广东省汕头市潮阳区棉城中学2025—2026学年高三高考考前训练（数学）科综合测试

**基本信息** 高考数学模拟卷覆盖集合、复数、函数、几何等核心模块，梯度设计合理，通过解三角形证明、导数不等式证明等题考查数学思维与语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、复数虚部、向量共线等|第8题比较大小需构造函数，考查转化能力| |多选题|3/18|等差数列、正态分布、三角函数极值|第11题结合极值点判断函数性质，体现综合性| |填空题|3/15|导数切线、等比数列积、三角函数奇偶性|第14题求φ最小值，需结合偶函数定义推理| |解答题|5/77|解三角形、椭圆、立体几何翻折、概率统计、导数综合|第19题导数不等式证明，考查逻辑推理与创新应用|

2025—2026学年度高考考前训练（数学）科综合测试 1、 单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知A＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|2x＜4}，则A∩B＝（　　） A．（2，3] B．（0，3） C．（0，2） D．[1，2） 2．已知复数z＝i（1+i），则的虚部为（　　） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 3．已知平面向量，，若与共线，则m＝（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣1或0 D．1或0 4．若双曲线C的实轴长是虚轴长的一半，则C的离心率为（　　） A． B．4 C． D．2 5．记半径为R的球体的表面积和体积分别为S1和V1，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为S2和V2，若S1＝S2，则＝（　　） A． B． C． D． 6．函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则＝（　　） A．1 B． C．3 D． 7．P是圆（x﹣a）2+（y﹣a2）2＝1上的动点，Q是直线y＝x﹣2上的动点，则|PQ|的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．已知a＝4ln5π，b＝5ln4π，c＝5lnπ4，则a，b，c的大小关系是（　　） A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a 2、 多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S3＝12，a4＝8，则下列结论正确的是（　　） A．a1＝1 B．a10＝20 C．S10＝110 D．4Sn＝anan+1 10．设随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤0）＝0.2，则（　　） A．P（0＜X＜2）＝0.4 B．P（X≤2）＝0.8 C．Y＝2X+1的方差为4σ2 D．若σ增大，则P（|X﹣1|＜1）增大 11．已知为函数f（x）＝asinx+bcosx（a≠0，b≠0）的极值点，则（　　） A．a＝b B．是偶函数 C．f（x）的图象关于直线对称 D．f（x）在区间上单调递增 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线y＝在点（2，）处的切线方程为　 　 13．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若T4＝T7，则a6＝ 　 　 ． 14．已知函数为偶函数，则φ的最小值为　 ． 4、 解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c﹣2bcos（B+C）＝0． （1）证明：a2＝b2+2c2； （2）求内角C的最大值． 16．已知椭圆C：x2+2y2＝4． （1）求椭圆C的短轴长和离心率； （2）过点M（1，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若弦AB的中点为M，求直线l的方程与弦AB的长． 17．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90°，如图（1）．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD． （1）求证：CD⊥AB； （2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．有一个袋子中装有4个红球，2个黑球，现每次从袋子中随机取出一个球，连续取三次． （1）若每次取出的球放回，记取出黑球的次数为X，求X的分布列和期望； （2）若每次取出的球不放回，已知第三次取出的是黑球，求此时袋中没有黑球的概率． 19．已知函数f（x）＝xex﹣eax． （1）当a＝1时，求f（x）的单调区间； （2）当x＞0时，f（x）＞﹣1，求a的取值范围； （3）设n∈N*，证明：． 2025—2026学年度高考考前训练（数学）科综合测试 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D C D C C B 二．多选题 题号 9 10 11 答案 BCD BC ABC 三．填空题 12．曲线y＝在点（2，）处的切线方程为　6x+25y﹣32＝0　 13．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若T4＝T7，则a6＝ 　1　 ． 14．已知函数为偶函数，则φ的最小值为 四．