则 设平面PCD的法向量为 ，即 ，令 z = 1， （1分） 所以平面PCD的法向量 ）由 OE // 平面 PCD，得 即 ，解得 ，故 ； （1分） 由 (1) 得 ，设 ， ，（1分） 因为 ，所以 （1分） 则 ，设平面PAB的法向量 ，则 ，即 ，令 ，所以平面PAB的法向量 （2分） 设平面OEF的法向量 ，则 即，令 ，所以平面OEF的法向量 可得 设平面OEF与平面PAB所成角为 化简得 ，解得 或 （舍），故 。 （6分） 18.答案：（1) (2) 解析：（1）解：由题意，得 ，所以 ，……1分 设椭圆半焦距为 c，因为 ，所以 c = 1，……1分 又因为 ， 所以椭圆 C 的方程为 。……1分 （2）（i）解：设 ，直线 ， 联立 整理得 。 因为 ，所以 。……1分 设直线 ， 联立 整理得 ……3分 因为 与椭圆 C 相切， 所以 ……1分 整理得 。所以 因为 ， 所以 所以 配方得 所以有 ……3分 的方程为 所以 ……1分 即 的方程为 （没有证明，直接写出切线方程扣2分） 同理 的方程为 联立 ， 得 ……1分 当 轴时，由对称性可知，M 在 x 轴上 所以点 M 的轨迹方程为 ……1分 （ⅱ）证明： 因为 ， 都过点 所以 ， 所以直线 AB，即直线 l 的方程可写为 所以直线 l 的方程为 又因为直线 l 的方程为 ，所以 ， 所以点 M 为 . ……2分 所以 ， 因为 ，所以 ，即 为定值。……1分 19答案：（1） 的单调递增区间为 （2）参数的取值范围为 （3） 和 应满足的条件是： 且 。 解析：（1) 当 时，函数表达式为 ( ）。……1分 对 求导，得： ……1分 因为 ，且 恒成立。 令 ，即 ，解得 。……1分 又因为 ，所以函数 的单调递增区间为 。……1分 (2) 对 求导，得： ……1分 再次求导，得二阶导数： ……1分 化简分子，提取公因式 ，得： ……1分 令 ，因为 ，故只需 。 解得 。……1分 由题意，方程 在区间 内存在实数解， 即 ，解得 。 ……1分 故参数 的取值范围为 。 （3） 要使 对任意 恒成立，即要求种群数量序列 始终落在区间 内。……1分 首先，系统的平衡点（不动点） 必须位于该区间内。 令 ，即 。因为 ，解得 。 为保证系统稳定，需满足 。 将 代入一阶导数公式，得： ……2分 由 ，解得 。此时平衡点 存在且为正。 其次，为保证迭代过程不溢出安全区间 ，需满足边界条件： 当 时， 。……1分 考虑到 在 处取得最大值，结合 的条件，极值点落在区间左侧或内部。……1分 经分析，主要约束来自区间的右端点映射及最大值限制。 综合稳定性条件与边界约束，通过代数推导可得： 参数 需满足 ；……1分 在此条件下，参数 需满足 。 综上所述， 和 应满足的条件是： 且 。 ……1分 学科网（北京）股份有限公司 $