解答题（共5小题） 15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c﹣2bcos（B+C）＝0． （1）证明：a2＝b2+2c2； （2）求内角C的最大值． 【解答】解：（1）证明：由余弦定理，， 化简得a2＝b2+2c2； （2）因为a2＝b2+2c2，所以， 由余弦定理，， 由基本不等式，得， 等号成立当且仅当，则内角C的最大值为． 16．已知椭圆C：x2+2y2＝4． （1）求椭圆C的短轴长和离心率； （2）过点M（1，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若弦AB的中点为M，求直线l的方程与弦AB的长． 【解答】解：（1）椭圆C：，即a2＝4，b2＝2， ∴a＝2，， ∴椭圆的短轴长， c2＝a2﹣b2＝2，∴c＝， ∴椭圆的离心率． （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，即， ∴， ∵点M为弦AB的中点，则， 即x1+x2＝2，y1+y2＝2， ，即， ∵直线l：， 即l：，∴l：x+2y﹣3＝0， 联立方程组，整理得3x2﹣6x+1＝0， 则x1+x2＝2，， ＝． 17．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90°，如图（1）．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD． （1）求证：CD⊥AB； （2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）证明：∵AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，AB⊥BC， ∴AD＝AB＝，BD＝， 又∠DBC＝∠ADB＝45°，∴， ∴BD2+AC2＝BC2，则CD⊥BD． 又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴CD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD， ∴CD⊥AB； （2）解：∵CD⊥平面ABD，∴CD⊥BD． 以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D作垂直平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz， 如图．由已知，得A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0）． ∴，． 设平面ACD的法向量为，则， 令x＝1，得平面ACD的一个法向量为． 假设存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°， 设，0≤λ≤1，则N（2﹣2λ，2λ，0），． ∴sin60°＝， 可得8λ2+2λ﹣1＝0，解得或（舍去）． 综上所述，在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°， 此时． 18．有一个袋子中装有4个红球，2个黑球，现每次从袋子中随机取出一个球，连续取三次． （1）若每次取出的球放回，记取出黑球的次数为X，求X的分布列和期望； （2）若每次取出的球不放回，已知第三次取出的是黑球，求此时袋中没有黑球的概率． 【解答】解：（1）由题意知，随机变量X的取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 由，． （2）记第n次取出黑球为事件An，第三次取出黑球后袋中没有黑球为事件B． 方法一：，， 所以． 方法二：， ， 所以． 19．已知函数f（x）＝xex﹣eax． （1）当a＝1时，求f（x）的单调区间； （2）当x＞0时，f（x）＞﹣1，求a的取值范围； （3）设n∈N*，证明：． 【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝xex﹣ex，f′（x）＝xex， 所以当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0． 所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）单调递减，在区间（0，+∞）单调递增． （2）因为x＞0，所以当a≤1时，f（x）≥xex﹣ex，由（1）知f（x）＞f（0）＝﹣1， 当a＞1时，f′（x）＝（x+1）ex﹣aeax＝ex（x+1﹣ae（a﹣1）x）． 又当x∈（0，a﹣1）时，x+1＜a﹣1+1＝a，ae（a﹣1）x＞a， 所以x+1＜ae（a﹣1）x，即f′（x）＜0．所以f（x）在区间（0，a﹣1）单调递减， 所以f（a﹣1）＜f（0）＝﹣1，不符合题意．综上，a的取值范围是（﹣∞，1]． （3）证明：由（1）知，当a＝1时，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增， 所以当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）＝﹣1， 即xex﹣ex＞﹣1，所以当x∈（0，1）时，． 当n∈N*时，，则有． 令h（x）＝ex﹣1﹣x，求导得h′（x）＝ex﹣1﹣1，当x＜1时，h′（x）＜0； 当x＞1时，h′（x）＞0，所以h（x）＝ex﹣1﹣x≥h（1）＝e1﹣1﹣1＝0， 所以ex﹣1≥x，所以3n﹣1≥en﹣1≥n，所以． 所以．记， 所以． 所以．综上，原不等式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $